竞赛与自主招生专题第08讲：数列的通项与递推数列

第八讲 数列的通项与递推数列
从2015年开始自主招生考试时间推后到高考后，政策刚出时，很多人认为，是不是要在高考出分后再考自主招生，是否高考考完了，自主招生并不是失去其意义。

自主招生考察了这么多年，使用的题目的难度其实已经很稳定，这个题目只有出到高考以上，竞赛以下，才能在这么多省份间拉开差距.
所以，笔试难度基本稳定，维持原自主招生难度，原来自主招生的真题竞赛真题等，具有参考价值。

在近年自主招生试题中，数列是自主招生必考的一个重要内容之一，数列考得较多的知识点有:极限、数学归纳法、递推数列、等差等比数列、及数列的应用等。

一、知识精讲 一．等差数列：
1.通项公式：*11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈；
2.前n 项和公式：1()2n n n a a s +=1(1)
2
n n na d -=+. 二．等比数列：
1.通项公式：1*11()n n
n a a a q q n N q
-==
⋅∈； 2.前n 项和公式：11
(1)111n n a q q S q na q ⎧-≠⎪=-⎨⎪=⎩,,或11,11,1
n n a a q
q q s na q -⎧≠⎪
-=⎨⎪=⎩ .
三．数列的通项公式与前n 项的和的关系：11,
1,2
n n n S n a S s n -=⎧=⎨-≥⎩(n S 为数列{}n a 的
前n 项的和为).
四．常见数列的前n 项和公式：
(1)
1232
n n n +++++=
21357
(21)n n ++++-=
24682(1)n n n ++++=+
2222(1)(21)
1236n n n n ++++++=
33332
(1)123[]2n n n ++++
+=
【知识拓展】
一．对于数列{}n a ，若存在正整数k 及一个将n k a +与前面k 项12,,n k n k n a a a +-+-联
系起来的方程
1(,,
)0,1,2,
n k n k n f a a a n ++-==，则称数列{}n a 是k 阶递推数列，此方程为递推
方程。

由（*）得出12(,,
)n k n k n k n a g a a a ++-+-=，称为数列{}n a 的递推关系。

一般说来，确定一个k 阶递推数列需要知道k 阶初始值：12,k a a a 。

二．求通项问题的主要类型：
1．转化法：某些数列虽然不是等差等比数列，但可以通过对递推公式变形，重新构造新的数列，而这些数列为等差数列或等比数列，进一步通过对新数列的通项公式求出原数列的通项。

2.累加法：1()n n a a f n +=+ ►
方
法
：
利
用
叠
加法，
1
2132111
(1),(2),
(1),()n n n n k a a f a a f a a f n a a f k --==+=+=+-=+∑。

3.累积法：1()n n a a f n +=
►方法：利用迭代法，1
2132111(1),(2),
(1),()n n n n k a a f a a f a a f n a a f k --====-=∏。

4.待定系数法：1n n a pa q +=+（,p q 为常数且0,1p ≠，0q ≠）
►方法：用待定系数法，构造一个公比为p 的等比数列，令1()n n a p a λλ++=+，
1
q
p λ=
-，从而 1n q a p ⎧⎫+⎨⎬-⎩
⎭是一个公比为p 的等比数列。

5.1()n n a pa f n +=+（p 为非零常数且1p ≠） 方法：上式两边同时除以1n p +，
11()n n n n n a a f n p p p ++=+，令n
n n
a b p
=，有11()n n n f n b b p ++=+，
转化为第一种类型，用叠加法解决。

6.特征根法：11n n n a pa qa +-=+（2n ≥）（,p q 为常数）
►方法：可用下面的定理求解。

令,αβ为相应的二次方程20x px q --=的两根（此方程又称为特征方程）；
（1）当αβ≠时，其通项公式为：n n n a A B αβ=+； （2）αβ=时，其通项公式为：1()n n a A Bn α-=+，
其中,A B 分别由初始条件12,a a 所得的方程组122
2
,A B a A B a αβαβ+=⎧⎨+=⎩和12,(2)A B a A B a α+=⎧⎨+=⎩唯一确定。

更一般地，对于常系数线性递推数列1122n k n k n k k n a c a c a c a ++-+-=+++，其特
征方程
12121k k k k k x c x c x c x c ---=++
++的根（互不相同）有s 个，分别为12,,
s x x x ，且
i x 是i t 重根，1
s
i i t k ==∑，则1
()s
n n i i i a f n x ==∑，其中()i f n 是关于n 的1i t -次多项式，
其系数由初始值决定。

7.不动点法：形如1n n n a a b a c a d +⋅+=⋅+（0c ≠，0ad bc -≠且12a a ≠），2
12n n n a a b
a a a c
+⋅+=
⋅+的递推数列的通项问题常用不动点法解决. 类型I ：1n n n a a b a c a d +⋅+=
⋅+（0c ≠，0ad bc -≠且12a a ≠），令()ax b f x cx d
+=+.
（1）若()f x x =有两个不相等的实数根12x x 、，则
111122
n n n n a x a x
A a x a x ++--=--（其中
1
2
a cx A a cx -=
-），即数列12n n a x a x ⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭
成等比数列，公比为A ，则可求n a . （2）若()f x x =有两个相等的实数根0x ，则
100
11
n n A a x a x +=+--（其中
2c
A a d =+），即数列01n a x ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭
成等差数列，公差为A ，则可求n a .
（拓展）类型II ：2
12n n n a a b
a a a c
+⋅+=⋅+，令2()2ax b f x ax c +=+.
（1）若()f x x =有两个不相等的实数根12x x 、，即21112ax b x ax c +=+、2
2222ax b
x ax c
+=+，
从而有
2110
ax cx b +-=、
2
220
ax cx b +-=，所以
2211111111222n n n ax b ax a x c ax b
a x x ax c a a c
++--+-=-=
+⋅+ 2
22
1112()22n n n n n a a ax a ax a a x a a c a a c
⋅-+-==
⋅+⋅+. 同理可得2212()2n n n a a x a x a a c +--=⋅+. 所以，两式相除，得
2111122()n n n n a x a x a x a x ++--=--，令12
n n n a x b a x -=-，则2
1n n b b +=，两边取对
数，不难得到n b 的通项公式，从而可得n a .
（2）若()f x x =有两个相等的实数根0x ，则可得02c
x a
=-
，240c ab +=. 由2122n n n a a b c
a a a a c
+⋅++=
⋅+，令2n n c b a a =+，化简可得12n n b b +=，因此{}n b 是等比数列.
三．周期数列：
对于数列{}n a ，如果存在一个常数T （*T N ∈），使得对任意的正整数0n n >，恒有n T n a a +=成立，则称数列{}n a 是从第0n 项起的周期为T 的周期数列。

若
01n =，则称数列{}n a 为纯周期数列，若02n ≥，则称数列{}n a 为混周期数列，T 的最小值称为最小正周期，简称周期。

周期数列主要有以下性质： ①周期数列是无穷数列，其值域是有限集；
②周期数列必有最小正周期（这一点与周期函数不同）；
③如果T 是数列{}n a 的周期，则对于任意的*k N ∈，kT 也是数列{}n a 的周期； ④如果T 是数列{}n a 的最小正周期，M 是数列{}n a 的任一周期，则必有|T M ，即M kT =，*k N ∈；
⑤已知数列{}n a 满足n t n a a +=（,*n t N ∈，t 为常数），,n n S T 分别为{}n a 的前n 项的和与积，若n qt r =+，0r t ≤<，,*q r N ∈，则n t r S qS S =+，()q n t r T T T =；
⑥设数列{}n a 是整数数列，m 是某个取定大于1的自然数，若n b 是n a 除以m 后的余数，即(mod )n n b a m =，且{0,1,2,
1}n b m ∈-，则称数列{}n b 是{}n a 关于m 的
模数列，记作{(mod )}n a m 。

若模数列{(mod )}n a m 是周期的，则称{}n a 是关于模m 的周期数列。

⑦任意k 阶齐次线性递归数列都是模m 的周期数列。

四．阶差数列：
对于一个给定的数列{}n a ，把它的连续两项1n a +与n a 的差1n n a a +-记为n b ，得到一个新数列{}n b ，把数列{}n b 称为原数列{}n a 的一阶差数列；如果
1n n n c b b +=-，则称数列{}n c 是数列{}n b 的一阶差数列，{}n c 是{}n a 的二阶差数列；
依此类推，可以得到数列{}n a 的p 阶差数列，其中*p N ∈。

如果某一数列的p 阶差数列是一非零常数列，则称该数列为p 阶等差数列。

其实一阶等差数列就是我们通常说的等差数列；高阶等差数列是二阶或二阶以上等差数列的统称。

高阶等差数列具有以下性质：
①如果数列{}n a 是p 阶等差数列，则它的一阶差数列是1p -阶等差数列； ②数列{}n a 是p 阶等差数列的充要条件是：数列{}n a 的通项是关于n 的p 次多项式；
③如果数列{}n a 是p 阶等差数列，则其前n 项之和n S 是关于n 的1p +次多项式。

三、典例精讲 四、
例1．（2011复旦）设10x >，13(1)
3n n n
x x x ++=
+，1,2,3,
n =，那么（ ）
（A ）数列{}n x 是单调增的 （B ）数列{}n x 是单调减的 （C ）数列{}n x 或是单调增的，或是单调减的 （D ）数列{}n x 既非单调增的，
也非单调减的。

►答案：D
►分析与解答：
2
13(1)333n n n n n n n x x x x x x x ++--=-=
++。

显然0n x >
，若1x <{}n x
单调递增；若1x =
n x ={}n x
为常数列；若1x >{}n x 单调递减。

例2．（2010复旦）设010,1x x ==，1
12
n n n x x x -++=
，则数列{}n x 的极限为（ ） （A ）23 （B ）13 （C
（D ）12
►分析与解答：
递推数列对应的特征方程为221t t =+，(21)(1)0t t +-=，121
,12
t t =-=，故
12n
n x U V ⎛⎫=⋅-+ ⎪⎝⎭。

再由010,1x x ==，有01
12U V U V +=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，解得23
23U V ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
所以，212
323
n
n x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭
从而{}n x 的极限为2
3。

故选A 。

例3．（2008武大）在数列{}n a 中，112,431,*n n a a a n n N +==-+∈。

（1）求证：数列{}n a n -是等比数列； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S 。

►分析与解答：
（1）由11431(1)4()n n n n a a n a n a n ++=-+⇒-+=-，这说明数列{}n a n -是一个公比为4的等比数列。

（2）由（1）知11114(1)4,4n n n n n a n a a n ----=-==+ 故1
411(144)(12)32
n n n n
S n n --+=++
++++
+=+
注：这是一道循序渐进的问题，第一问为第二问铺垫。

本题也可采用如下方法：对式子1431n n a a n +=-+两边同时除以14n +，也可以解答。

例4．已知数列{}n a 满足),0(0253,,1221N n n a a a b a a a n n n ∈≥=+-==++，求数列{}n a 的通项公式。

►分析与解答：
解法一（待定系数——迭加法）
由025312=+-++n n n a a a ，得
)(3
2
112n n n n a a a a -=
-+++， 且a b a a -=-12。

则数列{}n n a a -+1是以a b -为首项，
3
2
为公比的等比数列，于是 11)3
2
)((-+-=-n n n a b a a 。

把n n ,,3,2,1⋅⋅⋅=代入，得
a b a a -=-12，
)32
()(23⋅-=-a b a a ，
234)3
2
()(⋅-=-a b a a ，
•••
21)32
)((---=-n n n a b a a 。

把以上各式相加，得
])3
2()32(321)[(21-+⋅⋅⋅+++-=-n n a b a a )(3
21)32(11
a b n ---=
-。

a b b a a a b a n n n 23)3
2
)((3)]()32(33[11-+-=+--=∴--。

解法二（特征根法）：数列{}n a ：),0(025312N n n a a a n n n ∈≥=+-++， b a a a ==21,
的特征方程是：02532=+-x x 。

3
2,121=
=x x , ∴1
211--+=n n n Bx Ax a 1)3
2(-⋅+=n B A 。

又由b a a a ==21,，于是
⎩⎨
⎧-=-=⇒⎪⎩
⎪
⎨⎧+=+=)(32332b a B a b A B A b B
A a 故1)3
2
)((323--+-=n n b a a b a
例5．（2003上海交大）数列{}n a 满足：12211,3,32n n n a a a a a ++===+，求n a 和lim n n a →∞。

►分析与解答：
由2132n n n a a a ++=+，知2121
33
n n n a a a ++=
+。

令21121222()333n n n n n n n a a a a a a a λλλλλ+++++⎛⎫⎛⎫+=++⇒=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故21
33λλ⎛⎫+= ⎪⎝⎭
，
22110,333
λλλ+-==或1-。

13λ=时，数列211
3
n n a a +++是一个常数列，
212111110
33333
n n a a a a +++=+=+=。

1λ=-时，数列21{}n n a a ++-是一个公比为1
3
-的等比数列。

2121111()(31)2333n n n
n n a a a a ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫
-=--=--=⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
由①、②可得 1141015312333223n
n
n n a a ++⎛⎫
⎛⎫=-⨯-⇒=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，从而
915
232
n
n a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，故
5lim 2
n →∞
=。

注：对形如11n n n a pa qa +-=+(,p q 为常数，,0p q ≠）的数列求通项问题，可采用如下方法：引入参数λ，11()()n n n n a a p a a λλλ+-+=++，()p q λλ+=，得到一个关于λ的方程20p q λλ+-=。

设两根为12,λλ。

若12λλ≠，可得到两个等比数列，联立消去1n a +或n a 即可；若12λλ=，仍可得到形如11,2()n n a a f n λ++=（关于n 的一个函数），它就是知识拓展中提到的类型4。

这种方法本质上是特征根法。

①
②
例6．已知数列}{n a 满足性质：对于14
N,,23
n n n a n a a ++∈=+且,31=a 求}{n a 的通项
公式.
►分析与解答： 依定理作特征方程,3
24
++=
x x x 变形得,04222=-+x x 其根为.2,121-==λλ故特征方程有两个相异的根，使用定理2的第（2）部分，则有
.N ,)2
21211(2313)(1
1212111∈⋅-⋅-⋅+-=--⋅--=
--n r p r p a a c n n n λλλλ
∴.N ,)5
1(521
∈-=
-n c n n ∴.N ,1)5
1(521
)51
(5221
1112∈----⋅-=--=--n c c a n n n n
n λλ 即.N ,)5(24
)5(∈-+--=n a n
n n
练习1：已知数列}{n a 满足：对于,N ∈n 都有.3
25
131+-=+n n n a a a
（1）若,51=a 求;n a （2）若,31=a 求;n a （3）若,61=a 求;n a
（4）当1a 取哪些值时，无穷数列}{n a 不存在？ ►分析与解答：
作特征方程.3
25
13+-=
x x x 变形得,025102=+-x x 特征方程有两个相同的特征根.5=λ依定理2的第（1）部分解答. (1)∵∴=∴=.,511λa a 对于,N ∈n 都有;5==λn a (2)∵.,311λ≠∴=a a ∴λ
λr p r
n a b n --+-=
)1(11
51131
)1(531⋅-⋅
-+-=
n ,8121-+-=n
令0=n b ，得5=n .故数列}{n a 从第5项开始都不存在， 当n ≤4，N ∈n 时，5
17
51--=+=
n n b a n n λ. (3)∵,5,61==λa ∴.1λ≠a ∴.,8
1
1)1(11N n n r p r n a b n ∈-+=--+-=
λλ 令,0=n b 则.7n n ∉-=∴对于.0b N,n ≠∈n ∴.N ,743
558
1111
∈++=+-+
=+=
n n n n b a n
n λ (4)、显然当31-=a 时，数列从第2项开始便不存在.由本题的第（1）小题的解答过程知，51=a 时，数列}{n a 是存在的，当51=≠λa 时，则有
.N ,8151)1(111∈-+-=--+-=
n n a r p r n a b n λλ令,0=n b 则得N ,1
13
51∈--=n n n a 且n ≥2. ∴当1
13
51--=
n n a （其中N ∈n 且N ≥2）时，数列}{n a 从第n 项开始便不存在. 于是知：当1a 在集合3{-或
,:1
13
5N n n n ∈--且n ≥2}上取值时，无穷数列}{n a 都不存在.
例7．（2011“卓越联盟”）设数列{}n a 满足1221,,2n n n a a a b a a a ++===+。

（1）设1n n n b a a +=-，证明：若a b ≠，则{}n b 是等比数列； （2）若12lim()4n n a a a →∞
++
+=，求,a b 的值。

►分析与解答：
（1）由212n n n a a a ++=+得2112()()n n n n a a a a +++-=--。

令1n n n b a a +=-，则
11
2
n n b b +=-。

所以{}n b 是公比为1
2
-的等比数列，首项为b a -。

（2）若a b =，则{}n a 是常数列，12n a a a na ++=，显然不适合题意；当a b
≠时，由（1）知，
1
112n n b b -⎛⎫=-⋅ ⎪
⎝⎭
，即1
11()2n n n a a b a -+⎛⎫
-=-- ⎪
⎝⎭。

所以11
21
1
21321111(),(),
()222n n n a a b a a a b a a a b a ---+⎛⎫⎛⎫
⎛⎫
-=---=---=-- ⎪ ⎪
⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭。

以上各式相加：
11112()112n
n a a b a +⎛⎫-- ⎪
⎝
⎭
-=-⋅⎛⎫-- ⎪⎝⎭
，
12
1()132n n a a b a +⎡⎤⎛⎫=+---⎢⎥
⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦
，即
12
1()132n n a a b a -⎡⎤⎛⎫=+---⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦
，
所以
1211224412()()()()13399212n
n n a a a na b a n na b a n b a b a ⎡⎤
⎛⎫--⎢⎥
⎪⎛⎫⎝⎭⎢⎥++
=+--=+---+-- ⎪⎢⎥⎛⎫⎝⎭-- ⎪⎢
⎥⎝⎭⎣
⎦。

由于1lim()4n n a a →∞
+
+=，
所以24
()0,()439
a b a b a +-=--=，解得：6,3a b ==-。

例8．（2010五校联考）设函数()1
x m
f x x +=
+，且存在函数()s t at b ϕ==+（1
,02
t a >≠），满足
2121
t s f t s -+⎛⎫= ⎪⎝⎭。

（1）证明：存在函数()(0)t s cs d s ψ==+>，满足2121
s t f s t +-⎛⎫=
⎪⎝⎭； （2）设113,(),1,2n n x x f x n +===证明：1
1
|2|3n n x --≤。

►分析与解答：
（1）21
2121(2)121
21311
t m
t t mt m t t f t t t t t t
-+--++-⎛⎫=== ⎪--+-⎝⎭+，212()1221
s at b at b s at b at b +++++==
++， 所以(2)1221[(2)1]()(31)(221)31m t at b m t at b t at b t at b
+-++=⇒+-+=-++-+。

即
22(2)(2)6(632)(21)m at bm b a t b at b a t b +++--=++--+。

上式对一切1
2
t >
恒成立必有 (2)6,
4,
2632,3,21,1,
0m a a m bm b a b a a b b b a +=⎧=⎧⎪+-=+-⎪⎪
⇒=⎨⎨-=--⎪⎪=-⎩⎪≠⎩
所以4(),()311x f x s t t x ϕ+===-+。

又12421161213121
s s s f f s s s s
++++⎛⎫⎛⎫=+== ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭++，212()1221t cs d cs d t cs d cs d -+-+-==++。

由22612216(6)6(632)2131s cs d cs d c s d cs d c s d s cs d
++-=⇒+++=+-++-++， 所以6632,3,211d c d c c d d d +=-+=⎧⎧⇒⎨⎨
=-=⎩⎩ 故存在函数()31s s ψ=+； （2）由14
1
n n n x x x ++=
+，考虑数列的不动点，设为λ，则41λλλ+=+，24,2λλ==±。

143(2)
2211n n n n n x x x x x ++++=
+=++ 14(2)
2211
n n n n n x x x x x ++---=-=++
①
②有1122322
n n n n x x x x ++++=-⋅--， 所以22n n x x ⎧⎫+⎨⎬
-⎩⎭
为公比3-的等比数列，且首项为5。

所以12
5(3)2n n n x x -+=⨯--，①
②
14
15(3)2
n n x -+
=⨯--， 11
44
2,|2|5(3)15(3)1
n n n n x x ---=
-=⨯--⨯--。

所以11111
141
|2|43|5(3)1|35(3)13
n n n n n n x ------≤
⇔≤⇔⨯≤⨯--⨯--。

（* ） 若2n k =，则12121|5(3)1|53143n k k ---⨯--=⨯+≥⨯；
若21n k =-，则222222222243|5(3)1|4353113k k k k k -----⨯≤⨯--⇔⨯≤⨯-⇔≤，显然成立。

综上，（*）式成立。

注：本题的第（2）问用到了不动点求递推数列通项的方法。

五、 真题训练
1．（2006复旦）{}n a 是正数列，其前n 项和为n S ，满足：对一切n Z +∈，n a 和2
的等差中项等于n S 和2的等比中项，则lim
n
n a n
→∞=（ ）。

（A ）0 （B ）4 （C ）12 （D ）100
2．（2008复旦）设{}n a 是正数数列，其前n 项和为n S ，满足：对所有正整数n ，
n a 与2的等差中项等于n S 与2的等比中项，则2
lim
4n n
n S a n →∞-=（ ）
（A ）0 （B ）1 （C ）12 （D ）1
4
3．（2009复旦）设数列{}n a 、{}n b 满足1,1,2,3n n n b a a n -=-=，如果00a =，
11a =，且{}n b 是公比为2的等比数列，又设12n n S a a a =+++，则lim
n
n n
S a →∞=（ ） （A ）0 （B ）1
2
（C ）1 （D ）2
4．（2007复旦）已知数列{}n a 满足134n n a a ++=（1n ≥），且19a =，其前n 项之
和为n S ，则满足不等式1
|6|125
n S n --<
的最小整数n 是（ ）。

（A ）6 （B ）7 （C ）8 （D ）9
5．（2001上海交大）数列1,3,2,中，21n n n a a a ++=-，则100
1
i i a ==∑ 。

6．（2004上海交大）已知数列{}n a 满足121,2,a a ==且2132n n n a a a ++=-，则
2004a = 。

7．（2004上海交大）已知{}n b 为公差为6的等差数列，1(*)n n n b a a n N +=-∈。

（1）用11,,a b n 表示数列{}n a 的通项公式；
（2）若11,[27,33]a b a a =-=∈，求n a 的最小值及取最小值时n 的值。

8．（2000上海交大）在{}n a 中，14,n a a ==。

（1）求证：11
|3||3|3
n n a a --<-；
（2）求lim n n a →∞。

9．（2010浙大）
如图，y =求第n 个正三角形的边长n a 。

10.（2004复旦）已知数列{},{}n n a b 满足12n n n a a b +=--，且166n n n b a b +=+，又
112,4a b ==。

求：
（1）,n n a b ； （2）lim n
n n
a b →∞。

真题训练答案 1.【答案】B
【分析与解答】：
2
222,22n n n a a S ++⎛⎫
== ⎪⎝⎭
2
11222n n a S --+⎛⎫= ⎪⎝⎭。

11
11222(2),(4)()8222n n n n n n n n n n a a a a a n a a a a a ----++-⎛⎫+=≥++-= ⎪⎝⎭
2211111440()()4()0n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a -----⇒---=⇒+--+= 11()(4)0n n n n a a a a --⇒+--=，故14n n a a --=（因为10n n a a -+≠）。

又
112
22a a +=⇒=，故2(1)442n a n n =+-⋅=-。

2
4n a n n
=-，即lim 4n n a n →∞=。

2.【答案】C
【分析与解答】：由题1知2142,2,2(1)422
n n n
a n a S n n n =-==+-⋅=，故
2222(42)44n n S a n n n n ---=，即21
lim 42
n n n S a n →∞-=。

3.【答案】D
【分析与解答】：1121112211,2,2,2,,2n n n n n n n n b b a a a a a a ------===+=+=+，累
加可得
211122221,22n n n n n n a a S n --+=++
++=-=--。

所以lim
2n
n n
S a →∞=。

4.【答案】B 【分析与解答】：
由134n n a a ++=，知11433n n a a +=-+，令11()3n n a a λλ++=-+，即11433
n n a a λ+=--，
从而44
,133
λλ-==-，故{1}n a -是公比为13-的等比数列。

1
1
1111(1)(91)33n n n a a --⎛⎫
⎛⎫
-=--=-- ⎪
⎪
⎝⎭
⎝⎭
，1
1183n n a -⎛⎫
=+⨯- ⎪
⎝⎭
，
从而0
1
1
1111131818188133313n
n n S n -⎛⎫
-- ⎪⎛⎫⎛⎫
⎛⎫
⎝
⎭=+⨯-++⨯-+
+⨯-=+⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭
⎝⎭-- ⎪⎝⎭。

111111|6|6312537503750n
n
n
n S n ⎛⎫
⎛⎫⎛⎫
--=⨯-<⇒
-<⇒< ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
⎝⎭，解得7n ≥，故选B 。

注：对形如1n n a pa q +=+（,p q 为常数，且0,1,0p q ≠≠）的数列求通项的方法是用待定系数法引入参数λ：1()n n a p a λλ++=+，从而构成等比数列。

5.【答案】5
【分析与解答】：归纳易知原数列周期为6且6
1
0i i a ==∑，故100
4
1
1
5i i i i a a ====∑∑。

6.【答案】20032 【分析与解答】：
解法一：12341,2,4,8a a a a ====，归纳易知12n n a -=。

解法二：特征方程2320x x -+=，特征根为121,2x x ==。

12n n n a αβ=⋅+⋅，由1
20,21,1422
a a ααβαββ=⎧=+=⎧⎪⇒⎨⎨=+==
⎩⎪⎩故11222n n n
a -=⋅=。

7.【分析与解答】：（1）211322
11
,
,n n n a a b a a b a a b ---=⎧⎪-=⎪⎨⎪⎪-=⎩故
112111
(1)(2)62
n n n a a b b b n b n ---=+++=-+
-⋅，
11(1)3(1)(2)n a a n b n n =+-+--
（2）2
2
2
3(3)(1)3(1)(2)3(1)(3)(1)31612n a a a a n a n n n a n a n a ++⎛
⎫=--+--=--+-+=--+- ⎪
⎝
⎭
3[5,6]6a +∈，考虑临界3
5.5,306
a a +==。

若[27,30)a ∈，则6a 最小；若30a =，则67a a =最小；若(30,33]a ∈，则7a 最小。

8.【分析与解答】：
（1
）11(3)(3)3|3||3||3|n n n n n n n a a a a a a a --=⇒-+=-⇒-⋅+=-，故
11|3|1
|3||3||3|3
n n n n a a a a ----=
<-+（因为0n a >）。

（2）由（1）得121
211
11
11
|3||3||3||3|3333n n n n n a a a a -----<-<
-<
<
-=。

当n →∞时，知|3|0n a -→，即lim 3n n a →∞
=。

9.【分析与解答】：
解法一：0
13tan 60y x y x ⎧=⎪⇒=⎨=⋅⎪⎩，故1223a x ==。

0
143tan 60()
y x y x a ⎧=⎪⇒=⎨=-⎪⎩
，故2142()3a x a =-=。

假设23
n n
a =
对n k ≤时成立，则当1n k =+时， 20
1(1)3tan 60k i i y k x y x a =⎧=+⎪⇒=⎨⎛⎫=-⎪ ⎪
⎝⎭⎩
∑，故112(1)23k
k i i k a x a +=+⎛⎫=-= ⎪⎝⎭∑。

由数学归纳法可知23
n n
a =对
*n N ∀∈成立。

解法二：记第n 个正三角形的边长为n a ，易见它的顶点坐标
为
1212n n n a a a a -⎛⎫++++
⎪ ⎪⎝
⎭
，它在y 的图像上，于是有
12
n n a a -=++
， 即21213
422
n n n n n a a a a a a S -=++++=-， 即2211133
,4242n n n n n n a a a S a S ++++=+=。

两式相减， 221111113131
()()()()()04242
n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a ++++++-+-=⇒+--+= 12
3
n n a a +⇒-=，且123a =，所以{}n a 是一个以23为公差的等差数列，故23n a n =。

10.【分析与解答】：11
2,66n n n n n n a a b b a b ++=--⎧⎨=+⎩
由②，11(6)6n n n a b b +=-，代入①中，得21111
(6)(6)266n n n n n b b b b b +++-=---⇒
21560n n n b b b ++-+=。

由2560x x -+=，得122,3x x ==，故23n n n b αβ=⋅+⋅，易得236b =。

1212,
423,2836493b b ααβαββ=-⎧==+⎧⎪⇒⎨⎨==+=⎩⎪⎩
故21281223322833n
n n n n
b +-=-⋅+⋅=-⋅+⋅，312143n n n a +-=-⋅，1
lim 2n n n
a b →∞=-。

① ②。