不等式与线性规划 (2)

第6练 处理好“线性规划问题”的规划
题型一 不等式组所确定的区域问题
例1 已知点M (x ，y )的坐标满足不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x －2≤0，y －1≤0，
x ＋2y －2≥0，则此不等式组确定的平面区域
的面积S 的大小是( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 题型二 求解目标函数在可行域中的最值问题 例2 若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y ≤2，x ≥1，
y ≥0，则z ＝2x ＋y 的最大值与最小值的和为________．
题型三 利用线性规划求解实际应用题
例3 某旅行社租用A ，B 两种型号的客车安排900人旅行，A ，B 两种客车的载客量分别为36人和60人，租金分别为1600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B 型车不多于A 型车7辆，则租金最少为( )
A ．31200元
B ．36000元
C ．36800元
D ．38400元 题型四 简单线性规划与其他知识的综合性问题 例4 设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
y ≤3x －2，x －2y ＋1≤0，
2x ＋y ≤8，
则lg(y ＋1)－lg x 的取值范围为( )
A ．[0,1－2lg 2]
B ．[1，52]
C ．[1
2
，lg2] D ．[－lg 2,1－2lg 2]
1．实数x ，y 满足⎩
⎪⎨⎪⎧
y ≥|x －1|，
y ≤1，则不等式组所围成图形的面积为( )
A ．4
B ．2 C.1
2
D ．1
2．已知O 是坐标原点，点A (－1，1)，若点M (x ，y )为平面区域⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y ≥2，x ≤1，
y ≤2
上的一个动点，
则OA →·OM →的取值范围是( )
A ．[－1,0]
B ．[0,1]
C ．[0,2]
D ．[－1,2] 3．(2014·广东)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧
y ≤x ，x ＋y ≤1，
y ≥－1，且z ＝2x ＋y 的最大值和最小值分别为
m 和n ，则m －n 等于( )
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
4．设m >1，在约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
y ≥x ，y ≤mx ，
x ＋y ≤1下，目标函数z ＝x ＋my 的最大值小于2，则m 的取值范
围为( )
A ．(1,1＋2)
B ．(1＋2，＋∞)
C ．(1,3)
D ．(3，＋∞)
5．若P 是满足不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
y ≤x ，x ＋y －2≤0，y >0表示的平面区域内的任意一点，点P 到直线3x ＋4y
－12＝0的距离为d ，则d 的取值范围是( )
A ．[1，125]
B ．[1，125)
C ．(1，65)
D ．(3
4，1]
6．设关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
2x －y ＋1>0，x ＋m <0，
y －m >0表示的平面区域内存在点P (x 0，y 0)，满足x 0－
2y 0＝2，则m 的取值范围是( )
A ．(－∞，－43)
B ．(－∞，13)
C ．(－∞，－23)
D ．(－∞，－5
3
)
7．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x －y ＋2≥0，x －5y ＋10≤0，
x ＋y －8≤0，
则目标函数z ＝3x －4y 的最大值为________．
8．已知不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x ≤1，x ＋y ＋2≥0，
kx －y ≥0表示的平面区域为Ω，其中k ≥0，则当Ω的面积取得最
小值时，k 的值为________．
9．4件A 商品与5件B 商品的价格之和不小于20元，而6件A 商品与3件B 商品的价格之和不大于24，则买3件A 商品与9件B 商品至少需要________元． 10．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧
2x －y ＋2≥0，8x －y －4≤0，
x ≥0，
y ≥0，若目标函数z ＝abx ＋y (a >0，b >0)的最大值为8，
则a ＋b 的最小值为________． 11．给定区域D ：⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋4y ≥4，x ＋y ≤4，
x ≥0.
令点集T ＝{(x 0，y 0)∈D |x 0，y 0∈Z ，(x 0，y 0)是z ＝x ＋y 在D
上取得最大值或最小值的点}，则T 中的点共确定________条不同的直线． 12．已知t 是正实数，如果不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y ≤t ，x －y ≤0，
x ≥0表示的区域内存在一个半径为1的圆，则
t 的最小值为________．
第6练 处理好“线性规划问题”的规划
题型一 不等式组所确定的区域问题
例1 已知点M (x ，y )的坐标满足不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x －2≤0，y －1≤0，
x ＋2y －2≥0，则此不等式组确定的平面区域
的面积S 的大小是( ) A ．1B ．2 C ．3D ．4
破题切入点 先画出点M (x ，y )的坐标满足的可行域，再研究图形的形状特征，以便求出其面积． 答案 A
解析 作出不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x －2≤0，y －1≤0，x ＋2y －2≥0表示的平面区域，
如图所示，
则此平面区域为△ABC 及其内部， 且点A (2,0)，B (0,1)，C (2,1)， 于是，S ＝1
2
×2×1＝1.故选A.
题型二 求解目标函数在可行域中的最值问题 例2 若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y ≤2，x ≥1，
y ≥0，
则z ＝2x ＋y 的最大值与最小值的和为________．
破题切入点 先根据已知约束条件画出可行域，再利用目标函数z ＝2x ＋y 的几何意义，即可
求得最大值与最小值． 答案 6
解析 画出可行域，如图所示，由图象，
可得当y ＝－2x ＋z 经过点B (2,0)时，z max ＝4； 当y ＝－2x ＋z 经过点A (1,0)时，z min ＝2.故填6. 题型三 利用线性规划求解实际应用题
例3 某旅行社租用A ，B 两种型号的客车安排900人旅行，A ，B 两种客车的载客量分别为36人和60人，租金分别为1600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B 型车不多于A 型车7辆，则租金最少为( ) A ．31200元B ．36000元 C ．36800元D ．38400元
破题切入点 设租用A ，B 两种型号的客车分别为x 辆，y 辆，总租金为z 元，可得目标函数z ＝1600x ＋2400y .结合题意，建立关于x ，y 的不等式组，计算A ，B 型号客车的人均租金，可得租用B 型车的成本比A 型车低，因此在满足不等式组的情况下尽可能多地租用B 型车，可使总租金最低． 答案 C
解析 设租用A ，B 两种型号的客车分别为x 辆，y 辆， 所用的总租金为z 元，则z ＝1600x ＋2400y ， 其中x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
36x ＋60y ≥900，y －x ≤7，
y ＋x ≤21.(x ，y ∈N )
画出可行域，可知在x ＝5，y ＝12时， 可载客36×5＋60×12＝900(人)，
符合要求且此时的总租金z ＝1600×5＋2400×12＝36800，达到最小值．故选C. 题型四 简单线性规划与其他知识的综合性问题 例4 设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
y ≤3x －2，x －2y ＋1≤0，
2x ＋y ≤8，则lg(y ＋1)－lg x 的取值范围为( )
A ．[0,1－2lg 2]
B ．[1，5
2]
C ．[1
2
，lg2] D ．[－lg 2,1－2lg 2]
破题切入点 先画出不等式组所确定的可行域，将目标函数化为lg y ＋1
x ，利用数形结合的方
法解t ＝y ＋1
x 的最值，然后确定目标函数的最值，从而求其范围．
答案 A
解析 如图所示，作出不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
y ≤3x －2，x －2y ＋1≤0，
2x ＋y ≤8
确定的可行域．
因为lg(y ＋1)－lg x ＝lg y ＋1x ，设t ＝y ＋1
x
，
显然，t 的几何意义是可行域内的点P (x ，y )与定点E (0，－1)连线的斜率． 由图，可知点P 在点B 处时，t 取得最小值； 点P 在点C 处时，t 取得最大值．
由⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋1＝0，2x ＋y ＝8，解得⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝3，y ＝2，即B (3,2)；
由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝3x －2，2x ＋y ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝2，y ＝4，
即C (2,4)． 故t 的最小值为k BE ＝
2－(－1)
3
＝1， t 的最大值为k CE ＝4－(－1)2＝5
2，
所以t ∈[1，5
2
]．
又函数y ＝lg x 为(0，＋∞)上的增函数， 所以lg t ∈[0，lg 5
2
]，
即lg(y ＋1)－lg x 的取值范围为[0，lg 5
2]．
而lg 5
2
＝lg5－lg2＝1－2lg2，
所以lg(y ＋1)－lg x 的取值范围为[0,1－2lg 2]． 故选A.
总结提高 (1)准确作出不等式组所确定的平面区域是解决线性规划问题的基础．
(2)求解线性目标函数的最大值或最小值时，一般思路是先作出目标函数对应的过原点的直线y ＝kx ，再平移此直线．
(3)求解线性规划应用题的一般步骤：①设出未知数；②列出线性约束条件；③建立目标函数；④求出最优解；⑤转化为实际问题．
1．实数x ，y 满足⎩
⎪⎨⎪⎧
y ≥|x －1|，y ≤1，则不等式组所围成图形的面积为( )
A ．4
B ．2C.1
2
D ．1
答案 D
解析 实数x ，y 满足
⎩
⎪⎨⎪⎧
y ≥|x －1|，y ≤1， 它表示的可行域如图所示．
不等式组所围成的图形是三角形，其三个顶点的坐标分别为(1,0)，(0,1)，(2,1)， 所以所围成图形的面积为1
2
×2×1＝1.故选D.
2．已知O 是坐标原点，点A (－1，1)，若点M (x ，y )为平面区域⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y ≥2，x ≤1，
y ≤2上的一个动点，
则OA →·OM →
的取值范围是( ) A ．[－1,0]B ．[0,1]C ．[0,2]D ．[－1,2] 答案 C
解析 作出可行域，如图所示，由题意OA →·OM →＝－x ＋y .
设z ＝－x ＋y ，作l 0：x －y ＝0，易知，过点(1,1)时z 有最小值，z min ＝－1＋1＝0；过点(0,2)时z 有最大值，z max ＝0＋2＝2，∴OA →·OM →
的取值范围是[0,2]． 3．(2014·广东)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧
y ≤x ，x ＋y ≤1，
y ≥－1，且z ＝2x ＋y 的最大值和最小值分别为
m 和n ，则m －n 等于( ) A ．5B ．6C ．7D ．8 答案 B
解析 画出可行域，如图阴影部分所示． 由z ＝2x ＋y ，得y ＝－2x ＋z .
由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ，y ＝－1得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝－1，
y ＝－1，
∴A (－1，－1)．
由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝1，y ＝－1得⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝2，y ＝－1， ∴B (2，－1)．
当直线y ＝－2x ＋z 经过点A 时，z min ＝2×(－1)－1＝－3＝n .当直线y ＝－2x ＋z 经过点B 时，z max ＝2×2－1＝3＝m ，故m －n ＝6. 4．设m >1，在约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
y ≥x ，y ≤mx ，
x ＋y ≤1下，目标函数z ＝x ＋my 的最大值小于2，则m 的取值范
围为( )
A ．(1,1＋2)
B ．(1＋2，＋∞)
C ．(1,3)
D ．(3，＋∞) 答案 A 解析
变形目标函数为y ＝－1m x ＋z m ，由于m >1，所以－1<－1
m <0，不等式组表示的平面区域如图中
阴影部分所示．根据目标函数的几何意义，只有直线y ＝－1m x ＋z
m
在y 轴上的截距最大时，
目标函数取得最大值．显然在点A 处取得最大值，由⎩
⎪⎨⎪⎧
y ＝mx ，
x ＋y ＝1，得交点A ⎝⎛⎭⎫11＋m ，m 1＋m ，
所以目标函数的最大值是11＋m ＋m 2
1＋m <2，即m 2－2m －1<0，
解得1－2<m <1＋2，故m 的取值范围是(1,1＋2)．
5．若P 是满足不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
y ≤x ，x ＋y －2≤0，y >0表示的平面区域内的任意一点，点P 到直线3x ＋4y
－12＝0的距离为d ，则d 的取值范围是( ) A ．[1，125] B ．[1，125) C ．(1，65) D ．(3
4，1]
答案 B 解析
作出可行域为△AOB (但不包括OB 上的点)及直线3x ＋4y －12＝0，如图所示． 结合图形，可知点A (1,1)到直线3x ＋4y －12＝0的距离最小， 最小值d min ＝|3＋4－12|
5
＝1；
原点O (0,0)到直线3x ＋4y －12＝0的距离最大， 最大值d max ＝|0×3＋0×4－12|5＝12
5.
又y >0，所以d ∈[1，12
5
)．
6．设关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
2x －y ＋1>0，x ＋m <0，
y －m >0表示的平面区域内存在点P (x 0，y 0)，满足x 0－
2y 0＝2，则m 的取值范围是( ) A ．(－∞，－43) B ．(－∞，1
3)
C ．(－∞，－23)
D ．(－∞，－5
3
)
答案 C
解析 问题等价于直线x －2y ＝2与不等式组所表示的平面区域存在公共点，由于点(－m ，m )不可能在第一和第三象限，而直线x －2y ＝2经过第一、三、四象限，则点(－m ，m )只能在第四象限，可得m <0，不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，要使直线x －2y ＝2与阴影部分有公共点，则点(－m ，m )在直线x －2y －2＝0的下方，故－m －2m －2>0，即m <－23
.
7．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x －y ＋2≥0，x －5y ＋10≤0，
x ＋y －8≤0，则目标函数z ＝3x －4y 的最大值为________．
答案 3
解析 如图所示，作出不等式组所表示的可行域，故当直线y ＝34x －1
4z 在x 轴上的截距取得
最大值时，目标函数取得最大值．由图，可知当y ＝34x －1
4
z 经过点C 时z 取得最大值，由
⎩⎪⎨⎪⎧ x －5y ＋10＝0，x ＋y －8＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝5，y ＝3，
即C (5,3)，故目标函数的最大值为z ＝3×5－4×3＝3.
8．已知不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x ≤1，x ＋y ＋2≥0，
kx －y ≥0表示的平面区域为Ω，其中k ≥0，则当Ω的面积取得最
小值时，k 的值为________． 答案 1
解析 依题意作图，如图所示，要使平面区域Ω的面积最小，即使S △OAD ＋S △OBC 最小，又直线x ＋y ＋2＝0与y 轴的交点的坐标为A (0，－2)，直线x ＋y ＋2＝0与y ＝kx 的交点的坐标为D (－2k ＋1，－2k
k ＋1)，
直线y ＝kx 与x ＝1的交点的坐标为C (1，k )，k ≥0，
所以S △OAD ＋S △OBC ＝12|OA |·|x D |＋12|OB |·|y C |＝2k ＋1＋12·k ＝2k ＋1＋12＋k 2－12＝2
k ＋1＋k ＋12－12≥2
－12＝32，当且仅当2
k ＋1＝k ＋12时取等号，即k ＝1或k ＝－3(舍去)． 所以满足条件的k 的值为1.
9．4件A 商品与5件B 商品的价格之和不小于20元，而6件A 商品与3件B 商品的价格之和不大于24，则买3件A 商品与9件B 商品至少需要________元． 答案 22 解析
设1件A 商品的价格为x 元，1件B 商品的价格为y 元，买3件A 商品与9件B 商品需要z 元，则z ＝3x ＋9y ，其中x ，y 满足不等式
组⎩⎪⎨⎪⎧
4x ＋5y ≥20，6x ＋3y ≤24，x ≥0，y ≥0，作出不等式组表示的平面区域，如图所示，其中A (0,4)，B (0,8)，C (10
3
，
43
)． 当y ＝－13x ＋1
9z 经过点C 时，目标函数z 取得最小值．
所以z min ＝3×
103＋9×4
3
＝22. 因此当1件A 商品的价格为
103元，1件B 商品的价格为4
3
元时，可使买3件A 商品与9件B 商品的费用最少，最少费用为22元． 10．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧
2x －y ＋2≥0，8x －y －4≤0，
x ≥0，
y ≥0，若目标函数z ＝abx ＋y (a >0，b >0)的最大值为8，
则a ＋b 的最小值为________． 答案 4
解析 由z ＝abx ＋y ，得y ＝－abx ＋z ，所以直线的斜率为－ab <0，作出可行域，如图，由图象，可知当y ＝－abx ＋z 经过点B 时，z 取得最大值．
由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＋2＝0，8x －y －4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝1，
y ＝4，
即B (1,4)，代入z ＝abx ＋y ＝8，得ab ＋4＝8，即ab ＝4，所以a ＋b ≥2ab ＝4，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，所以a ＋b 的最小值为4. 11．给定区域D ：⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋4y ≥4，x ＋y ≤4，
x ≥0.
令点集T ＝{(x 0，y 0)∈D |x 0，y 0∈Z ，(x 0，y 0)是z ＝x ＋y 在D
上取得最大值或最小值的点}，则T 中的点共确定________条不同的直线． 答案 6
解析 线性区域为图中阴影部分，取得最小值时点为(0,1)，最大值时点为(0,4)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(4,0)，故共可确定6条．
12．已知t 是正实数，如果不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y ≤t ，x －y ≤0，
x ≥0表示的区域内存在一个半径为1的圆，则
t 的最小值为________． 答案 2＋2 2
解析 画出不等式组表示的平面区域，当t 是正实数时，所表示的区域为第一象限的一个等腰直角三角形．依题意，它有一个半径为1的内切圆，不妨设斜边|OB |＝t ，则两直角边长|AB |＝|OA |＝22t ，所以22t ＋2
2t －t 2＝1，求得t ＝
2
2－1＝22＋2，即t min ＝2＋2 2.。