2022-2023学年广东省广州市增城区八年级(下)期末数学试卷(含解析)

2022-2023学年广东省广州市增城区八年级（下）期末数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列各组数中，能构成直角三角形的是( )
A. 4，7，5
B. 3，4，5
C. 2，3，4
D. 1，2，2
2. 一组数据2、2、3、4、5，则这组数据的中位数是( )
A. 4
B. 3.5
C. 3
D. 2
3.
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，D为AB的中点，
则CD等于( )
A. 2cm
B. 2.5cm
C. 3cm
D. 4cm
4. 代数式1
x−1
有意义时，x应满足的条件为( )
A. x≠1
B. x≤1
C. x<1
D. x>1
5. 下列计算中，正确的是( )
A. 3+3=33
B. 23−3=3
C. 5×2=10
D. 6÷3=2
6. 关于x的一元二次方程x2+4x+m=0有两个不相等的实数根，则m的值可能是( )
A. 9
B. 6
C. 4
D. −1
7. A，B两名射击运动员进行了相同次数的射击，下列关于他们射击成绩的平均数和方差的
描述中，能说明A成绩较好且更稳定的是( )
A. −x
A >−x
B
且S2
A
>S2B B. −x A<−x B且S2A>S2B
C. −x
A >−x
B
且S2
A
<S2B D. −x A<−x B且S2A<S2B
8. 下列命题中正确的是( )
A. 对角线相等的四边形是矩形
B. 对角线互相垂直的四边形是菱形
C. 对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形
D. 一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形
9. 已知点(−2,y1)(−1,y2)(1,y3)都在直线y=−3x+b上，则y1，y2，y3的值的大小关系是( )
A. y3<y2<y1
B. y2<y1<y3
C. y1<y3<y2
D. y1<y2<y3
10. 如图，在平面直角坐标系中，直线a的解析式为y=3x+1，直线b的解析式为y=3
3 x，直线a交y轴于点A，以OA为边作第一个等边三角形△OAB，交直线b于点B，过点B作y轴的平行线交直线a于点，以为边作第二个等边三角形Δ A1BB1，交直线b于点B1，…顺次这样做下去，第2020个等边三角形的边长为( )
A. 22019
B. 22000
C. 4038
D. 4040
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 将直线y=2x向下平移2个单位，所得直线的函数表达式是______．
12. 已知x=1是一元二次方程x2+ax+2=0的一个根，则a的值为______ ．
13. 一组数据84，84，88，89，89，95，95，95，98，则这组数据的众数是______ ．
14. 计算：(42−6)÷2=______ ．
15.
如图，a//b，点A、B分别在直线a、b上，∠1=45°，点
C在直线b上，且∠BAC=105°，若a、b之间的距离为3，则线
段AC的长度为______ ．
16. 已知四边形ABCD中，AB=4，CD=6，M、N分别是AD，BC的中点，则线段MN的取值范围是______ ．
三、计算题（本大题共1小题，共4.0分）
17. 解方程：x2+4x+3=0．
四、解答题（本大题共8小题，共68.0分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
18. (本小题4.0分)
如图，在△ABC中，AB=10，BC=6，AC=8，求△ABC的面积．
19. (本小题6.0分)
已知一次函数的图象经过点(0,7)与(1,6)，求这个一次函数的解析式．
20. (本小题6.0分)
如图，某校为了解选报“引体向上”的八年级男生的成绩情况，随机抽取了本校部分选报“引体向上”的八年级男生进行测试，并将测试得到的成绩绘制成以下两幅不完整的统计图，请你根据图中的信息，解答下列问题：
(1)求扇形统计图中的a=______ ，并补全条形统计图；
(2)若该校选报“引体向上”的八年级男生共有200人，如果规定“引体向上”达6个以上(含6个)得满分，请你估计选报“引体向上”的八年级男生中，能获得满分的有多少名？
21. (本小题8.0分)
如图，在平行四边形ABCD中，已知AB>AD．
(1)尺规作图：延长BC，并在延长线上截取CF=AD，连接AF交CD于点E；(保留作图痕迹，不写作法)
(2)若CF=3，CE=2，求平行四边形ABCD的周长．
22. (本小题10.0分)
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，M为斜边AB上一动点，过M分别作MD⊥A C于点D，作ME⊥CB于点E．
(1)求证：四边形DMEC是矩形．
(2)求线段DE的最小值．
23. (本小题10.0分)
如图，为培养学生正确的劳动价值观和良好的劳动品质，某校为此规划出矩形苗圃ABCD，苗圃的一面靠墙(墙最长可用长度为15米)，另外三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开，分成面积相等的两个区域，并在两个区域中各留1米宽的门(门不用木栏)，修建所用木栏总长28米，设矩形ABCD的一边长CD为x米．
(1)求矩形ABCD的另一边长BC是多少米？(用含x的代数式表示)
(2)矩形ABCD的面积能否为72m2若能，求出CD的长；若不能，请说明理由．
24. (本小题12.0分)
x相交于点A．
如图，直线y=−2x+7与x轴、y轴分别相交于直C、B.与直线y=3
2
(1)求A点坐标；
(2)如果在y轴上存在一点P，使△OAP是以OA为底边的等腰三角形，求P点坐标；
(3)在直线y=−2x+7上是否存在点Q，使△OAQ的面积等于6？若存在，请求出Q点的坐标，若不存在，请说明理由．
25. (本小题12.0分)
如图1，在正方形ABCD中，AB=23，点E在边BC上，连接AE，且∠BAE=30°，点F是AE
的中点．
(1)求AE的长；
(2)过点F作直线GH，分别交AB，CD于点G，H，且GH=AE，求AG的长；
(3)如图2，过点F作AE的垂线，分别交AB，BD，CD于点M，O，N，连接OE，求∠AEO的度数．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A、∵42+52≠72，
∴以4，7，5为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
B、∵32+42=52，
∴以3，4，5为边能组成直角三角形，故本选项符合题意；
C、∵22+32≠42，
∴以2，3，4为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
D、∵12+22≠22，
∴以1，2，2为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：B．
根据三角形的三边关系定理和勾股定理的逆定理逐个判断即可．
本题考查了勾股定理的逆定理等知识点，能熟记勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：数据由小到大排序：2、2、3、4、5，
∴中位数为3．
故选：C．
将数据按由小到大的顺序排列后由中位数的定义可得答案．
本题考查了中位数，解答本题的关键是掌握中位数的定义，将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
3.【答案】B
【解析】解：∵直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
∴CD=1
AB=2.5cm．
2
故选B．
AB，故可直本题涉及到的知识点是“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，所以有CD=1
2
接求得结果．
此题主要是考查了直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
4.【答案】D
【解析】解：由题意得：x−1>0，
解得：x>1．
故选：D．
根据二次根式有意义时被开方数为非负数，分式有意义时分母不为零可求解x的取值范围．
本题主要考查二次根式有意义的条件及分式有意义的条件，根据二次根式及分式有意义的条件求解是解题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：A、3与3不是同类项，原计算错误，不符合题意；
B、23−3=3，原计算错误，不符合题意；
C、5×2=10，正确，符合题意；
D、6÷3=2，原计算错误，不符合题意．
故选：C．
根据二次根式混合运算的法则对各选项进行逐一分析即可．
本题考查的是二次根式的混合运算，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：∵关于x的一元二次方程x2+4x+m=0有两个不相等的实数根，
∴Δ=42−4m>0，
解得m<4．
故选：D．
根据一元二次方程根的情况的判别式可得Δ=b2−4ac>0，把各系数代入即可求出m的取值范围．本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握通过判别式判断一元二次方程根的情况是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：根据平均数越高成绩越好，方差越小成绩越稳定．
故选：C．
根据平均数、方差的定义，平均数越高成绩越好，方差越小成绩越稳定解答即可．
此题考查平均数、方差的定义，解答的关键是理解平均数、方差的定义，熟知方差是衡量一组数据波动大小的量，方差越小表明该组数据分布比较集中，即波动越小数据越稳定．
8.【答案】C
【解析】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，所以A选项错误；
B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以B选项错误；
C、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，所以C选项正确；
D、一组对边相等且平行的四边形是平行四边形，所以D选项错误．
故选：C．
根据根据矩形、菱形、正方形和平行四边形的判定方法对各选项进行判断．
本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．
9.【答案】A
【解析】解：∵k=−3<0，
∴y随x的增大而减小，
又∵1>−1>−2，
∴y3<y2<y1．
故选：A．
由k=−3<0，利用一次函数的性质可得出y随x的增大而减小，结合1>−1>−2可得出结论．本题考查了一次函数的性质，牢记“k>0，y随x的增大而增大；k<0，y随x的增大而减小”是解题的关键．
10.【答案】A
【解析】解：延长A 1B 交x 轴于D ，延长A 2B 1交x 轴于E ，
∵△OAB ，△BA 1B 1，△B 1A 2B 2均为等边三角形，
∴OA =OB ，A 1B =BB 1，A 2B 1=B 2B 1，
∵直线b 的解析式为：y =
33x ，∴∠BOD =30°，
对于直线a ，y = 3x +1，当x =0时，y =1，
∴点A 的坐标为(0,1)，
∴OA =OB =1，
在Rt △OBD 中，OB =1，∠BOD =30°，
∴BD =12OB =12，OD =
32，∴点B 的坐标为(
32,12)，对于y = 3x +1，当x = 32时，y =52
，∴点A 1的坐标为(
32,52
)，∴A 1D =5
2，∴A 1B =BB 1=AD−BD =2=21，
∴OB 1=OB +BB 1=3，
在Rt △AB 1E 中，OB 1=3，∠B 1OE =30°，
∴B 1E =32，OE =3 32，
∴点B 1的坐标为(3 32,32
)，对于y = 3x +1，当x =3
32时，y =112
，
∴A 2E =112
，∴A 2B 1=A 2E =B 1E =4=22，
同理得：A 3B 2=23，……，
以此类推，第n 个等边三角形的边长为2n −1，
∴第2020个等边三角形的边长为22019．
故选：A ．
延长A 1B 交x 轴于D ，A 2B 1交x 轴于E ，根据等边三角形的性质得OA =OB ，A 1B =BB 1，A 2B 1=B 2B 1，直线b 的解析式为y = 33
x ，得∠BOD =30°，由直线a 的解析式y =
3x +1得第一个等边三角形边长为1，解Rt △OBD 得OD = 32，BD =1/2，把x = 32代入y =
3x +1求得A 1的纵坐标，即
可求得第二个等边三角形的边长，从而找出规律，按照此规律即可求得第2020个等边三角形的边长．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、等边三角形的性质，根据等边三角形的性质找出第n 个等边三角形的边长为2n −1是解题的关键．
11.【答案】y =2x−2
【解析】解：由题意得：平移后的解析式为：y =2x−2=2x−2，
即．所得直线的表达式是y =2x−2．
故答案为：y =2x−2．
根据平移k 值不变，只有b 只发生改变解答即可．
本题考查图形的平移变换和函数解析式之间的关系，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标左移加，右移减；纵坐标上移加，下移减．平移后解析式有这样一个规律“左加右减，上加下减”.关键是要搞清楚平移前后的解析式有什么联系．
12.【答案】a =−3
【解析】解：∵x =1是一元二次方程x 2+ax +2=0的一个根，将x =1带入，
∴1+a +2=0，
∴a =−3．
故答案为：a =−3．
根据一元二次方程的解的定义把x=1代入方程得到关于a的一次方程，然后解一次方程即可．
本题考查了一元二次方程的解，掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解是解决问题的关键．
13.【答案】95
【解析】解：在数据84，84，88，89，89，95，95，95，98中，95出现了3次，出现的次数最多，
则这组数据的众数为95．
故答案为：95．
根据众数的定义(一组数据中，出现次数最多的数据，叫这组数据的众数)得出即可．
本题考查了众数的定义，能熟记众数的定义是解此题的关键．求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．
14.【答案】4−3
【解析】解：原式=42÷2−6÷2
=4−3．
故答案为：4−3．
把括号中的每一项分别同2相除，再把结果相减即可．
本题考查的是二次根式的混合运算，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键．
15.【答案】6
【解析】解：作AH⊥BC于H，
∵a//b，
∴AH=3，∠ACH=∠2，
∵∠1=45°，∠BAC=105°，
∴∠2=180°−∠1−∠BAC=30°，
∴∠ACB=30°，
∴AC=2AH=6．
故答案为：6．
作AH⊥BC于H，得到AH=3，由平角定义得到∠2=180°−∠1−∠BAC=30°，由平行线的性质得
到∠ACB =30°，因此AC =2AH =6．
本题考查平行线之间的距离，直角三角形的性质，平行线的性质，关键是作AH ⊥BC 于H ，得到AH =3，由直角三角形的性质即可求解．
16.【答案】1<MN ≤5
【解析】解：连接BD ，过M 作MG //AB ，连接NG ．
∵M 是边AD 的中点，AB =4，MG //AB ，
∴MG 是△ABD 的中位线，BG =GD ，MG =12AB =12
×4=2．
∵N 是BC 的中点，BG =GD ，CD =6，
∴NG 是△BCD 的中位线，NG =12CD =12×6=3，
在△MNG 中，由三角形三边关系可知NG−MG <MN <MG +NG ，即3−2<MN <3+2，∴1<MN <5，
当MN =MG +NG ，即MN =5时，四边形ABCD 是梯形，
故线段MN 长的取值范围是1<MN ≤5．
故答案为：1<MN ≤5．
当AB //CD 时，MN 最短，利用中位线定理可得MN 的最长值，作出辅助线，利用三角形中位线及三边关系可得MN 的其他取值范围．
本题主要考查了三角形中位线定理，解答此题的关键是根据题意作出辅助线，利用三角形中位线定理及三角形三边关系解答．17.【答案】解：x 2+4x +3=0，
分解因式得：(x +1)(x +3)=0，
可得x +1=0或x +3=0，
解得：x 1=−1，x 2=−3．
【解析】此题考查了解一元二次方程−因式分解法，利用此方法解方程时，首先将方程右边化为0，左边化为积的形式，
然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
18.【答案】解：在△ABC 中，AB =10，BC =6，AC =8，
∵62+82=102，即BC 2+AC 2=AB 2，
∴△ABC 是直角三角形，且∠ACB =90°，
∴S △A B C =12BC ⋅AC =12
×6×8=24．
故△ABC 的面积为24．
【解析】先根据勾股定理的逆定理判断出△ABC 的形状，再根据三角形的面积公式即可得出结论．本题考查的是勾股定理的逆定理，即如果三角形的三边长a ，b ，c 满足a 2+b 2=c 2，那么这个三角形就是直角三角形．也考查了三角形的面积．19.【答案】解：设一次函数的解析式为y =kx +b ，
∵一次函数的图象经过点(0,7)与(1,6)，
∴{b =7k +b =6，
解得{
k =−1b =7，
∴这个一次函数的解析式为y =−x +7．
【解析】将两点坐标代入y =kx +b 中得到关于k 与b 的方程组，求出方程组的解得到k 与b 的值，即可确定出一次函数解析式．
此题考查了待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．20.【答案】25%
【解析】解：(1)调查人数为：12÷30%=40(人)，
样本中测试成绩为“6个”的学生人数为：40−4−6−12−8=10(人)，
a =10÷40×100%=25%，
补全条形统计图如图所示：
故答案为：25%；
(2)200×(25%+20%)=90(名)，
答：八年级男生200人中测试成绩达到满分的大约有90名．
(1)从两个统计图可知，样本中测试成绩为“5个”的学生有12人，占调查人数的30%，由频率=
频数
即可求出调查人数，进而求出测试成绩为“6个”的人数，求出测试成绩为“6个”的学生所
总数
占的百分比，即可补全条形统计图；
(2)求出样本中，测试成绩为“满分”的学生所占的百分比，估计总体中“满分”所占的百分比，
进行计算即可．
再根据频率=频数
总数
本题考查条形统计图、扇形统计图，理解两个统计图中数量之间的关系是正确解答的前提，掌握是解决问题的关键．
频率=频数
总数
21.【答案】解：(1)如图所示；
(2)∵CF=AD，CF=3，
∴AD=3，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//CF，BC=AD=3，AB=
CD，
∴∠D=∠ECF，
在△ADE与△FCE中，
{∠D=∠E C F
∠A E D=∠F E C
，
A D=C F
∴△ADE≌△FCE(AAS)，
∴DE =CE =2，
∴AB =CD =4，
∴平行四边形ABCD 的周长为3+3+4+4=14．
【解析】(1)根据题意作出图形即可；
(2)根据平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．
本题考查了作图−基本作图，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
22.【答案】证明：(1)∵MD ⊥AC ，ME ⊥CB ，
∴∠MDC =∠MEC =90°，
又∵∠ACB =90°，
∴四边形CDME 是矩形；
(2)连接CM ，如图所示：
∵四边形CDME 是矩形
∴DE =CM ，
∵∠ACB =90°，BC =3，AC =4，
∴AB = BC 2+AC 2= 32+42=5，
当CM ⊥AB 时，CM 最短，
此时△ABC 的面积=12AB ⋅CM =12BC ⋅AC ，
∴CM 的最小值=BC ⋅AC AB
=125，∴线段DE 的最小值为125；
【解析】(1)连接CM ，即可证明四边形CDME 是矩形；
(2)由矩形CDME 得出DE =CM ，再由三角形的面积关系求出CM 的最小值，即可得出结果．本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理、直角三角形面积的计算方法；熟练掌握矩形的判定与
性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．
23.【答案】解：(1)∵修建所用木栏总长28米，且两处各留1米宽的门(门不用木栏)，
∴BC=2+28−3x=(30−3x)米，
即另一边长BC是(30−3x)米；
(2)矩形ABCD的面积能为72m2，理由如下：
由题意得：x(30−3x)=72，
整理得：x2−10x+24=0，
解得：x1=4，x2=6，
当x=4时，30−3x=30−3×4=18>15，不符合题意，舍去；
当x=6时，30−3x=30−3×6=12<15，符合题意；
答：矩形ABCD的面积能为72m2，CD的长为6m．
【解析】(1)根据题中条件即可求出BC的长；
(2)根据矩形ABCD的面积为72m2，列出一元二次方程，解方程，即可解决问题．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．24.【答案】解：(1)联立方程组得：{y=−2x+7
x，
y=3
2
解得：{x=2
y=3，
∴A点坐标是(2,3)；
(2)设P点坐标是(0,y)，
∵△OAP是以OA为底边的等腰三角形，
∴OP=PA，
∴22+(3−y)2=y2，
，
解得y=13
6
∴P点坐标是(0,13
)，
6
)；
故答案为(0,13
6
(3)存在；
∵直线y=−2x+7与x轴、y轴分别相交于直C、B．
∴C (72
,0)，B (0,7)，
∴S △A O C =12×72×3=214<6，S △A O B =12×7×2=7>6，∴Q 点有两个位置：Q 在线段AB 上和AC 的延长线上，
设点Q 的坐标是(x ,y )，
当Q 点在线段AB 上：作QD ⊥y 轴于点D ，如图①，则QD =x ，
∴S △O B Q =S △O A B −S △O A Q =7−6=1，
∴12OB ⋅QD =1，即12
×7x =1，
∴x =27，
把x =27代入y =−2x +7，得y =
457，∴Q 的坐标是(27,457)，
当Q 点在AC 的延长线上时，作QD ⊥x 轴于点D ，如图②则QD =−y ，
∴S △O C Q =S △O A Q −S △O A C =6−
214=34，∴12OC ⋅QD =34，即12×72×(−y )=34，
∴y =−37，把y =−37代入y =−2x +7，解得x =
267
，∴Q 的坐标是(267,−37)，
综上所述存在满足条件的点Q ，其坐标为(27,457)或(267,−37).
【解析】(1)联立方程组，即可求得；
(2)设P点坐标是(0,y)，根据勾股定理列出方程，解方程即可求得；
(3)分两种情况：①当Q点在线段AB上：作QD⊥y轴于点D，则QD=x，根据S△O B Q=S△O A B−S△O A Q列出关于x的方程解方程求得即可；②当Q点在AC的延长线上时，作QD⊥x轴于点D，则Q D=−y，根据S△O C Q=S△O A Q−S△O A C列出关于y的方程解方程求得即可．
本题是一次函数的综合题，考查了两直线交点的求法，等腰三角形的判定与性质，勾股定理的应用，三角形面积的求法等，分类讨论思想的运用是解题的关键．
25.【答案】解：(1)∵∠BAE=30°，
∴AE=2BE，
设BE=x，则AE=2x，
在Rt△ABE中，x2+(23)2=(2x)2，
解得x=2或−2(舍去)，
∴AE=4；
(2)如图，过点B作BR//GH，交CD于R，
∵GH//BR，AB//CD，
∴四边形BRHG是平行四边形，
∴GH=BR，∠BGH=∠BRH，
∵GH=AE，
∴BR=GH=AE．
又∵AB=BC，
∴Rt△ABE≌Rt△BCR(HL)，
∴∠BAE=∠CBR=30°，
∴∠BRC=60°=∠AEB，
∴∠BRH=120°=∠BGH，
∴∠AGH=60°，
∴∠AFG=180°−60°−30°=90°，
∵∠BAE=30°，
∴AG=2GF，
∴AG2=GF2−AF2，
∴3GF2=4．
∴GF=23
，
3
∴AG=43
；
3
如图，过点A作AR//GH，交CD于R，过点G作GO⊥AE于点O，
同理可证：△ABE≌△ADR，
∴∠DAR=∠BAE=30°，
∴∠EAR=30°，
∵AR//GH，
∴∠RAF=∠AFG=30°，
∴∠BAE=∠AFG，
∴AG=GF，
∵GO⊥AF，
∴AO=FO=1，
∵∠BAE=30°，
∴AG=2GO，
∴AG2−GO2=AO2，
∴3GO2=1，
∴GO = 33
，∴AG =2 3
3，
∴AG 的长为4 3
3或2 3
3；
(3)如图，连接AO ，过点O 作OQ ⊥AB 于点Q ，OP ⊥BC 于点P ，
∵四边形ABCD 是正方形，
∴∠ABD =∠CBD =45°，
∵OQ ⊥AB ，OP ⊥BC ，
∴OQ =OP ，
∵MN ⊥AE ，AE =EF ，
∴AO =OE ，
∴∠OAE =∠OEA ，
∵OA =OE ，OQ =OP ，
∴Rt △AOQ≌Rt △EOP (HL )，
∴∠OAQ =∠OEP ，
∵∠BEA +∠AEO +∠OEP =180°，
∴60°+∠AEO +∠OAE +30°=180°，
∴∠AEO =45°．
【解析】(1)由∠BAE =30°得出AE =2BE ，设BE =x ，则AE =2x ，根据勾股定理列出方程即可求解；
(2)分两种情况讨论，由全等三角形的性质和勾股定理可求解；
(3)由角平分线的性质可得OQ =OP ，由线段垂直平分线的性质可得AO =OE ，由“HL ”可证Rt △AOQ≌Rt △EOP ，可得∠OAQ =∠OEP ，由平角的性质可求解．
此题考查了考查了正方形的性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定
理，直角三角形的性质等知识，解题的关键是添加恰当的辅助线构造全等三角形．
第21页，共21页。