福建省福州市福建师大附中2020-2021学年高一数学上学期期中试题(含解析)

福建省福州市福建师大附中2020-2021学年高一数学上学期期中试题
（含解析）
一、选择题（每小题5分，共60分；在给出的A,B,C,D 四个选项中，只有一项符合题目要求） 1.能正确表示集合{}
02M x x =∈≤≤R 和集合{
}
2
0N x x x =∈-=R 的关系的韦恩图的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B 【解析】 【分析】
根据题意，{0N =，1}，而{|02}M x R x =∈，易得N 是M 的子集，分析选项可得答案． 【详解】{}
{}{}
2
00,102N x x x M x x =∈-==⊆=∈≤≤R R ，故选B.
【点睛】本题考查集合间关系的判断以及用venn 图表示集合的关系，判断出M 、N 的关系，是解题的关键．
2.设偶函数定义域为R ，当()0,x ∈+∞时，()f x 为增函数，则()()()1,,3f f f π--的大
小关系为（） A. ()()()31f f f π-<-< B. ()()()13f f f π->-> C. ()()()31f f f π->->
D. ()()()13f f f
π-<-<
【答案】D 【解析】 【分析】
由于()f x 为偶函数且当()0,x ∈+∞时，()f x 为增函数，故将()()()1,,3f f f π--全部利
用偶函数性质转换到()0,x ∈+∞上再用单调性进行求解。

【详解】因为()f x 为偶函数，故()()()()1=1,3=3f f f f --，又因为当()0,x ∈+∞时，()f x 为增函数，故()()()13f f f
π<<，故()()()13f f f π-<-<，故选D 。

【点睛】根据奇偶性与单调性求解函数大小关系时，可以将自变量的值转换到同一单调区间上进行分析。

3.设全集为R ，集合{}
2log 1A x x =<，{
B x y ==，则()R
A
B =（ ）
A. {}
02x x <<
B. {}
01x x <<
C. {
}
11x x -<<
D.
{}12x x -<<
【答案】B 【解析】 【分析】
解出集合A 、B ，再利用补集和交集的定义可得出集合(
)R
A B .
【详解】由2log 1x <，02x <<，{}
02A x x ∴=<<.
由210x -≥，得1x ≤-或1x ≥，则{}11B x x x =≤-≥或，{}
11R B x x ∴=-<<， 因此，(){
}
01A B x x ⋂=<<R ，故选：B.
【点睛】本题考查交集和补集的混合运算，同时也考查了对数不等式以及函数定义域的求解，考查计算能力，属于中等题.
4.下列四组中，()f x 与()g x 表示同一函数的是（ ）
A. ()f x x =，()g x =
B. ()f x x =，()2
g x =
C. ()2
f x x =，()3x
g x x
=
D. ()f x x =，()()
(
),0,0x x g x x x ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩
【答案】D 【解析】 【分析】
A 项对应关系不同；
B 项定义域不同；
C 项定义域不同，初步判定选D
【详解】对A ，()2=g x x x =，与()f x x =对应关系不同，故A 错
对B ，()()
2
g x x =
中，定义域[)0,x ∈+∞，与()f x x =定义域不同，故B 错
对C ，()3
x g x x
=中，定义域0x ≠，与()f x x =定义域不同，故C 错
对D ，()f x x =，当0x ≥时，()f x x =，当0x <时，()f x x =-，故()()(
),0,0x x f x x x ⎧≥⎪=⎨
-<⎪⎩，
D 正确
故选：D
【点睛】本题考查同一函数的判断，应把握两个基本原则：定义域相同；对应关系相同（化简后的函数表达式一样） 5.函数()211x
f x x e ⎛⎫
=-
⎪+⎝⎭
图象的大致形状是（ ） A.
B.
C .
D.
【答案】C 【解析】 【分析】
先由函数奇偶性，排除BD ；再由函数值的大致范围，即可确定结果. 【详解】因为()211x
f x x e ⎛⎫
=-
⎪+⎝⎭
，x ∈R 所以()222111111-⎛⎫--⎛⎫
-=--=--=-⋅ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭
x x x x x x
e e e
f x x x x e e e
1122211()1111-+-⎛⎫⎛⎫
=-⋅=-⋅=--=-= ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭
x x x x x
x
e e x x x x
f x e e e
e ， 所以()211x
f x x e ⎛⎫
=-
⎪+⎝⎭
是偶函数，排除BD ； 又当0x >时，
22110111-<-=++x
e ，所以2()101⎛⎫
=-< ⎪+⎝⎭
x f x x e ， 当0x <时，
22110111->-=++x
e ，所以2()101⎛⎫
=-< ⎪+⎝⎭
x f x x e ， 故排除D ，选C. 故答案为C
【点睛】本题主要考查函数图像的识别，熟记函数的奇偶性即可，属于常考题型. 6.函数()5
21
y x x x =+≥+取得最小值时的x 值为()
1 B. 2
1
【答案】B 【解析】 【分析】
将函数边形为()5
1121y x x x =++-≥+利用双勾函数得到答案. 【详解】()5511211
y x x x x x =+
=++-≥++ 设1(3)x t t +=≥
5
()1f t t t =+- 根据双勾函数性质在)+∞上单调递增.
min ()(3)f t f =
当3t =即2x =时取最小值. 故答案选B
【点睛】本题考查了双勾函数性质，属于常考题型.
7.已知幂函数()y f x =的图象过点3,3⎛ ⎝⎭
，则21log 2f f ⎛⎫
⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭（ ）
C.
D.
12
【答案】B 【解析】 【分析】
设()a
f x x =
，将点⎛ ⎝⎭
的坐标代入函数()y f x =的解析式，求出a 的值，然后再计算出21log 2f f ⎛⎫
⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
的值. 【详解】设()a f x x =，由题意可的(
)33a f ==，即1233a -=，12a ∴=-，则()12f x x -=，
所以，11
2
2112
22f -
⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
，
因此，11
12
2
2
22111log log 22222f f f f -
⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫===== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，故选：B.
【点睛】本题考查指数幂的计算，同时也考查了对数运算，解题的关键就是求出幂函数的解析式，同时利用指数幂的运算性质进行计算，考查计算能力，属于中等题.
8.对于一个声强为I 为（单位：2/W m ）的声波，其声强级L （单位：dB ）可由如下公式计算：0
10lg
I
L I =（其中0I 是能引起听觉的最弱声强），设声强为1I 时的声强级为70dB ，声强为2I 时的声强级为60dB ，则1I 是2I 的（ ）倍 A. 10 B. 100
C. 1010
D. 10000
【答案】A 【解析】 【分析】
根据声强级与声强之间的关系式，将两个声强级作差，结合对数的运算律可得出1
2
I I 的值，可
得出答案。

【详解】由题意可得102010lg 7010lg 60I I I I ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即1
20
lg 7lg 6
I I I I ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，两式相减得12lg 1I I =，所以，1210I I =， 因此，1I 是2I 的10倍，故选：A.
【点睛】本题考查对数的运算律，考查对数在实际问题的应用，熟练应用对数的运算性质是解本题的关键，其次就是要弄清题目的意思，考查理解能力与运算能力，属于中等题。

9.已知()f x ，()g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，若()()1
2
x f x g x ++=，则
()1g -=
A. 3
2
-
B.
32
C.
52
D. 52
-
【答案】A 【解析】 【分析】 根据奇偶性可得()()12x f x g x -+-=，构造方程组求得()g x 解析式，代入1x =-即可求得结
果. 【详解】
()(),f x g x 分别为R 上的偶函数和奇函数
()()()()12x f x g x f x g x -+∴-+-=-=
又()()1
2x f x g x ++= ()()111222x x g x +-+∴=
- ()()1311422
g ∴-=⨯-=- 本题正确选项：A
【点睛】本题考查函数值的求解问题，涉及到构造函数法求解函数解析式、函数奇偶性的应用等知识.
10.若函数()log (4)(0a f x ax a =->且1a ≠）在区间（0,2）上为减函数，则实数a 的取值范围为（ ） A. 0＜a ＜1 B. 1＜a ＜2 C. 1＜a ≤2
D.
1
2
≤a ＜1 【答案】C
【解析】 【分析】
根据复合函数的单调性以及对数函数的定义域列不等式组，解不等式组求得a 的取值范围. 【详解】注意到4y ax =-为定义域上的的减函数，根据复合函数单调性同增异减可知1a >，
根据对数函数的定义域有1
420a a >⎧⎨-≥⎩
，解得12a <≤.
故选C.
【点睛】本小题主要考查已知对数型复合函数单调性求参数，考查对数函数的定义域，属于中档题.
11.某地一天内的气温()Q t （单位：℃）与时刻t （单位：h ）之间的关系如图所示，令()C t 表示时间段[]0,t 内的温差（即时间段内最高温度与最低温度的差），则()C t 与t 之间的函数图像大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D 【解析】 【分析】
根据题意，分析函数图像的特征，可得函数()C t 过原点，在[][][]
0,4,8,12,20,24上，()C t 不断增大，在[]4,8上，()C t 先是一个定值，然后增大，在[]
12,20上，()C t 是个定值，分析选项可得答案。

【详解】由题图看出，0t =时，()0C t =，排除B ；在[]0,4上，()C t 不断增大，在[]4,8上，
()C t 先是一个定值，然后增大，在[]812，上，()C t 不断增大，在[]1220，上，()C t 是个定
值，在[]20,24上，()C t 不断增大， 故选D.
【点睛】本题考查函数图像与图像的变化，属于基础题。

12.太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案，太极图展现了一种相互转化，相互统一的和谐美.定义：能够将圆O 的周长和面积同时等分成两部分的函数称为圆O 的一个“太极函数”.下列有关说法中正确的个数是（ ）个
①对圆22
:1O x y +=的所有非常数函数的太极函数中，一定不能为偶函数； ②函数()1f x x =+是圆()2
2:11O x y +-=的一个太极函数；
③存在圆O ，使得()11
x x e f x e +=-是圆O 的太极函数；
④直线()()
12110
m x m y
+-+-=所对应的函数一定是圆
()()()
222
:210
O x y R R
-+-=>的太极函数.
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】
利用“太极函数”的定义逐个判断函数是否满足新定义即可.
【详解】对于①，如下图所示，若太极函数为偶函数，该函数平分圆O的周长和面积，①错误；
对于②，函数()1
f x x
=+的图象是过圆()2
2
:11
O x y
+-=圆心的一条直线，平分圆O的周长和面积，②正确；
对于③，()
()12
12
1
111
x
x
x x x
e
e
f x
e e e
-+
+
===+
---
，定义域为{}0
x x≠，关于原点对称.
()()
1
1
11
1
11
1
x x
x
x x
x
e e
e
f x f x
e e
e
-
-
+
++
-====-
--
-
，该函数为奇函数.
当()
00
x x
→>时，()
f x→+∞，当x→+∞时，()()
11
f x f x
⎡⎤
→>
⎣⎦，此时函数()
y f x
=单调递减.
当()
00
x x
→<时，()
f x→-∞，当x→-∞时，()()
11
f x f x
⎡⎤
→-<-
⎣⎦，此时函数()
y f x
=单调递减.
函数()
y f x
=的图象关于原点对称，有三条渐近线1
y=±，0
x=.
可知函数()
1
1
x
x
e
f x
e
+
=
-
对称中心为间断点，故不存在圆O使得函数()
1
1
x
x
e
f x
e
+
=
-
满足题
干条件，③错误；
对于④，对于直线()()12110m x m y +-+-=的方程，变形为()()210m x y x y -+--=，
令2010x y x y -=⎧⎨
--=⎩，得2
1x y =⎧⎨=⎩
，直线()()12110m x m y +-+-=经过圆O 的圆心，可以平分
圆O 周长和面积，④正确. 因此，真命题的序号为②④. 故选：B.
【点睛】本题考查函数对称性的判定与应用，将新定义理解为函数的对称性为解题的关键，考查推理能力，属于中等题.
二、填空题（每小题5分，共30分）
13.分解因式：2356x x x -+=_______________. 【答案】()()23x x x -- 【解析】 【分析】
对代数式提公因式x ，然后利用十字分解法可将代数式进行分解. 【详解】由题意可得()
()()3
2
2
565623x x x x x x x x x -+=-+=--.
故答案为：()()23x x x --.
【点睛】本题考查代数式的因式分解，考查计算能力，属于基础题.
14.已知4323x x
y =-⋅+，当[]
0,2x ∈时，其值域是________
【答案】3,74⎡⎤⎢⎥⎣⎦
【解析】 【分析】
令2x t =，因为[]
0,2x ∈，所以[1,4]t ∈，得到函数()22
33
33()24
f t t t t =-+=-+
，利用二次函数的性质，即可求解，得到答案．
【详解】由题意，令2x t =，因为[]
0,2x ∈，所以[1,4]t ∈，
则函数()2
2
3333()24
f t t t t =-+=-+
， 所以当3
2t =
时，函数()f t 取得最小值，最小值为33()24
f =， 当4t =时，函数()f t 取得最大值，最小值为(4)7f =，
所以函数4323x x
y =-⋅+的值域为3,74⎡⎤⎢⎥⎣⎦
，
故答案为：3,74
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
．
【点睛】本题主要考查了指数函数的性质，以及二次函数的图象与性质的应用，着重考查了换元思想，以及推理与运算能力，属于基础题．
15.已知23log 3log 7m n ==，
，试用m n 、表示42log 56=________. 【答案】
31
mn mn m +++
【解析】 【分析】
利用换底公式，可得23lg 3lg 7
log 3log 7lg 2lg 3
m n ====，，两式相乘可得2log 7mn =，将所求换底为2计算即可.
【详解】因为23log 3log 7m n ==，
， 所以23lg 3lg 7
log 3log 7lg 2lg 3m n =
===，， 两式相乘可得，
2lg 7
log 7lg 2
mn ==， 2224222222log 56log 7log 833
log 56log 42log 6log 71+log 3log 71mn mn m mn
+++=
===++++.
【点睛】本题主要考查了对数的换底公式，对数的运算性质，属于中档题.
16.设()()()()2,106,10x x f x f f x x ⎧-≥⎪=⎨⎡⎤+<⎪⎣
⎦⎩，则()5f =___________.
【答案】11 【解析】
【
分析】
根据函数()y f x =的解析式逐步计算出()5f 的值.
【详解】()()()()2,106,10x x f x f f x x ⎧-≥⎪=⎨⎡⎤+<⎪⎣⎦⎩
，
()()()()()5119151311f f f f f f f ⎡⎤⎡⎤∴=====⎣⎦⎣⎦.
故答案为：11.
【点睛】本题考查分段函数的函数值计算，解题时要结合自变量所满足的定义域选择合适的解析式进行计算，考查计算能力，属于中等题.
17.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线1C 、2C 、3C 依次为22log y x =，2log y x =，
2log y k x =的图像，其中k 为常数，01k <<，点A 是曲线1C 上位于第一象限的点，过A 分
别作x 轴、y 轴的平行线交曲线2C 分别于点B 、D ，过点B 作y 轴的平行线交曲线3C 于点C ，若四边形ABCD 为矩形，则k 的值是________.
【答案】
1
2
【解析】 【分析】
设点()2,2log A t t ，其中1t >，可求出点B 、D 的坐标，进一步求出点D 的坐标，再将点D 的坐标代入函数2log y k x =的解析式可求出实数k 的值.
【详解】设点()2,2log A t t ，其中1t >，设点()2,2log B x t 、(),D t y ，则222log 2log log x t
y t =⎧⎨=⎩，
解得2
2log x t y t
⎧=⎨=⎩，所以，点()22,2log B t t 、()2,log D t t ，则点D 的坐标为()2
2,log t t ，
将点D 的坐标代入函数2log y k x =的解析式，得2
22log log t k t =，21k ∴=，解得12
k =
.
故答案为：
12
. 【点睛】本题考查对数的运算，解题的关键就是由点A 的坐标计算出点D 的坐标，考查计算能力，属于中等题.
18.若{}max ,a b 表示a 、b 两数中的最大值，若(){
}max ,x
x t
f x e e
-=关于2019x =对称，
则t =____． 【答案】4038 【解析】 【分析】
由于函数x
y e =的图象关于y 轴对称，函数x t
y e
-=的图象关于直线x t =对称，可得知函数
()y f x =的图象关于直线02
t
x +=
对称，由此可求出t 的值. 【详解】由于函数x
y e =的图象关于y 轴对称，函数x t
y e -=的图象关于直线x t =对称，
则函数(){
}max ,x
x t
f x e e
-=的图象关于直线02
t x +=，则20192
t
=，解得4038t =. 故答案为：4038.
【点睛】本题考查分段函数的基本性质，考查函数对称性的应用，解题的关键就是确定所求函数的对称轴方程，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 三、解答题（要求写出过程，共60分） 19.按要求完成下列各题
（1）求值71log 22
log 2lg 5lg 472
---++ （2）已知13x x -+=，求1x x --.
【答案】（1；（2）【解析】 【分析】
（1）利用对数运算律、指数的运算律、对数的恒等式以及根式的运算性质可得出结果； （2）在等式13x x -+=两边平方，可求出22x x -+的值，由此可计算出()
2
1
x x --，从而得出
1x x --的值.
【详解】（1）原式
()
71
2
2log 2
7log 2
2lg52lg 27
-
=-+
+
)
172122
=--++
=；
（2）
13x x -+=，()
122
29x x x x --∴+=++=，则227x x -+=.
()
12225x x x x --
∴-=+-=，因此，1x x --=.
【点睛】本题考查指数幂的化简与计算、对数的运算性质，熟悉指数与对数的运算律是解题的关键，考查计算能力，属于基础题.
20.已知集合{}
121A x a x a =-<<+，{}
01B x x =<<. （1）若B A ⊆，求实数a 的取值范围； （2）若A
B =∅，求实数a 的取值范围.
【答案】（1）[]0,1；（2）[)1,2,2⎛⎤-∞-+∞ ⎥
⎝
⎦
.
【解析】 【分析】
（1）由题得10,211,121,a a a a -⎧⎪
+⎨⎪-<+⎩
解不等式即得解；（2）对集合A 分两种情况讨论即得实数a 的取
值范围.
【详解】（1）若B A ⊆，则10,211,121,a a a a -⎧⎪
+⎨⎪-<+⎩
解得01a ≤≤.
故实数a 的取值范围是[]0,1.
（2）①当A =∅时，有121a a -≥+，解得2a ≤-，满足A B =∅.
②当A ≠∅时，有121a a -<+，解得 2.a >- 又
A B =∅，则有210a +≤或11a -≥，解得1
2
a ≤-或2a ≥，
1
22
a ∴-<≤-或2a ≥.
综上可知，实数a 的取值范围是[)1,2,2
⎛⎤-∞-+∞ ⎥
⎝
⎦
.
【点睛】本题主要考查根据集合的关系和运算求参数的范围，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
21.函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()2
21f x x x =--．
（1）求()f x 的函数解析式；
（2）作出()()g x f x =的草图，并求出当函数()()h x g x m =-有6个不同零点时，m 的取值范围．
【答案】（1）()2221,0
21,0x x x f x x x x ⎧+-<=⎨--≥⎩
；（2）()1,2.
【解析】 【分析】
（1）设0x <，计算出()f x -的表达式，再由偶函数的定义得出函数()y f x =在0x <时的解析式，从而可得出函数()y f x =在R 上的解析式；
（2）由()0h x =，得出()m g x =，将问题转化为当直线y m =与函数()y g x =的图象有6个交点时，求实数m 的取值范围，然后作出函数()()g x f x =的图象，利用数形结合思想可求出实数m 的取值范围.
【详解】（1）当0x <时，0x ->，则()()()2
22121f x x x x x =--⨯--=+-， 函数()y f x =是定义在R 上的偶函数，当0x <时，()()2
21f x f x x x =-=+-.
因此，()2221,0
21,0x x x f x x x x ⎧+-<=⎨--≥⎩
；
（2）由()0h x =，得出()m g x =，则问题等价于当直线y m =与函数()y g x =的图象有6个交点时，求实数m 的取值范围.
作出函数y m =与函数()()g x f x =的图象如下图所示：
由图象可知，当12m <<时，直线y m =与函数()y g x =的图象有6个交点， 此时，函数()y h x =有6个零点. 因此，实数m 的取值范围是()1,2.
【点睛】本题考查偶函数解析式的求解，同时也考查了利用函数的零点个数求参数，一般利用参变量分离法转化为两个函数图象的交点个数问题，利用数形结合思想求解，考查数形结合思想的应用，属于中等题. 22.已知函数()2
1x f x a
-=+（0a >且1a ≠）．
（1）函数()f x 是否过定点？若是求出该定点，若不是，说明理由． （2）将函数()
f x 的
图象向下平移1个单位，再向左平移2个单位后得到函数()g x ，设函数
()g x 的反函数为()h x ，求()h x 的解析式；
（3）在（2）的基础上，若函数()y h x =过点()4,2，且设函数()y h x =的定义域为(]
1,4，
若在其定义域内，不等式()()
()2
2
62h h x x m h x ⎣≤+⎤⋅⎡++⎦
恒成立，求m 的取值范围． 【答案】（1）过定点()2,2；（2）()log a h x x =（0a >且1a ≠）；（3）[
)3,+∞. 【解析】 【分析】
（1）在函数()y f x =的解析式中，令指数为零，可求出该函数所过定点的坐标； （2）根据平移原则求出函数()y g x =的解析式，然后再根据同底数的对数函数与指数函数互为反函数这一性质可得出函数()y h x =的解析式；
（3）将点()4,2代入函数()y h x =的解析式得出2a =，令(]
2log 0,2t x =∈，由
()()
()22
62h h x x m h x ⎣≤+⎤⋅⎡++⎦，得出22m t t
≥-+，利用函数单调性求出函数2
2y t t
=-+在(]0,2t ∈上的最大值，即可得出实数t 的取值范围.
【详解】（1）()2
1x f x a
-=+（0a >且1a ≠），令20x -=，得2x =，
()0212f a ∴=+=. 因此，函数()y f x =的图象恒过定点()2,2；
（2）将函数()y f x =的图象向下平移1个单位，得到函数2x y a -=（0a >且1a ≠）的图象，
再将所得函数的图象向左平移2个单位，可得到函数()x
g x a =（0a >且1a ≠）的图象.
因此，()log a h x x =（0a >且1a ≠）； （3）由题意得()4log 42a h ==，得24a =，0a >且1a ≠，2a ∴=，则()2log h x x =，
当(]1,4x ∈时，()(]
2log 0,2h x x =∈.
由()()
()2
262h h x x m h x ⎣≤+⎤⋅⎡++⎦，得()2
2222log 2log log 6x x m x +≤++，
即()2
222log 22log log 6x x m x +≤++，
令(]
2log 0,2t x =∈，则不等式()2
226t t mt +≤++对任意的(]0,2t ∈恒成立，
22m t t ∴≥-+对任意的(]0,2t ∈恒成立，构造函数2
2y t t
=-+，其中(]0,2t ∈.
则函数22y t t =-+在区间(]0,2上单调递增，则该函数的最大值为max 2
2232
y =-+=，
3m ∴≥，因此，实数m 的取值范围是[)3,+∞.
【点睛】本题考查了指数图象恒过定点问题、反函数解析式的求解以及对数型函数不等式在某区间上恒成立问题的求解，利用换元思想转化为二次不等式在区间上恒成立，并结合参变量分离法求解是解题关键，考查化归与转化思想的应用，属于中等题. 23.已知()y f x =是定义在R 上的奇函数.
（1）当0x >时， ()236f x x x =-+，若当[]
31x ∈--，时， ()n f x m ≤≤恒成立，求m n
-的最小值；
（2）若()f x 的图像关于3x =对称，且()30x ∈-，
时， ()31x
f x x =-+，求当
()96x ∈--，时， ()f x 的解析式；
（3）当0x ≥时， ()2
f x x =.若对任意的[]
2x t t ，
∈+，不等式()()2f x t f x +≥恒成立，求实数t 的取值范围.
【答案】(1) m n -的最小值为94
；(2) ()6
35x f x x +=-++；(3) t ≥【解析】
试题分析：（1）m n -取最小值时，m,n 为函数在[]31，--上最大值与最小值，先求函数在[]
13，
上最值，再根据奇函数性质得在[]
31，--上最大值与最小值，（2）先根据函数两个对称性（一个关于原点对称，一个关于3x =对称）推导出函数周期，根据周期性只需求出()36，解析式，根据关于3x =对称，只需求出()03，
上解析式，根据奇函数性质根据()30，-解析式可得()
03，
上解析式，（3）先根据函数解析式得到)
()2f
f x =，转化不等式为
())
f x t f
+≥
，再根据函数单调性得x t +≥，最后根据不等式恒成立，利用变量
分离法求实数t 的取值范围.
试题解析：（1）()2
23153624f x x x x ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭，当[]13x ∈，
时， ()min 315
24
f x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭.
()()max 36f x f ==，因为函数()f x 是奇函数，所以当[]31x ∈--，时，
()max 15
4
f x =-
， ()min 6f x =-. 所以()min 6n f x ≤=-， ()max 154m f x ≥=-
， m n -的最小值为94
. （2）由()f x 为奇函数，得()()0f x f x -+=；又()f x 的图像关于3x =对称，得
()()6f x f x =-；∴()()60f x f x -+-=即()()6f t f t +=-∴()()12f t f t += 当()03x ∈，
， ()()31x
f x f x x -=--=---； 当()36x ∈，
， ()()6
637x f x f x x -=-=-+-；
又12T =，当()96x ∈--，
时， ()()6
1235x f x f x x +=+=-++
（3）易知0x ≥， ))()2
2
22f
x f x ===；
0x ≤， ))()2
2
22f x f x =-=-=；综上，对任x R ∈， )()2f f x =
∴())f x t f +≥对任意的[]2x t t ∈+，
恒成立，又()f x 在R 上递增，
∴x t +≥，即)1t x ≥对任意的[]2x t t ∈+，
恒成立.
∴)()12t t ≥+∴t ≥。