2019届高考数学(理)大一轮课时跟踪检测【52】两直线的位置关系(含答案)

课时跟踪检测(五十二) 两直线的位置关系
第Ⅰ组：全员必做题
1. (2018·成都模拟)若直线(a＋1)x＋2y＝0与直线x－ay＝1互相垂直，则实数a的值等于( )
A．－1 B．0
C．1 D．2
2．已知平面内两点A(1,2)，B(3,1)到直线l的距离分别是2，5－2，则满足条件的直线l的条数为( ) A．1 B．2
C．3 D．4
3. 已知直线l1：y＝2x＋3，直线l2与l1关于直线y＝－x对称，则直线l2的斜率为( )
A.1
2
B．－
1
2
C．2 D．－2
4. 已知点A(1，－2)，B(m,2)，且线段AB垂直平分线的方程是x＋2y－2＝0，则实数m的值是( )
A．－2 B．－7
C．3 D．1
5. 设A，B是x轴上的两点，点P的横坐标为3，且|PA|＝|PB|，若直线PA的方程为x－y＋1＝0，则直线PB的方程是( )
A．x＋y－5＝0 B．2x－y－1＝0
C．x－2y＋4＝0 D．x＋y－7＝0
6. 在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的长为2，宽为1，AB，AD边分别在x轴，y轴的正半轴上，A点与坐标原点重合，将矩形折叠，使A点落在线段DC上，若折痕所在直线的斜率为k(k≠0)，则折痕所在直线的方程为________．
7．已知点A(－3，－4)，B(6,3)到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，则实数a的值为________．
8. 创新题若实数x，y满足x|x|－y|y|＝1，则点(x，y)到直线y＝x的距离的取值范围是________．
9．已知直线l1：x＋a2y＋1＝0和直线l2：(a2＋1)x－by＋3＝0(a，b∈R)．
(1)若l1∥l2，求b的取值范围；
(2)若l1⊥l2，求|ab|的最小值．
10. 已知直线l：3x－y＋3＝0，求：
(1)点P(4,5)关于l的对称点；
(2)直线x－y－2＝0关于直线l对称的直线方程．
第Ⅱ组：重点选做题
1. 已知直线y ＝2x 是△ABC 中∠C 的平分线所在的直线，若点A ，B 的坐标分别是(－4,2)，(3,1)，则点C 的坐标为( )
A ．(－2,4)
B ．(－2，－4)
C ．(2,4)
D ．(2，－4)
2．若点(1,1)到直线xcos α＋ysin α＝2的距离为d ，则d 的最大值是________．
答 案
第Ⅰ组：全员必做题
1．选C 由⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ＋12×1a
＝－1，得a ＋1＝2a ，故a ＝1. 2．选C 由题知满足题意的直线l 在线段AB 两侧各有1条，又因为|AB|＝ 5，所以还有1条为过线段AB 上的一点且与AB 垂直的直线，故共3条．
3．选A ∵l 2，l 1关于y ＝－x 对称，∴l 2的方程为－x ＝－2y ＋3.即y ＝12x ＋32.∴l 2的斜率为12
. 4．选C 由已知k AB ＝2，即4m －1
＝2，解得m ＝3. 5．选D 由|PA|＝|PB|知点P 在AB 的垂直平分线上．由点P 的横坐标为3，且PA 的方程为x －y ＋1＝0，得P(3，4)．直线PA ，PB 关于直线x ＝3对称，直线PA 上的点(0,1)关于直线x ＝3的对称点(6,1)在直线PB 上，
∴直线PB 的方程为x ＋y －7＝0.
6．解析：设将矩形折叠后A 点落在线段CD 上对应的点为G(a,1)(0≤a≤2)，所以A 与G 关于折痕所在的直
线对称，设所求直线的斜率为k ，则有k AG ·k＝－1，即1a
·k＝－1，得a ＝－k ，故G 点的坐标为(－k,1)(－2≤k<0)，从而折痕所在的直线与OG 的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－k 2，12 ，折痕所在直线的方程为y －12＝k ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋k 2，即y ＝kx ＋k 22＋12(－2≤k<0)．
答案：y ＝kx ＋12k 2＋12
(－2≤k<0) 7．解析：由题意及点到直线的距离公式得|－3a －4＋1|a 2＋1＝|6a ＋3＋1|a 2＋1，解得a ＝－13或－79. 答案：－13或－79
8．解析：①当x≥0且y≥0时，x|x|－y|y|＝x 2－y 2＝1；
②当x ＞0且y ＜0时，x|x|－y|y|＝x 2＋y 2＝1；
③当x ＜0且y ＞0时，无意义；
④当x ＜0且y ＜0时，x|x|－y|y|＝y 2－x 2
＝1.作出图象如图所示，因为直线y ＝x 为两段等轴双曲线的渐
近线，四分之一个单位圆上的点到直线y ＝x 的距离的最大值为1.
∴取值范围为(0,1]．
答案：(0,1]
9. 解：(1)因为l 1∥l 2，所以－b －(a 2＋1)a 2＝0， 即b ＝－a 2(a 2＋1)＝－a 4－a 2＝－⎝
⎛⎭⎪⎫a 2＋122＋14，因为a 2≥0，所以b≤0. 又因为a 2
＋1≠3，所以b≠－6.
故b 的取值范围是(－∞，－6)∪(－6,0]．
(2)因为l 1⊥l 2，所以(a 2＋1)－a 2b ＝0，
显然a≠0，所以ab ＝a ＋1a ，|ab|＝⎪⎪⎪⎪
⎪⎪a ＋1a ≥2，当且仅当a ＝±1时等号成立，因此|ab|的最小值为2. 10．解：设P(x ，y)关于直线l ：3x －y ＋3＝0的对称点为P′(x′，y′)．
∵k PP′·k l ＝－1，即y′－y x′－x ×3＝－1.① 又PP′的中点在直线3x －y ＋3＝0上，
∴3×x′＋x 2－y′＋y 2
＋3＝0.② 由①②得⎩⎪⎨⎪⎧ x′＝－4x ＋3y －95， ③ y′＝3x ＋4y ＋35
. ④
(1)把x ＝4，y ＝5代入③④得
x′＝－2，y′＝7， ∴P(4,5)关于直线l 的对称点P′的坐标为(－2,7)．
(2)用③④分别代换x －y －2＝0中的x ，y ，得关于l 的对称直线方程为－4x ＋3y －95－3x ＋4y ＋35
－2＝0， 化简得7x ＋y ＋22＝0.
第Ⅱ组：重点选做题
1．选C 点A 关于直线y ＝2x 对称的点为(4，－2)，且点A 关于y ＝2x 对称的点在BC 上，于是BC 所在的
直线方程为3x ＋y －10＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2x ，3x ＋y －10＝0，得点C 的坐标为(2,4)．
2．解析：依题意有d ＝|cos α＋sin α－2|
＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫α＋π4－2. 于是当sin ⎝
⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－1时， d 取得最大值2＋ 2.
答案：2＋ 2。