重庆市17届高三数学3月月考试题文(含解析)

重庆市2017届高三数学3月月考试题文（含解析）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.
1. 已知集合，，则（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】 ,所以 ,选A.
2. 复数（为虚数单位）的虚部是（）
A. 1
B. -1
C.
D.
【答案】B
【解析】由题意可得：，则z的虚部是-1.
本题选择B选项.
3. 已知向量，则（）
A. -9
B. 9
C. 6
D. -6
【答案】B
【解析】由题意可得：，结合向量垂直的充要条件有：
，解得： .
本题选择B选项.
点睛： (1)当向量a与b是坐标形式给出时，若证明a⊥b，则只需证明a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.
(2)当向量a，b是非坐标形式时，要把a，b用已知的不共线向量作为基底来表示且不共线的向量要知道其模与夹角，从而进行运算证明a·b＝0.
(3)数量积的运算a·b＝0⇔a⊥b中，是对非零向量而言的，若a＝0，虽然有a·b＝0，但不能说a⊥b.
4. 下列函数中，最小正周期为π的偶函数是( )
A. y＝sin(2x＋)
B. y＝cos(2x＋)
C. y＝sin2x＋cos2x
D. y＝sinx＋cosx 【答案】A
【解析】逐一化简函数的解析式：
A．
B．
C．
D．
结合函数的解析式可得：最小正周期为的偶函数是....
本题选择A选项.
5. 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由三视图可知：该几何体为球的，其半径为1.
则体积 .
本题选择D选项.
点睛：三视图的长度特征：“长对正、宽相等，高平齐”，即正视图和侧视图一样高、正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽．若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，要注意实、虚线的画法．正方体与球各自的三视图相同，但圆锥的不同．
6. 长方体的顶点都在同一球面上，其同一顶点处的三条棱长分别为3，4，5，则该球面的表面积为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设球的半径为R，由题意可得：，
球的表面积为： .
本题选择B选项.
7. 已知抛物线的准线与双曲线相交于A,B两点，点F为抛物线的焦点，
为直角三角形，则双曲线的离心率为（）
A. 3
B. 2
C.
D.
【答案】A
【解析】试题分析：依题意知抛物线的准线，代入双曲线方程得，不妨设．∵是等腰直角三角形，∴，求得，∴双曲线的离心率为，故选：A．
考点：双曲线的简单性质．
【思路点睛】先根据抛物线方程求得准线方程，代入双曲线方程求得，根据双曲线的对称性可知为等腰直角三角形，进而可求得或的纵坐标为4，进而求得，利用和的关系求得，则双曲线的离心率可得．
8. 道路交通法规定：行人和车辆路过十字路口时必须按照交通信号指示通行，绿灯行，红灯停，遇到黄灯时，如已超过停车线须继续行进，某十字路口的交通信号灯设置时间是：绿灯48秒，红灯47秒，黄灯5秒，小张是个特别守法的人，只有遇到绿灯才通过，则他路过该路口不等待的概率为（）
A. 0.95
B. 0.05
C. 0.47
D. 0.48
【答案】D
9. 如果执行如图所示的程序框图，那么输出的（）
A. 119
B. 600
C. 719
D. 4949
【答案】C...
【解析】模拟执行程序框图可得：
k=1，S=0，T=1
满足条件k⩽5，T=1，S=1，k=2
满足条件k⩽5，T=2，S=5，k=3
满足条件k⩽5，T=6，S=23，k=4
满足条件k⩽5，T=24，S=119，k=5
满足条件k⩽5，T=120，S=719，k=6
不满足条件k⩽5，退出循环，输出S的值为719.
故选：C.
10. 将函数的图象向左平移个单位后，得到函数的图象关于点对称，则函数在上的最小值为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】试题分析：因,故左移后可得
,由题设,即
,所以,则,所以,故当
时,取最小值为.应选B.
考点：三角函数的图象和性质.
【易错点晴】三角函数的图象和性质是高中数学中重要的内容和考点.解答本题时要充分利用题设中提供的有关信息,先待定函数解析式中的参数,再求其最小值.解答时先求出
,再进行平移后得到,进而借助关于点
对称求出了,代入,最后求出其最小值.
11. 曲线上的点到直线的距离最大值为，最小值为，则
的值为（）
A. B. 2 C. D.
【答案】C
【解析】因为圆心到直线距离为，所以半圆
到直线距离最大值为，到直线距离最小值为点到直线距离，为，所以，选C.
12. 已知函数，若，且，则的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
作出函数f(x)的图象如图，
若m<n,且f(m)=f(n)，
则当ln(x+1)=1时，得x+1=e，即x=e−1，
则满足0<n⩽e−1，−2<m⩽0，
则ln(n+1)= m+1,即m=2ln(n+1)−2，
则n−m=n+2−2ln(n+1)，
设h(n)=n+2−2ln(n+1)，0<n⩽e−1...
则，
当h′(x)>0得1<n⩽e−1，
当h′(x)<0得0<n<1，
即当n=1时,函数h(n)取得最小值h(1)=1+2−2ln2=3−2ln2，
当n=0时,h(0)=2−2ln1=2，
则3−2ln2⩽h(n)<2，
即n−m的取值范围是[3−2ln2,2)，
本题选择A选项.
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13. 已知，则__________
【答案】
【解析】由题意可得： .
14. 若变量x，y满足则的最大值是__________
【答案】6
【解析】绘制不等式组表示的可行域，结合目标函数的几何意义可得目标函数在点处取得最大值 .
15. 已知函数且，则__________
【答案】1
【解析】∵f(a)=−1，
∴a>0，
−log2(a+1)+2=−1，
∴a=7.
f(6−a)=f(−1)=20=1.
分段函数： (1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．
(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围．
16. 在中，角的对边分别是，若，，则面积是__________
【答案】1
【解析】∵,可得：，
∴ =2sinA，...
∴sin2C+sin2B=2(sinBcosC+cosBsinC)sinBsinC=2sin2BsinCcosC+2sin2CsinBcosB，
∴sin2C(1−2sinBcosB)+sin2B(1−2sinCcosC)=0，
∴sin2C(sinB−cosB)2+sin2B(sinC−cosC)2=0，
∴sinB=cosB,sinC=cosC,可得：B=C=45°，
又∵b=，
∴ .
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17. 等比数列中，a1=1,a6=32，Sn是等差数列{bn}的前n项和，b1=3,S5=35（I）求数列，{bn}的通项公式
（II）设Cn=an+bn，求数列{Cn}的前n项和Tn
【答案】（1）（2）
【解析】试题分析：
(1)由等差数列与等比数列的通项公式、去前n项和公式可得：；；
(2)分组求和可得数列的前n项和为.
试题解析：
（1）因为，，，所以，所以，所以；
因为，，解得，所以，即．（2）因为，所以，所以
+
．
18. 某中学数学老师分别用两种不同教学方式对入学数学平均分和优秀率都相同的甲、乙两个高一新班（人数均为20人）进行教学（两班的学生学习数学勤奋程度和自觉性一致），数学期终考试成绩茎叶图如下：
（I）现从乙班数学成绩不低于80分的同学中随机抽取两名同学，求至少有一名成绩为90分的同学被抽中的概率；
（II）学校规定：成绩不低于75分的优秀，请填写下面的联表，并判断有多大把握认为“成绩优秀与教学方式有关” 附：参考公式及数据
【答案】（1）0.7（2）有把握认为“成绩优秀与教学方式有关”
【解析】试题分析：(1) 乙班数学成绩不低于分的同学共有名, 从中随机抽取两名同学共有种,而没有一名成绩为分的同学被抽中的事件数为种,因此至少有一名成绩为
分的同学被抽中的事件数为种,最后根据古典概型概率求法得所求概率为. (2)将数据对应代入表格及公式,可得,再对应参考公式可得把握率.
试题解析：（I）乙班数学成绩不低于分的同学共有名,其中成绩为分的同学有两名,画数状图(略)知,从中随机抽取两名同学共有种,至少有一名成绩为分的同学被抽中的事件数为种,所求概率为.
(Ⅱ)如图所示
由知, 可以判断：有把握认为“成绩优秀与教学方式有关”. ...
19. 如图，正三棱柱的所有棱长均为2，，分别为和的中点
（I）证明：平面；
（II）求点到平面的距离.
【答案】（1）见解析（2）
【解析】试题分析：(1)证明线面垂直，一般方法为利用线面垂直的判定定理，即从线线垂直出发给予证明，而线线垂直的寻找与论证，可从两个方面出发，一是利用面面垂直得线面垂直，再得线线垂直，二是利用平几知识，如本题中正方形有关性质，(2)求点到直线距离，一般方法为利用等体积法，即根据可得分别求出两个三角形面积代入可得点到平面的距离.
试题解析：（I）证明：由知,又平面平面，所以
平面,而平面，∴,在正方形中，由分别是和
的中点知,而，∴平面.
(Ⅱ)解法1: 由（I）平面,过点作，交和分别于点和,则
平面,即的长为到平面的距离，在正方形中,易知
， ,即,得，故到平面的距离为.
解法2：如图，连接，在三棱锥中，设到平面的距离为，则
，将，
代入得，得，故到平面的距离为.
20. 平面直角坐标系中，已知椭圆
的左焦点为F，离心率为，过点F且垂直于长轴的弦长为
（I）求椭圆C的标准方程；
（II）设点A，B分别是椭圆的左、右顶点，若过点的直线与椭圆相交于不同两点M，N.
（i）求证：；
（ii）求面积的最大值.
【答案】（1）（2）（i）见解析(ii)
【解析】试题分析：（Ⅰ）根据离心率与垂直于长轴的弦长列出方程，求得的值，从而得到椭圆方程；（II）方法一：（i）分直线的斜率是否为0讨论，当时，设
，直线的方程为，联立椭圆方程，结合判别式求得的范围，从而由使问题得证；（ii）由＝结合（ⅰ）用韦达定理写出表达式，利用基本不等式求出最大值；方法二：（i）由题意知直线的斜率存在，设其方程为，联立椭圆方程，由判别式求得的取值范围，从而由使问题得证；（ii）由弦长公式求得，用点到直线的距离求得边上的高线长，从而得到的表达式，进而用换元法求解．
试题解析：解：（1），又，
所以．
所以椭圆的标准方程为
（2）（i）当AB的斜率为0时，显然，满足题意
当AB的斜率不为0时，设，AB方程为代入椭圆方程
整理得，则，所以
，
，即
（ii）
当且仅当，即．（此时适合△＞0的条件）取得等号．
三角形面积的最大值是
方法二（i）由题知，直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为：，设，联立，整理得，则，所以
，
，即
（ii）
点到直线的距离为，
=
．
令，则，
当且仅当，即（此时适合△＞0的条件）时，，即
三角形面积的最大值是
考点：1、椭圆的方程及几何性质；2、直线与椭圆的位置关系；3、直线方程；4、基本不等式．
【方法点睛】求解圆锥曲线中的最值问题，主要围绕直线与圆锥曲线的位置关系问题进行设计，解答时可考两为两个方向：（1）几何法，就是根据圆锥曲线的定义及几何性质，利用图形直观解决；（2）函数法，即通过建立函数，求其最值即可．
21. 已知函数
（I）当时，求曲线在处的切线方程；
（II）求证：当时，
【答案】（1）（2）见解析
【解析】试题分析：(1)根据导数几何意义得斜率为，再根据点斜式写出切线方程，(2)实际就是证明，即需证明，构造函数，利用导数求其最小值为，即可得证.
试题解析：（I）解:∵∴得,切点为,斜率为,所求切线方程为,即.
(Ⅱ)证明:法1：,即,∵∴只要证明
即可.令，则,注意到
，当时，；当时，，即在上是减函数，在
是增函数，综上知, 当时，. 法2：由知, ,令则
,注意到，当时，；当时，
，即在上是减函数，在是增函数，，所以,即.综上知, 当时，. ...
点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.
22. 选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为：，直线的参数方程是（为参数，）（I）求曲线的直角坐标方程；
（II）设直线与曲线交于两点，且线段的中点为，求
【答案】（1）（2）
【解析】试题分析：(1) 利用将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，(2)根据直线参数方程几何意义得，所以先将直线参数方程代入抛物线方程，利用韦达定理得，从而可解得．
试题解析：（I）曲线,即,于是有,化为直角坐标
方程为:
（II）方法1: ,即
由的中点为得,有,所以,由得
方法2:设,则
,∵,∴,由
得.
方法3: 设,则由是的中点得,,
∵,∴,知,∴,由得. 方法4:依题意设直线,与联立得,即
,由得,因为 ,所以.
23. 选修4-5：不等式选讲
已知函数，且的解集为
（I）求的值；
（II）若都是正实数，且，求证：
【答案】（1）（2）见解析
【解析】试题分析：（I）考查绝对值不等式的解法（II）采用配“1”法应用基本不等式证
明或者采用柯西不等式证明.
试题解析：
（I）依题意,即,
∴
（II）方法1:∵
∴
当且仅当,即时取等号方法2: ∵
∴由柯西不等式得
整理得...
当且仅当,即时取等号.。