(遵义专版)2019中考数学高分二轮复习-第二部分 热点专题解读 专题八 动点型几何探究问题 题型2
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例 2 (2017·遵义)边长为 2 2的正方形 ABCD 中，P 是对角 线 AC 上的一个动点(点 P 与 A，C 不重合)，连接 BP，将 BP 绕点 B 顺时针旋转 90°到 BQ，连接 QP，QP 与 BC 交于点 E，QP 延长 线与 AD(或 AD 延长线)交于点 F.
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第二部分 热点专题解读
专题八 动点型几何探究问题
题型二 动点与线段之间的数量关系
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常考题型 ·精 讲
• 此类问题的设问一般有三种：一是相等关系，二是倍数关系，三是定 值关系．解决相等关系可以从结论入手，即假设存在相等关系，然后 探究假设的正确性；解决倍数关系用勾股定理转换；解决定值关系主 要是作辅助线或等量代换说明是定值．
(1)连接 CQ，证明：CQ＝AP；
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【解答】∵线段 BP 绕点 B 顺时针旋转 90°得到线段 BQ， ∴BP＝BQ，∠PBQ＝90°. ∵四边形 ABCD 是正方形， ∴BA＝BC，∠ABC＝90°， ∴∠ABC＝∠PBQ， ∴∠ABC－∠PBC＝∠PBQ－∠PBC，即∠ABP＝∠CBQ. 在△BAP 和△BCQ 中，∵B∠AA＝BPB＝C，∠CBQ，
• ☞ 思路点拨
• 第一步：要得到PF与EQ的数量关系，可以从三方面入手，一是相等关
系，二是倍数关系，三是定值关系；
• 第二步：假设相等关系成立，从结论入手，当PF与EQ相等时，观察可
知通过证明三角形全等即可得出结论．
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∵△PBQ 是等腰直角三角形，∴∠BPQ＝45°， ∴∠APB＋∠CPQ＝180°－45°＝135°， ∴∠CPQ＝∠ABP. ∵∠BAC＝∠ACB＝45°，∴△APB∽△CEP， ∴CAEP＝ACBP，∴xy＝42－2x， ∴y＝212 x(4－x)＝－ 42x2＋ 2x(0＜x＜4)．
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BP＝BQ， ∴△BAP≌△BCQ(SAS)，∴CQ＝AP.
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• ☞ 思路点拨
• 证出∠ABP＝∠CBQ，由SAS证明△BAP≌△B为你2提供，thank you
(2)设 AP＝x，CE＝y，试写出 y 关于 x 的函数关系式，并求当 x 为何值时，CE ＝38BC;
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• (3)猜想PF与EQ的数量关系，并证明你的结论．
• 【解答】
• 结论：PF＝EQ. 证明如下： • 如答图1，当点F在边AD上时，过点P作PG⊥FQ，交AB于点G， • 连接FG，则∠GPF＝90°. • ∵∠BPQ＝45°，∴∠GPB＝45°，∴∠GPB＝∠PQB＝45°. • ∵PB＝BQ，∠ABP＝∠CBQ， • ∴△PGB≌△QEB(ASA)， • ∴EQ＝PG.
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• ∵∠BAD＝90°，∴F，A，G，P四点共圆， • ∴∠FGP＝∠FAP＝45°， • ∴△FPG是等腰直角三角形，∴PF＝PG， • ∴PF＝EQ. • 如答图2，当点F在AD的延长线上时，同理可得PF＝PG＝EQ.
答图
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∵CE＝38BC＝38×2 2＝342， ∴y＝－ 42x2＋ 2x＝342， 解得 x＝3 或 x＝1， ∴当 x＝3 或 x＝1 时，CE＝38BC. ☞ 思路点拨 第一步：要根据 CE＝38BC 得出 x 的值，则需根据 CE＝38BC 计算 CE 的长； 第二步：要得出 y 与 x 的关系式，只需证明△APB∽△CEP 列比例式即可得．
【解答】 ∵四边形 ABCD 是正方形， ∴∠BAC＝12∠BAD＝45°，∠BCA＝12∠BCD＝45°， ∴∠APB＋∠ABP＝180°－45°＝135°. ∵DC＝AD＝2 2， ∴在 Rt△ADC 中，由勾股定理得 AC＝ 2 22＋2 22＝4. ∵AP＝x，∴PC＝4－x.
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例 2 (2017·遵义)边长为 2 2的正方形 ABCD 中，P 是对角 线 AC 上的一个动点(点 P 与 A，C 不重合)，连接 BP，将 BP 绕点 B 顺时针旋转 90°到 BQ，连接 QP，QP 与 BC 交于点 E，QP 延长 线与 AD(或 AD 延长线)交于点 F.
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第二部分 热点专题解读
专题八 动点型几何探究问题
题型二 动点与线段之间的数量关系
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常考题型 ·精 讲
• 此类问题的设问一般有三种：一是相等关系，二是倍数关系，三是定 值关系．解决相等关系可以从结论入手，即假设存在相等关系，然后 探究假设的正确性；解决倍数关系用勾股定理转换；解决定值关系主 要是作辅助线或等量代换说明是定值．
(1)连接 CQ，证明：CQ＝AP；
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【解答】∵线段 BP 绕点 B 顺时针旋转 90°得到线段 BQ， ∴BP＝BQ，∠PBQ＝90°. ∵四边形 ABCD 是正方形， ∴BA＝BC，∠ABC＝90°， ∴∠ABC＝∠PBQ， ∴∠ABC－∠PBC＝∠PBQ－∠PBC，即∠ABP＝∠CBQ. 在△BAP 和△BCQ 中，∵B∠AA＝BPB＝C，∠CBQ，
• ☞ 思路点拨
• 第一步：要得到PF与EQ的数量关系，可以从三方面入手，一是相等关
系，二是倍数关系，三是定值关系；
• 第二步：假设相等关系成立，从结论入手，当PF与EQ相等时，观察可
知通过证明三角形全等即可得出结论．
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∵△PBQ 是等腰直角三角形，∴∠BPQ＝45°， ∴∠APB＋∠CPQ＝180°－45°＝135°， ∴∠CPQ＝∠ABP. ∵∠BAC＝∠ACB＝45°，∴△APB∽△CEP， ∴CAEP＝ACBP，∴xy＝42－2x， ∴y＝212 x(4－x)＝－ 42x2＋ 2x(0＜x＜4)．
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BP＝BQ， ∴△BAP≌△BCQ(SAS)，∴CQ＝AP.
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• 证出∠ABP＝∠CBQ，由SAS证明△BAP≌△B为你2提供，thank you
(2)设 AP＝x，CE＝y，试写出 y 关于 x 的函数关系式，并求当 x 为何值时，CE ＝38BC;
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• (3)猜想PF与EQ的数量关系，并证明你的结论．
• 【解答】
• 结论：PF＝EQ. 证明如下： • 如答图1，当点F在边AD上时，过点P作PG⊥FQ，交AB于点G， • 连接FG，则∠GPF＝90°. • ∵∠BPQ＝45°，∴∠GPB＝45°，∴∠GPB＝∠PQB＝45°. • ∵PB＝BQ，∠ABP＝∠CBQ， • ∴△PGB≌△QEB(ASA)， • ∴EQ＝PG.
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• ∵∠BAD＝90°，∴F，A，G，P四点共圆， • ∴∠FGP＝∠FAP＝45°， • ∴△FPG是等腰直角三角形，∴PF＝PG， • ∴PF＝EQ. • 如答图2，当点F在AD的延长线上时，同理可得PF＝PG＝EQ.
答图
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∵CE＝38BC＝38×2 2＝342， ∴y＝－ 42x2＋ 2x＝342， 解得 x＝3 或 x＝1， ∴当 x＝3 或 x＝1 时，CE＝38BC. ☞ 思路点拨 第一步：要根据 CE＝38BC 得出 x 的值，则需根据 CE＝38BC 计算 CE 的长； 第二步：要得出 y 与 x 的关系式，只需证明△APB∽△CEP 列比例式即可得．
【解答】 ∵四边形 ABCD 是正方形， ∴∠BAC＝12∠BAD＝45°，∠BCA＝12∠BCD＝45°， ∴∠APB＋∠ABP＝180°－45°＝135°. ∵DC＝AD＝2 2， ∴在 Rt△ADC 中，由勾股定理得 AC＝ 2 22＋2 22＝4. ∵AP＝x，∴PC＝4－x.
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