江苏省盐城市2020年高二第二学期数学期末质量检测试题含解析

江苏省盐城市2020年高二第二学期数学期末质量检测试题
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．函数()()3x
f x x e =- 的单调递增区间是（ ）
A ．(),2-∞-
B ．()2,+∞
C ．(1,4)
D ．(0,3)
【答案】B 【解析】 【分析】
求出函数()y f x =的导数，在解出不等式()0f x '>可得出所求函数的单调递增区间. 【详解】
()()3x f x x e =-，()()2x f x x e '∴=-，解不等式()0f x '>，解得2x >，
因此，函数()()3x
f x x e =-的单调递增区间是()2,+∞，故选B.
【点睛】
本题考查函数单调区间的求解，一般是先求出导数，然后解出导数不等式，将解集与定义域取交集得出单调区间，但单调区间不能合并，考查计算能力，属于中等题.
2．若()2,1,3a x =-，()1,2,9b y =，如果a 与b 为共线向量，则（ ） A ．1x =，1y = B ．16
x =-
，32y =
C ．1x =-，1y =
D ．1x =-，1y =-
【答案】B 【解析】 【分析】
利用向量共线的充要条件即可求出． 【详解】
解：
a 与
b 为共线向量，∴存在实数λ使得λa b ，
∴21239x y λλλ-=⎧⎪=⎨⎪=⎩，解得163213x y λ⎧
=-⎪⎪
⎪
=⎨⎪
⎪
=⎪⎩
．
故选：B ． 【点睛】
本题考查空间向量共线定理的应用，属于基础题.
3．设P 是双曲线22
21(0)9
x y a a -=>上一点，双曲线的一条渐近线方程为1320,x y F -=、2F 分别是双曲线
的左、右焦点，若15PF =，则2PF =（ ） A ．1或9 B ．6
C ．9
D ．以上都不对
【答案】C 【解析】 【分析】
根据双曲线的一条渐近线方程为320x y -=求出a ，由双曲线的定义求出2PF ，判断点P 在左支上，即求2PF . 【详解】
双曲线22
21(0)9x y a a -
=>的渐近线方程为3y x a
=±， 又双曲线的一条渐近线方程为320x y -=， 33
,2,2
a c a ∴=∴=∴==由双曲线的定义可得1224PF PF a -==，又15PF =， 2254,1PF PF ∴-=∴=或
29PF =.
152PF a c =<+=+∴点P 在左支上，
122,9PF PF PF ∴<∴=.
故选：C . 【点睛】
本题考查双曲线的定义和性质，属于基础题.
4．某校对甲、乙两个文科班的数学考试成绩进行分析，规定：大于或等于120分为优秀，120分以下为非优秀．统计成绩后，得到如下的22⨯列联表．根据列联表的数据判断有多少的把握认为“成绩与班级有关系”（ ）
临界值表：
参考公式：()
()()()()
2
2n ad bc K a b c d a c b d -=++++．
A ．90%
B ．95%
C ．99%
D ．99.9%
【答案】C 【解析】 【分析】
计算出2K 的观测值，利用临界值表找出犯错误的概率，可得出“成绩与班级有关系”的把握性. 【详解】
由表格中的数据可得()2
2110103020507.48660503080
K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯，
所以，()
2
6.6350.01P K ≥=，因此，有99%的把握认为“成绩与班级有关系”，
故选C. 【点睛】
本题考查独立性检验的基本思想，解题的关键就是计算出2K 的观测值，并利用临界值表找出犯错误的概率，考查计算能力，属于基础题.
5．已知x 与y 之间的一组数据：则y 与x 的线性回归方程为y=bx+a 必过（ ）
A ．(1.5，4)点
B ．(1.5，0）点
C ．（1，2）点
D ．（2，2）点
【答案】A 【解析】 由题意：01231357
1.5,444
x y ++++++=
=== ，回归方程过样本中心点，即回归方程过点()1.5,4 .
本题选择A 选项.
6．设~(,)B n p ξ，12E ξ=，4D ξ=，则,n p 的值分别为 （ ） A ．18，
23
B ．36,
13
C ．36，
23
D ．18，
13
【答案】A 【解析】
由ξ～B （n ，p ），E ξ＝12，D ξ＝4，知np ＝12，np （1﹣p ）＝4，由此能求出n 和p ． 【详解】
∵E ξ＝12，D ξ＝4，
∴np ＝12，np （1﹣p ）＝4， ∴n ＝18，p 2
3
=． 故选A ． 【点睛】
本题考查离散型随机变量的期望和方差，解题时要注意二项分布的性质和应用．
7．已知,a b →→为非零不共线向量，设条件:()M b a b →→→⊥-，条件:N 对一切x ∈R ，不等式||||a x b a b →→→→
-≥-恒成立，则M 是N 的（ ）
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】C 【解析】 【分析】
条件M ：()b a b →
→
→
⊥-20a b b ⇔⋅-=，条件N ：对一切x R ∈，不等式a xb a b -≥-成立，化为：
222220.x b a bx a b b -⋅+⋅-≥进而判断出结论．
【详解】
条件M ：0b a a b ⊥⇔⋅=．
条件N ：对一切x R ∈，不等式a xb a b -≥-成立，化为：222220x b a bx a b b -⋅+⋅-≥． 因为20b ≠，
()
2224()420a b b a b b ∴=⋅-⋅-≤， 2
2()0a b b →→
→∴⋅-≤，
即2
0a b b →→
→⋅-=，
可知：由M 推出N ，反之也成立． 故选：C ． 【点睛】
本题考查了向量数量积运算性质、充要条件的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 8．已知i 是虚数单位，则(2)i i +=（ ） A ．12i +
B ．12i -+
C ．12i --
D ．12i -
【解析】 【分析】
根据复数的乘法运算法则，直接计算，即可得出结果. 【详解】
() 22112i i i i +=-=-+.
故选B 【点睛】
本题主要考查复数的乘法，熟记运算法则即可，属于基础题型. 9．已知三棱锥P ABC -的体积为
43
3
，4APC π∠=，3BPC π∠=，PA AC ⊥，PB BC ⊥，且平面
PAC ⊥平面PBC ，那么三棱锥P ABC -外接球的体积为（ ）
A ．
43
π
B ．
823
π
C ．
123π
D ．
323
π
【答案】D 【解析】
试题分析：取PC 中点O ，连接AO ，由,4
PA AC APC π
⊥∠=
知AC AP =，则AO PC ⊥，又平面
PAC ⊥平面PBC ，所以AO ⊥平面PBC ，设AO x =，则2PC x =，又,3
BPC PB BC π
∠=
⊥，则
,3PB x BC x ==，21332PBC S x x x ∆=
⨯=，211343
33P ABC PBC V S OA x x -∆=⋅=⋅⋅=
，2x =，显然O 是其外接球球心，因此3
34
432()23
33
V AO πππ=
⨯=球＝．故选D ．
考点：棱锥与外接球，体积．
10．已知()f x 是定义在[1,1]-上的奇函数，对任意的12,[1,1]x x ∈-，均有2121()(()())0x x f x f x --≥.
当[0,1]x ∈时，2()(),()1(1)5
x f f x f x f x ==--，则290291314315()()()()2016201620162016
f f f f -+-++-+-=（ ）
A ．112-
B ．6-
C ．13
2- D ．254
-
【答案】C 【解析】 【分析】
由f （x ）=1﹣f （1﹣x ），得 f （1）=1，确定f （2902016）=1
4
，利用f （x ）是奇函数，即可得出结论． 【详解】
由f （x ）=1﹣f （1﹣x ），得 f （1）=1，
令x=
12，则f （12）=1
2
， ∵当x ∈[0，1]时，2f （5
x
）=f （x ），
∴f （5x ）=1
2f （x ），
即f （15）=12f （1）=12，
f （125）=12f （15）=14，
f （110）=12f （1
2）=14， ∵125＜2902016＜110
， ∵对任意的x 1，x 2∈[﹣1，1]，均有（x 2﹣x 1）（f （x 2）﹣f （x 1））≥0
∴f （
2902016）=1
4
， 同理f （2912016）=…=f （﹣3142016）=f （3152016）=1
4
．
∵f （x ）是奇函数，
∴f （﹣2902016）+f （﹣2912016）+…+f （﹣3142016）+f （﹣315
2016） =﹣[f （﹣2902016）+f （2912016）+…+f （3142016）+f （3152016）]=﹣13
2
，
故选：C ． 【点睛】
本题考查函数的奇偶性、单调性，考查函数值的计算，属于中档题． 11．下列结论中正确的是（ ） A ．导数为零的点一定是极值点
B ．如果在0x 附近的左侧()0f x '>，右端()0f x '<，那么()0f x 是极大值
C ．如果在0x 附近的左侧()0f x '>，右端()0f x '<，那么()0f x 是极小值
D ．如果在0x 附近的左侧()0f x '<，右端()0f x '>，那么()0f x 是极大值 【答案】B 【解析】 【分析】
根据极值点的判断方法进行判断. 【详解】
若()3
f x x =，则()2
'3f x x =，()'00f =，
但()3
f x x =是R 上的增函数，故0x =不是函数的极值点.
因为在0x 的左侧附近，有()'0f x >，在0x 的右侧附近，有()'0f x <， 故0x 的左侧附近，有()f x 为增函数，在0x 的右侧附近，有()f x 为减函数， 故()0f x 是极大值.故选B . 【点睛】
函数的极值刻画了函数局部性质，它可以理解为函数图像具有“局部最低（高）”的特性，用数学语言描述则是：“在0x 的附近的任意x ，有()()0f x f x >（()()0f x f x <）” ．另外如果()f x 在0x 附近可导且0x 的左右两侧导数的符号发生变化，则0x x =必为函数的极值点，具体如下．
（1）在0x 的左侧附近，有()'0f x >，在0x 的右侧附近，有()'0f x <，则0x x =为函数的极大值点； （1）在0x 的左侧附近，有()'0f x <，在0x 的右侧附近()'0f x >，有，则0x x =为函数的极小值点； 12．已知回归方程21y x =+，而试验得到一组数据是(2,5.1)，(3,6.9)，(4,9.1)，则残差平方和是（ ） A ．0.01 B ．0.02
C ．0.03
D ．0.04
【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】 因为残差
，所以残差的平方和为（5.1－5）2＋（6.9－7）2＋（9.1－9）2＝0.03.故选C. 考点：残差的有关计算. 二、填空题：本题共4小题
13．已知函数()f x 的定义域为[]
1,5-，部分对应值如下表，又知()f x 的导函数()y f x ='的图象如下
图所示：
x
-1 0 4 5 ()f x
1
2
2
1
则下列关于()f x 的命题：
①x 2=为函数()f x 的一个极大值点； ②函数()f x 的极小值点为2； ③函数()f x 在[]0,2上是减函数；
④如果当[
]
1,x t ∈-时，()f x 的最大值是2，那么t 的最大值为4； ⑤当12a <<时，函数()y f x a =-有4个零点. 其中正确命题的序号是__________．
【答案】②③ 【解析】
分析：由题意结合导函数与原函数的关系逐一考查所给的命题即可求得结果． 详解：由导数图象可知，当﹣1＜x ＜0或2＜x ＜4时，f′（x ）＞0，函数单调递增， 当0＜x ＜2或4＜x ＜5，f′（x ）＜0，函数单调递减， 当x=0和x=4，函数取得极大值f （0）=2，f （4）=2， 当x=2时，函数取得极小值f （2），所以①错误；②③正确； 因为在当x=0和x=4，函数取得极大值f （0）=2，f （4）=2， 要使当x ∈[﹣1，t]函数f （x ）的最大值是2， 则2≤t≤5，所以t 的最大值为5，所以④不正确；
由f （x ）=a 知，因为极小值f （2）未知，所以无法判断函数y=f （x ）﹣a 有几个零点，所以⑤不正确． 故答案为：②．
点睛：本题考查了导函数与原函数的关系，函数的单调性，函数的极值与最值及零点个数问题，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中档题．
14．将一颗均匀的骰子连续抛掷2次,向上的点数依次记为,m n ,则“2m n >”的概率是____________.
【答案】16
【解析】
分析：骰子连续抛掷2次共有36种结果，满足2m n >的有6种 详解：一颗均匀的骰子连续抛掷2次,向上的点数依次记为,m n , 则共有6636⨯=种结果，
满足2m n >共有：(3,1)，(4,1)，(5,1)，(6,1)，(5,2)，(6,2)6种 则2m n >”的概率是61P 366
=
= 点睛：古典概型概率要准确求出总的事件个数和基本事件个数，然后根据概率公式
()A P A 事件包含的基本事件个数
试验的基本事件总数
=
求解.
15．从一批含有13只正品,2只次品的产品中,不放回地抽取3次,每次抽一只,设抽取次品数为ξ,则
()51E ξ+= _____
【答案】3 【解析】
抽取次品数ξ满足超几何分布：()3213315k k C C p k C ξ-==，故()032133
1522
035
C C p C ξ===，()1221331512135C C p C ξ===，()21
2133
151235C C p C ξ===，其期望()221212
0123535355
E ξ=⨯+⨯+⨯=，故()()51513E E ξξ+=⨯+=.
16．已知函数()22ln ,0
3,02x x x x f x x x x ->⎧⎪
=⎨--≤⎪⎩
，若方程()10f x kx +-=有四个不相等的实根，则实数k 的取
值范围是______. 【答案】11,2⎛
⎫-- ⎪⎝⎭
【解析】 【分析】
先由题意，得0x =显然不是方程()10f x kx +-=的根；当0x ≠时，原方程可化为()
1k x
f x -=
，令()
1()f x g x x
-=
，0x ≠，用导数的方法研究函数的单调性，极值，确定函数的大致形状，原方程有四个
根，即等价于()
1()f x g x x
-=的图象与直线y k =有四个不同的交点，结合图象，即可求出结果. 【详解】
当0x =，10显然不成立； 当0x ≠时，由()10f x kx +-=得()
1k x
f x -=
， 令()1()f x g x x -=，0x ≠，即()1ln 2,013,02x x x
g x x x x ⎧+->⎪⎪=⎨⎪++<⎪⎩
，
则，方程()10f x kx +-=有四个不相等的实根等价于()1ln 2,013,02x x x
g x x x x ⎧
+->⎪⎪=⎨⎪++<⎪⎩
的图象与y k =有四个
不同的交点，
当0x >时，()1ln 2g x x x =+
-，则()22111
x g x x x x
-'=-=， 由()0g x '>得1x >，由()0g x '<得01x <<， 所以函数()1
ln 2g x x x
=+
-在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增， 因此，函数()g x 的极小值为()1121g =-=-；
当0x <时，()132g x x x =++，则()222
11
1x g x x x
-'=-=， 由()0g x '>得1x <-；由()0g x '<得10x -<<；
所以()13
2
g x x x =+
+在()1,0-上单调递减，在(),1-∞-上单调递增， 因此函数()g x 的极大值为()31
11122
g -=--+=-.
画出函数()1ln 2,013,02x x x
g x x x x ⎧
+->⎪⎪=⎨⎪++<⎪⎩
的大致图象如下：
由图象可得，只需112k -<<-
. 故答案为：11,2⎛⎫--
⎪⎝⎭
. 【点睛】 本题主要考查由函数零点个数求参数的问题，熟记分段函数的性质，导数的方法判断函数的单调性，求函数的极值等，灵活运用数形结合的方法求解即可，属于常考题型.
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．设函数()212f x x x =--+．
（1）解不等式()0f x >；
（2）若0x R ∃∈，使得()2
024f x m m +<，求实数m 的取值范围． 【答案】（1）1|33或x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭；（2）1522
m -
<<． 【解析】
【分析】 (1)把()f x 用分段函数来表示，令()0f x =，求得x 的值，可得不等式()0f x >的解集;
(2)由(1)可得()f x 的最小值为12f ⎛⎫ ⎪⎝⎭，再根据21422f m m ⎛⎫<- ⎪⎝⎭
，求得m 的范围． 【详解】 (1)函数()212f x x x =--+
3,2131,2213,2x x x x x x ⎧⎪-+<-⎪⎪=---≤≤⎨⎪⎪->⎪⎩
， 令()0f x =，求得13x =-，或3x =，
故不等式()0f x >的解集为1
{|3
x x <-，或3}x >； (2)若存在0x R ∈，使得()2024f x m m +<，即()2042f x m m <-有解，
由(1)可得()f x 的最小值为11531222f ⎛⎫=-⨯-=- ⎪⎝⎭
， 故25422
m m -<-， 解得1522m -
<<． 【点睛】
绝对值不等式的解法：
法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；
法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；
法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．
18．已知中心在原点O ，焦点在x 轴上的椭圆E
过点(C ，离心率为
12
. （1）求椭圆E 的方程；
（2）设过定点02T （，）的直线l 与椭圆E 交于不同的两点A B 、，且·0OA OB >，求直线l 的斜率k 的取值范围； 【答案】 (1) 22143x y +=
(2) 1122k k <<-<<或 【解析】
分析：（1
）利用离心率，点(C 在曲线上，列出a,b 的方程．
（2）联立直线与椭圆方程根据韦达定理列出12x x +，12x x 的关系式，利用向量关系式·0OA OB >，列
出关于斜率k 的不等式，解出取值范围．
详解：（1）设椭圆E 的方程为：22
221x y a b
+= (0)a b >>， 由已知：
22212b c a a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩
得： 24a =， 23b =，
所以，椭圆E 的方程为： 22
143
x y +=. （2）由题意，直线斜率存在，故设直线l 的方程为()()11222,,,,y kx A x y B x y =+点 由22214
3y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得2243)1640k x kx +++=（ 121222164,4343
k x x x x k k ∴+=-=++ 由0∆>即有1122k k -
或 ·0OA OB >即()()121212120220x x y y x x kx kx +>⇒+++>
()212121+)240k x x k x x ∴+++>（
有()
22241612404343
k k k k k -+++>++ 解得21443k << 综上：实数k
的取值范围为1122k k <<-<<或 点睛：求参数k 的取值范围，最终落脚点在于计算直线与曲线的交点坐标的关系式．根据题目的条件，转化为12x x +，12x x 关系的式子是解题的关键．
19．已知函数2()ln f x x x =+
（1）求函数()f x 在[1,]e 上的最大值和最小值；
（2）求证：当x (1,)∈+∞时，函数()f x 的图象在3221()32
g x x x =+的下方． 【答案】（1）()f x 的最小值是(1)1f =，最大值是2()1f e e =+；（2）证明详见解析.
【解析】
【详解】
试题分析：（1）先求导数，确定导函数恒大于零，即得函数单调递增，最后根据单调性确定最值，（2）先
作差函数，利用导数研究函数单调性，再根据单调性去掉函数最值，根据最大值小于零得证结论. 试题解析：(1)因为f(x)＝x 2＋ln x ，所以1()2f x x x
'=+ 因为x>1时，f ′(x)>0，所以f(x)在[1，e]上是增函数，
所以f(x)的最小值是f(1)＝1，最大值是f(e)＝1＋e 2.
(2)证明：令2312()()()ln 23
F x f x g x x x x =-=-+， 所以()2232332(1)211211()2x x x x x x x x F x x x x x x x
'-++-+--+=-+=== 因为x>1，所以F ′(x)<0，所以F(x)在(1，＋∞)上是减函数， 所以121()(1)0236
F x F <=
-=-<.所以f(x)<g(x)． 所以当x ∈(1，＋∞)时，函数f(x)的图象在3221()32g x x x =+的下方． 20．设1z +为关于x 的方程()2
0,x px q p q R ++=∈的虚根，i 虚数单位． （1）当1z i =-+时，求p 、q 的值；
（2）若1q =，在复平面上，设复数z 所对应的点为M ，复数24i -所对应的点为N ，试求MN 的取值范围．
【答案】（1）0p =,1q =（2）[]4,6
【解析】
【分析】
（1）1z i =-+,则1z i +=,则可确定方程()2
0,x px q p q R ++=∈两根为,i i -,由韦达定理即可求得,p q ; （2）可确定1z +,1z +为方程的两根,设z a bi =+,由韦达定理可得()()
111z z +⋅+=,即()()()
221111z z a b +⋅+=++=,1cos a θ=-+,sin b θ=,用两点间距离公式可表示出MN ,用三角函
数的知识求得其范围.
【详解】 （1）当1z i =-+,则1z i +=
∴方程20x px q ++=的两根分别为:,i i -
()()i i p i i q ⎧+-=-⎪∴⎨⋅-=⎪⎩
,即0p =,1q = （2）当1q =时，方程为2
10x qx ++=
1z ∴+,1z +为方程的两根
设(,)z a bi a b R =+∈，则11z a bi +=++，11z a bi +=+-
∴ ()()()221111z z a b +⋅+=++= 设1cos a θ=-+，sin b θ=，[)0,2θ∈π 故()1cos ,sin M θθ-+ 复数24i -所对应的点为N ,可得()2,4N - 根据两点间距离公式: ()()()22
cos 3sin 4268sin 6cos 2610sin MN θθθθθϕ∴=-++=+-=+- 其中3tan 4ϕ=，0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
()[]sin 1,1θϕ+∈- []4,6MN ∴∈
即MN 的取值范围为:[]4,6.
【点睛】
本题考查复数的定义,几何意义的应用,关键是能够通过方程的一个虚根确定方程两根,利用韦达定理建立等量关系.
21．已知圆
，点在抛物线上，为坐标原点，直线与圆有公共
点.
（1）求点横坐标的取值范围；
（2）如图，当直线过圆心时，过点作抛物线的切线交轴于点，过点引直线交抛物线于
两点，过点作轴的垂线分别与直线
交于，求证：为中点. 【答案】（1）（2）见证明
【解析】
【分析】
（1）设，联立抛物线，再利用圆与直线相交建立不等式，从而确定点横坐标的取值范围；
（2）可先找到函数关系式，利用导数确定切线的斜率，设，利用韦达定理即可证明为中点.
【详解】
解：（1）由题意直线斜率存在且不为零，设
到的距离为，
所以
（2）当直线过圆心时，
，所以，
即，
所以，设，
由得
，所以
，
即为中点．
【点睛】
本题主要考查了直线与圆，抛物线的位置关系，切线问题等，综合性强，直线与圆的相关计算常考点到直线的距离公式，必须熟记.
22．四个不同的小球放入编号为1,2,3,4的四个盒子中.
(1)若每个盒子放一个球,则共有多少种不同的放法?
(2)恰有一个空盒的放法共有多少种?
【答案】 (1)24;(2)144.
【解析】
分析：（1）直接把4个球全排列即得共有多少种不同的放法.(2)利用乘法分步原理解答.
详解：(1)每个盒子放一个球,共有4
4
A=24种不同的放法.
(2)先选后排,分三步完成:
第一步:四个盒子中选一只为空盒,有4种选法;
第二步:选两球为一个元素,有2
46
C=种选法;
第三步:三个元素放入三个盒中,有3
36
A=种放法.
故共有4×6×6=144种放法.
点睛：（1）本题主要考查计数原理和排列组合的综合应用，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)排列组合常用解法有一般问题直接法、相邻问题捆绑法、不相邻问题插空法、特殊对象优先法、等概率问题缩倍法、至少问题间接法、复杂问题分类法、小数问题列举法.。