2022-2023学年全国高中高二上数学人教A版(2019)月考试卷(含解析)

2022-2023学年全国高二上数学月考试卷
考试总分：141 分 考试时间： 120 分钟
学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;
卷I （选择题）
一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）
1. 直线的倾斜角为( )
A.
B.C.
D.
2. 若三条直线，，，交于一点，则的值为（ ）
A.B.C.D.
3. 在平面直角坐标系中，分别是轴正半轴和图像上的两个动点，且，则的最大值是 A.B.C.D.
x −y +1=03–√π
6
π32π35π6ax +y +1=0y =3x x +y =4a 4
−4
2
3
−
2
3xOy M,N x y =x(x >0)|MN|=2–√|OM +|ON |2|2()
4−22
–√4
3
4
4+22
–√−+2−3(,,)
−→−
4. 在空间直角坐标系中，分别是与轴、轴、轴的正方向同
向的单位向量），则点的坐标为（ ）
A.B.C.D.不能确定
5. 已知两条直线：，，且，则直线的
一个方向向量是（ ）A.B.C.D.
6. 已知，，，则平面的一个单位法向量是（ ）
A.B.C.D.
7. 直线过点，且倾斜角为，则直线的方程是（ ）
A.B.C.D.
8. 如图，已知正方体的棱长为，点在棱上，且，是侧面 内一动点，，则的最小值为( )
Oxy =−+2−3(,,)AB −→−e 1→e 2→e 3→e 1→e 2→e 3→x y z B (−,2,−3)
e 1→e 2→e 3→(−1,2,−3)
(1,−2,3)
l 1(m +3)x +4y +3m −5=0
:2x +(m +6)y −8=0l 2⊥l 1l 2l 1(1,−)12
(−1,−)12
(1,−1)
(−1,−1)
A(1,0,0)B(0,1,0)C(0,0,1)ABC (1,1,−1)
(,−,)3–√33–√33–√3
(1,1,1)
(−,−,−)3–√33–√33–√3
l (0,1)450l x +y +1=0
x −y +1=0
x −y −1=0
x +y −1=0
ABCD −A 1B 1C 1D 13H AA 1H =1A 1P BCC 1B 1HP =13−−√CP
A.B.C.D.二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）
9. 设向量，，则（ ）
A.B.C.D.与的夹角为
10. 若两条平行直线＝与＝之间的距离是，则的可能值为（ ）
A.B.C.D.
11. 已知直线与圆相交于，两点，弦的中点为，则实数
的取值可为( )
A.B.C.D. −2
15−−√−3
15−−√−2
13−−√−3
13−−√=(2,0)a →=(1,1)b →||a →=||
b →(−)//a →b →b
→(−)⊥a →b →b
→a →b →π4
:x −2y +m l 10:2x +ny −6l 2025–√m +n 3
−17
−3
17
l C :++2x −4y +a =0x 2y 2A B AB M (0,1)a 1
2
3
4
12. 如图，正方体的棱长为，线段上有两个动点，，且＝，以
下结论正确的有（ ）A.B.点到的距离为定值
C.三棱锥的体积是正方体
体积的
D.异面直线，所成的角为定值
卷II （非选择题）
三、 填空题 （本题共计 3 小题 ，每题 5 分 ，共计15分 ）
13. 在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标是________．
14. 不论为何值，直线恒过的一个定点是________．
15. 如图，正三棱柱的底面边长为如，侧棱长为，，分别是，的中
点，则的长为________．
四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 11 分 ，共计66分 ）
16. 在空间直角坐标系中，，，，，点满足．
（1）求点的坐标（用表示）；
（2）若，求的值．
ABCD −A 1B 1C 1D 1a B 1D 1E F EF a AC ⊥BE
A △BEF A −BEF ABCD −A 1
B 1
C 1
D 1A
E B
F M(1,−2,3)yOz k (2k −1)x −(k −2)y −(k +4)=0
ABC −A 1B 1C 124E F AB A 1C 1EF O −xyz O(0,0,0)A(1,0,0)B(1,2,0)C(0,1,2)P =λAP →AC →P λOP ⊥BC λP(1，2)l M(2，3)N(4，−5)l l
17. 过点做直线，使点和点到直线的距离相等，则直线的方程为________.
18. 如图，在三棱柱中底面是线段的中点是线段上任意一点证明：平面
证明：平面 19. 中，内角，，C 的对边分别是，，，已知，，且
.求，角的值．
20. 已知直线经过点．
Ⅰ若原点到直线的距离为，求直线的方程；
Ⅱ若直线被两条相交直线＝和＝所截得的线段恰被点平分，求直线的方程．
21. 如图，菱形的边长为，＝，矩形的面积为，且平面平面．
（1）证明：；
（2）求二面角的正弦值．
P(1，2)l M(2，3)N(4，−5)l l ABC −A 1B 1C 1，AC =BC ，A ⊥A 1ABC ，D AB ，E A 1B 1，C ∩B =O.
B 1
C 1(1)C
D ⊥AB ；
B 1A 1(2)OD//A E.
C 1△ABC A B a b c a =7c =3=sin C sin B 35
b A l P(−2,4)()l 2l ()l :2x −y −2l 10:x +y +3l 20P l ABCD 4∠DAB 60∘BDFE 8BDFE ⊥ABCD AC ⊥BE E −AF −D
参考答案与试题解析
2022-2023学年全国高二上数学月考试卷
一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）
1.
【答案】
A
【考点】
直线的倾斜角
【解析】
先求出直线的斜率，再根据斜率是倾斜角的正切值，计算倾斜角即可．
【解答】
解：设倾斜角为，
∵直线的斜率为，∴，∵，
∴.
故选.
2.
【答案】
B
【考点】
两条直线的交点坐标
【解析】
联立，，解得，由于三条直线，，相交于一点，把点代入，即可解得的值．
【解答】
解：联立，，
则，解得，∵三条直线，，相交于一点，
x −y +1=03–√αx −y +1=03–√3–√3tan α=3–√3<α<0∘180∘α=30∘A y =3x x +y =4(x,y)ax +y +1=0y =3x x +y =4ax +y +1=0a y =3x x +y =4{
y =3x x +y =4{x =1y =3
ax +y +1=0y =3x x +y =4(1,3)
∴把点代入，可得，
解得．
故选．
3.
【答案】
D
【考点】
两点间的距离公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由题可设，，
则，
所以，
即，
因为，
当且仅当时，上式取等号，
故的最大值是.
故选4.
【答案】
D
【考点】
空间向量的数乘运算
【解析】
由于不知道点的坐标，因此的坐标不确定．
【解答】
解：，
由于不知道点的坐标，因此的坐标不确定．
故选：．
5.
【答案】(1,3)ax +y +1=0a +3+1=0a =−4B M(a,a),N(b,0),a >0,b >0(a −b +=2)2a 22+=2+2ab ≥2ab a 2
b 22–√=1+≥ab 22−22–√2–√|OM +|ON |2|2
=+2≥2ab =2+4b 2a 22–√2–√b =a 2–√|OM +|ON |2|24+22–√D.A B =−+2−3=(−1,2,−3)=−AB −→−e 1→e 2→e 3→OB −→−OA
−→−
A B D
B
【考点】
直线的一般式方程与直线的垂直关系
【解析】
由直线垂直可得的方程，解得值可得直线的斜率，可得方向向量．
【解答】
解：∵两条直线：，，且，∴，解得，故直线：，化简可得，∴直线的斜率为，∴直线的方向向量为，经验证向量与平行，故也是直线的方向向量．故选：．6.
【答案】
D
【考点】
平面的法向量
【解析】
设平面的一个单位法向量为，由已知得，由此能求出结果．
【解答】
解：∵，，，∴，，设平面的一个单位法向量为，则，解得，或．故选：．
7.
【答案】
m m l 1l 1(m +3)x +4y +3m −5=0:2x +(m +6)y −8=0l 2⊥l 1l 22(m +3)+4(m +6)=0m =−5l 1(−5+3)x +4y +3(−5)−5=0x −2y +10=0l 112l 1(1,
)12
(−1,−)12(1,
)12B ABC =(x,y,z)n →
⋅=−x +y =0n →AB −→−⋅=−x +z =0n →AC −→−||=++=1n →x 2y 2z 2A(1,0,0)B(0,1,0)C(0,0,1)=(−1,1,0)AB −→−=(−1,0,1)AC −→−ABC =(x,y,z)n → ⋅=−x +y =0
n →AB −→−⋅=−x +z =0n →AC −→−||=++=1
n →x 2y 2z 2=(−,−,−)n →3–√33–√33–√3=(,,)n →3–
√33–√33–√3D
B
【考点】
直线的斜截式方程
【解析】
由题意可得直线的斜率，进而可得直线的斜截式方程，化为一般式即可．
【解答】
解：由题意可得直线的斜率，
∴直线的斜截式方程为，
化为一般式可得，
故选：．
8.
【答案】
C
【考点】
点、线、面间的距离计算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：如图，作交于点，连接，则
．
可得平面，
则.因为，，所以，
所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆弧，所以的最小值为.
故选.
二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）
9.
k =tan =145∘y −1=1×(x −0)x −y +1=0B HG ⊥BB 1BB 1G PG G =1B 1HG ⊥BCC 1B 1AG ⊥GP HP =13−−√HG =AB =3GP ==2H −H P 2G 2−−−−−−−−−−√P G 2CP CG −2=−213−−√C
【答案】
C,D
【考点】
平面向量的坐标运算
向量的模
数量积表示两个向量的夹角
数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】
可以求出，从而判断错误；容易得出，从而判断错误，正确；可以求出，从而判断正确．【解答】
解：∵，，∴错误；
，∴，∴，∴错误，正确；
∵，且，∴与的夹角为，∴正确．
故选.
10.
【答案】
A,B
【考点】
两条平行直线间的距离
【解析】
利用两条直线平行的性质求出，再利用两条平行直线间的距离求出，可得的值．
【解答】
直线＝与＝平行，则
，解得＝；所以＝；所以直线与间的距离是，所以＝，||=2,||=a b 2–√A (−)⋅=0a b b B C cos <,>=a b 2–√2
D ||=2a →||=b →2–√A −=(1,−1)a →b →(−)⋅=1−1=0a →b →b →(−)⊥b a →b →→B C cos <,>===a →b →⋅a →b →||||
a →
b →222–√2–√20≤<,b >≤πa →→a →b →π4D CD n m m +n :x −2y +m l 10:2x +ny −6l 20=12−2n n −4:x −2y −3l 20l 1l 2d =
=2|m +3|12+(−2)2−−−−−−−−√5–√|m +3|10
解得＝或＝；
当＝时，＝＝；
当＝时，＝＝；
所以的可能值为或．
11.
【答案】
A,B
【考点】
圆的标准方程与一般方程的转化
直线与圆的位置关系
两点间的距离公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：圆的标准方程为，则圆心，半径.∵弦的中点为，∴点在圆内部，即，即，
∴，即．
根据题意，，符合.
故选.
12.
【答案】
A,B,C
【考点】
棱柱、棱锥、棱台的体积
异面直线及其所成的角
【解析】
由异面直线的判定判断；由二面角的平面角的定义可判断；运用三棱锥的体积公式可判断；运用三角形的面积公式可判断．
【解答】
对于，根据题意，，平面，
所以，所以正确；
m −13m 7m −13m +n −13−4−17m 7m +n 7−43m +n 3−17(x +1+(y −2=5−a )2)2C(−1,2)r =5−a
−−−−√AB M(0,1)M <+(1−212)2−−−−−−−−−−√5−a −−−−√<2–√5−a −−−−√5−a >2a <3A B AB A B C D A AC ⊥DD 1AC ⊥BDD 1B 6AC ⊥BE A A A △BEF
对于，到平面的距离是定值，所以点到的距离为定值，
则正确；
对于，三棱锥的体积为
＝•
＝，
三棱锥的体积是正方体体积的
，正确；
对于，异面直线，命题错误；三、 填空题 （本题共计 3 小题 ，每题 5 分 ，共计15分 ）
13.
【答案】
【考点】
空间中的点的坐标
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
14.
【答案】
【考点】
直线恒过定点
过两条直线交点的直线系方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：，即.
所以该直线一定经过直线和直线的交点.
故答案为：.
15.
【答案】
B A BDD 1B 1A △BEF B
C A −BEF V 三棱锥A−BEF EF ⋅AB ⋅B ⋅sin B 145∘××a ×a×a 3A −BEF ABC
D −A 7B 1C
1D 6D AE D (−1,−2,3)
(2,3)
(2k −1)x −(k −2)y −(k +4)=0k(2x −y −1)+(−x +2y −4)=0
2x −y −1=0−x +2y −4=0(2,3)(2,3)17−−√
【考点】
点、线、面间的距离计算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解： 过点作于点，则平面，连接，则在
中，．
故答案为：．
四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 11 分 ，共计66分 ）
16.
【答案】
因为，，
所以，
因为，
所以，
所以点的坐标为．
因为，，
所以，即＝，
解得．
【考点】
向量的数量积判断向量的共线与垂直
【解析】
（1）先求出，再由，能求出点的坐标．
（2）由，，利用向量垂直的性质能求出结果．
【解答】
因为，，
所以，
因为，
所以，
17
−−√F FG ⊥AC G FG ⊥ABC GE ，GE =
BC =1
12Rt △FGE EF ==F +G G 2E 2−−−−−−−−−−√=+4212−−−−−−√17−−√17−−√A(1,0,0)C(0,1,2)=(−1,1,2)
AC →=λ
AP →AC →=+=+λ=(1,0,0)+λ(−1,1,2)=(1−λ,λ,2λ)OP →OA →AP →OA →AC →P (1−λ,λ,2λ)=(−1,−1,2)BC →OP ⊥BC ⋅=0OP →BC →−1×(1−λ)−1×λ+2×2λ0λ=14=(−1,1,2)AC →=λAP →AC →P =(−1,−1,2)BC →OP ⊥BC A(1,0,0)C(0,1,2)=(−1,
1,2)AC →=λAP →AC →=+=+λ=(1,0,0)+λ(−1,1,2)=(1−λ,λ,2λ)OP →OA →AP →OA →AC →(1−λ,λ,2λ)
所以点的坐标为．因为，，所以，即＝，
解得．17.
【答案】或.
【考点】
点到直线的距离公式
直线的点斜式方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵直线过点，
∴设的方程为：.
即.
又直线于点和点的距离相等，
∴，化简得：或，∴的方程为或.
故答案为：或.
18.
【答案】
证明：因为是线段的中点所以又底面所以又所以平面.
易知四边形为平行四边形则为的中点，
P (1−λ,λ,2λ)=(−1,−1,2)BC →OP ⊥BC ⋅=0OP →BC →−1×(1−λ)−1×λ+2×2λ0λ=144x +y −6=03x +2y −7=0P(1,2)l y −2=k(x −1)kx −y −k +2=0l M(2，3)N(4，−5)=|2k −3−k +2|+1k 2−−−−−√|4k +5−k +2|+1
k 2−−−−−√k =−4k =−
32l 4x +y −6=03x +2y −7=04x +y −6=03x +2y −7=0(1)AC =BC ，D AB ，
CD ⊥AB ，
A ⊥A 1ABC ，A ⊥CD ，
A 1A
B ∩A =A ，A 1CD ⊥ABB 1A 1(2)BC
C 1B 1，
O BC 1AB ，OD//A ，
C
又是线段的中点所以而平面平面所以平面【考点】
直线与平面平行
直线与平面垂直
【解析】
此题暂无解析
【解答】
证明：因为是线段的中点所以又底面所以又所以平面.
易知四边形为平行四边形则为的中点，
又是线段的中点所以而平面平面所以平面19.
【答案】
解：由正弦定理得：，变形得：，因为，所以，又，可得；
由余弦定理得：
.
因为，
所以.
【考点】
正弦定理D AB ，OD//A ，
C 1O
D ⊂A
E ，A ⊂C 1C 1A E ，
C 1OD//A E.
C 1(1)AC =BC ，
D AB ，
CD ⊥AB ，
A ⊥A 1ABC ，A ⊥CD ，
A 1A
B ∩A =A ，A 1CD ⊥ABB 1A 1(2)BC
C 1B 1，
O BC 1D AB ，OD//A ，
C 1O
D ⊂A
E ，A ⊂C 1C 1A E ，
C 1OD//A E.
C 1=b sin B c sin C =sin C sin B c b =sin C sin B 35=c b 35c =3b =5cos A ===−+−b 2c 2a 22bc 25+9−492×5×312A ∈(0,π)A =120∘
【解析】
由正弦定理得
，变形后代入已知的等式，得到与的比值，把的值代入可得的长；由余弦定理表示出，把，及的值代入求出的值，根据为三角形的内角，利用特殊角
的三角函数值可得的度数.【解答】
解：由正弦定理得：
，变形得：，因为，所以，又，可得；
由余弦定理得：.
因为，
所以.
20.
【答案】（1）①直线的斜率不存在时，直线方程为＝．
②直线的斜率存在时，设直线方程为＝，
由原点到直线的距离为得，解，
故直线的方程为，
即＝，
综上，所求直线的方程为＝或＝．
（2）设直线夹在直线，之间的线段为（在上，在上），
，的坐标分别设为，因为被点平分，所以＝，＝，即＝，＝．
由于在上，在上，即
，
解得＝，＝，即的坐标是，
又直线过点，
故直线的方程是＝．
【考点】
点到直线的距离公式
【解析】
此题暂无解析=b sin B c sin C c b c b cos A a b c cos A A A =b sin B c sin C
=sin C sin B c b =sin C sin B 35=c b 35c =3b =5cos A ===−+−b 2c 2a 22bc 25+9−492×5×312A ∈(0,π)A =120∘l x −2l y −4k(x +2)l 2l 3x +4y −104l x −23x +7y −100l l 1l 3AB A l 1B l 2A B (,)x 7y 1(,)
x 2y 5AB P +x 1x 2−2+y 1y 25x 2−4−x 4y 28−y 5A l 1B l 2x 63y 15A (3P(−2,7)l y 4
此题暂无解答
21.
【答案】
∵四边形是矩形，∴，
∵平面平面，且平面平面＝，平面，
∴平面，
∵平面，∴．
设，的交点为，建立空间直角坐标系，∵菱形的边长为，且＝，∴＝，∵矩形的面积为，∴＝，则，，，，，，∴＝，＝，，，＝，，，设平面的法向量＝，则，取＝，得＝，，-），设平面
的法向量＝，则，取＝，得＝，-，，设二面角的平面角为，
则＝＝＝，
∴＝＝．
∴二面角的正弦值为
．
【考点】
直线与平面垂直
二面角的平面角及求法
【解析】
（1）推导出，从而平面，由此能证明．
（2）设，的交点为，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的正弦
BDEF BE ⊥BD BDEF ⊥ABCD BDEF∩ABCD BD BE ⊂BDFE BE ⊥ABCD AC ⊂ABCD AC ⊥BE AC BD O ABCD 4∠DAB 60∘BD 4BDEF 8BE 2A(−200)D(0,2,0)E(0,−2,2)F(0,2,2)(0,4,0)(222)(220)AEF (x,y,z)x 1(10ADF (x,y,z)x 1(10)E −AF −D θcos θsin θE −AF −D BE ⊥BD BE ⊥ABCD AC ⊥BE AC BD O E −AF −D
值．
【解答】
∵四边形是矩形，∴，
∵平面平面，且平面平面＝，平面，
∴平面，
∵平面，∴．
设，的交点为，建立空间直角坐标系，
∵菱形的边长为，且＝，∴＝，
∵矩形的面积为，∴＝，
则，，，，，，
∴＝，＝，，，＝，，，
设平面的法向量＝，
则，取＝，得＝，，-），
设平面
的法向量＝，
则，取＝，得＝，-，，设二面角的平面角为，
则＝＝＝，
∴＝＝．
∴二面角的正弦值为
．
BDEF BE⊥BD
BDEF⊥ABCD BDEF∩ABCD BD BE⊂BDFE
BE⊥ABCD
AC⊂ABCD AC⊥BE
AC BD O
ABCD4∠DAB60∘BD4
BDEF8BE2
A(−200)D(0,2,0)E(0,−2,2)F(0,2,2) (0,4,0)(222)(220)
AEF(x,y,z)
x1(10
ADF(x,y,z)
x1(10)
E−AF−Dθ
cosθ
sinθ
E−AF−D。