名师一号(选1—1)第一章测试
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第29页 共 34 页
21.已知p
:
2x 2
9x
a
0,
q
:
x 2
x
2
4x 6x
3 8
0 , 且q是p的必要条件, 0
求实数a的取值范围.
第30页 共 34 页
解
:由
x2 x2
4x 6x
3 8
0 0
,
得
1 2
x3 x4
分析:找出命题中所含的全称量词或存在量词,没有的结合命 题的具体含义进行判断.
第24页 共 34 页
解 : 1可以改写为“平面内,所有凸多边形的外角和等于360”,
故是全称命题, 且为真命题.
2 “有一些”是存在量词, 故该命题为特称命题, 显然是真命题.
3 是特称命题.
2x
2 0
解:逆命题为:“已知a,b∈R,若a2≥4b,则关于x的不等式 x2+ax+b≤0有非空解集”.
由a2≥4b知,Δ=a2-4b≥0.这说明抛物线y=x2+ax+b与x轴有交 点,那么x2+ax+b≤0必有非空解集.故逆命题是真命题.
第26页 共 34 页
19.设集合M x | y log2 x 2, P x | y 3 x ,
第6页 共 34 页
5.若命题“如果p,那么q”为真,则( )
A.q⇒p
B.¬p⇒¬q
C.¬q⇒¬p
D.¬q⇒p
解析:由题可知p⇒q成立,则它的逆否命题成立,即¬q⇒¬p.
答案:C
第7页 共 34 页
6.下列说法正确的是( ) ①原命题为真,它的否命题为假; ②原命题为真,它的逆命题不一定为真; ③一个命题的逆命题为真,它的否命题一定为真; ④一个命题的逆否命题为真,它的否命题一定为真. A.①② B.②③ C.③④ D.②③④ 答案:B
C.②③④
D.①③④
第14页 共 34 页
解析:①逆命题:“若lgx+lgy=0,则xy=1”为真命题. ②逆命题:“若a⊥(b-c),则a·b=a·c”为真命题,根据逆命
题与否命题的等价性,则否命题也为真命题. ③当b≤0时,Δ=4b2-4(b2+b)=-4b≥0,知方程有实根,故原命题为
真命题,所以逆否命题也为真命题. ④真命题. 答案:B
则“x M或x P”是“x M P”的什么条件?
解:由题设知,M={x|x>2},P={x|x≤3}. ∴M∩P=(2,3],M∪P=R 当x∈M或x∈P时 x∈(M∪P)=R ⇏x∈(2,3]=M∩P. 而x∈(M∩P)⇒x∈R ∴x∈(M∩P)⇒x∈M或x∈P.故“x∈M或x∈P”是 “x∈(M∩P)”的必要不充分条件.
解析:∀x∈[1,2],x2-a≥0,即a≤x2, 当x∈[1,2]时恒成立,∴a≤1. ∃x0∈R,x20+2ax0+2-a=0, 即方程x2+2ax+2-a=0有实根, ∴Δ=4a2-4(2-a)≥0.∴a≤-2或a≥1.
又p∧q为真,故p、q都为真, ∴ a≤1,
a≤-2或a≥1, ∴a≤-2或a=1. 答案:A
()
4
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
第4页 共 34 页
解析 : tan(2k ) tan 1,所以充分;
4
4
但反之不成立,如tan 5 1.
4
答案:A
第5页 共 34 页
4.(2010·湖南)下列命题中的假命题是( ) A.∀x∈R,2x-1>0 B.∀x∈N*,(x-1)2>0 C.∃x∈R,lgx<1 D.∃x∈R,tanx=2 解析:对于B选项x=1时,(x-1)2=0,故选B. 答案:B
第17页 共 34 页
二､填空题 13.已知命题p:∃x∈R,x2+2ax+a≤0,则¬p为________. 答案:∀x∈R,x2+2ax+a>0
第18页 共 34 页
14.已知p:x2-x≥2,q:|x-2|≤1,且p∧q与¬q同时为假命题,则实 数x的取值范围为________.
解析:由x2-x≥2,得x≥2或x≤-1, |x-2|≤1,得1≤x≤3, ∵p∧q与¬q同时为假命题, ∴q为真命题,p为假命题,∴1≤x<2. 答案:1≤x<2
第15页 共 34 页
12.(2009·山东聊城)已知命题p:∀x∈[1,2],x2-a≥0,命题 q:∃x0∈R,x20+2ax0+2-a=0.若命题“p∧q”是真命题,则 实数a的取值范围是( )
A.a≤-2或a=1 B.a≤-2或1≤a≤2 C.a≥1 D.-2≤a≤1
第16页 共 34 页
第32页 共 34 页
解:对于命题p:当0<a<1时,函数y=loga(x+3)在(0,+∞)上单调 递减.
当a>1时,函数y=loga(x+3)在(0,+∞)上单调递增,所以,如果p为 真命题,则0<a<1.
如果p为假命题,则a>1. 对于命题q:如果函数y=x2+(2a-3)x+1的图象与x轴交于不同
第12页 共 34 页
10.对于命题p:对任意的实数x,有-1≤sinx≤1,q:存在一个实数
使sinx+
3 cosx=3成立,下列结论正确的是( )
A.¬p∨q B.p∧¬q
C.¬q∧¬p D.q∧p
解析:p为真命题,而sinx+ 3 cosx=2sin(x+
)≤2,故q为假命题.∴p∧¬q为真命题.
第一章测试题
第1页 共 34 页
一､选择题 1.(2010·陕西)“a>0”是“|a|>0”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:本题考查充要条件的判
断,∵a>0⇒|a|>0,|a|>0⇏a>0,∴“a>0”是“|a|>0”的充 分不必要条件. 答案:A
9.下列选项中,p是q的必要不充分条件是( ) A.p:a+c>b+d,q:a>b且c>d B.p:a>1,b>1,q:f(x)=ax-b(a>0且a≠1)的图象不过第二象限 C.p:x=1,q:x2=x D.p:a>1,q:f(x)=logax(a>0且a≠1)在(0,+∞)上为增函数 答案:A
第20页 共 34 页
16.下列四种说法 :
①命题“x R,都有x2 2 3x”的否定是“x R,
使得x2 2≥3x”；
②若a, b R,则2a 2b是log1a log1b的必要不充分条件;
2
2
③把函数y sin 3x (x R)的图象上所有的点向右平移
第2页 共 34 页
2.(2010·广东佛山模拟)命题“∀x∈R,x2-2x+4≤0”的否定 为( )
A.∀x∈R,x2-2x+4≥0 B.∀x∉R,x2-2x+4≤0 C.∃x∈R,x2-2x+4>0 D.∃x∉R,x2-2x+4>0 答案2kπ+ (k∈ Z)”是“tanx=1”成立的
x0
1
2( x 0
1)2 4
7 8
0，
不存在x0
R,
使2x
2 0
x0
1
0,
故该命题为假命题.
4是全称命题. sinx cosx 2sin(x )≤ 2恒成立,
4
对任意的实数x,sinx cosx≤ 2都成立,故该命题是真命题.
第25页 共 34 页
18.写出命题“已知a,b∈R,若关于x的不等式x2+ax+b≤0有 非空解集,则a2≥4b”的逆命题,并判断其真假.
第8页 共 34 页
7.(2010·山东)设{an}是首项大于零的等比数列,则“a1<a2” 是“数列{an}是递增数列”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案:C
第9页 共 34 页
8.下列命题中的假命题是( )
A.∀x>0且x≠1,都有x+
log 1 a log 1 b不成立,若log 1 a log 1 b,0 a b,
2
2
2
2
2a 2b.故②正确.③把y sin 3x 的图象上所有点
向右平移 ,得到y sin[3(x )] sin(3x 3 ),
4
4
4
故③不正确.
④由题可知, a b 1 2cos 2 1, a b 2 a2 2a b b2 3,
个单位即可得到函数y sin(3x ) x R 的图象;
4
4
④若向量a, b满足 a 1, b 2,且a与b的夹角为 2 ,
3
则 a b 3.其中正确的说法是 ____
第21页 共 34 页
解析 : ①正确.②若2a 2b ,则a b,当a或b为负数时,
,
即2 x 3.q : 2 x 3.设A x | 2x2 9x a 0 , B x | 2 x 3,
p q,q p.B A.即2 x 3满足不等式2x2 9x a 0.
设f x 2x2 9x a,要使2 x 3满足不等式2x2 9x a 0,需
的两点, 则Δ=(2a-3)2-4>0,
第33页 共 34 页
即4a2 12a 5 0 a 1 或a 5 .又 a 0, 所以,如果q为真命题,
2
2
则0 a 1 或a 5 .如果q为假命题,则 1 a 1或1 a 5 .
第27页 共 34 页
20.写出下列各命题的否定形式并分别判断它们的真假. (1)面积相等的三角形是全等三角形; (2)有些质数是奇数; (3)所有的方程都不是不等式; (4)自然数的平方是正数.
第28页 共 34 页
解:原命题的否定形式: (1)面积相等的三角形不一定是全等三角形,为真命题. (2)所有质数都不是奇数,为假命题. (3)至少存在一个方程是不等式,为假命题. (4)自然数的平方不都是正数,为真命题.
3 a b 3,故④正确.
答案:①②④
第22页 共 34 页
三､解答题
17.判断下列命题是全称命题还是特称命题,并判断其真假.
(1)平面内,凸多边形的外角和等于360°;
(2)有一些奇函数的图象过原点;
(3)∃x0∈R,2x20+x0+1<0;
(4)∀x∈R,sinx+cosx≤
2.
第23页 共 34 页
1
>2
B.∀a∈R,直线ax+y=a恒过定x 点(1,0)
C.∀φ∈R,函数y=sin(x+φ)都不是偶函数
D.∃m∈R,使f(x)=(m-1)·xm2-4m+3是幂函数,且在(0,+∞)上单 调递减
第10页 共 34 页
解析 : A.当x 0时, x 1 ≥2 x 1 2, x 1, x 1 2,
3
答案:B
第13页 共 34 页
11.下列四个命题中,其中真命题是( )
①“若xy=1,则lgx+lgy=0”的逆命题;
②“若a·b=a·c,则a⊥(b-c)”的否命题;
③“若b≤0,则方程x2-2bx+b2+b=0有实根”的逆否命题;
④“等边三角形的三个内角均为60°”的逆命题.
A.①②
B.①②③④
x
x
x
故A为真命题.B.将1, 0 代入直线ax y a成立,
B为真命题.C.当 时,函数y sin(x )
2
2
是偶函数, C为假命题.D.当m 2时, f x x1是幂函数,
且在0, 上单调递减,D为真命题,故选C.
答案:C
第11页 共 34 页
第19页 共 34 页
15.已知直线l1:2x-my+1=0与l2:x+(m-1)y-1=0,则“m=2”是 l1⊥l2的________条件.
解析:若l1⊥l2,只须2×1+(-m)(m-1)=0, 即m2-m-2=0,即m=2或m=-1, ∴m=2是l1⊥l2的充分不必要条件. 答案:充分不必要
f f
((32))≤≤00 ,即 1881827a≤a≤0 0 .
a≤9.故所求实数a的取值范围是a | a≤9.
第31页 共 34 页
22.已知a>0,a≠1,设p:函数y=loga(x+3)在(0,+∞)上单调递减,q: 函数y=x2+(2a-3)x+1的图象与x轴交于不同的两点.如果 p∨q真,p∧q假,求实数a的取值范围.
21.已知p
:
2x 2
9x
a
0,
q
:
x 2
x
2
4x 6x
3 8
0 , 且q是p的必要条件, 0
求实数a的取值范围.
第30页 共 34 页
解
:由
x2 x2
4x 6x
3 8
0 0
,
得
1 2
x3 x4
分析:找出命题中所含的全称量词或存在量词,没有的结合命 题的具体含义进行判断.
第24页 共 34 页
解 : 1可以改写为“平面内,所有凸多边形的外角和等于360”,
故是全称命题, 且为真命题.
2 “有一些”是存在量词, 故该命题为特称命题, 显然是真命题.
3 是特称命题.
2x
2 0
解:逆命题为:“已知a,b∈R,若a2≥4b,则关于x的不等式 x2+ax+b≤0有非空解集”.
由a2≥4b知,Δ=a2-4b≥0.这说明抛物线y=x2+ax+b与x轴有交 点,那么x2+ax+b≤0必有非空解集.故逆命题是真命题.
第26页 共 34 页
19.设集合M x | y log2 x 2, P x | y 3 x ,
第6页 共 34 页
5.若命题“如果p,那么q”为真,则( )
A.q⇒p
B.¬p⇒¬q
C.¬q⇒¬p
D.¬q⇒p
解析:由题可知p⇒q成立,则它的逆否命题成立,即¬q⇒¬p.
答案:C
第7页 共 34 页
6.下列说法正确的是( ) ①原命题为真,它的否命题为假; ②原命题为真,它的逆命题不一定为真; ③一个命题的逆命题为真,它的否命题一定为真; ④一个命题的逆否命题为真,它的否命题一定为真. A.①② B.②③ C.③④ D.②③④ 答案:B
C.②③④
D.①③④
第14页 共 34 页
解析:①逆命题:“若lgx+lgy=0,则xy=1”为真命题. ②逆命题:“若a⊥(b-c),则a·b=a·c”为真命题,根据逆命
题与否命题的等价性,则否命题也为真命题. ③当b≤0时,Δ=4b2-4(b2+b)=-4b≥0,知方程有实根,故原命题为
真命题,所以逆否命题也为真命题. ④真命题. 答案:B
则“x M或x P”是“x M P”的什么条件?
解:由题设知,M={x|x>2},P={x|x≤3}. ∴M∩P=(2,3],M∪P=R 当x∈M或x∈P时 x∈(M∪P)=R ⇏x∈(2,3]=M∩P. 而x∈(M∩P)⇒x∈R ∴x∈(M∩P)⇒x∈M或x∈P.故“x∈M或x∈P”是 “x∈(M∩P)”的必要不充分条件.
解析:∀x∈[1,2],x2-a≥0,即a≤x2, 当x∈[1,2]时恒成立,∴a≤1. ∃x0∈R,x20+2ax0+2-a=0, 即方程x2+2ax+2-a=0有实根, ∴Δ=4a2-4(2-a)≥0.∴a≤-2或a≥1.
又p∧q为真,故p、q都为真, ∴ a≤1,
a≤-2或a≥1, ∴a≤-2或a=1. 答案:A
()
4
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
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解析 : tan(2k ) tan 1,所以充分;
4
4
但反之不成立,如tan 5 1.
4
答案:A
第5页 共 34 页
4.(2010·湖南)下列命题中的假命题是( ) A.∀x∈R,2x-1>0 B.∀x∈N*,(x-1)2>0 C.∃x∈R,lgx<1 D.∃x∈R,tanx=2 解析:对于B选项x=1时,(x-1)2=0,故选B. 答案:B
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二､填空题 13.已知命题p:∃x∈R,x2+2ax+a≤0,则¬p为________. 答案:∀x∈R,x2+2ax+a>0
第18页 共 34 页
14.已知p:x2-x≥2,q:|x-2|≤1,且p∧q与¬q同时为假命题,则实 数x的取值范围为________.
解析:由x2-x≥2,得x≥2或x≤-1, |x-2|≤1,得1≤x≤3, ∵p∧q与¬q同时为假命题, ∴q为真命题,p为假命题,∴1≤x<2. 答案:1≤x<2
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12.(2009·山东聊城)已知命题p:∀x∈[1,2],x2-a≥0,命题 q:∃x0∈R,x20+2ax0+2-a=0.若命题“p∧q”是真命题,则 实数a的取值范围是( )
A.a≤-2或a=1 B.a≤-2或1≤a≤2 C.a≥1 D.-2≤a≤1
第16页 共 34 页
第32页 共 34 页
解:对于命题p:当0<a<1时,函数y=loga(x+3)在(0,+∞)上单调 递减.
当a>1时,函数y=loga(x+3)在(0,+∞)上单调递增,所以,如果p为 真命题,则0<a<1.
如果p为假命题,则a>1. 对于命题q:如果函数y=x2+(2a-3)x+1的图象与x轴交于不同
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10.对于命题p:对任意的实数x,有-1≤sinx≤1,q:存在一个实数
使sinx+
3 cosx=3成立,下列结论正确的是( )
A.¬p∨q B.p∧¬q
C.¬q∧¬p D.q∧p
解析:p为真命题,而sinx+ 3 cosx=2sin(x+
)≤2,故q为假命题.∴p∧¬q为真命题.
第一章测试题
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一､选择题 1.(2010·陕西)“a>0”是“|a|>0”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:本题考查充要条件的判
断,∵a>0⇒|a|>0,|a|>0⇏a>0,∴“a>0”是“|a|>0”的充 分不必要条件. 答案:A
9.下列选项中,p是q的必要不充分条件是( ) A.p:a+c>b+d,q:a>b且c>d B.p:a>1,b>1,q:f(x)=ax-b(a>0且a≠1)的图象不过第二象限 C.p:x=1,q:x2=x D.p:a>1,q:f(x)=logax(a>0且a≠1)在(0,+∞)上为增函数 答案:A
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16.下列四种说法 :
①命题“x R,都有x2 2 3x”的否定是“x R,
使得x2 2≥3x”；
②若a, b R,则2a 2b是log1a log1b的必要不充分条件;
2
2
③把函数y sin 3x (x R)的图象上所有的点向右平移
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2.(2010·广东佛山模拟)命题“∀x∈R,x2-2x+4≤0”的否定 为( )
A.∀x∈R,x2-2x+4≥0 B.∀x∉R,x2-2x+4≤0 C.∃x∈R,x2-2x+4>0 D.∃x∉R,x2-2x+4>0 答案2kπ+ (k∈ Z)”是“tanx=1”成立的
x0
1
2( x 0
1)2 4
7 8
0，
不存在x0
R,
使2x
2 0
x0
1
0,
故该命题为假命题.
4是全称命题. sinx cosx 2sin(x )≤ 2恒成立,
4
对任意的实数x,sinx cosx≤ 2都成立,故该命题是真命题.
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18.写出命题“已知a,b∈R,若关于x的不等式x2+ax+b≤0有 非空解集,则a2≥4b”的逆命题,并判断其真假.
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7.(2010·山东)设{an}是首项大于零的等比数列,则“a1<a2” 是“数列{an}是递增数列”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案:C
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8.下列命题中的假命题是( )
A.∀x>0且x≠1,都有x+
log 1 a log 1 b不成立,若log 1 a log 1 b,0 a b,
2
2
2
2
2a 2b.故②正确.③把y sin 3x 的图象上所有点
向右平移 ,得到y sin[3(x )] sin(3x 3 ),
4
4
4
故③不正确.
④由题可知, a b 1 2cos 2 1, a b 2 a2 2a b b2 3,
个单位即可得到函数y sin(3x ) x R 的图象;
4
4
④若向量a, b满足 a 1, b 2,且a与b的夹角为 2 ,
3
则 a b 3.其中正确的说法是 ____
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解析 : ①正确.②若2a 2b ,则a b,当a或b为负数时,
,
即2 x 3.q : 2 x 3.设A x | 2x2 9x a 0 , B x | 2 x 3,
p q,q p.B A.即2 x 3满足不等式2x2 9x a 0.
设f x 2x2 9x a,要使2 x 3满足不等式2x2 9x a 0,需
的两点, 则Δ=(2a-3)2-4>0,
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即4a2 12a 5 0 a 1 或a 5 .又 a 0, 所以,如果q为真命题,
2
2
则0 a 1 或a 5 .如果q为假命题,则 1 a 1或1 a 5 .
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20.写出下列各命题的否定形式并分别判断它们的真假. (1)面积相等的三角形是全等三角形; (2)有些质数是奇数; (3)所有的方程都不是不等式; (4)自然数的平方是正数.
第28页 共 34 页
解:原命题的否定形式: (1)面积相等的三角形不一定是全等三角形,为真命题. (2)所有质数都不是奇数,为假命题. (3)至少存在一个方程是不等式,为假命题. (4)自然数的平方不都是正数,为真命题.
3 a b 3,故④正确.
答案:①②④
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三､解答题
17.判断下列命题是全称命题还是特称命题,并判断其真假.
(1)平面内,凸多边形的外角和等于360°;
(2)有一些奇函数的图象过原点;
(3)∃x0∈R,2x20+x0+1<0;
(4)∀x∈R,sinx+cosx≤
2.
第23页 共 34 页
1
>2
B.∀a∈R,直线ax+y=a恒过定x 点(1,0)
C.∀φ∈R,函数y=sin(x+φ)都不是偶函数
D.∃m∈R,使f(x)=(m-1)·xm2-4m+3是幂函数,且在(0,+∞)上单 调递减
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解析 : A.当x 0时, x 1 ≥2 x 1 2, x 1, x 1 2,
3
答案:B
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11.下列四个命题中,其中真命题是( )
①“若xy=1,则lgx+lgy=0”的逆命题;
②“若a·b=a·c,则a⊥(b-c)”的否命题;
③“若b≤0,则方程x2-2bx+b2+b=0有实根”的逆否命题;
④“等边三角形的三个内角均为60°”的逆命题.
A.①②
B.①②③④
x
x
x
故A为真命题.B.将1, 0 代入直线ax y a成立,
B为真命题.C.当 时,函数y sin(x )
2
2
是偶函数, C为假命题.D.当m 2时, f x x1是幂函数,
且在0, 上单调递减,D为真命题,故选C.
答案:C
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15.已知直线l1:2x-my+1=0与l2:x+(m-1)y-1=0,则“m=2”是 l1⊥l2的________条件.
解析:若l1⊥l2,只须2×1+(-m)(m-1)=0, 即m2-m-2=0,即m=2或m=-1, ∴m=2是l1⊥l2的充分不必要条件. 答案:充分不必要
f f
((32))≤≤00 ,即 1881827a≤a≤0 0 .
a≤9.故所求实数a的取值范围是a | a≤9.
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22.已知a>0,a≠1,设p:函数y=loga(x+3)在(0,+∞)上单调递减,q: 函数y=x2+(2a-3)x+1的图象与x轴交于不同的两点.如果 p∨q真,p∧q假,求实数a的取值范围.