梨树区第二高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

梨树区第二高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 已知
22(0)()|log |(0)
x x f x x x ⎧≤=⎨
>⎩，则方程[()]2f f x =的根的个数是（ ）
A ．3个
B ．4个
C ．5个
D ．6个
2． 函数f （x ）=x 3﹣3x 2+5的单调减区间是（ ）
A ．（0，2）
B ．（0，3）
C ．（0，1）
D ．（0，5）
3． 如图，在正六边形ABCDEF 中，点O 为其中心，则下列判断错误的是（ ）
A
．
= B
．
∥ C
． D
．
4． 一个椭圆的半焦距为2，离心率
e=，则它的短轴长是（ ）
A ．3
B
．
C ．
2
D ．6
5． 已知实数x ，y
满足有不等式组，且z=2x+y 的最大值是最小值的2倍，则实数a 的值是（ ）
A ．2
B
．
C
．
D
．
6． 已知集合{
}
{
2
|5,x |y ,A y y x B A B ==-+===（ ）
A ．[)1,+∞
B ．[]1,3
C ．(]3,5
D ．[]3,5
【命题意图】本题考查二次函数的图象和函数定义域等基础知识，意在考查基本运算能力． 7． 函数
y=
（x 2
﹣5x+6）的单调减区间为（ ）
A
．（，+∞） B ．（3，+∞） C ．（﹣∞
，） D ．（﹣∞，2）
8．
已知某运动物体的位移随时间变化的函数关系为，设物体第n 秒内的位移为a n ，则
数列{a n }是（ ） A ．公差为a 的等差数列
B ．公差为﹣a 的等差数列
C ．公比为a 的等比数列
D ．公比为的等比数列
9． 已知曲线2:4C y x =的焦点为F ，过点F 的直线与曲线C 交于,P Q 两点，且20FP FQ +=，则O P Q ∆的面积等于（ ）
A ．
B ．
C ．
2 D ．4
10．如图，已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为4，点E ，F 分别是线段AB ，C 1D 1上的动点，点P 是上底面A 1B 1C 1D 1内一动点，且满足点P 到点F 的距离等于点P 到平面ABB 1A 1的距离，则当点P 运动时，PE 的最小值是（ ）
A ．5
B ．4
C ．4
D ．2
11．如图，棱长为的正方体1111D ABC A B C D -中，,E F 是侧面对角线11,BC AD 上一点，若 1BED F 是菱形，则其在底面ABCD 上投影的四边形面积（ ）
A ．
12 B ．34 C. 2
D ．34-
12．已知点A （0，1），B （﹣2，3）C （﹣1，2），D （1，5），则向量在
方向上的投影为（ ）
A ．
B ．﹣
C ．
D ．﹣
二、填空题
13．设p ：f （x ）=e x +lnx+2x 2+mx+1在（0，+∞）上单调递增，q ：m ≥﹣5，则p 是q 的 条件．
14．设双曲线
﹣
=1，F 1，F 2是其两个焦点，点M 在双曲线上．若∠F 1MF 2=90°，则△F 1MF 2的面积是 ．
15．三角形ABC 中，2,60AB BC C ==∠=，则三角形ABC 的面积为 .
16．对于|q|＜1（q 为公比）的无穷等比数列{a n }（即项数是无穷项），我们定义S n （其中S n 是数列{a n }
的前n 项的和）为它的各项的和，记为S ，即S=
S n =
，则循环小数0. 的分数形式是 ．
17．执行如图所示的程序框图，输出的所有值之和是 .
【命题意图】本题考查程序框图的功能识别，突出对逻辑推理能力的考查，难度中等. 18．【常熟中学2018届高三10月阶段性抽测（一）】函数()2
1ln 2
f x x x =
-的单调递减区间为__________. 三、解答题
19．已知函数f （x ）=lnx ﹣ax ﹣b （a ，b ∈R ）
（Ⅰ）若函数f （x ）在x=1处取得极值1，求a ，b 的值 （Ⅱ）讨论函数f （x ）在区间（1，+∞）上的单调性
（Ⅲ）对于函数f （x ）图象上任意两点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）（x 1＜x 2），不等式f ′（x 0）＜k 恒成立，其中k 为直线AB 的斜率，x 0=λx 1+（1﹣λ）x 2，0＜λ＜1，求λ的取值范围．
20．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数|1||2|)(+--=x x x f ，x x g -=)(. （1）解不等式)()(x g x f >；
（2）对任意的实数，不等式)()(22)(R m m x g x x f ∈+≤-恒成立，求实数m 的最小值.111]
21．已知椭圆
+
=1（a ＞b ＞0）的离心率为
，且过点（
，
）．
（1）求椭圆方程；
（2）设不过原点O 的直线l ：y=kx+m （k ≠0），与该椭圆交于P 、Q 两点，直线OP 、OQ 的斜率依次为k 1、k 2，满足4k=k 1+k 2，试问：当k 变化时，m 2是否为定值？若是，求出此定值，并证明你的结论；若不是，请说明理由．
22．若点（p ，q ），在|p|≤3，|q|≤3中按均匀分布出现．
（1）点M （x ，y ）横、纵坐标分别由掷骰子确定，第一次确定横坐标，第二次确定纵坐标，则点M （x ，y ）
落在上述区域的概率？
（2）试求方程x 2+2px ﹣q 2
+1=0有两个实数根的概率．
23．已知函数f （x ）=|x ﹣m|，关于x 的不等式f （x ）≤3的解集为[﹣1，5]． （1）求实数m 的值；
（2）已知a ，b ，c ∈R ，且a ﹣2b+2c=m ，求a 2+b 2+c 2
的最小值．
24．已知函数()()x f x x k e =-（k R ∈）． （1）求()f x 的单调区间和极值； （2）求()f x 在[]1,2x ∈上的最小值．
（3）设()()'()g x f x f x =+，若对35,22k ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦
及[]0,1x ∀∈有()g x λ≥恒成立，求实数λ的取值范围．
梨树区第二高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案） 一、选择题
1． 【答案】C
【解析】由[()]2f f x =，设f （A ）=2,则f （x ）=A,则2log 2x =，则A=4或A=1
4
，作出f （x ）的图像，由数型结合，当A=
1
4
时3个根，A=4时有两个交点，所以[()]2f f x =的根的个数是5个。

2． 【答案】A
【解析】解：∵f （x ）=x 3﹣3x 2
+5，
∴f ′（x ）=3x 2
﹣6x ，
令f ′（x ）＜0，解得：0＜x ＜2， 故选：A ．
【点评】本题考察了函数的单调性，导数的应用，是一道基础题．
3． 【答案】D
【解析】解：由图可知，，但不共线，故，
故选D ．
【点评】本题考查平行向量与共线向量、相等向量的意义，属基础题．
4． 【答案】C
【解析】解：∵椭圆的半焦距为2，离心率e=，
∴c=2，a=3，
∴b=
∴2b=2
．
故选：C ．
【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质．属基础题．
5． 【答案】B
【解析】解：由约束条件
作出可行域如图，
联立，得A （a ，a ），
联立
，得B （1，1），
化目标函数z=2x+y 为y=﹣2x+z ， 由图可知z max =2×1+1=3，z min =2a+a=3a ，
由6a=3，得a=． 故选：B ．
【点评】本题考查了简单的线性规划考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．
6． 【答案】D
【解析】
{}{{}|5,||3,A y y B x y x x =≤===≥[]3,5A B ∴=，故选D.
7． 【答案】B
【解析】解：令t=x 2
﹣5x+6=（x ﹣2）（x ﹣3）＞0，可得 x ＜2，或 x ＞3，
故函数y=
（x 2
﹣5x+6）的定义域为（﹣∞，2）∪（3，+∞）．
本题即求函数t 在定义域（﹣∞，2）∪（3，+∞）上的增区间．
结合二次函数的性质可得，函数t 在（﹣∞，2）∪（3，+∞）上的增区间为 （3，+∞）， 故选B ．
8． 【答案】A
【解析】解：∵
，
∴a n =S （n ）﹣s （n ﹣1）=
=
∴a n ﹣a n ﹣1
=
=a
∴数列{a n }是以a 为公差的等差数列 故选A
【点评】本题主要考察了数列的递推公式求解数列的通项公式，等差数列的定义的应用，属于数列知识的简单应用
9． 【答案】C 【解析】
∴1122(1,)2(1,)(0,0)x y x y -+-=， ∴1220y y +=③， 联立①②③可得2
18
m =，
∴12y y -==．
∴12122
S OF y y =
-=． （由1212420y y y y =-⎧⎨+=⎩
，得12y y ⎧=⎪⎨=⎪⎩
12y y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩
考点：抛物线的性质． 10．【答案】 D
【解析】解：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴， 建立空间直角坐标系，
设AE=a ，D 1F=b ，0≤a ≤4，0≤b ≤4，P （x ，y ，4），0≤x ≤4，0≤y ≤4， 则F （0，b ，4），E （4，a ，0
），
=（﹣x ，b ﹣y ，0），
∵点P 到点F 的距离等于点P 到平面ABB 1A 1的距离，
∴当E 、F 分别是AB 、C 1D 1上的中点，P 为正方形A 1B 1C 1D 1时， PE 取最小值，
此时，P （2，2，4），E （4，2，0），
∴|PE|min ==2
．
故选：D ．
【点评】本题考查空间直线与平面的位置关系、空间向量的运算等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力、空间想象能力，考查数形结合、转化与化归等数学思想方法及创新意识．
11．【答案】B 【解析】
试题分析：在棱长为的正方体1111D ABC A B C D -中，11BC AD ==AF x =x
解得x =
，即菱形1BED F =
，则1BED F 在底面ABCD 上的投影四边形是底边为34，高为的平行四边形，其面积为3
4
，故选B. 考点：平面图形的投影及其作法. 12．【答案】D
【解析】解：∵；
∴
在
方向上的投影为
==
．
故选D ．
【点评】考查由点的坐标求向量的坐标，一个向量在另一个向量方向上的投影的定义，向量夹角的余弦的计算公式，数量积的坐标运算．
二、填空题
13．【答案】必要不充分
【解析】解：由题意得f′（x）=e x++4x+m，
∵f（x）=e x+lnx+2x2+mx+1在（0，+∞）内单调递增，
∴f′（x）≥0，即e x++4x+m≥0在定义域内恒成立，
由于+4x≥4，当且仅当=4x，即x=时等号成立，
故对任意的x∈（0，+∞），必有e x++4x＞5
∴m≥﹣e x﹣﹣4x不能得出m≥﹣5
但当m≥﹣5时，必有e x++4x+m≥0成立，即f′（x）≥0在x∈（0，+∞）上成立
∴p不是q的充分条件，p是q的必要条件，即p是q的必要不充分条件
故答案为：必要不充分
14．【答案】9．
【解析】解：双曲线﹣=1的a=2，b=3，
可得c2=a2+b2=13，
又||MF
|﹣|MF2||=2a=4，|F1F2|=2c=2，∠F1MF2=90°，
1
在△F1AF2中，由勾股定理得：
|F1F2|2=|MF1|2+|MF2|2
=（|MF1|﹣|MF2|）2+2|MF1||MF2|，
即4c2=4a2+2|MF1||MF2|，
可得|MF1||MF2|=2b2=18，
即有△F1MF2的面积S=|MF1||MF2|sin∠F1MF2=×18×1=9．
故答案为：9．
【点评】本题考查双曲线的简单性质，着重考查双曲线的定义与a、b、c之间的关系式的应用，考查三角形的面积公式，考查转化思想与运算能力，属于中档题．
15．【答案】
【解析】
试题分析：因为ABC ∆中，2,60AB BC C ===︒2
sin A
=
，1sin 2A =，又
BC AB <，即A C <，所以30C =︒，∴90B =︒，AB BC ⊥，1
2
ABC
S AB BC ∆=⨯⨯=． 考点：正弦定理，三角形的面积．
【名师点睛】本题主要考查正弦定理的应用，三角形的面积公式．在解三角形有关问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据，一般来说，当条件中同时出现ab 及2
b 、2
a 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正
弦、余弦交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦，再结合和、差、倍角的正弦公式进行解答．解三角形时．三角形面积公式往往根据不同情况选用不同形式1sin 2ab C ，12ah ，1()2a b c r ++，4abc R
等等．
16．【答案】 ．
【解析】解：0. = +
+…+=
=
，
故答案为：
．
【点评】本题考查数列的极限，考查学生的计算能力，比较基础．
17．【答案】54
【解析】根据程序框图可知循环体共运行了9次，输出的x 是1，3，5，7，9，11，13，15， 17中不是3的倍数的数，所以所有输出值的和54171311751=+++++. 18．【答案】()0,1
【解析】
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）f（x）的导数为f′（x）=﹣a，
由题意可得f′（1）=0，且f（1）=1，
即为1﹣a=0，且﹣a﹣b=1，
解得a=1．b=﹣2，经检验符合题意．
故a=1，b=﹣2；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f′（x）=﹣a，x＞1，0＜＜1，
①若a≤0，f′（x）＞0，f（x）在（1，+∞）递增；
②0＜a＜1，x∈（1，），f′（x）＞0，x∈（，+∞），f′（x）＜0；
③a≥1，f′（x）＜0．f（x）在（1，+∞）递减．
综上可得，a≤0，f（x）在（1，+∞）递增；
0＜a＜1，f（x）在（1，）递增，在（，+∞）递减；
a≥1，f（x）在（1，+∞）递减．
（Ⅲ）f′（x0）=﹣a=﹣a，
直线AB的斜率为k===﹣a，
f ′（x 0）＜k ⇔＜
，
即x 2﹣x 1＜ln [λx 1+（1﹣λ）x 2]，
即为﹣1＜ln
[λ+（1﹣λ）
]，
令t=
＞1，t ﹣1＜lnt[λ+（1﹣λ）t]，
即t ﹣1﹣tlnt+λ（tlnt ﹣lnt ）＜0恒成立， 令函数g （t ）=t ﹣1﹣tlnt+λ（tlnt ﹣lnt ），t ＞1，
①当0＜λ
时，g ′（t ）=﹣lnt+λ（lnt+1﹣）=
，
令φ（t ）=﹣tlnt+λ（tlnt+t ﹣1），t ＞1，
φ′（t ）=﹣1﹣lnt+λ（2+lnt ）=（λ﹣1）lnt+2λ﹣1，
当0＜λ≤时，φ′（t ）＜0，φ（t ）在（1，+∞）递减，则φ（t ）＜φ（1）=0， 故当t ＞1时，g ′（t ）＜0，
则g （t ）在（1，+∞）递减，g （t ）＜g （1）=0符合题意；
②当＜λ＜1时，φ′（t ）=（λ﹣1）lnt+2λ﹣1＞0，
解得1＜t ＜，
当t ∈（1，），φ′（t ）＞0，φ（t ）在（1，）递增，φ（t ）＞φ（1）=0；
当t ∈（1，），g ′（t ）＞0，g （t ）在（1，
）递增，g （t ）＞g （1）=0，
则有当t ∈（1，），g （t ）＞0不合题意．
即有0＜λ≤．
【点评】本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，同时考查函数的单调性的运用，不等式恒成立思想的运用，运用分类讨论的思想方法是解题的关键．
20．【答案】（1）13|{<<-x x 或}3>x ；（2）. 【
解
析
】
试
题解析：（1）由题意不等式)()(x g x f >可化为|1||2|+>+-x x x ， 当1-<x 时，)1()2(+->+--x x x ，解得3->x ，即13-<<-x ； 当21≤≤-x 时，1)2(+>+--x x x ，解得1<x ，即11<≤-x ； 当2>x 时，12+>+-x x x ，解得3>x ，即3>x （4分） 综上所述，不等式)()(x g x f >的解集为13|{<<-x x 或}3>x . （5分）
（2）由不等式m x g x x f +≤-)(22)(可得m x x ++≤-|1||2|， 分离参数m ，得|1||2|+--≥x x m ，∴max |)1||2(|+--≥x x m
∵3|)1(2||1||2|=+--≤+--x x x x ，∴3≥m ，故实数m 的最小值是. （10分） 考点：绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．1 21．【答案】
【解析】解：（1）依题意可得，解得a=2，b=1
所以椭圆C 的方程是…
（2）当k 变化时，m 2
为定值，证明如下：
由得，（1+4k 2）x 2+8kmx+4（m 2
﹣1）=0．…
设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2）．则x 1+x 2=
，x 1x 2=…（•） …
∵直线OP 、OQ 的斜率依次为k 1，k 2，且4k=k 1+k 2，
∴4k==，得2kx1x2=m（x1+x2），…
将（•）代入得：m2=，…
经检验满足△＞0．…
【点评】本题考查椭圆的方程的求法，直线与椭圆方程的综合应用，考查分析问题解决问题的能力以及转化思想的应用．
22．【答案】
【解析】解：（1）根据题意，点（p，q），在|p|≤3，|q|≤3中，即在如图的正方形区域，
其中p、q都是整数的点有6×6=36个，
点M（x，y）横、纵坐标分别由掷骰子确定，即x、y都是整数，且1≤x≤3，1≤y≤3，
点M（x，y）落在上述区域有（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3），有9个点，
所以点M（x，y）落在上述区域的概率P1=；
（2）|p|≤3，|q|≤3表示如图的正方形区域，易得其面积为36；
若方程x2+2px﹣q2+1=0有两个实数根，则有△=（2p）2﹣4（﹣q2+1）＞0，
解可得p2+q2≥1，为如图所示正方形中圆以外的区域，其面积为36﹣π，
即方程x2+2px﹣q2+1=0有两个实数根的概率，P2=．
【点评】本题考查几何概型、古典概型的计算，解题时注意区分两种概率的异同点．
23．【答案】
【解析】解：（1）|x﹣m|≤3⇔﹣3≤x﹣m≤3⇔m﹣3≤x≤m+3，由题意得，解得m=2；
（2）由（1）可得a﹣2b+2c=2，
由柯西不等式可得（a2+b2+c2）[12+（﹣2）2+22]≥（a﹣2b+2c）2=4，
∴a 2+b 2+c 2
≥
当且仅当，即a=，b=﹣，c=时等号成立，
∴a 2+b 2+c 2
的最小值为．
【点评】本题主要考查绝对值三角不等式、柯西不等式的应用，属于基础题．
24．【答案】（1）()f x 的单调递增区间为(1,)k -+∞，单调递减区间为(,1)k -∞-，
1()(1)k f x f k e -=-=-极小值，无极大值；（2）2k ≤时()(1)(1)f x f k e ==-最小值，23k <<时1()(1)k f x f k e -=-=-最小值，3k ≥时，2()(2)(2)f x f k e ==-最小值；（3）2e λ≤-.
【解析】
（2）当11k -≤，即2k ≤时，()f x 在[]1,2上递增，∴()(1)(1)f x f k e ==-最小值；
当12k -≥，即3k ≥时，()f x 在[]1,2上递减，∴2
()(2)(2)f x f k e ==-最小值；
当112k <-<，即23k <<时，()f x 在[]1,1k -上递减，在[]1,2k -上递增， ∴1
()(1)k f x f k e
-=-=-最小值．
（3）()(221)x
g x x k e =-+，∴'()(223)x
g x x k e =-+，
由'()0g x =，得32
x k =-， 当3
2x k <-
时，'()0g x <； 当3
2
x k >-时，'()0g x >，
∴()g x 在3(,)2k -∞-上递减，在3
(,)2
k -
+∞递增， 故323
()()22
k g x g k e -=-=-最小值，
又∵35,22k ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，∴[]30,12k -∈，∴当[]0,1x ∈时，323()()22k g x g k e -=-=-最小值，
∴()g x λ≥对[]0,1x ∀∈恒成立等价于32
()2k g x e λ-
=-≥最小值；
又32
()2k g x e λ-
=-≥最小值对35,22k ⎡⎤
∀∈⎢⎥⎣⎦
恒成立．
∴3
2
min (2)k e
k --≥，故2e λ≤-．1
考点：1、利用导数研究函数的单调性进而求函数的最值；2、不等式恒成立问题及分类讨论思想的应用. 【方法点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性进而求函数的最值、不等式恒成立问题及分类讨论思想的应用.属于难题. 数学中常见的思想方法有：函数与方程的思想、分类讨论思想、转化与划归思想、数形结合思想、建模思想等等，分类讨论思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决含参数问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点. 充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用与解题当中.本题（2）就是根据这种思想讨论函数单调区间的.。