02第二章电阻电路的等效变换
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i1
i1
'
1 i12
'
R1
R31
R3 i3 R2
R12 R23
i3 i31
'
'
3
i2
2
i23
'
i2
'
2
3
（a）
（b）
设在它们对应端子间有相同的电压u12、 u23 、 u31。 如果它们彼此等效，那么流入对应端子的电流必须分别相 ' ' ' 等。应当有： i1 i1 , i2 i2 , i3 i3
解：
Req 40 // 40 30 // 30 // 30
40 30 30 2 3
40
30
Req
40
30
30
30
例4.
100 的电阻与120V的电源串联，为了使电阻上的功率不超过 100W，至少应再串入多大的电阻R？电阻R上消耗的功率是多少？
i
120V
R
解： 未接电阻R时 2 120 p 144 100W 100
KVL
Req R1 R2 .... Rn RK K 1
n
电阻 Req 称串联电阻的等效电阻。 等效电阻与这些串联电阻所引起的作用完全一样。 这种替代称等效替代。
结论： 串联电路的总电阻等于各分电阻之和。
3. 功率关系
p1 R1 i
2
p2 R2 i
2
.....
2
2
pn Rn i
（1）
i3 i31 i23
' ' '
1
i1
R1
对Y ，端子间的电压分别为：
u12 R1i1 R2i2 u23 R2i2 R3i3
R2
R3 i3
i1 i2 i3 0
i2
2
3
可解出电流：
u12 u23 u31 0 R2 u12 R3 u12 R2 u23 i1 R1 R2 R2 R3 R3 R1 R3 u12 R2 ( u12 u23 ) R1 R2 R2 R3 R3 R1 R1 R2 R2 R3 R3 R
不论u12、 u23 、 u31为何值，两个电路要等效，流 入对应端子的电流就必须相等。故（1）（2）式 中电压u12、 u23 、 u31前面的系数应该对应相等， 得： （2）
1
i1
R1
i1
'
1 i12
'
R31
R3 i3 R2
R12 R23
i3
i2
2
'
i31
'
3
i23
'
i2
'
2
3
R3 u12 R2 u31 i1 R1 R2 R2 R3 R3 R1 R1 R2 R2 R3 R3 R u12 u31 i1 i12 i31 R12 R31
解：
R1
R2
R3
1 G2 0.1mS R2
1 G1 0.025mS R1
1 G3 0.04mS R3
I1
G1 0.025 Is 16.5mA 2.5mA G1 G2 G3 0.025 0.1 0.04
I2
I3
G2 0.1 Is 16.5mA 0.025 0.1 0.04 G1 G2 G3
R
I3
R
I4
求：I1 ,I4 ,U4
12V
解：
2R
2R
2R
U4
2R
I 1 12 R
I 4 1 I 3 1 I 2 1 I 1 1 12 3 4 2 2R 8 R 8
U4 I4 2R 3 V
练习题： 求Req
Req
3
10
6 6
36
1.3 6.5 13
1 1 1 G 1 1.3 6.5 13
1 R 1 G
故
4. 并联电阻的电流分配
i
1
ik Gk u
i Gk Gk i Geq Geq
u
1
'
i1 G1
i2
G2
in Gn
k 1,2,..... n
即 各个并联电阻中的电流与它们 各自的电导值成正比。或者说总电 流按各个并联电阻的电导进行分配 上式称电流分配公式。
R4
R5
2
1
i1
R1
Y联接或星形联接 Y 联接中，每个电阻的一端 都接到一个公共结点上，另 一端则分别接到3个端子上。
i2
2
R3 i3
R2
3
联接或三角形联接 联接中，各个电阻分别接 在3个端子的每两个之间。
R12
i1
R31 i3
1
R23
3
i2
2
二、 Y 、 联接的等效变换 1、 Y
1
变换
须串入电阻R
100
120 i 100 R
2
120 2 ) 100 电阻消耗的功率为： p1 100i 100 ( 100 R 120 2 R 20 ) 100 即： 100 ( 100 R
即串入的电阻不得小于20 。
i
120V
R
R 20
p2 20i
2
120 2 20 ( ) 20W 100 20
例5.求Req。
4
100
解：
12
12
Req
8
12
Req 8 //(4 12 // 12 // 12)
8 //(4 4) 4
R
例6.求Req。
R
R
解：
Req
R R
R
R
R
R
R Req 8
例7.
I1
I2
第二章 电阻电路的等效变换
重点：
1. 电阻、电源的串并联 2. 电源的等效变换
3. 输入电阻的计算
§ 2.1 电阻的串联、并联和混联 § 2. 2 电阻的星形联接与三角形联接的等效变换
§ 2.3 电压源、电流源的串联和并联
§ 2. 4 实际电源的两种模型及其等效变换 § 2. 5 输入电阻
§2-1电阻的串联、并联和混联
R2
5mA
UV RV IV
1200 5 10 6V
3
b
I1 20mA
RV=1200 ， R2=400
电压表的读数为6V，可见当电压表的内阻不太高时，测得的 电压就有一定的误差。
如果分压器输出端有负载，则输出电压将随负载的大小而变。
例3.
Req
40
40
30 30
G3 0.04 Is 16.5mA G1 G2 G3 0.025 0.1 0.04
10mA
4mA
三、 电阻的串并联(混联)
电阻的串联和并联相结合的联接方式叫电阻的串并联 （或混联）。 要求：弄清楚串、并联的概念。 计算举例：
4 2 6 3
º
Req
例1.
Req
2
2
p p1 p2 ....... pn R1i R2 i ..... Rn i
( R1 R2 ..... Rn )i
2
Req i
2
4. 电压的分配
i
1
R1
R2
Rn
u
1
'
u1
u2
un
uk Rk i
u Rk Req
电压与电阻成正比。
k 1,2,..... n
1. 电路特点:
i
1
R1
R2
Rn
u
1
'
u1
u2
un
(a) 各电阻顺序连接，流过同一电流 (KCL)；
(b) 总电压等于各串联电阻的电压之和 (KVL)。
2. 等效电阻Req
i
1
R1
R2
Rn
i
1
Req
u
1
'
u1
u2
un
u
1
'
u u1 u2 .... un u2 R2 i .... un Rn i 由欧姆定律 u1 R1i u ( R1 R2 .... Rn )i Reqi
R2 RV 400 1200 Req R1 600 900 R2 RV 400 1200 U 18 I1 20mA Req 900
I1
R2 IV I1 R2 RV 400 3 20 10 400 1200
a
IV
U
R1
c
U2
RV
Geq
G1 R2 i i1 i R1 R2 Geq
分流公式
G2 i2 i R1 i Geq R1 R2
例. 求I1、 I2 、 I3 。已知 Is =16.5mA, Rs =2k ， R1=40k ， R2 =10k ， R3 =25k 。
Rs
Is
I1
I2
I3
对，各个电阻的电流分别为：
'
1 i12
'
i1
u12 i12 R12
'
u23 i23 R23
'
u31 i31 R31
'
R31
i3 i31
' '
R12 R23
'
3
i23
'
i2
' '
'
2
按KCL，端子处 的电流分别为：
i1 i12 i31
i2 i23 i12
' ' '
u12 u31 R12 R31 u23 u12 R23 R12 u31 u23 R31 R23
a
R1
I1 R1
a
IV
U R2
c
U2
V
U
c
U2
RV
R2
b
解：
b
未接电压表时，等效电阻 Req
I1 R1
R1=600 ， R2=400 为： U=18V
a
IV
Req R1 R2 1000
R2 400 U2 U 18 Req 1000
U
c
U2
RV
R2
b
接电压表后，
7.2V
R3 u12 R2 u31 R1 R2 R2 R3 R3 R1 R1 R2 R2 R3 R3 R
R3 u12 R2 u31 i1 R1 R2 R2 R3 R3 R1 R1 R2 R2 R3 R3 R R1 u23 R3 u12 i2 R1 R2 R2 R3 R3 R1 R1 R2 R2 R3 R3 R R2 u31 R1 u23 i3 R1 R2 R2 R3 R3 R1 R1 R2 R2 R3 R3 R
2. 等效电导Geq
i
1
u
'
i1 G1
1 由KCL:
i2
G2
in Gn
i
等效
1
u
1
'
Geq
i i1 i2 .... in (G1 G2 .... Gn )u Geq u i G1 G2 ..... Gn Geq u
Geq：并联电阻的等效电导
结论：并联电路的总电导等于各分电导之和。
等效电阻为
各个并联电阻
1 Req Geq 1 Rk Gk
n 1 1 Req k 1 Rk
故等效电阻与并联电阻之间的关系为
并联
Req Rk
当 n=2 ，
即等效电阻小于任一个 并联电阻。
R1 R2 Req R1 R2
对于两电阻并联，
i
1
i
i1 G1 i2
G2
1
u
1
'
u
1
'
线性电路：
由时不变线性无源元件、线性受控源和独立电源 组成的电路，称为时不变线性电路，简称线性电 路。
线性电阻电路：
如果构成电路的无源元件均为线性电阻，则称为 线性电阻电路。
直流电路：
当电路中的独立电源都是直流电源时，这类电 路简称直流电路。
等效变换： 对电路进行分析和计算时，有时可以把电路中某一 部分简化，即用一个较简单的电路替代原电路，但端口的电压电 流关系保持不变。
Req
36
K
K合上和断开时的Req
24 24
§2-2电阻的星形联接与三角形联接的 等效变换 (—Y 变换)
一、 Y 、 联接
1
在电路中，有时电阻的联接既非 串联又非并联。
R2
R1 R3
R1 、 R2、 R3既非串联又非并联。
R1 、 R2、 R3为联接， R1 、 R4、 R3为Y联接。
上式称为 电压分配公式。
若两个电阻分压, 如下图
i
R1
u1
R2
u
u2
R1 u1 u R1 R2
R2 u2 u R1 R2
分压公式
二、电阻并联 (Parallel Connection)
i
1
u
1. 电路特点:
1
'
i1 G1
i2
G2
in Gn
(a) 各电阻两端分别接在一起，两端为同一电压 (KVL)； (b) 总电流等于流过各并联电阻的电流之和 (KCL)。
3. 功率关系
u 2 p1 G1 u R1
2
..... pn Gn u2 p2 G2 u
2
p p1 p2 ....... pn
G1 u G2 u ..... Gn u
2 2 2
(G1 G2 .....
Gn ) u
2
Geq u
2
º
Rin= º
R1
R
i
R
i
1
1
R2
us
u
1
'
R3
R4
us
R5
u
1
'
Req
当端子 1 1 以右电路被 Req 替代后， 1 以左部分的任何电压 1 和电流都将维持与原电路相同。
' '
这就是电路的“等效概念”。
此等效为对外等效，对内不等效。
一、 电阻串联 ( Series Connection of Resistors )
º
图中6 电阻和3 电阻并联， 然后和2 电阻串联，再和4 电阻并联。
Req = 4∥(2+3∥6) = 2
例2.
图中为一常用的电阻分压器电路。电阻分压器的固定端a、b接 到直流电压源，固定端b与活动端c接到负载，利用分压器滑动触 头c的滑动，可向负载电阻输出0--U的可变电压。已知直流电源的 电压U=18V，滑动触头c的位置使R1=600 ， R2=400 ，求输出 电压U2。若用电阻为1200 的电压表去测量此电压，求电压表的 读数。
i1
'
1 i12
'
R1
R31
R3 i3 R2
R12 R23
i3 i31
'
'
3
i2
2
i23
'
i2
'
2
3
（a）
（b）
设在它们对应端子间有相同的电压u12、 u23 、 u31。 如果它们彼此等效，那么流入对应端子的电流必须分别相 ' ' ' 等。应当有： i1 i1 , i2 i2 , i3 i3
解：
Req 40 // 40 30 // 30 // 30
40 30 30 2 3
40
30
Req
40
30
30
30
例4.
100 的电阻与120V的电源串联，为了使电阻上的功率不超过 100W，至少应再串入多大的电阻R？电阻R上消耗的功率是多少？
i
120V
R
解： 未接电阻R时 2 120 p 144 100W 100
KVL
Req R1 R2 .... Rn RK K 1
n
电阻 Req 称串联电阻的等效电阻。 等效电阻与这些串联电阻所引起的作用完全一样。 这种替代称等效替代。
结论： 串联电路的总电阻等于各分电阻之和。
3. 功率关系
p1 R1 i
2
p2 R2 i
2
.....
2
2
pn Rn i
（1）
i3 i31 i23
' ' '
1
i1
R1
对Y ，端子间的电压分别为：
u12 R1i1 R2i2 u23 R2i2 R3i3
R2
R3 i3
i1 i2 i3 0
i2
2
3
可解出电流：
u12 u23 u31 0 R2 u12 R3 u12 R2 u23 i1 R1 R2 R2 R3 R3 R1 R3 u12 R2 ( u12 u23 ) R1 R2 R2 R3 R3 R1 R1 R2 R2 R3 R3 R
不论u12、 u23 、 u31为何值，两个电路要等效，流 入对应端子的电流就必须相等。故（1）（2）式 中电压u12、 u23 、 u31前面的系数应该对应相等， 得： （2）
1
i1
R1
i1
'
1 i12
'
R31
R3 i3 R2
R12 R23
i3
i2
2
'
i31
'
3
i23
'
i2
'
2
3
R3 u12 R2 u31 i1 R1 R2 R2 R3 R3 R1 R1 R2 R2 R3 R3 R u12 u31 i1 i12 i31 R12 R31
解：
R1
R2
R3
1 G2 0.1mS R2
1 G1 0.025mS R1
1 G3 0.04mS R3
I1
G1 0.025 Is 16.5mA 2.5mA G1 G2 G3 0.025 0.1 0.04
I2
I3
G2 0.1 Is 16.5mA 0.025 0.1 0.04 G1 G2 G3
R
I3
R
I4
求：I1 ,I4 ,U4
12V
解：
2R
2R
2R
U4
2R
I 1 12 R
I 4 1 I 3 1 I 2 1 I 1 1 12 3 4 2 2R 8 R 8
U4 I4 2R 3 V
练习题： 求Req
Req
3
10
6 6
36
1.3 6.5 13
1 1 1 G 1 1.3 6.5 13
1 R 1 G
故
4. 并联电阻的电流分配
i
1
ik Gk u
i Gk Gk i Geq Geq
u
1
'
i1 G1
i2
G2
in Gn
k 1,2,..... n
即 各个并联电阻中的电流与它们 各自的电导值成正比。或者说总电 流按各个并联电阻的电导进行分配 上式称电流分配公式。
R4
R5
2
1
i1
R1
Y联接或星形联接 Y 联接中，每个电阻的一端 都接到一个公共结点上，另 一端则分别接到3个端子上。
i2
2
R3 i3
R2
3
联接或三角形联接 联接中，各个电阻分别接 在3个端子的每两个之间。
R12
i1
R31 i3
1
R23
3
i2
2
二、 Y 、 联接的等效变换 1、 Y
1
变换
须串入电阻R
100
120 i 100 R
2
120 2 ) 100 电阻消耗的功率为： p1 100i 100 ( 100 R 120 2 R 20 ) 100 即： 100 ( 100 R
即串入的电阻不得小于20 。
i
120V
R
R 20
p2 20i
2
120 2 20 ( ) 20W 100 20
例5.求Req。
4
100
解：
12
12
Req
8
12
Req 8 //(4 12 // 12 // 12)
8 //(4 4) 4
R
例6.求Req。
R
R
解：
Req
R R
R
R
R
R
R Req 8
例7.
I1
I2
第二章 电阻电路的等效变换
重点：
1. 电阻、电源的串并联 2. 电源的等效变换
3. 输入电阻的计算
§ 2.1 电阻的串联、并联和混联 § 2. 2 电阻的星形联接与三角形联接的等效变换
§ 2.3 电压源、电流源的串联和并联
§ 2. 4 实际电源的两种模型及其等效变换 § 2. 5 输入电阻
§2-1电阻的串联、并联和混联
R2
5mA
UV RV IV
1200 5 10 6V
3
b
I1 20mA
RV=1200 ， R2=400
电压表的读数为6V，可见当电压表的内阻不太高时，测得的 电压就有一定的误差。
如果分压器输出端有负载，则输出电压将随负载的大小而变。
例3.
Req
40
40
30 30
G3 0.04 Is 16.5mA G1 G2 G3 0.025 0.1 0.04
10mA
4mA
三、 电阻的串并联(混联)
电阻的串联和并联相结合的联接方式叫电阻的串并联 （或混联）。 要求：弄清楚串、并联的概念。 计算举例：
4 2 6 3
º
Req
例1.
Req
2
2
p p1 p2 ....... pn R1i R2 i ..... Rn i
( R1 R2 ..... Rn )i
2
Req i
2
4. 电压的分配
i
1
R1
R2
Rn
u
1
'
u1
u2
un
uk Rk i
u Rk Req
电压与电阻成正比。
k 1,2,..... n
1. 电路特点:
i
1
R1
R2
Rn
u
1
'
u1
u2
un
(a) 各电阻顺序连接，流过同一电流 (KCL)；
(b) 总电压等于各串联电阻的电压之和 (KVL)。
2. 等效电阻Req
i
1
R1
R2
Rn
i
1
Req
u
1
'
u1
u2
un
u
1
'
u u1 u2 .... un u2 R2 i .... un Rn i 由欧姆定律 u1 R1i u ( R1 R2 .... Rn )i Reqi
R2 RV 400 1200 Req R1 600 900 R2 RV 400 1200 U 18 I1 20mA Req 900
I1
R2 IV I1 R2 RV 400 3 20 10 400 1200
a
IV
U
R1
c
U2
RV
Geq
G1 R2 i i1 i R1 R2 Geq
分流公式
G2 i2 i R1 i Geq R1 R2
例. 求I1、 I2 、 I3 。已知 Is =16.5mA, Rs =2k ， R1=40k ， R2 =10k ， R3 =25k 。
Rs
Is
I1
I2
I3
对，各个电阻的电流分别为：
'
1 i12
'
i1
u12 i12 R12
'
u23 i23 R23
'
u31 i31 R31
'
R31
i3 i31
' '
R12 R23
'
3
i23
'
i2
' '
'
2
按KCL，端子处 的电流分别为：
i1 i12 i31
i2 i23 i12
' ' '
u12 u31 R12 R31 u23 u12 R23 R12 u31 u23 R31 R23
a
R1
I1 R1
a
IV
U R2
c
U2
V
U
c
U2
RV
R2
b
解：
b
未接电压表时，等效电阻 Req
I1 R1
R1=600 ， R2=400 为： U=18V
a
IV
Req R1 R2 1000
R2 400 U2 U 18 Req 1000
U
c
U2
RV
R2
b
接电压表后，
7.2V
R3 u12 R2 u31 R1 R2 R2 R3 R3 R1 R1 R2 R2 R3 R3 R
R3 u12 R2 u31 i1 R1 R2 R2 R3 R3 R1 R1 R2 R2 R3 R3 R R1 u23 R3 u12 i2 R1 R2 R2 R3 R3 R1 R1 R2 R2 R3 R3 R R2 u31 R1 u23 i3 R1 R2 R2 R3 R3 R1 R1 R2 R2 R3 R3 R
2. 等效电导Geq
i
1
u
'
i1 G1
1 由KCL:
i2
G2
in Gn
i
等效
1
u
1
'
Geq
i i1 i2 .... in (G1 G2 .... Gn )u Geq u i G1 G2 ..... Gn Geq u
Geq：并联电阻的等效电导
结论：并联电路的总电导等于各分电导之和。
等效电阻为
各个并联电阻
1 Req Geq 1 Rk Gk
n 1 1 Req k 1 Rk
故等效电阻与并联电阻之间的关系为
并联
Req Rk
当 n=2 ，
即等效电阻小于任一个 并联电阻。
R1 R2 Req R1 R2
对于两电阻并联，
i
1
i
i1 G1 i2
G2
1
u
1
'
u
1
'
线性电路：
由时不变线性无源元件、线性受控源和独立电源 组成的电路，称为时不变线性电路，简称线性电 路。
线性电阻电路：
如果构成电路的无源元件均为线性电阻，则称为 线性电阻电路。
直流电路：
当电路中的独立电源都是直流电源时，这类电 路简称直流电路。
等效变换： 对电路进行分析和计算时，有时可以把电路中某一 部分简化，即用一个较简单的电路替代原电路，但端口的电压电 流关系保持不变。
Req
36
K
K合上和断开时的Req
24 24
§2-2电阻的星形联接与三角形联接的 等效变换 (—Y 变换)
一、 Y 、 联接
1
在电路中，有时电阻的联接既非 串联又非并联。
R2
R1 R3
R1 、 R2、 R3既非串联又非并联。
R1 、 R2、 R3为联接， R1 、 R4、 R3为Y联接。
上式称为 电压分配公式。
若两个电阻分压, 如下图
i
R1
u1
R2
u
u2
R1 u1 u R1 R2
R2 u2 u R1 R2
分压公式
二、电阻并联 (Parallel Connection)
i
1
u
1. 电路特点:
1
'
i1 G1
i2
G2
in Gn
(a) 各电阻两端分别接在一起，两端为同一电压 (KVL)； (b) 总电流等于流过各并联电阻的电流之和 (KCL)。
3. 功率关系
u 2 p1 G1 u R1
2
..... pn Gn u2 p2 G2 u
2
p p1 p2 ....... pn
G1 u G2 u ..... Gn u
2 2 2
(G1 G2 .....
Gn ) u
2
Geq u
2
º
Rin= º
R1
R
i
R
i
1
1
R2
us
u
1
'
R3
R4
us
R5
u
1
'
Req
当端子 1 1 以右电路被 Req 替代后， 1 以左部分的任何电压 1 和电流都将维持与原电路相同。
' '
这就是电路的“等效概念”。
此等效为对外等效，对内不等效。
一、 电阻串联 ( Series Connection of Resistors )
º
图中6 电阻和3 电阻并联， 然后和2 电阻串联，再和4 电阻并联。
Req = 4∥(2+3∥6) = 2
例2.
图中为一常用的电阻分压器电路。电阻分压器的固定端a、b接 到直流电压源，固定端b与活动端c接到负载，利用分压器滑动触 头c的滑动，可向负载电阻输出0--U的可变电压。已知直流电源的 电压U=18V，滑动触头c的位置使R1=600 ， R2=400 ，求输出 电压U2。若用电阻为1200 的电压表去测量此电压，求电压表的 读数。