卧式储油罐的变位识别与罐容表标定

卧式储油罐的变位识别与罐容表标定
摘要
本文分析卧式储油罐无变位和有变位时的罐内油位高度与储油量的对应关系，建立了储油量与油位高度的关系模型。

通过变位时罐内储油体积与无变位时储油体积的变化差来分析罐体变位后对罐容表的影响。

在问题一中：我们针对两端平头的小椭圆型储油罐，首先建立罐体无变位的储油体积关于油位高度的积分模型，通过对横截面积的微分ds ，求出横截面积
ds s =⎰，对截面积S 在Y 轴上积分，得出罐内储油体积模型：2
1
y y V sdy =⎰。

然
后同样采用数学积分建立罐体变位后储油体积关于油位高度及纵向倾斜角α的关系模型：2()1
y V s dy y α=⎰。

在分析罐体变位对罐容表的影响时，我们通过建立
罐体变位时容积2v 关于变位角度α的变化量'()v α的关系：'2()dv
v d αα=，来表达
罐体变位对罐容表的影响。

然后在精确模型可以求得无变位时的容积(0)v 和变位角度α的变化量'()v α的前提下，得到变位后容积的一般模型:
'2()(0)()v v v ααα=+。

在计算罐体变位后罐内油面高度间隔为1cm 时的罐容表时，我们分别采用精确模型和近似模型计算出理论标定值和近似标定值，同时采用分段二次拉格朗日插值算法根据实际数据计算罐体变位后高度每隔0.01m 时对应的标定值，通过比较和误差分析验证了所建立的近似模型的正确性与可行性，从而我们可采用所建立的近似模型来给出高度间隔为0.01m 时的罐容表。

在问题二中：我们先考虑实际储油罐无变位时的罐内储油量与油位高度的积分模型，将储油罐体积分成圆柱体1V 和两个球缺2V 来计算，得到储油罐体积模
型为：()()2()12
V h V h V h -
=+。

在罐体有变位的储油体积计算时，我们先考虑横向偏转的影响，得到垂直于油面的高度：0()cos h h r r β=-⨯+，从而本问可同样近似采用问题一中所建立的近似计算模型来计算变位后容积。

根据附录所给数据，采用MATLAB 编程求解，得到纵向倾斜角α和横向偏转角度β的值为： 3.45, 5.45αβ==。

最后，通过对近似模型计算得出的理论值与插值法根据实际数据计算出的数值进行相比照较及误差分析检验模型的准确性与合理性，证实了模型是准确可行的，并利用近似模型给出了高度间隔为0.1m 的罐容表。

关键词：回归分析 插值法 罐容表 近似计算
一、问题重述
通常加油站都有假设干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的“油位计量管理系统”，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表〔即罐内油位高度与储油量的对应关系〕进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。

许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化〔以下称为变位〕，从而导致罐容表发生改变。

按照有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定。

图1是一种典型的储油罐尺寸及形状示意图，其主体为圆柱体，两端为球冠体。

图1 储油罐正面示意图
请你们用数学建模方法研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题。

〔1〕为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用如图4的小椭圆型储油罐〔两端平头的椭圆柱体〕，分别对罐体无变位和倾斜角为α=4.10的纵向变位两种情况做了实验，实验数据如附件1所示。

请建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。

〔2〕对于图1所示的实际储油罐，试建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数〔纵向倾斜角度α和横向偏转角度β〕之间的一般关系。

请利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据〔附件2〕，根据你们所建立的数学模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为10cm 的罐容表标定值。

进一步利用附件2中的实际检测数据来分析检验你们模型的正确性与方法的可靠性。

二、模型假设与符号说明
2.1模型的假设
假设1：不考虑温度、压强对燃油体积的影响
假设2：油位探针是始终垂直指向罐底的
假设3：油罐体中燃油的进油和出油都是单独进行的
假设4：罐体变位后对进/出油流量无影响
假设5：罐体内附件体积对罐容量影响可忽略不计
假设6：题中所给实验数据真实可靠
2.2符号说明
三、问题分析
本文要求用数学建模的方法来研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题。

针对问题一：此问要求我们利用一个小椭圆型储油罐来研究分析罐体变位后对罐容表的影响，并给出该罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。

为分析变位对罐容表的影响，我们希望通过探究有变位时与变位角度α相关的体积变化量来研究变位对罐容表的影响。

为此我们首先用积分法建立模型来求解无变位时的储油体积和有变位时的储油体积，然后通过题中所给实验数据来检验该体积求解模型，最后将有变位时的体积求解模型进行对α的微分得出与变位角α相关的体积变化量，此变化量即为罐体变位对罐容表的影响。

为得出该罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表，我们先用精确模型和近似模型进行计算得出理论标定值和近似标定值，再运用插值算法根据附录中的数据进行计算求解，以此来比照验证两类模型的准确性。

针对问题二：此问首先要求我们建立一个罐体变位后标定罐容表的数学模型，对于该模型的建立我们可沿用第一问中的体积变化量思想，用变位产生的体积变化量与对应的无变位时储油体积之和来求解有变位时的储油体积。

然后针对该问用附件2中的部分实验数据求解确定模型的变位参数，并进一步利用其余实际检测数据来检验模型的正确性。

最后，我们用两种方法标定罐容表，一种是采用本文所提出的模型，另一种是以实际检测数据用插值法，比较了两种方法给出的罐容表的一致性。

四、模型的建立与求解
问题一：研究变位对平头椭圆储油罐罐容表的影响，并给出变位后油位高度间隔为1cm的罐容标定值
4.1.1模型的建立
为了分析两端平头的椭圆柱体罐体变位对罐容量的影响，我们先考虑水平放置时油罐容油量与油位高度之间的关系模型，然后考虑纵向倾斜时储油罐容量与油位高度之间的关系模型。

〔1〕罐体无变位的模型[1]
为便于分析计算，我们以油位探针与罐底的交点为原点O，以油位探针为Z 轴，罐底水平线为Y轴，以垂直于YOZ平面且过O点的直线为X轴，建立三维坐标系，如图1中(a)和(b)所示：
(a) 在小椭圆油罐内建立坐标系〔b〕横向椭圆截面的坐标示意图
图2无变位小椭圆型罐体的坐标系示意图
为建立数学模型，首先可设立如下变量：
：由油位探针测出的油位高度；
：燃油覆盖所达最左端点的Y 轴坐标值； ：燃油覆盖所达最右端点的Y 轴坐标值；
：储油罐内的燃油体积；
：椭圆的长半轴长度； ：椭圆的短半轴长度；
S ：无变位储油罐内燃油没过横向截面上椭圆的面积；
：无变位储油罐内油位高度为h 时椭圆截面的浮油高度。

〔注：无变位时h = z h 〕
椭圆柱体横向截面椭圆方程为：22()122x z b a b
-+= (1) 当燃油高度为h 时罐内的燃油横截面的面积：
0Z h s =⎰ (2)
对截面积S 在Y 轴上积分，被积表达式：d Sd v y = (3)
积分区间为：,12y y ⎡⎤⎣⎦
得到体积的积分模型：
2
1
y y V sdy =⎰ (4)
将S 表达式代入，即：
()
210arcsin 212Z y h V y h b ab ab y y b π=⎰⎰-⎤=+-⎥⎦ (5)
〔2〕罐体有变位的模型[1]
与罐体无变位时一样建立坐标系，如图3中〔a 〕和〔b 〕所示建立三维坐标系：
h 1y 2y V a b z h
(a)在小椭圆内建立坐标系 〔b 〕横向椭圆截面的坐标示意图
图3 有变位小椭圆型罐体的坐标系示意图
由于此问中只分析了无变位和纵向变位两种情况，所以这里的变位模型只建立有纵向变位的模型。

首先可设立如下变量：
h ：由油位探针测出的油位高度； α：罐体的纵向倾斜角度；
m ：原点到左边椭圆之间的距离； n ：原点到右边椭圆之间的距离； ：燃油覆盖所达最左端点的Y 轴坐标值； ：燃油覆盖所达最右端点的Y 轴坐标值； V ：储油罐内的储油体积；
a ：椭圆的长半轴长度；
b ：椭圆的短半轴长度；
：储油罐在Y 轴坐标点为y 时的横截面被燃油没过的面积；
：当油位高度为h 时截面上的燃油高度。

其中由平面几何知识可得z
sh
与各截面在Y 轴上坐标的关系为：
tan z
h y sh
α=- (6)
与无变位时一样，我们对每个横截面被燃油没过的面积求解，有：
0y Z sh s =⎰ (7)
对截面积y s 在Y 轴上积分得到体积的计算模型：
2
1
y y y V s dy =⎰ (8)
将y s 的求解公式代入体积模型可得：
1y 2y y S z
sh
y S
21210tan 0Z y sh V y y h y y α=⎰⎰-=⎰⎰ (9)
这是一个关于h 的分段函数。

我们分段考虑1y 和2
y 的具体取值。

我们知道油罐的纵向变位有两种情况，即向左端倾斜和向右端倾斜。

由于储油罐是倾斜放置的，因此当燃油油位超过油浮子所测最大范围后，油罐体仍可进油，燃油的储量是不可测的，当油位高度显示为0时，油罐内不一定无油，燃油的储量同样是未知不可测的。

假设以油位接近油位探针底端为临界点，则罐体向不同的方向倾斜会有不同的最大未知储油值。

可知向左倾斜和向右倾斜对油罐罐容标定值有一定的影响。

下面我们分别讨论向左、向右倾斜的情况。

■罐体向左倾斜
由图4可得只有当燃油外表介于L1~L4之间时模型才可求解：
①当罐体内油位垂直高度低于直线L1，即h<=0时，探针高度一直为0，罐内油量是无法测得计算的，罐内油量的最大不可测量值即为模型
120,,0V
h y m y ==-=的值；
②当罐体内油位垂直高度介于直线L1~L2之间，即0tan h n α<≤时：
1y =-m ， 2tan h
y α
=
； ③当罐体内油位垂直高度介于直线L2~L3之间，即tan tan n h l m αα<≤- 时：1y =-m ，2y =n ；
④当罐体内油位垂直高度介于直线L3~L4之间，即tan l m h l α-<<时：
1tan h
y α
=-，2y =n ；
⑤当罐体内油位垂直高度高于直线L4，即h= l 时，燃油高度可能超过h 所达高度，罐内油量时无法测得计算的，故此段可予以忽略。

图4 罐体向左变位时油位的垂直高度与其Y 轴坐标关系图 ■罐体向右倾斜
由图5可得只有当燃油外表介于L1′~ L4′之间时模型才可求解：
①当罐体内油位垂直高度低于直线L1′，即h=0时，罐内油量是无法测得计算的，罐内油量的最大不可测量值即为模型120,0,V
h y y n
===的值；
②当罐体内油位垂直高度介于直线L1′~L2′之间，即0tan h m α<<时：
1tan h
y α
=-，=n ；
③当罐体内油位垂直高度介于直线L2′~L3′之间，即tan tan m h n αα<≤时：
=-m ，=n ；
④当罐体内油位垂直高度介于直线L3′~L4′之间，即tan n h l α⨯<<时：
=-m ， 2tan h
y α
=
； ⑤当罐体内油位垂直高度高于直线L4′，即h l =时，探针高度一直显示为最大值，罐内油量时无法测得计算的，故此段可予以忽略。

图5 罐体向左变位时油位的垂直高度与其Y 轴坐标关系图
〔3〕研究变位对罐容表的影响
有变位时容积2
v 关于变位角度α的变化量为：
'2
()dv v d αα
=
(10) 因此我们可从罐体无变位时的容积出发求得罐体有变位时的模型即：
'2()(0)()v u v v u u =+ (11)
由式〔9〕积分可得：
2
1
2tan arcsin y y v dy h y b
ab b
α=--⎰
(12)
令tan u α=，当tan tan m h n αα<≤时，由式〔10〕和式〔11〕可得：
2y 1y 2y 1
y
2
1
'()2y y v u a =-⎰
(13)
用泰勒级数展开得：
＝221(21)!!1(
)()2(2)!!n
h yu n h yu b n b
---+++
+
取前两项之和，代入〔12〕得
2
1
'
2
1()2(1())2y y h yu v u a y dy b -≈-+⎰ (14)
进一步求得：
22'
2
233
442
1
21212222()()(1)()()23h ah au v u y y y y u y y b b b
≈--++--- (15)
将式〔14〕代入式〔15〕得：
22
23324
43
22
1
21212222()(0)()(1)()()23h ah a v u v y y u y y u y y u b b b
≈--++---
(16)
当21y y =时，2()(0)v u v ≈，这说明将油浮标杆放在罐体中央，其纵向倾斜对油容表影响很小。

为了得到一个较为简单，且能应用于实践的模型，通过观察式〔16〕可知2()v u 关于u 和h 的关系可用一个近似的表达式来确定。

将式〔16〕变形可得：
222222212212121122121222()2()(0)()()()()()23u y y a a v u v y y y y h y y y y hu y y y y u b b b ⎡
⎤⎢⎥⎣⎦
+≈--+-
+++-++ 令：
2112()2y y k b +=-
22
221122
2()3a k y y y y b =++ 2
2321212()()a k y y y y b =-++ 421()k y y =+
由此可得到变位后容积2()v u 关于和的一般模型：
222211234()(0)()()v u v y y k h k hu k u k u =+-+++ (17)
u h
其中(0)v 为无变动时高为h 时的体积，1k 2k 3k 4k 为与和无关的常数。

当燃油外表介于L1′~ L4′之间其余情况时，可得类似近似模型。

4.1.3模型的求解
〔1〕罐体无变位模型的求解
在小椭圆型无变位罐体中，高度Z h h
=，
1y =-0.4m, 2y =2.05m ， a=0.89m ，
b=0.6m 。

问题一中给出了无变位进出油的统计数据，利用MATLAB 软件编程将探针所测高度作为自变量，利用无变位模型〔5〕求解〔见附录三〕。

相同高度下关于油体积的理论值和实际值图形如下：
为了衡量模型的误差大小我们引入以下变量：
平均误差
1
N
c
y
i v
v s N
=-=
∑ (18)
其中c y v v -为理论值与预测值之差，N 为总的数据个数
平均相对误差
1
N
c y
i c v v v rs N
=-=
∑
(19)
u h
5001000150020002500
3000350040004500h/mm
v /L
无变位进油
最大误差
max c y ms v v =-
(20)
最大相对误差
max c y
c
v v mrs v -=
(21)
其中c y v v -为理论值与预测值之差，N 为总的数据个数
由式(18)(19)(20)(21)可得： 平均误差： 75.5246()s L = 平均相对误差： 0.0337rs = 最大误差：138.4521(L)ms =
最大相对误差：0.0349mrs =
从图形和误差分析可知，小椭圆型罐体无变位时储油体积通过模型计算的理论值与实际值的吻合度相当好，验证了模型的准确性。

〔2〕罐体变位模型的求解
根据题中给出的小椭圆油罐正面示意图可知罐体是向左倾斜的，而且题中数据均给出了油位高度，所以题中的数据均可用该变位模型〔11〕求出可行解。

利用MATLAB 软件编程将探针所测高度作为变量求解〔见附录四〕，绘出相同高度下关于油体积的理论值和实际值图形如图6：
图6
由式(18)(19)(20)(21)可得： 平均误差：58.4312()s L =
500
1000150020002500
3000
3500
4000
h/mm
v /L
有变位进油
平均相对误差：0.0363rs = 最大误差：76.5408(L)ms =
最大相对误差： 0.0563mrs =
通过图形和误差分析可知，我们可以看出由小椭圆型罐体有变位时储油体积通过模型计算的理论值与实际值之间有一定的误差，但基本上是吻合的，也验证了模型的准确性。

正是由于罐体内附件体积及温度、压强等对储油体积的影响，理论值与实际值是不可能完全一致的，所以会存在一定误差。

〔3〕变位后容积关于和的近似模型
据附表一倾斜变位的进油数据，对式〔17〕进行回归分析，用MATLAB 编程求得各项系数的值为〔见附录〕： 1404.3585k = 2634.3058k = 327.3912k = 4=19.9702k
因此可建立关于的回归模型为：
222()(0) 2.45(404.359634.30627.39119.970)v u v h hu u u =++++ (22)
进一步可利用此模型，通过MATLAB 编程〔见附录五〕，据附表一倾斜变位的出油数据，可绘出相同高度下关于油体积的理论值和实际值的图形如图7：
图7
由式(18)(19)(20)(21)可得： 平均误差：16.2409()s L = 平均相对误差：0.0052rs = 最大误差：41.6937(L)ms = 最大相对误差： 0.0119mrs =
由图形和误差分析可知，小椭圆型罐体有变位时变位后容积用近似模
2()v u u h 2()v u h
2000
22002400260028003000
320034003600h/mm
v /L
近似模型的有变位进油
2()v u
型〔17〕所求理论值与实际值基本吻合，说明了模型的可行性与准确性。

我们作出回归模型的残差如图8：
图8
通过图形可知，数据点分布较均匀，从而也说明了回归模型较准确。

4.1.4 给出变位后油位高度间隔为1cm 的罐容标定值
在求罐体变位后油位高度间隔为1cm 的罐容标定值时，我们运用插值算法，根据附录中给出的罐体变位后油面高度及油料容积值进行求解。

油量随高度的变化表示为：()V f h =
其中，V 为油量；h 为高度；f 为油量随高度变化的函数。

我们采用分段二次拉格朗日抛物插值法进行求解[2]。

■ 分段二次拉格朗日抛物插值法
假设求(,)h V i i 和(,)11h V i i ++之间任一点(,)h V 的值，则可用(,)11
h V i i --，
，3个点〔通常称为上三点〕来求得，上三点内插公式
：
()()()()()()
111111
()()()()()()11111111
h h h h h h h h h h h h i i i i i i V V V V
i i i h h h h h h h h h h h h i i i i i i i i i i i i ------+-+-=++-+--------+-++-+
我们根据附录中给出的罐体变位后油面高度及油料容积值数据，应用三点拉格朗日插值法计算出油位高度每隔0.01m 对应的油料容积，将计算出的数据绘制成曲线，其结果如图9所示。

〔数据见附录程序见附录六。

〕
-4-3-2-101
234残差图
h/m
v /L
(,)h V i i (,)11h V i i ++
图9
我们根据附录中给出的罐体变位后油面高度及油料容积值数据，应用近似模型计算出油位高度每隔0.01m 对应的油料容积，将计算出的数据绘制成曲线，其结果如图10所示〔程序见附录七〕
图10
由式(18)(19)(20)(21)可得： 平均误差：0.2116()s L = 平均相对误差：0.1241rs = 最大误差：0.2520(L)ms =
最大相对误差： 0.3264mrs =
由图形和误差分析可知， 插值算法与近似模型算得的结果近似一致，两者差值
0.51
1.5
2
2.5
3
3.5
x/m
y /m 3
large 有变位插值
0.511.522.5
3
3.5
4
h/m
v /m 3
近似模型预测容积
保持在一个很小的范围内，从而验证了近似模型的准确性。

4.1.5给出罐容表
在已验证近似模型较为准确的情况下，我们利用近似模型来给出罐容表。

通
问题二：针对实际储油罐建立变位后储油量与油位高度及变位参数〔纵向倾斜角度α和横向偏转角度β〕之间的一般关系。

4.2.1模型分析
根据附录数据我们可知，罐内储油量与纵向倾斜角度a和横向偏转角度b呈
某种函数关系。

我们先建立无变位时实际储油罐的油料体积计算模型，再沿用第一问中的方法，用变位后的变化量与对应无变位时的容积之和来表示变位时的储油体积。

4.2.2无变位体积模型的计算[3]
■油罐图形如下列图10所示，它由一个圆柱和两个相同的球缺组成。

图11 卧式油罐
设圆柱长为L ，半径为R ，球缺半径为r ，截球缺的大圆的直径为2R ，显然r R >。

■推导储油罐罐内油面高度为(02)h h R ≤≤时体积的计算公式。

为了计算简单，先计算如图12所示灰色部分的体积。

图12 体积计算的模型
我们分两部分计算：
（1） 计算中间圆柱体部分所储油料的体积1V 。

阴影部分体积相当于圆柱体的一部分。

图13 圆柱部分储油量体积的计算
显然，1V LS =截面 (23)
所以1V 的求解转变为求解油料覆盖截面面积S 截面的问题。

利用体积计算知识有：
dS=
截面
(24) 计算定积分有：
2
arctan
h
S R
==
⎰
⎢⎥
⎣⎦
截面
(25)
由式(23)和式(25)可得：
2
1
()arctan
V h LS LR
==
⎢⎥
⎣⎦
截面
(26)
（2）计算两端球缺部分油料的体积
2
V
由于左右是对称的，所以我们只需对其中一个进行计算即可。

图14 球缺部分储油量体积的计算
如图14，与前面求解
1
V的思路一样，先计算水平截面的面积()
S h
水平
，然后
在垂直方向上对h积分，得到体积
2
V的积分求解方程：
20
()
h
V S h dh
=⎰
水平
(27)
所以
2
V的求解转变为求解球缺内水平切面面积()
S h
水平
的问题。

如图15，球的水平截面是一个圆，图中o为球缺所在球的圆心，'o为切面
所在圆的圆心，可得切面圆半径
h
r=(28)
图15 水平截面的半径
如图16，()S h 水平就是阴影部分的面积。

图16 水平截面的燃油面积
显然有：
()h r H r S h -==⎰水平 (29) 通过计算得：
22221()(()()arctan 2S h H h r h h r π⎛⎫=--+-水平(30)
由式(27)和式(30)可得：
023323323()()02
12222(()()arctan 23226332
33h
h
V h
S
h H h r h h r dh hr h H H r r h hr r πππ=⎰⎛⎫=--+--+=-+---+⎰水平(31)
于是，得到了图12所示部分的体积计算公式：
()()2()12
V h V h V h -
=+ (32)
另外，参数H 并不是独立的。

由图17可以看出，它与r 和H 有关。

图17 H 的计算
利用勾股定理有：
222()r H R r -+=
计算得到：
H r = (33)
将(33)式代入式得：
(34)
〔1〕2R h R <≤的情况
()()2()
1234233222(24323(333V h V h V h h hr LR r R h hr r ππ-
=+=-++++-+
〔2〕0h R ≤≤的情况
图18 储存油料的体积公式
下面根据图12中阴影部分的体积()V h -
来导出储油罐中体积和高度的关系模
型，根据油面高度可分分两种情况〔如图18所示〕。

用V 满表示储油罐的体积。

根据圆柱体和球缺的体积计算公式，有：
22(3)23
2222((23
H r H V R L R L R L r r ππππ
π-=+
=+=+满 (35)
得到卧式储油罐中储油体积()V h 的求解模型：
()()(02)2
V V h V h R h R -
=
+- ≤≤满
()V h 中含有三个参数：圆柱体半径R ，圆柱体的长度L 和球缺的半径r ，并且
0r R ≥>。

4.2.3 横向偏转对高度的影响 〔1〕油罐体横向偏转后的实际高度与探针所测油位高度的关系如图19所示：
(a)高度h>r 时的图形 (b)高度h<r 时的图形
图19 横向偏转后的高度关系图
图中的油位探针高度h=AB ，实际高度0h =MN ，横向偏转角度为β，横切面圆的半径为r ，由图易得:
(a)当高度h r >时：=cos ()cos OM ON OA OB h r r ββ+=⨯+=-⨯+。

(b)当高度h r ≤时：0cos ()cos h ON OM OB OA r r h ββ=-=-=--。

因为在两种高度下得出的表达式()cos ()cos h r r r r h ββ-⨯+=--，所以无论探针油位高度为多少都有：0()cos h h r r β=-⨯+。

(36) 此时的0h 为竖向截面内垂直高度，因此可先考虑横向偏转的影响，在求得的基础上转而只求竖向变位的影响。

4.2.4有变位的储油体积计算模型
由问题一求得的的实验小椭圆型储油罐体积计算模型可知：变位时体积的变化量是一个与高度h 和纵向倾斜角度α有关的函数关系式，此时只要求得体积关于的变化量，我们便可从罐体无变位时的容积出发求得罐体有变位时的容积。

由问题一中求得的变位后的容积关于和的一般模型为：
222211234()(0)()()v u v y y k h k hu k u k =+-+++
在本问题中，虽然条件有所改变，但与和的相关关系仍然存在，因
此我们同样可延用问题一中的模型来近似计算变位后的容积；不过此时用
和u 作为参数来求得与和的关系。

令cos e β=，可以得到：
22221354()(0)((())()(())())v u V u h r e r k u k k h r e r k u k -
=+-+++-+++ (37)
4.2.5 模型求解
据附表二前半部分出油的数据，对式(34)进行回归分析，用MATLAB 编程求得各项系数的值为〔程序见附录八〕： 10.8239k = 2-4.8307k = 3-17.0932k = 4=6.3798k =0.0603u 0.9955e = 由cos 0.9955e β== 得 5.45β=。

由tan 0.0603u α== 得 3.45α=。

0h 0h 0h α2()v u u h 2()v u u h 2()v u 1k 2k 3k 4k 2()v u u h
因此可建立2()v u 关于h 的回归模型为：
22 ()(0) 2.45(0.8239(( 1.5)0.9955 1.5) 4.8307(( 1.5)0.9955 1.5)0.9955 6.3798) 2
v u v h h u u =+-++--+++(38)
进一步可利用此模型，通过MATLAB 编程〔程序见附录八〕，据附表二倾斜变位的出油数据，可绘出相同高度下关于油体积的理论值和实际值图形如图20：
图20
由图形可知：理论值与实际值相当吻合，从而说明了模型的可行性与准确性。

4.2.6 给出罐体变位后油位高度间隔为10cm 的罐容表标定值
我们根据附录中给出的罐体变位后油面高度及油料容积值数据，先利用求得的近似模型计算出油位高度每隔0.1m 对应的油料容积，再应用三点拉格朗日插值法计算出油位高度每隔0.1m 对应的油料容积，采用MATLAB 求解，将计算出的数据绘制成曲线，其结果如图21和图22所示。

〔数据见附录二，程序见附录九和附录十〕
4
h/mm
v /L
近似模型的有变位出油
图21
图22
由式(18)，(19)，(20)，(21)可得： 平均误差：21.58()s L = 平均相对误差：0.0048rs = 最大误差：22.35(L)ms =
最大相对误差：0.0066mrs =
由图形和误差分析可知， 插值算法与近似模型算得的结果近似一致，两者差值保持在一个很小的范围内，从而再一次验证了近似模型的准确性。

4.2.7给出罐容表
在已验证近似模型较为准确的情况下，我们利用近似模型来给出罐容表。

通
3035
40
45
50
55
60
h/m
v /m 3
近似模型的预测有变位出油
x/m
y /m 3
large 无变位进油插值
过MATLAB编程求得罐容表
五、模型的评价与推广
5.1模型的评价
在问题一中我们首先建立无变位时的体积求解模型，再建立有变位时的体积求解模型，而无变位时的体积求解模型即为有变位时α=0的特殊情况，模型建立具有一定的连贯性和综合性，并结合实验数据对模型进行检验验证了我们体积求解模型的准确性。

我们直接用与变位角α相关的体积变化量表示变位对罐容表的影响，对其影响的反映准确明了。

但在模型建立时我们忽略了罐体内附件体积及温度、压强等对储油体积的影响，而实际中这些因素都是对其有影响的，因而会产生一定的误差。

在问题二中，我们先建立求解实际储油罐无变位时储油体积，然后沿用问题一中的模型来近似计算变位后的容积，采用拟合，得到变位参数与变位后体积变化量之间的函数关系。

对某一高度，用变位时体积变化量与对应无变位时储油体积之和来表示有变位时总的储油体积。

该近似算法与用积分计算的模型相比，防止了繁冗复杂的计算，思路简单，可操作性强，并结合第二问中的实验数据进行参数确定和模型检验，检验结果很好地验证了我们模型的准确性。

5.2模型的推广
该模型是一个解决储油罐变位后油量体积计算的模型，适用于各种封头形式的卧式容器无变位和变位后不同液面高度的体积计算。

该模型同样适用于土方等体积的计算。

六、参考文献
[1] 高纯一，周勇，高等数学，复旦大学出版社，2006。

[2] 颜庆津，数值分析[M]，北京：北京航空航天大学出版社，2000年。

[3] 王郑耀，卧式加油罐剩余油料体积的计算，西安交通大学，2004-8-8。

附录一(问题一中的罐容表)。