高中数学_利用导数研究函数的极值教学设计学情分析教材分析课后反思

3.3.2利用导数研究函数的极值
数学组
[教材分析]：
《利用导数研究函数的极值》是在学生已掌握了函数求导及导数的几何性质，已初步具
备了运用导数研究函数单调性的能力的基础上，再一次来探究导数研究函数其他性质的功能
与方法。

它是对导数几何意义，求函数导数，运用导数研究函数单调区间等知识的一次串联
和回顾。

是数形结合思想的一次切身的体验和升华。

并为下一步研究运用导数求函数的最大
（小）值知识奠定了处理问题的基础，起着承上启下的作用。

本节课的内容充分体现了导数
工具性的特点，因此它在高考中有着不可或缺的地位，而且对我们的工业生产和日常生活中
解决最优解问题有着重要的意义。

本节课在本单元具有十分重要的地位。

[学情分析]：
在知识方面学生已掌握导数的几何意义，能够通过观察函数在图像上的点的切线斜率的
变化来寻求运用导数求极值的方法。

并且学生初步学习了运用导数研究函数的单调性的方法，
也便于解决导数求极值的问题；在技能方面，高二学生，有较强的概括能力和抽象思维能力；
在情感方面，求知的欲望强烈，喜欢探求真理，具有积极的情感态度，并已经培养起来的一
定的合作探究精神。

[教学目标]：
知识与技能：
•了解函数极值的定义，会从几何图形直观理解函数的极值与其导数的关系，增强学生的数形结合意识，提升思维水平；
•掌握利用导数求函数极值的一般方法；
•结合函数图象，了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件。

过程与方法：
1.通过曲线特点以及函数切线斜率变化过程的观察培养学生观察、分析、比较和归纳能
力。

2.通过问题的探究体会类比、运用已有知识探求未知、从特殊到一般的数学思想方法。

情感态度与价值观：
•1、让学生体验数学来源于生活，服务于生活，体验数学在构建节能环保型社会中的作用，品尝学习数学的乐趣。

•2、通过小组探究合作学习模式让学生体验数学活动充满着探索与创造，培养学生勤于思考、互相合作的精神；
•3、让学生学会用运动观点观察事物，了解事物之间从一般到特殊、从特殊到一般的辨证关系，渗透辩证唯物主义认识论的思想。

[教学重点和教学难点]：
教学重点：函数极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤.
教学难点：运用导数求函数极值的方法.
[教学与学法]
教法
教学的目的是以知识为平台，全面提升学生的综合能力．本节课突出体现了以学生能
力的发展为主线，应用启发式、问题探究式教学引导学生层层深入，培养学生自主探索以发
现问题、分析问题和解决问题的能力，注重利用非智力因素促进学生的学习，实现数学知识
价值、思维价值和人文价值的高度统一．
学法
在教师的引导下，积极、主动地解决问题，自主分析，再合作交流，展示成果．在思
维训练的过程中，感受数学知识的魅力，成为学习的主人．
[教学手段]
借助多媒体辅助教学
[课堂结构设计]：
数学教学是数学活动的教学。

因此，我将整个教学过程分为以下六个教学环节：1、创设情境，提出问题；2、分析问题，形成概念；3、观察图像，合作探究；4、例题分析，归纳方法；5、运用新知，探究问题；6、归纳总结，课堂测试。

教学
环节
教学内容师生互动设计思路
幻灯片
➢展示济南黑虎泉、珍珠泉、漱玉泉、趵突泉图片。

引出济南地下水位对泉水喷涌的影响。

展
示2014年某月济南趵突泉地下水位变化曲线。

并思考下面的问题：
1.通过观察寻找函数y=f(x)在x取5、8、14、
15、17、24、26点处函数值与他周围的函数值
比较有什么规律吗？教师通过展示济
南的泉水景色，
引出济南趵突泉
地下水位变化曲
线，然后抛出问
题，引发学生主
动思考。

通过曲
图象的直观性便
于学生对抽象概
念的理解。

在学
生相互讨论，交
流结果的基础
上，提炼函数极
大值与极小值的
特点。

泉水图片
引起学生
的好奇，对
地下水位
的观察是
学生意识
到数学知
识在现实
生活中的
巨大应用。

并在课堂
中渗透德
育，增强学
生节能环
保的意识。

通过问题
设置，激发
学生求知
欲。

创设情境、提出问题
分析问题、形成概念根据学生的认知水平,通过观察图像,学生讨论回答
问题。

教师引出课题-----运用导数求函数的极值。

指出在函数y=f(x)在x取5、8、14、15、17、24、
26处称为函数取到极值。

学生讨论总结极值的概念。

教师板书。

一般地,函数y=f(x),设x0是其定义域(a,b)内一
点，如果对x0附近所有各点x都有f(x)< f(x0)我们说
f(x)在点x0处取极大值。

记作y极大=f(x0),把x0称为
函数的一个极大值点;
一般地,函数y=f(x),设x0是其定义域(a,b)内一
点，如果对x0附近所有各点x都有f(x)> f(x0) ,我们
说f(x)在点x0处取极小值。

记作y极小=f(x0),把x0称
为函数的一个极小值点;
学生通过观察和
小组讨论展示成
果，回答问题。

教师点拨，学生
用自己的语言归
纳函数极值概
念。

教师对学生
表述不准确的地
方给予修正板书
极值、极值点的
概念。

学生通过
对问题的
思考，并和
小组成员
讨论将抽
象的概念
更加具体
化。

引导学
生舍弃具
体问题，抽
象得到极
值定义,由
浅入深、由
特殊到一
般，帮助学
生完成了
思维的飞
跃。

通过练习加强概念理解
1.根据给出的函数的图像指出函数的极值点。

2.根据上题思考下列三个问题：
1.函数的极值就是函数的最值吗？
2.函数的极大值或极小值是唯一的吗？
3.函数的极大值一定比极小值大吗？
学生分组讨论，并通过上图回答问题。

加强对函数极大值与极小值概念的理解。

由于学生对函数
极值与极值点概
念的只是初步理
解。

通过这个例
子，加强了学生
对概念的深入理
解，在小组的合
作探究中培养发
现问题解决问题
的能力。

教师进一步提出
三个思考问题。

通过练习
题使学生
经历直观
感知、观察
发现、归纳
类比的思
维过程，引
导学生创
新与实践。

并能够夯
实学生对
概念的理
解，加强学
生互相合
作的精神。

f x() = 4
3
∙x3 4∙x + 1
合作探究、总结规律先通过几何画板展示函数的图
象，在图像上取点做切线，展示点在函数图象移动
过程切线斜率的变化规律。

其中图像上A为取到极
大值的点，B为取到极
小值的点。

教师借助动画多
渠道地引导学生
观察、分析、比
较、归纳，学生
总结当点C移动
到A再移动到B
继续联系N切线
斜率的变化规
律，尤其是在A、
B两点切线斜率
的数值的特点。

理解运用
导数来求
函数的极
值是本节
课的教学
重难点，通
过曲线切
线斜率变
化特点，直
观感受来
突出重点、
突破难点引导学生探索思考：
并运用学案作答：
通过观察得出结论：
以x1 x2两点为例：
函数在x1处取_______，f‘’(x1)_____,而且在
X=X1附近的左侧f '(x)____ ，右侧f '(x)_____;
函数在x2处取到______，f ‘(x2) ___，而且在
x=x2附近的左侧f '(x)_____，右侧f '(x)____.
总结规律
通过动画展示，
教师启发学生在
学案上作答。

学
生展示成果。

学生通过
体验获取
函数导数
与函数极
值之间的
联系。

例题分析，归纳方法典型例题：求函数4
4
3
1
)
(3+
-
=x
x
x
f的极值。

解：)
('x
f=(
3
1
x3－4x+4)′=x2－4=(x+2)(x－2)
令)
('x
f=0，解得x1=2，x2=－2
下面分两种情况讨论：
(1)当)
('x
f>0，即x>2,或<-2时；
(2)当)
('x
f<0，即-2<x<2时。

当x变化时，)
('x
f，)
(x
f的变化情况如下表：
x)2
,
(-
-∞-2(-2,2)2
()
2,+∞
)
('x
f
+0－0+
)
(x
f单调递
增
↗
28
3
单调递
减↘
4
3
-单调递
增↗
∴当x=－2时，)
(x
f有极大值，并且及极大值为
)2
(-
f=
3
28
当x=2时，)
(x
f有极小值并且及极小
值为)2(f=－
3
4。

教师分析讲解例
题，并展示求解
例题的整个过
程。

有利于规范
学生的解题步
骤。

并为下一步
学生总结方法做
准备。

巩固获取
的规律，应
用于实例。

使学生形
成正确的
解题思路，
培养学生
严谨的治
学态度。

0x 0)(0' x f 引导学生自主思考运用导数求函数极值的步骤与方法 ； 1、求函数的定义域， 2、求导数f’(x)， 3、求方程f /(x)=0的所有实数根，
4、由导函数值的变化来确定极值点并求极值。

即： (1):如果在x 0附近的左侧 f /(x)>0 右侧f /(x)<0 , 那么f(x 0)是极大值;
(2):如果在x 0附近的左侧f’(x)<0 右侧 f’(x)>0 , 那么f(x 0)是极小值.
教师点拨，学生作答总结归纳运用导数求函数极值的步骤与方法。

充分激发学生的求知欲望，提高学生归纳总结的能力。

使学生的认知达到由感性认识到理性认识的飞跃。

展示成果，突破难点
通过课堂练习加强学生应用导数解决求极值方法的应用。

并通过第二道小题引出需要学生探索的问题：
课堂练习：
求下列函数的极值：
学生独立解决后讨论交流。

小组推选展示成果，教师做好课堂巡视，加强对学生的个别指导。

学生给学生纠错，教师点拨。

通过两个例题的解决。

教师能够及时了解学生掌握的情况。

进一步巩固所学知识，并通过第二个练习引出导数零点与函数极值点的关系的思考。

探索思考： 导数值为0的点一定是函数的极值点吗? 教师展示函数y=x 3的图像，点播分析。

可导函数的极值点一定是它导数为零的点,函数的导数为零的点,不一定是该函数的极值点.例如,函数y=x 3,在点x=0处的导数为零,但它不是极值点。

启发学生得出结论：
因此对可导函数而言， 是
为极值点的必要不充分条件。

教师引出探索思考，学生通过积极地讨论和对例题的理解迅速找到答案。

在实例理解的基础上，对于探索思考问题。

学生迎刃而解。

引导学生小结本节课内容： 1.函数极值的概念。

2.运用导数求函数极值的方法。

教师指导，学生通过对整节课的认识，自己归纳总结。

并展示成果。

对本节课的内容提炼归纳。

归纳要点，使学生有清晰的认知结构。

并提高学生归纳总结能力。

分层次作业：（A 层次学生基础较好，B 层次学生数
[板书设计]：
教学效果评价
教案的设计“以人为本，以学定教”，教师始终扮演的是组织者、引导者、参与者的角色，通过问题设置，极大调动学生学习主动性。

变“教的课堂”为“学的课堂”，学生成为课堂学习真正的主人。

本节内容立足课本，着力挖掘，层次分明。

通过问题设置，动画展示等手段，以“从形到数，从具体到抽象，从特殊到一般”为灵魂，把握重点，突破难点。

在教学思想上既注重知识形成过程的教学，还特别突出学生学习方法的指导，通过小组合作探究教学模式，提高学生探究能力的训练，创新精神的培养。

整节课师；教师讲练的有机结合；利用反馈信息调节教学；并能面向全体学生，因村施教；双边活动的气氛活跃。

学情分析
在知识方面学生已掌握导数的几何意义，能够通过观察函数在图像上的点的切线斜率的变化来寻求运用导数求极值的方法。

并且学生初步学习了运用导数研究函数的单调性的方法，也便于解决导数求极值的问题；在技能方面，高二学生，有较强的概括能力和抽象思维能力；在情感方面，求知的欲望强烈，喜欢探求真理，具有积极的情感态度，并已经培养起来的一定的合作探究精神。

课题：函数的导数与极值
定义： 函数y =f (x ),设x 0是
其定义域(a,b)内一点，如果对x 0附近所有各点x 都有f (x )< f (x 0)我们
说f (x )在点x 0处取极大值。

记作 y 极大= f (x 0),把 x 0称为函数的一个极大值点;
函数y =f (x ),设x 0是其定义域(a,b)内一点，
如果对x 0附近所有各点x 都有f (x )> f (x 0) ,我们说f (x )在点x 0处取极小值。

记作 y 极小= f (x 0),把 x 0称为函数的一个极小值点;
典型例题：求函数
4
431)(3+-=x x x f 的极值。

解：)('x f =(3
1x 3－
4x+4)′=x 2－4=(x+2)(x －2)
令)('x f =0，解得x 1=2，x 2=－2
下面分两种情况讨论：… …
求极值的步骤：
1、求函数的定义域，
2、求导数f’(x)，
3、求方程f /(x)=0的所有实数根，
4、由导函数值的变化来确定极值点并求极值。

教学效果评价
教案的设计“以人为本，以学定教”，教师始终扮演的是组织者、引导者、参与者的角色，通过问题设置，极大调动学生学习主动性。

变“教的课堂”为“学的课堂”，学生成为课堂学习真正的主人。

本节内容立足课本，着力挖掘，层次分明。

通过问题设置，动画展示等手段，以“从形到数，从具体到抽象，从特殊到一般”为灵魂，把握重点，突破难点。

在教学思想上既注重知识形成过程的教学，还特别突出学生学习方法的指导，通过小组合作探究教学模式，提高学生探究能力的训练，创新精神的培养。

整节课师；教师讲练的有机结合；利用反馈信息调节教学；并能面向全体学生，因村施教；双边活动的气氛活跃。

教学反思 本节课真个设计理念是设置问题，引导学生解决问题，并通过分组探究的形式来达到概念的理解。

通过多媒体辅助教学以及动画的直观感官做到加强重点，突破难点。

整节课紧扣研究函数极值的重点展开，步步启发，并极大调动学生思维从知识维度，能力目标情感态度目标都得以实现。

并且整节课流畅紧凑，对学生有收有放。

学生自我活动的时间比较多。

强化学生主体地位。

教材分析
《运用导数研究函数的极值》是在学生已掌握了函数求导及导数的几何性质，已初步具备了运用导数研究函数单调性的能力的基础上，再一次来探究导数研究函数其他性质的功能与方法。

它是对导数几何意义，求函数导数，运用导数研究函数单调区间等知识的一次串联和回顾。

是数形结合思想的一次切身的体验和升华。

并为下一步研究运用导数求函数的最大（小）值知识奠定了处理问题的基础，起着承上启下的作用。

本节课的内容充分体现了导数工具性的特点，因此它在高考中有着不可或缺的地位，而且对我们的工业生产和日常生活中解决最优解问题有着重要的意义。

本节课在本单元具有十分重要的地位。

评测练习
1．函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示，则函
数)(x f 在开区间),(b a 内有几个极值点?哪些是极小值点？哪些是极大值点？
1
2.函数f(x)=x＋的极值情况是()
(A) 当x=1时取极小值2，但无极大值
(B) 当x=－1时取极大值－2，但无极小值
(C) 当x=－1时取极小值－2，当x=1时取极大值2
(D) 当x=－1时取极大值－2，当x=1时取极小值2
课标分析
对本节课的要求在高中数学课程标准中是这样阐述的，结合函数的图像，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件，会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值。

体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性。

这样制定是与《标准》基本理念相吻合的。

首先以培养学生重视基础知识与基本技能和能力为出发点，而以使得数学得到更为广泛的应用为目的。

在课标的指导下要求教师处理导数问题因强化应用，而非理论上的细枝末节。

也对教材的使用和内容上的删减给予教师充分的自由。

因此我本节课的设计紧扣《课程标准》的要求，紧紧把握极值概念和求极值的方法，而对于不可导函数的极值问题不做探究。