甘肃省张掖市重点中学2025届高三第二次调研数学试卷含解析

甘肃省张掖市重点中学2025届高三第二次调研数学试卷
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．在ABC 中，3AB =，2AC =，60BAC ∠=︒，点D ，E 分别在线段AB ，CD 上，且2BD AD =，2CE ED =，则BE AB ⋅=（ ）． A ．3-
B ．6-
C ．4
D ．9
2．已知函数()ln f x x =，()()23g x m x n =++，若()0,x ∀∈+∞总有()()f x g x ≤恒成立.记()23m n +的最小值为(),F m n ，则(),F m n 的最大值为（ ）
A ．1
B ．
1
e
C ．
21e
D ．
31e
3．已知抛物线C ：2
14
y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，直线PF 与抛物线交于A ，B 两点，若2PA AF =，则AB 为( )
A ．
409
B ．40
C ．16
D ．
163
4．已知抛物线C ：2
2y px =（0p >）的焦点为F ，01,2M y ⎛⎫
⎪⎝⎭
为该抛物线上一点，以M 为圆心的圆与C 的准线相切于点A ，120AMF ∠=︒，则抛物线方程为（ ） A ．22y x = B ．24y x = C ．26y x =
D ．2
8y x =
5．直线
经过椭圆
的左焦点，交椭圆于
两点，交轴于点，若
，则该
椭圆的离心率是（） A ．
B ．
C ．
D ．
6．已知1F ，2F 是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且21PF PF >，椭圆的离心率为1e ，双曲线
的离心率为2e ，若112PF F F =，则2
133
e e +的最小值为（ ） A ．623+
B ．622+
C ．8
D ．6
7．若4
24log 3,log 7,0.7a b c ===，则实数,,a b c 的大小关系为（ ） A ．a b c >>
B ．c a b >>
C ．b a c >>
D ．c b a >>
8．已知三棱锥D ABC -的外接球半径为2，且球心为线段BC 的中点，则三棱锥D ABC -的体积的最大值为（ ） A
．
2
3
B ．
43
C ．83
D ．
163
9．若函数12log ,01,()(1)(3),1,
x x f x x x x x <⎧⎪
=⎨⎪--->⎩函数()()g x f x kx =+只有1个零点，则k 的取值范围是（ ） A ．(1,0)-
B ．(,0)(1,)-∞⋃+∞
C ．(,1)(0,)-∞-+∞
D ．(0,1)
10．给出50个数 1，2，4，7，11，
，其规律是：第1个数是1，第2个数比第1个数大 1，第3个数比第2个
数大2，第4个数比第3个数大3，以此类推，要计算这50个数的和．现已给出了该问题算法的程序框图如图，请在图中判断框中的①处和执行框中的②处填上合适的语句，使之能完成该题算法功能( )
A ．i 50≤；p p i =+
B ．i 50<；p p i =+
C ．i 50≤；p p 1=+
D ．i 50<；p p 1=+
11．设双曲线22221y x a b
-=（0a >，0b >）
的一条渐近线与抛物线2
13y x =+有且只有一个公共点，且椭圆22221x y a b +=的焦距为2，则双曲线的标准方程为（ ）
A ．22
143
x y -
= B ．22
143y x -=
C ．22
123x y -=
D ．22
132
y x -=
12．一个几何体的三视图及尺寸如下图所示，其中正视图是直角三角形，侧视图是半圆，俯视图是等腰三角形，该几何体的表面积是 （ ）
A ．16216π
B ．1628π
C ．8216π
D ．828π
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．点0P 是曲线3ln y x x k =++（k ∈R ）图象上的一个定点，过点0P 的切线方程为410x y --=，则实数k 的值为______.
14．设双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的左焦点为F ，过点F 且倾斜角为45°的直线与双曲线C 的两条渐近线顺次交
于A ，B 两点若3FB FA =，则C 的离心率为________．
15．某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制作过程必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制，再次烧制过程相互独立.根据该厂现有的技术水平，经过第一次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.5、0.6、0.4，经过第二次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.6、0.5、0.75；则第一次烧制后恰有一件产品合格的概率为________；经过前后两次烧制后，合格工艺品的件数为ξ，则随机变量ξ的期望为________.
16．设x ,y 满足约束条件360
200,0
x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥≥⎩
,若目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为12,则23
a b +的最小值为
______．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）新高考，取消文理科，实行“33+”，成绩由语文、数学、外语统一高考成绩和自主选考的3门普通高中学业水平考试等级性考试科目成绩构成.为了解各年龄层对新高考的了解情况，随机调查50人（把年龄在[15,45)称为
中青年，年龄在[45,75)称为中老年），并把调查结果制成下表：
（1）分别估计中青年和中老年对新高考了解的概率；
（2）请根据上表完成下面22
⨯列联表，是否有95%的把握判断对新高考的了解与年龄（中青年、中老年）有关？
附：
2
2
()
()()()()
n ad bc
K
a b c d a c b d
-
=
++++
.
（3）若从年龄在[55,65)的被调查者中随机选取3人进行调查，记选中的3人中了解新高考的人数为X，求X的分布列以及()
E X.
18．（12分）有甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司底薪80元，送餐员每单制成4元；乙公司无底薪，40单以内（含40单）的部分送餐员每单抽成6元，超过40单的部分送餐员每单抽成7元.现从这两家公司各随机选取一名送餐员，分别记录其50天的送餐单数，得到如下频数分布表：
（1）从记录甲公司的50天送餐单数中随机抽取3天，求这3天的送餐单数都不小于40单的概率；
（2）假设同一公司的送餐员一天的送餐单数相同，将频率视为概率，回答下列两个问题：
①求乙公司送餐员日工资的分布列和数学期望；
②小张打算到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，小张应选择哪家公司应聘？说明你的理由.
19．（12分）如图，三棱台111.ABC A B C -中， 侧面11A B BA 与侧面12AC CA 是全等的梯形，若1111,A A AB A A AC ⊥⊥，且11124AB A B A A ==.
（Ⅰ）若12CD DA =，2AE EB =，证明：∥平面11BCC B ；
（Ⅱ）若二面角11C AA B --为
3
π
，求平面11A B BA 与平面11C B BC 所成的锐二面角的余弦值. 20．（12分）设点()1,0F c -，()2,0F c 分别是椭圆()222:11x
C y a a
+=>的左、右焦点，P 为椭圆C 上任意一点，且
12•PF PF 的最小值为1．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）如图，动直线:l y kx m =+与椭圆C 有且仅有一个公共点，点M ，N 是直线l 上的两点，且1F M l ⊥，2F N l ⊥，求四边形12F MNF 面积S 的最大值．
21．（12分）已知函数()|3||1|f x x x =-+-．
（1）若不等式()f x x m ≤+有解，求实数m 的取值范围；
（2）函数()f x 的最小值为n ，若正实数a ，b ，c 满足a b c n ++=，证明：48ab bc ac abc ++≥． 22．（10分）如图，已知在三棱台111ABC A B C -中，22AC AB ==，3BC =，111A B BB ⊥.
（1）求证：1AB CC ⊥；
（2）过AB 的平面ABDE 分别交11B C ，11A C 于点D ，E ，且分割三棱台111ABC A B C -所得两部分几何体的体积比为1114:3AA E BB ABC BDC D V V --==，几何体1ABC EDC -为棱柱，求11A B 的长. 提示：台体的体积公式()
1
3
V S S S S h ''=
（S '，S 分别为棱台的上、下底面面积，h 为棱台的高）. 参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、B 【解析】
根据题意，分析可得1AD =,由余弦定理求得DC 的值，由
()BE AB BD DE AB BD AB DE AB BD AB ⋅=+⋅=⋅+⋅=⋅可得结果.
【详解】
根据题意，3,2AB BD AD ==，则1AD = 在ADC 中，又2AC =,60BAC ∠=︒
则2222cos 3DC AD AC AD DC BAC =+⋅∠=- 则3DC = 则CD AB ⊥
则()32cos1806BE AB BD DE AB BD AB DE AB BD AB ⋅=+⋅=⋅+⋅=⋅=⨯⨯=-
故选：B 【点睛】
此题考查余弦定理和向量的数量积运算，掌握基本概念和公式即可解决，属于简单题目. 2、C 【解析】
根据()0,x ∀∈+∞总有()()f x g x ≤恒成立可构造函数()()ln 23h x x m x n =-+-,求导后分情况讨论()h x 的最大
值可得最大值最大值()1ln 23123h m n m ⎛⎫=-+-- ⎪+⎝⎭
, 即()ln 2310m n -+--≤.根据题意化简可得()()()2323ln 231m n m m +≥+-+-⎡⎤⎣⎦,求得
()()(),23ln 231F m n m m =+-+-⎡⎤⎣⎦,再换元求导分析最大值即可.
【详解】
由题, ()0,x ∀∈+∞总有()ln 23x m x n ≤++即()ln 230x m x n -+-≤恒成立. 设()()ln 23h x x m x n =-+-,则()h x 的最大值小于等于0. 又()()1
'23h x m x
=
-+, 若230m +≤则()'0h x >,()h x 在()0,∞+上单调递增, ()h x 无最大值. 若230m +>,则当123x m >
+时,()'0h x <,()h x 在1,23m ⎛⎫
+∞
⎪+⎝⎭
上单调递减, 当1023x m <<
+时,()'0h x >,()h x 在10,23m ⎛
⎫ ⎪+⎝⎭
上单调递增.
故在123x m =
+处()h x 取得最大值()11ln 1ln 2312323h n m n m m ⎛⎫
=--=-+-- ⎪
++⎝⎭
. 故()ln 2310m n -+--≤,化简得()()()2323ln 231m n m m +≥+-+-⎡⎤⎣⎦.
故()()(),23ln 231F m n m m =+-+-⎡⎤⎣⎦,令()23,0t m t =+>,可令()()ln 1k t t t =-+, 故()'ln 2k t t =--,当21t e >
时, ()'0k t <,()k t 在21,e ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
递减； 当210t e <<时, ()'0k t >,()k t 在210,e ⎛⎫
⎪⎝⎭
递增.
故在21t e =
处()h t 取得极大值,为222
21111
ln 1=k e e e e
⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故(),F m n 的最大值为21
e
. 故选：C 【点睛】
本题主要考查了根据导数求解函数的最值问题,需要根据题意分析导数中参数的范围,再分析函数的最值,进而求导构造函数求解()23m n +的最大值.属于难题. 3、D 【解析】
如图所示，过AB 分别作AC l ⊥于C ，BD l ⊥于D ，利用APC BPD ∆∆和FPM BPD ∆∆，联立方程组计算得
到答案. 【详解】
如图所示：过AB 分别作AC l ⊥于C ，BD l ⊥于D .
2PA AF =，则2433
AC FM =
=， 根据APC BPD ∆∆得到：AP AC
BP BD =，即
4
343
AP BD AP BD =++， 根据FPM BPD ∆∆得到：AF FM BP BD =，即42343
AP BD AP BD +
=++，
解得83AP =，4BD =，故16
3
AB AF BF AC BD =+=+=
. 故选：D .
【点睛】
本题考查了抛物线中弦长问题，意在考查学生的计算能力和转化能力. 4、C 【解析】
根据抛物线方程求得M 点的坐标，根据//MA x 轴、120AMF ∠=︒列方程，解方程求得p 的值. 【详解】
不妨设M 在第一象限，由于M 在抛物线上，所以12M p ⎛ ⎝，由于以M 为圆心的圆与C 的准线相切于点A ，根据抛物线的定义可知，MA MF =、//MA x 轴，且,02p F ⎛⎫
⎪⎝⎭
.由于120AMF ∠=︒，所以直线MF 的倾斜角α为120，所以
tan1203
122
MF p k -==
=-3p =，或13p =（由于10,122p p -<>，故舍去）.所以抛物线的方程为2
6y x =. 故选：C
【点睛】
本小题主要考查抛物线的定义，考查直线的斜率，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.
5、A
【解析】
由直线过椭圆的左焦点，得到左焦点为，且，
再由，求得，代入椭圆的方程，求得，进而利用椭圆的离心率的计算公式，即可求解.
【详解】
由题意，直线经过椭圆的左焦点，令，解得，
所以，即椭圆的左焦点为，且①
直线交轴于，所以，，
因为，所以，所以，
又由点在椭圆上，得②
由，可得，解得，
所以，
所以椭圆的离心率为.
故选A.
【点睛】
本题考查了椭圆的几何性质——离心率的求解，其中求椭圆的离心率(或范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后转化为关于的方程，即可得的值(范围)．
6、C
【解析】 由椭圆的定义以及双曲线的定义、离心率公式化简2133
e e +，结合基本不等式即可求解. 【详解】
设椭圆的长半轴长为a ，双曲线的半实轴长为a '，半焦距为c ， 则1c e a =，2c e a ='，设2PF m = 由椭圆的定义以及双曲线的定义可得：
1222m PF PF a a c +=⇒=+，2122
m PF PF a a c ''-=⇒=- 则2133e e +33322633322m m c c a c c c m m c a c c c c ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+=+=++'⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
68≥+= 当且仅当73
a c =
时，取等号. 故选：C ．
【点睛】
本题主要考查了椭圆的定义以及双曲线的定义、离心率公式，属于中等题.
7、A
【解析】
将a 化成以4 为底的对数，即可判断,a b 的大小关系；由对数函数、指数函数的性质，可判断出,b c 与1的大小关系，从而可判断三者的大小关系.
【详解】
依题意，由对数函数的性质可得244log 3log 9log 7a b ==>=.
又因为40440.70.71log 4log 7c b =<==<=，故a b c >>. 故选:A.
【点睛】
本题考查了指数函数的性质，考查了对数函数的性质，考查了对数的运算性质.两个对数型的数字比较大小时，底数相同，则构造对数函数，结合对数的单调性可判断大小；若真数相同，则结合对数函数的图像或者换底公式可判断大小；若真数和底数都不相同，则可与中间值如1,0比较大小.
8、C
【解析】
由题可推断出ABC 和BCD 都是直角三角形，设球心为O ，要使三棱锥D ABC -的体积最大，则需满足h OD =，结合几何关系和图形即可求解
【详解】
先画出图形，由球心到各点距离相等可得，OA OB OC ==，故ABC 是直角三角形，设,AB x AC y ==，则有
22242x y xy +=≥，又12ABC S xy ∆=
，所以142
ABC S xy ∆=≤，当且仅当22x y ==时，ABC S ∆取最大值4，要使三棱锥体积最大，则需使高2h OD ==，此时11842333ABC D ABC V S h -∆=⋅=⨯⨯=，
故选：C
【点睛】
本题考查由三棱锥外接球半径，半径与球心位置求解锥体体积最值问题，属于基础题
9、C
【解析】
转化()()g x f x kx =+有1个零点为()y f x =与y kx =-的图象有1个交点，求导研究临界状态相切时的斜率，数形结合即得解.
【详解】
()()g x f x kx =+有1个零点
等价于()y f x =与y kx =-的图象有1个交点．
记()(1)(3)(1)h x x x x x =--->，则过原点作()h x 的切线，
设切点为00(,)x y ，
则切线方程为000()()()y h x h x x x '-=-，
又切线过原点，即000()()h x h x x '=，
将0000()13,()()h x x x x =---，
02003()38x h x x '-+=-
代入解得02x =．
所以切线斜率为2
(2)328231h '=-⨯+⨯-=，
所以1k <-或0k >．
故选：C
【点睛】
本题考查了导数在函数零点问题中的应用，考查了学生数形结合，转化划归，数学运算的能力，属于较难题. 10、A
【解析】
要计算这50个数的和，这就需要循环50次，这样可以确定判断语句①，根据累加最的变化规律可以确定语句②.
【详解】
因为计算这50个数的和，循环变量i 的初值为1，所以步长应该为1，故判断语句①应为1i i =+，第1个数是1，第2个数比第1个数大 1，第3个数比第2个数大2，第4个数比第3个数大3，这样可以确定语句②为p p i =+，故本题选A.
【点睛】
本题考查了补充循环结构，正确读懂题意是解本题的关键.
11、B
【解析】
设双曲线的渐近线方程为y kx =，与抛物线方程联立，利用0∆=，求出k 的值，得到a b
的值，求出,a b 关系，进而判断,a b 大小，结合椭圆22
221x y a b
+=的焦距为2，即可求出结论. 【详解】
设双曲线的渐近线方程为y kx =， 代入抛物线方程得2103x kx -+
=， 依题意240,
3k k ∆=-==
a a
b b ∴==>，
∴椭圆22221x y a b
+=的焦距2=， 22222411,3,433
b b b b a -====， 双曲线的标准方程为22
143
y x -=. 故选:B.
【点睛】
本题考查椭圆和双曲线的标准方程、双曲线的简单几何性质，要注意双曲线焦点位置，属于中档题.
12、D
【解析】 由三视图可知该几何体的直观图是轴截面在水平面上的半个圆锥，表面积为
211142268222
πππ⋅⋅+⋅⋅=,故选D ．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、1
【解析】
求出导函数，由切线斜率为4即导数为4求出切点0P 横坐标，再由切线方程得纵坐标后可求得k ．
【详解】
设0(,)P x y ，
由题意31y x '=+，∴314x
+=，1x =，4113y =⨯-=，即0(1,3)P ， ∴33ln11k =++，2k =．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查导数的几何意义，函数图象某点处的切线的斜率就是该点处导数值．本题属于基础题．
14【解析】
设直线AB 的方程为x y c =-，与b y x a =±
联立得到A 点坐标，由3FB FA =得，3B A y y =，代入可得2b a =，即得解.
【详解】
由题意，直线AB 的方程为x y c =-，与b y x a =±
联立得A bc y a b =+，B bc y b a
=-， 由3FB FA =得，3B A y y =， 从而3bc bc b a b a
=-+， 即2b a =，
从而离心率c e a =
=
【点睛】
本题考查了双曲线的离心率，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.
15、0.38 0.9
【解析】
考虑恰有一件的三种情况直接计算得到概率，随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3，计算得到概率，再计算数学期望得到答案.
【详解】
第一次烧制后恰有一件产品合格的概率为：
()()()()()()0.510.610.410.50.610.410.510.60.40.38p =⨯-⨯-+-⨯⨯-+-⨯-⨯=.
甲、乙、丙三件产品合格的概率分别为：
10.50.60.3p =⨯=，20.60.50.3p =⨯=，30.40.750.3p =⨯=.
故随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3，
故()()334310.310000p ξ==-=；()()2134410.310.310010
p C ξ=⋅-==； ()()2231890.310.321000p C ξ=⋅-==；()3270.033100
p ξ===. 故()3434411892701230.91000100010001000E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. 故答案为：0.38 ；0.9.
【点睛】
本题考查了概率的计算，数学期望，意在考查学生的计算能力和应用能力.
16、256
【解析】
先根据条件画出可行域,设z ax by =+,再利用几何意义求最值,将最大值转化为y 轴上的截距,只需求出直线z ax by =+,过可行域内的点(4,6)时取得最大值,从而得到一个关于a ,b 的等式,最后利用基本不等式求最小值即可．
【详解】
解：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分,
当直线0,0()ax by z a b +=>>过直线20x y -+=与直线360x y --=的交点(4,6)时,
目标函数(0,0)z ax by a b =+>>取得最大12,
即4612a b +=,即236a b +=,
而2323236a b a b a b +⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭1313252666
b a a b ⎛⎫++≥+= ⎪⎝⎭． 故答案为
256
． 【点睛】 本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用、简单的线性规划,以及利用几何意义求最值,属于基础题．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）25
P =；（2）见解析，有95%的把握判断了解新高考与年龄（中青年、中老年）有关联；（3）分布列见解析，6()5
E X =. 【解析】
（1）分别求出中青年、中老年对高考了解的频数，即可求出概率；
（2）根据数据列出列联表，求出2K 的观测值，对照表格，即可得出结论；
（3）年龄在[55,65)的被调查者共5人，其中了解新高考的有2人，X 可能取值为0，1，2，分别求出概率，列出随机变量分布列，根据期望公式即可求解.
【详解】
（1）由题中数据可知，中青年对新高考了解的概率22113015
P ==， 中老年对新高考了解的概率82205P =
=. （2）22⨯列联表如图所示
2
2
50(221288) 5.56 3.84130202030K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯， 所以有95%的把握判断了解新高考与年龄（中青年、中老年）有关联.
（3）年龄在[55,65)的被调查者共5人，其中了解新高考的有2人，
则抽取的3人中了解新高考的人数X 可能取值为0，1，2，
则0323351(0)10
C C P X C ===；12233563(1)105C C P X C ====； 5122333(2)10
C C P X C ===. 所以X 的分布列为
36()012105105
E X =⨯
+⨯+⨯=. 【点睛】 本题考查概率、独立性检验及随机变量分布列和期望，考查计算求解能力，属于基础题.
18、（1）29140
；（2）①分布列见解析，()238.6E X =；②小张应选择甲公司应聘. 【解析】
（1）记抽取的3天送餐单数都不小于40为事件A ，可得P （A ）的值．
（2）①设乙公司送餐员送餐单数为a ，可得当38a =时，386X =⨯，以此类推可得：当39a =时，当40a =时，X 的值．当41a =时，X 的值，同理可得：当42a =时，X ．X 的所有可能取值．可得X 的分布列及其数学期望． ②依题意，甲公司送餐员日平均送餐单数．可得甲公司送餐员日平均工资，与乙数学期望比较即可得出．
【详解】
解：（1）由表知，50天送餐单数中有30天的送餐单数不小于40单，
记抽取的3天送餐单数都不小于40为事件A ，
则()33035029140
C P A C ==． （2）①设乙公司送餐员的送餐单数为n ，日工资为X 元，则
当38n =时，386228X =⨯=；当39n =时，396234X =⨯=；当40n =时，406240X =⨯=；
当41n =时，4067247X =⨯+=；当42n =时，40614254X =⨯+=．
所以X 的分布列为
13111()228234240247254238.65105510
E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． ②依题意，甲公司送餐员的日平均送餐单数为
380.2390.2400.3410.2420.139.8⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，
所以甲公司送餐员的日平均工资为80439.8239.2+⨯=元，
因为238.6239.2<，所以小张应选择甲公司应聘．
【点睛】
本题考查了随机变量的分布列与数学期望、古典概率计算公式、组合计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
19、 (Ⅰ)见解析；(Ⅱ)
14. 【解析】
试题分析：(Ⅰ) 连接11,AC BC ，由比例可得DE ∥1BC ，进而得线面平行；
（Ⅱ）过点A 作AC 的垂线，建立空间直角坐标系，不妨设11AA =，则11112,A B AC ==求得平面11A B BA 的法向量为m ，设平面11C B BC 的法向量为n ，由cos ,m n m n m n ⋅=
求二面角余弦即可.
试题解析：
（Ⅰ）证明：连接11,AC BC ，梯形11A C CA ，112AC A C =,
易知：111,2AC AC D AD DC ⋂==；
又2AE EB =，则DE ∥1BC ；
1BC ⊂平面11BCC B ，DE ⊄平面11BCC B ，
可得：DE ∥平面11BCC B ；
（Ⅱ）侧面11A C CA 是梯形，111A A AC ⊥，
1AA AC ⇒⊥,1A A AB ⊥,
则BAC ∠为二面角11C AA B --的平面角， BAC ∠= 3
π；
111,ABC A B C ⇒∆∆均为正三角形，在平面ABC 内，过点A 作AC 的垂线，如图建立空间直角坐标系，不妨设11AA =，则11112,A B AC ==
4AC AC ==,故点()10,0,1A ，()0,4,0,C
())
123,2,0,3,1,1B B ； 设平面11A B BA 的法向量为()111,,m x y z =，则有：()
1111113001,3,0030x y m AB m m AB x y z ⎧⎧+=⋅=⎪⎪⇒⇒=-⎨⋅=⎪++=⎩； 设平面11C B BC 的法向量为()222,,n x y z =，则有：(2212223001,3,230330x y m CB n m CB x y z ⎧⎧-=⋅=⎪⎪⇒⇒=⎨⋅=⎪-+=⎩； 1cos ,4m n m n m n
⋅==-， 故平面11A B BA 与平面11C B BC 所成的锐二面角的余弦值为
14. 20、（1）2
212
x y +=；（2）2. 【解析】
（1）利用12•PF PF 的最小值为1，可得2222
221221•1a PF PF x y c x c a -=+-=+-，[],x a a ∈-，即可求椭圆C 的方程；
（2）将直线l 的方程y kx m =+代入椭圆C 的方程中，得到关于x 的一元二次方程，由直线l 与椭圆C 仅有一个公共点知，0∆=即可得到m ，k 的关系式，利用点到直线的距离公式即可得到11d F M =，22d F M =．当0k ≠时，设直线l 的倾斜角为θ，则12tan d d MN θ-=⨯，即可得到四边形12F MNF 面积S 的表达式，利用基本不等式的性质，结合当0k =时，四边形12F MNF 是矩形，即可得出S 的最大值．
【详解】
（1）设(),P x y ，则()1,F P x c y =+，()2,F P x c y =-，
2222
221221•1a PF PF x y c x c a -∴=+-=+-，[],x a a ∈-， 由题意得，221012c c a -=⇒=⇒=，
∴椭圆C 的方程为22x y 12
+=； （2）将直线l 的方程y kx m =+代入椭圆C 的方程2222x y +=中， 得()222214220k x kmx m +++-=．
由直线l 与椭圆C 仅有一个公共点知，()()
222216421220k m k m ∆=-+-=，
化简得：2221m k =+． 设1121k m
d F M k -+==+，2221k m
d F M k +==+，
当0k ≠时，设直线l 的倾斜角为θ，
则12tan d d MN θ-=⨯，
121=MN d d k
∴⋅-， ()12122211=21
m S d d d d k k ∴⨯⋅-⋅+=+， 2221m k =+，22244
=111m
m
S k m m m
∴==+++
∴当0k ≠时，1m >，12m m
+>， 2S <∴．
当0k =时，四边形12F MNF 是矩形，2S =．
所以四边形12F MNF 面积S 的最大值为2．
【点睛】
本题主要考查椭圆的方程与性质、直线方程、直线与椭圆的位置关系、向量知识、二次函数的单调性、基本不等式的性质等基础知识，考查运算能力、推理论证以及分析问题、解决问题的能力，考查数形结合、化归与转化思想．
21、（1）[1,)-+∞（2）见解析
【解析】
(1)分离m 得到()()31g x f x x x x x =-=-+--，求()g x 的最小值即可求得m 的取值范围；（2）先求出n ，得到2a b c ++=，利用乘"1"变化即可证明不等式.
【详解】
解：（1）设34,1()()312,134,3x x g x f x x x x x x x x x -+≤⎧⎪=-=-+--=-+<<⎨⎪-≥⎩
，
∴()g x 在(,3]-∞上单调递减，在(3,)+∞上单调递增．
故min ()(3)1g x g ==-．
∵()m g x ≤有解，∴1m ≥-．
即m 的取值范围为[1,)-+∞．
（2）()|3||1||(3)(1)|2f x x x x x =-+-≥---=，当且仅当13x ≤≤时等号成立．
∴2n =，即2a b c ++=． ∵11444()114a a b b c c a b c a b c b c a c a b ⎛⎫++++=++++++++ ⎪⎝⎭ 44616a b a c b c b a c a c b
=+
+++++≥． 当且仅当12a =，12b =，1c =时等号成立． ∴1148a b c
++≥，即48ab bc ac abc ++≥成立．
【点睛】
此题考查不等式的证明，注意定值乘"1"变化的灵活应用，属于较易题目.
22、（1）证明见解析；（2）2
【解析】
（1）在ABC ∆中，利用勾股定理，证得AB BC ⊥，又由题设条件，得到1AB BB ⊥，利用线面垂直的判定定理，证得AB ⊥平面11BCC B ，进而得到1AB CC ⊥；
（2）设三棱台和三棱柱的高都为上、下底面之间的距离为h
12=，得到1112
AB A B =，即可求解. 【详解】
（1）由题意，在ABC ∆中，22AC AB ==
，BC =，
所以222AB BC AC +=，可得AB BC ⊥，
因为111A B BB ⊥，可得1AB BB ⊥.
又由1BC BB B =，BC ，1BB ⊂平面11BCC B ，所以AB ⊥平面11BCC B ，
因为1CC ⊂平面11BCC B ，所以1AB CC ⊥.
（2）因为111:4:3AA E BB D ABC EDC V V --=，可得1111:7:3ABC A B C ABC EDC V V --=，
令ABC S S ∆'=，111A B C S S ∆=，
设三棱台和三棱柱的高都为上、下底面之间的距离为h ，
则()
111
11733ABC A B C ABC EDC S S h V V S h --'⋅=='⋅
，整理得60S S '=，
即610S S '-=
12=，即11
12AB A B =， 又由1AB =，所以112A B =.
【点睛】
本题主要考查了直线与平面垂直的判定与应用，以及几何体的体积公式的应用，其中解答中熟记线面位置关系的判定定理与性质定理，以及熟练应用几何体的体积公式进行求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.。