第二节微积分基本公式

dx ( a x b ) ( x ) f ( t ) dt f ( x ) 数 是 , a dx y x x 证 ( x x ) f ( t ) dt a
x
( x x ) ( x )

a x x x
(x)
sin x
例3. 设 f(x )在 ( , )内 f(x )0， 连 续 ， 且
证 明
tf(t) dt 0 (0 , )内 F (x ) x 函 数 在 为 f(t) dt 0
x
单 调 增 加 函 数 .
证
d x d x f ( t ) dt tf ( t ) dt xf ( x ), f(x ), 0 0 dx dx
sin x
tan tdt 0 (3 ). lim 0 . x 0 0 sin tdt tan x
解
tan(sin x ) cos x 原式 lim 2 x 0 0 sin(tan x ) sec x
cos x lim x 2 x 0 0 x sec x =－1
f ( x ) dx F ( b ) F ( a ) 一 个 原 函 数 ， 则 . a
b
证 已 知 是 的 一 个 原 函 数 ， F ( x ) f ( x )
f ( x ) ( x ) ( t ) dt 又 也 是 的 一 个 原 函 数 , f
a x
[ a ,b ] F ( x ) ( x ) Cx
二、积分上限函数及其导数
1. 定义 设 f ( x ) [ a , b ] 函 数 在 区 间 上 连 续 ， 并
[ a , b ] 且 设 x 为 上 的 一 点 ，
考察定积分
a
x
f (x)dx f (t)dt a
x
[ a , b ] x 如 果 上 限 在 区 间 上 任 意 变 动 ， 则 对 x 于 每 一 个 取 定 的 值 ， 定 积 分 有 一 个 对 应 值 ， 所 [ a , b ] 以 它 在 上 定 义 了 一 个 函 数 ，
( x ) t ) dt . 积分上限函数 记 f(
a x
2. 积分上限函数的性质
f( x ) [ a ,b ] 定 理 １ 如 果 在 上 连 续 ， 则 积 分 上 限 的 函
[ a , b ] ( x ) f ( t ) dt 数 在 上 具 有 导 数 ， 且 它 的 导 a
d x d x x f( t) dt (3 ). xf (t) dt x f ( t ) dt xf ( x ) 0 0 0 dx dx


d cos x t ucos x d u t u du (4 ). e dt e dt 0 e 0 dx dx dx
2
变速直线运动中路程为
T 2
T
T2
1
v(t )dt
另一方面这段路程可表示为 s ( T ) s ( T ) 2 1
( t ) dt s ( T ) s ( T ). 其中 s ( t ) v ( t ). 2 1 v
T 1
上式表明, 速度函数v(t)在区间[T1, T2]上的定积分等 于v(t)的原函数S(t)在区间[T1, T2]上的增量. 这个特殊问题中得出的关系是否具有普遍意义呢？
a 令 x F ( a ) ( a ) C ,
F ( a ) C , ( a ) f ( t ) dt 0 a
F ( x ) f ( t ) dt C , a
x
a
f ( t ) dt F ( x ) F ( a ), a
sin x e (cos x )
2 cos x
,
e cosx lim
x0
t 2
dt
x
2
sin xe lim x 0 2 x
2 cos x
1 . 2e
2 sin t dt 0 ( 2 ).lim . 3 x 0 x 2 sin(sin x ) cos x 解 原式 lim 2 x 0 3 x 2 sin cos x 1 lim x 2 . x 0 3 x 3
2
x 2 x 0 x 0 x 1 , x2 1 x 2
2
0 2 1 2 0
o
1
2
x
2 原式 x dx xdx x . dx 1
2
11 2
例8 求
2
1
解
1 x 0 ln | x | 当 时 ， 的 一 个 原 函 数 是 , x 1 1 1 dx ln | x | ln 1 ln 2 ln 2 . 2 x 2
( x t ) f ( t ) 0 , x t ) f ( t ) dt 0 , (
0 x
x
F ( x ) 0 ( x 0 ).
故 在 内 为 单 调 增 加 函 数 . F ( x ) ( 0 , )
例4. 设 f ( x ) [ 0 , 1 ] f ( x ) 1 在 上 连 续 ， 且 .证 明

2
2
原式 [ 2 sin x cos x x ] 3 . 0 2 2 x 0 x 1 2 f (x)dx x ) 例6 设 f( ,求 . 0 5 1 x 2
解
解
f ( x ) dx f ( x ) dx f ( x ) dx 0 0 1
F ( x ) f ( t ) dt 则 的 导 数 为 F ( x ) a ( x )
db (x ) f b ( x ) b ( x ) f a ( x ) a ( x ) F ( x ) f ( t ) dt a (x ) dx
( x ) 证 F a ( x ) 0
2
2
e
2 cos x
( sin x )
例2 求(1)
e lim cos x
x 0
1
t 2 2
dt
0 分析：这是 型不定式，应用洛必达法则. 0 d 1 t2 cos x d t 解 e dt e dt , cos x 1 dx dx
2
x
.
e
1
2 cos x
求定积分问题转化为求原函数的问题. 注意
b a
f ( x ) dx F ( b ) F ( a ) a b ( 1 ) 当 时 ， 仍 成 立 .
(2) 被积函数不连续，不能直接应用基本公式， 但可利用区间可加x 1 ) dx . 0
[ 0 , 1 ] 2 x f ( t ) dt 1 方 程 在 上 只 有 一 个 解 . 0
证 令F ( x ) 2 x ( t ) dt 1 , f
0 x
x
f ( x ) 1 , F ( x ) 2 f ( x ) 0 ,
F ( x ) [ 0 , 1 ] 在 上 为 单 调 增 加 函 数 . F ( 0 ) 1 0 ,
2
1
2
y
x 1 在 上 规 定 当 时 ， , [ 1 , 2 ] f ( x ) 5
原式 xdx 5 dx 6 . 2
0 1 1 2
o
1
2
x
2 max{ x , x } dx . 例7 求 2
2
y
解
由图形可知
y x2
2
f ( x ) max{ x ,x}
y x
(x)
o a
x x b x x
lim f( ) f (), lim x 0 x 0 x x
( x ) f ( x ). x 0 , x
连续函数的积分上限函数的导数等于其本身。
推论 如果在[a, b] 上连续，则积分上限的函数
0 , F ( 1 ) 1 f ( t ) dt [ 1 f ( t )] dt 0 0
1
1
所 以 即 原 方 程 在 上 只 有 一 个 解 . F ( x ) 0 [ 0 , 1 ]
三、牛顿—莱布尼茨(N-L) 公式
定理 3（微积分基本公式）
如 果 是 连 续 函 数 在 区 间 上 的 F ( x ) f ( x ) [ a , b ]
第二节
微积分基本公式
一、问题的提出 二、积分上限函数 三、牛顿－莱布尼兹公式 四、小结
一、问题的提出
变速直线运动中位置函数与速度函数的联系
v v ( t ) 设 某 物 体 作 直 线 运 动 ， 已 知 速 度 是 时 v ( t ) 0 [ T , T ] 间 间 隔 上 t 的 一 个 连 续 函 数 ， 且 ， 1 2 求 物 体 在 这 段 时 间 内 所 经 过 的 路 程 .

0
b ( x )
f ( t ) dt
a (x ) 0
0
b (x)
f(t) dt
f(t) dt ,
F ( x ) f b ( x ) b ( x ) f a ( x ) a ( x )
例1. 求下列函数的导数
d x 2 2 ( 1 ). cos x dx cos x 0 dx d x (x ) (2 ). tf(t) dt xf 0 dx
xf ( x ) f ( t ) dt f ( x ) tf ( t ) dt 0 0 F ( x ) 2 x f ( t ) dt 0
x
x


f(x ) (x t)f( t) dt 0 (x F ) , 2 x f ( t ) dt 0
x


f( t) dt 0 , f ( x ) 0 , ( x 0 ) 0
( x ) f( t) dt a
就是f(x)在[a, b]上的一个原函数. 推论的重要意义： 一方面肯定了连续函数的原函数是存在的, 另一方面初步地揭示了积分学中的定积分与原 函数之间的联系.
x
补充
如 果 连 续 ， 、 可 导 ， f ( t ) a ( x ) b ( x )
b ( x )
b 令 x f ( x ) dx F ( b ) F ( a ).
a b
x
牛顿(Newton)—莱布尼茨(Leibniz)公式
F ( x ) f ( x ) dx F ( b ) F ( a ) a
b
b a
微积分基本公式表明：
一 个 连 续 函 数 在 区 间 上 的 定 积 分 等 于 [ a , b ] [ a , b ] 它 的 任 意 一 个 原 函 数 在 区 间 上 的 增 量 。
解
n 1 1 1 原式 lim lim n n i n n i i 1 i 1 1 n n 1 1 lim n n i 1 1 i n 1 1 1 0 dx ln( 1 x ) 1 x 0
n
=ln2
例11 求
1 1 1 lim n . 2 2 2 2 2 2 n n 1n 2 n n
[ 0 , ] x 计 算 曲 线 在 上 与 轴 所 围 成 y sin x 的 平 面 图 形 的 面 积 .
A sin xdx
0
y
1 dx . x
例9
解 面积
cos x . 0 2

o

x
11 1 例10 求 lim . n n 1n 2 n n
f ( t ) dt f ( t ) dt o a a
xx x b x
f ( t ) dt f ( t ) dt f ( t ) dt a x a

x x x
x
x x
x
f( t) dt ,
y
由积分中值定理得
[ x , x x ], f ( ) x