2018届人教A版 立体几何 检测卷

【备战2017高考高三数学全国各地一模试卷分项精品】
专题八立体几何
一、选择题
【2017湖南衡阳上学期期末】一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的外接球的表面积为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【点睛】本题考查了由三视图求几何体外接球的表面积，解题的关键是根据三视图判断几何体的性质，求得外接球的半径．
【2017荆、荆、襄、宜四地七校联考】已知在四面体中，分别是的中点，若，则与所成角的度数是( )
A. B. C. D.
【答案】D 【解析】 取中点，则
，与
所成角等于
与
所成角，又
，
所以
，因此
与
所成角的度数是，选D.
【2017荆、荆、襄、宜四地七校联考】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【2017山西五校联考】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
该几何体为长方体挖去了一个圆锥，圆锥的底面半径为1，母线长为2，几何体的表面积为
，故选A.
【2017云南师大附中月考】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）
A. 8
B.
C.
D. 4
【答案】A
【2017云南师大附中月考】四面体的四个顶点都在球的球面上，
，且平面平面，则球的表面积为
（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
如图，分别为的中点，易知球心点在线段上，因为，则．又∵平面平面，平面平面
=BC，∴平面ABC，∴，∴．因为点是的中点，∴，且．
设球心的半径为，，则，在中，有，在中，有，解得，所以，故选B．
【点睛】本题主要考查球内接多面体，球的表面积，属于中档题，其中依据题意分析出球心必位于两垂直平面的交线上，然后再利用勾股定理，即可求出球的半径，进而可求出球的表面积，此类题目主要灵活运用线面垂直的判定及性质，面面垂直的判定及性质是解题的关键.
【2017江西上饶一模】设某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）
A. 8
B. 4
C. 2
D.
【答案】B
【点睛】关于三视图的考察是高考中的必考点，一般考试形式为给出三视图，求解该几何体
的体积或表面积.三视图问题首先观察俯视图确定几何体的底面形状，再结合正视图，侧视图确定几何体的准确形状，如本题中俯视图为梯形，所以该几何体底面为梯形，结合正视图中的顶点可知该几何体为四棱锥，结合底面梯形中的对角线可知四棱锥中有一条侧棱垂直于底面，由此可确定该棱锥的几何特征.
【2017江西上饶一模】在正方体中，过点作平面平行平面，平面与平面交于直线，平面与平面交于直线，则直线与直线所成的角为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【2017江西赣州上学期期末】如图是一个正方体被切掉部分后所得几何体的三视图，则该几何体的体积为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
如图所，该几何体是将一个正方体切掉一个三棱柱和一个三棱锥得到的，所以该几何体的体积.
【2017广东深圳一模】已知棱长为2的正方体，球与该正方体的各个面相切，则平面截此球所得的截面的面积为（）
A. B. C. D.
【答案】D
二、填空题
【2017江西赣州上学期期末】在四面体中，平面，，
，，则该四面体的外接球的表面积为__________．
【答案】
【解析】
四面体可看成如上图长方体的一部分，则四面体的外接球的球心为的中点，
.
【2017湖北武汉武昌区调研】在矩形中，，现将沿矩形的对角线
所在的直线进行翻折，在翻折的过程中，给出下列结论：
①存在某个位置，使得直线与直线垂直；
②存在某个位置，使得直线与直线垂直；
③存在某个位置，使得直线与直线垂直.
其中正确结论的序号是__________．（写出所有正确结论的序号）
【答案】②
【2017河北衡水六调】一个直六棱柱的底面是边长为2的正六边形，侧棱长为3，则它的外接球的表面积为__________．
【答案】
【解析】
直六棱柱的外接球的直径为直六棱柱中最长的对角线，∵一个直六棱柱的底面是边长为2的正六边形，侧棱长为3，∴直六棱柱的外接球的直径为，∴外接球的半径为，∴外接球的表面积为．
三、解答题
【2017湖南衡阳上学期期末】如图所示，在直三棱柱中，底面是等腰三角形，且斜边，侧棱，点为的中点，点在线段上，
（1）求证：不论取何值时，恒有；
（2）当为何值时，面.
【答案】（1）见解析；（2）
（2）由（1）得，故只需保证即可
故当即当为的中点时，面.
【2017山西五校联考】在四棱锥中，平面，底面为矩形，点
分别为棱的中点，为线段的中点，且
为上一点，且平面
（1）确定的位置，并求线段的长；
（2）平面与交于点，求三棱锥的体积．
【答案】（1）见解析；（2）.
【解析】
（1）设与交于点，连接，则为的中点，1分
证明如下：
因为平面，且平面平面，
所以，又为线段的中点，
则为的中点，3分
因为为棱的中点，所以，又底面，
所以底面，4分
则，因为，，
所以，6分
（2）延长交的延长线于点，由，且，得为的中点，7分
连接，则但为与的交点，8分
易得，则，所以，
10分
因为的面积为，
所以. 12分【2017云南师大附中月考】如图，三棱锥中，平面，，
，是的中点，是的中点，点在上，.
（1）证明：平面；
（2）若，求点到平面的距离.
【答案】（Ⅰ）证明过程见解析；（Ⅱ）.
（Ⅱ）∵平面ABC，∴．
又
∴平面PAB．
又∴，
∴．
记点P到平面BCD的距离为d，则∴，∴，
所以，点P到平面BCD的距离为．
【2017江西赣州上学期期末】如图甲所示，是梯形的高，，
，，现将等腰梯形沿折起如图乙所示的四棱锥
，且，点是线段的中点.
（1）证明：；
（2）在图中作出平面与交点，并求线段的长度.
【答案】（1）详见解析；（2）.
【2017湖南长沙一模】如图，以、、、、为顶点的六面体中，和均为等边三角形，且平面平面，平面，．
(Ⅰ)求证: 平面；
(Ⅱ)求此六面体的体积．
【答案】(1)证明见解析；(2) 2．
(Ⅱ) 因为是等边三角形，所以是中点，而是等边三角形，因此，由平面，知，从而平面，
又因为，所以平面，因此四面体的体积为，四面体的体积为，
而六面体的体积=四面体的体积+四面体的体积
故所求六面体的体积为2
【2017湖北武汉武昌区调研】如图，四棱锥中，，，侧面为等边三角形，，.
（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）求四棱锥的高.
【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.
（Ⅱ）设四棱锥的高为，则也是三棱锥的高，由（Ⅰ）知，
平面，
由，得，
又，，，
故四棱锥的高为.
另解：连结，过作于，则为所求的高.
【2017河北衡水六调】如图，在四棱锥中，平面，底面是菱
形，为与的交点，为棱上一点.
（1）证明：平面平面；
（2）若平面，求三棱锥的体积.
【答案】（1）详见解析；（2）.
（2）连接，
∵平面，平面平面，
∴．
∵是的中点，∴是的中点．取的中点，连接，
∵四边形是菱形，，∴，又，
∴平面，且，
故
．【2017四川资阳上学期期末】如图，矩形和等边三角形中，，平面平面．是线段上的一个动点．
（1）若，确定的位置，并说明理由；
（2）求三棱锥的体积．
【答案】（1）证明过程见解析；（2）.
（2）由题，由（1）和三角形为等边三角形得为
的中点，
∴为三棱锥的高，于是，又∵无论是上的何点，到的距离不变，即为三角形底边的高，∴，
∴．
【2017广东深圳一模】如图，四边形为菱形，四边形为平行四边形，设与
相交于点，．
（1）证明：平面平面；
（2）若，求三棱锥的体积．
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】
（1）证明：连接，∵四边形为菱形，
∵，在和中，，
，
∴，∴，∴，
∵，∴平面，
∵平面，∴平面平面；
解法二：∵，∴点到平面的距离为点到平面
的距离的
两倍，所以
，作
，∵平面
平面
平面
， ∴，
∴三棱锥
的体积为
．
【2017江西上饶一模】如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，棱长为2，E 、F 分别是棱1DD 、11C D 的中点．
（1）求三棱锥11B A BE -的体积；
（2）试判断直线1B F 与平面1A BE 是否平行，如果平行，请在平面1A BE 上作出与1B F 平行的直线，并说明理由． 【答案】（1）（2）
平面
-中，底面ABCD是正方【2017荆、荆、襄、宜四地七校联考】如图，在四棱锥S ABCD
形，SA⊥底面ABCD，
==，点M是SD的中点，AN SC
⊥，且交SC于点N．
SA AB
2
SB平面ACM；
(Ⅰ) 求证://
(Ⅱ) 求点C到平面AMN的距离．
（Ⅱ）由条件有,,DC SA DC DA ⊥⊥∴ DC ⊥平面SAD ，∴.AM DC ⊥ 又∵ ,SA AD M =是SD 的中点，∴.AM SD ⊥
∴AM ⊥平面.SDC ∴.SC AM ⊥ ………………………8分
由已知SC AN ⊥，∴SC ⊥平面.AMN
于是CN ⊥面AMN ，则CN 为点C 到平面AMN 的距离 ………………………9分
在Rt SAC ∆中，2,SA AC SC ====，
于是2AC CN SC CN =⋅⇒=
，∴点C 到平面AMN 的距离为
． ……………12分。