西城区一中2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题

西城区一中2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 下列说法正确的是（ ）
A.圆锥的侧面展开图是一个等腰三角形；
B.棱柱即是两个底面全等且其余各面都是矩形的多面体；
C.任何一个棱台都可以补一个棱锥使他们组成一个新的棱锥；
D.通过圆台侧面上的一点，有无数条母线.
2． 棱长为2的正方体的8个顶点都在球O 的表面上，则球O 的表面积为（ ） A ．π4 B ．π6 C ．π8 D ．π10 3． 执行如图的程序框图，则输出S 的值为（ ）
A ．2016
B ．2
C ．
D ．﹣1
4． 已知直线34110m x y +-=：与圆22(2)4C x y -+=：交于A B 、两点，P 为直线3440n x y ++=：上任意一点，则PAB ∆的面积为（ ） A ．23 B. 3
32
C. 33
D. 43
5． “
”是“
”的（ ） A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
6． 已知三次函数f （x ）=ax 3+bx 2+cx+d 的图象如图所示，则
=（ ）
A ．﹣1
B ．2
C ．﹣5
D ．﹣3
7． 已知向量(,2)a m =，(1,)b n =-（0n >），且0a b ⋅=，点(,)P m n 在圆225x y +=上，则
|2|a b +=（ ）
A
B ． C
． D
．8． 已知
||=3，
||=1
，
与
的夹角为，那么
|﹣
4|等于（ ）
A ．2 B
．
C
．
D ．13
9． 设函数()(
)2
1,1
41
x x f x x ⎧+<⎪=⎨≥⎪⎩，则使得()1f x ≥的自变量的取值范围为（ ）
A ．(][],20,10-∞-
B ．(][],20,1-∞-
C ．(][],21,10-∞-
D ．[][]2,01,10-
10．已知函数()2sin()f x x ωϕ=+(0)2
π
ϕ<<与y 轴的交点为(0,1)，且图像上两对称轴之间的最
小距离为
2π
，则使()()0f x t f x t +--+=成立的t 的最小值为（ ）1111] A ．6π B ．3π C ．2
π D ．23π
11．函数f （x ）=1﹣xlnx 的零点所在区间是（ ） A ．（0
，） B
．（，1） C ．（1，2） D ．（2，3）
12．在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 所对的边长分别是a 、b 、c ．若sinC+sin （B ﹣A ）=sin2A ，则△ABC 的形状为（ ）
A ．等腰三角形
B ．直角三角形
C ．等腰直角三角形
D ．等腰三角形或直角三角形
二、填空题
13．如图所示，圆C 中，弦AB 的长度为4，则AB AC ×的值为_______．
【命题意图】本题考查平面向量数量积、垂径定理等基础知识，意在考查对概念理解和转化化归的数学思想． 14．函数)(x f （R x ∈）满足2)1(=f 且)(x f 在R 上的导数)('x f 满足03)('>-x f ，则不等式
1log 3)(log 33-<x x f 的解集为 .
【命题意图】本题考查利用函数的单调性解抽象不等式问题，本题对运算能力、化归能力及构造能力都有较高要求，难度大.
15．已知f （x ），g （x ）都是定义在R 上的函数，g （x ）≠0，f ′（x ）g （x ）＞f （x ）g ′（x ），且f （x ）=a x g
（x ）（a ＞0且a ≠1），+
=．若数列{}的前n 项和大于62，则n 的最小值
为 ．
16．空间四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点．
①若AC=BD ，则四边形EFGH 是 ；
②若AC ⊥BD ，则四边形EFGH 是 ．
17．在△ABC 中，若a=9，b=10，c=12，则△ABC 的形状是 ．
三、解答题
18．（本小题满分12分）已知两点)0,1(1-F 及)0,1(2F ，点P 在以1F 、2F 为焦点的椭圆C 上，且1PF 、21F F 、 2PF 构成等差数列． （I ）求椭圆C 的方程；
（II ）设经过2F 的直线m 与曲线C 交于P Q 、两点，若2
2
2
11PQ F P F Q =+，求直线m 的方程．
19．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC=AA1=BC1=2，∠AA1C1=60°，平面ABC1⊥平面AA1C1C，AC1与A1C相交于点D．
（1）求证：BD⊥平面AA1C1C；
（2）求二面角C1﹣AB﹣C的余弦值．
20．如图，在四边形ABCD中，∠DAB=90°，∠ADC=135°，AB=5，CD=2，AD=2，求四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体的表面积．
21．已知函数f（x）=sin2x•sinφ+cos2x•cosφ+sin（π﹣φ）（0＜φ＜π），其图象过点（，．）（Ⅰ）求函数f（x）在[0，π]上的单调递减区间；
（Ⅱ）若x0∈（，π），sinx0=，求f（x0）的值．
22．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且990S =，15240S =． （1）求{}n a 的通项公式n a 和前n 项和n S ；
（2）设(){}
1n
n n b a --是等比数列，且257,71b b ==，求数列{}n b 的前n 项和n T ．
【命题意图】本题考查等差数列与等比数列的通项与前n 项和、数列求和等基础知识，意在考查逻辑思维能力、运算求解能力、代数变形能力，以及分类讨论思想、方程思想、分组求和法的应用．
23．如图，正方形ABCD 中，以D 为圆心、DA 为半径的圆弧与以BC 为直径的半圆O 交于点F ，连接CF 并延长交AB 于点E ． （Ⅰ）求证：AE=EB ；
（Ⅱ）若EF •FC=，求正方形ABCD 的面积．
24．已知函数f（x）=x2﹣mx在[1，+∞）上是单调函数．
（1）求实数m的取值范围；
（2）设向量，求满足
不等式的α的取值范围．
西城区一中2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题（参考答案）
一、选择题
1．【答案】C
【解析】
考点：几何体的结构特征.
2．【答案】B
【解析】
考点：球与几何体
3．【答案】B
【解析】解：模拟执行程序框图，可得
s=2，k=0
满足条件k＜2016，s=﹣1，k=1
满足条件k＜2016，s=，k=2
满足条件k＜2016，s=2．k=3
满足条件k＜2016，s=﹣1，k=4
满足条件k＜2016，s=，k=5
…
观察规律可知，s的取值以3为周期，由2015=3*671+2，有
满足条件k＜2016，s=2，k=2016
不满足条件k＜2016，退出循环，输出s的值为2．
故选：B．
【点评】本题主要考查了程序框图和算法，依次写出前几次循环得到的s，k的值，观察规律得到s的取值以3为周期是解题的关键，属于基本知识的考查．
4．【答案】 C
【解析】解析：本题考查圆的弦长的计算与点到直线、两平行线的距离的计算.
圆心C 到直线m 的距离1d =，||AB ==m n 、之间的距离为3d '=，∴PAB ∆
的面积为
1
||2
AB d '⋅=，选C ． 5． 【答案】B
【解析】解：，解得
或x ＜0，
∴“
”是“
”的必要不充分条件．
故选：B ．
6． 【答案】C
【解析】解：由三次函数的图象可知，x=2函数的极大值，x=﹣1是极小值，
即2，﹣1是f ′（x ）=0的两个根，
∵f （x ）=ax 3+bx 2
+cx+d ， ∴f ′（x ）=3ax 2
+2bx+c ， 由f ′（x ）=3ax 2
+2bx+c=0，
得2+（﹣1）==1，
﹣1×2=
=﹣2，
即c=﹣6a ，2b=﹣3a ，
即f ′（x ）=3ax 2+2bx+c=3ax 2
﹣3ax ﹣6a=3a （x ﹣2）（x+1），
则=
==﹣5，
故选：C
【点评】本题主要考查函数的极值和导数之间的关系，以及根与系数之间的关系的应用，考查学生的计算能力．
7． 【答案】A 【解析】
考点：1、向量的模及平面向量数量积的运算；2、点和圆的位置关系.
8．【答案】C
【解析】解：||=3，||=1，与的夹角为，
可得=||||cos＜，＞=3×1×=，
即有|﹣4|=
==．
故选：C．
【点评】本题考查向量的数量积的定义和性质，考查向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于基础题．
9．【答案】A
【解析】
考点：分段函数的应用.
【方法点晴】本题主要考查了分段函数的应用，其中解答中涉及到不等式的求解，集合的交集和集合的并集运算，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于中档试题，本题的解答中，根据分段函数的分段条件，列出相应的不等式，通过求解每个不等式的解集，利用集合的运算是解答的关键. 10．【答案】A
【解析】
考点：三角函数的图象性质．
11．【答案】C
【解析】解：∵f（1）=1＞0，f（2）=1﹣2ln2=ln＜0，
∴函数f（x）=1﹣xlnx的零点所在区间是（1，2）．
故选：C．
【点评】本题主要考查函数零点区间的判断，判断的主要方法是利用根的存在性定理，判断函数在给定区间端点处的符号是否相反．
12．【答案】D
【解析】解：∵sinC+sin（B﹣A）=sin2A，
∴sin（A+B）+sin（B﹣A）=sin2A，
∴sinAcosB+cosAsinB+sinBcosA﹣cosBsinA=sin2A，
∴2cosAsinB=sin2A=2sinAcosA，
∴2cosA（sinA﹣sinB）=0，
∴cosA=0，或sinA=sinB，
∴A=，或a=b，
∴△ABC为等腰三角形或直角三角形
故选：D．
【点评】本题考查三角形形状的判断，涉及三角函数公式的应用，本题易约掉cosA而导致漏解，属中档题和易错题．
二、填空题
13．【答案】8
14．【答案】)3,0(
【解析】构造函数x x f x F 3)()(-=，则03)(')('>-=x f x F ，说明)(x F 在R 上是增函数，且
13)1()1(-=-=f F .又不等式1log 3)(log 33-<x x f 可化为1l o g 3)(l o g 33-<-x x f ，即
)1()(l o g 3F x F <，∴1log 3<x ，解得30<<x .∴不等式1log 3)(log 33-<x x f 的解集为)3,0(.
15．【答案】 1 ．
【解析】解：∵x 为实数，[x]表示不超过x 的最大整数， ∴如图，当x ∈[0，1）时，画出函数f （x ）=x ﹣[x]的图象，
再左右扩展知f （x ）为周期函数． 结合图象得到函数f （x ）=x ﹣[x]的最小正周期是1．
故答案为：1．
【点评】本题考查函数的最小正周期的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用．
16．【答案】 菱形 ； 矩形 ．
【解析】解：如图所示：①∵EF ∥AC ，GH ∥AC 且EF=AC ，GH=AC
∴四边形EFGH 是平行四边形
又∵AC=BD
∴EF=FG
∴四边形EFGH 是菱形．
②由①知四边形EFGH 是平行四边形 又∵AC ⊥BD ， ∴EF ⊥FG
∴四边形EFGH 是矩形． 故答案为：菱形，矩形
【点评】本题主要考查棱锥的结构特征，主要涉及了线段的中点，中位线定理，构成平面图形，研究平面图形的形状，是常考类型，属基础题．
17．【答案】锐角三角形
【解析】解：∵c=12是最大边，∴角C是最大角
根据余弦定理，得cosC==＞0
∵C∈（0，π），∴角C是锐角，
由此可得A、B也是锐角，所以△ABC是锐角三角形
故答案为：锐角三角形
【点评】本题给出三角形的三条边长，判断三角形的形状，着重考查了用余弦定理解三角形和知识，属于基础题．
三、解答题
18．【答案】
【解析】【命题意图】本题考查椭圆标准方程和定义、等差数列、直线和椭圆的位置关系等基础知识，意在考查转化与化归的数学思想的运用和综合分析问题、解决问题的能力．
（II ）①若m 为直线1=x ，代入
13
42
2=+y x 得23±=y ，即)23 , 1(P ，)23 , 1(-Q
直接计算知29PQ =，2
25||||2121=+Q F P F ，222
11PQ F P
F Q ?，1=x 不符合题意 ； ②若直线m 的斜率为k ，直线m 的方程为(1)y k x =-
由⎪⎩
⎪⎨⎧-==+
)1(1342
2x k y y x 得0)124(8)43(2222=-+-+k x k x k 设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，则2221438k k x x +=+，2
2214312
4k k x x +-=⋅
由222
11PQ F P F Q =+得，11
0F P FQ ? 即0)1)(1(2121=+++y y x x ，0)1()1()1)(1(2121=-⋅-+++x k x k x x
0)1())(1()1(2212212=+++-++k x x k x x k
代入得0438)1()143124)(1(2
22222=+⋅-+++-+k k k k k k ，即0972
=-k 解得773±=k ，直线m 的方程为)1(7
7
3-±=x y
19．【答案】
【解析】解：（1）∵四边形AA 1C 1C 为平行四边形，∴AC=A 1C 1， ∵AC=AA 1，∴AA 1=A 1C 1，
∵∠AA 1C 1=60°，∴△AA 1C 1为等边三角形， 同理△ABC 1是等边三角形，
∵D为AC1的中点，∴BD⊥AC1，
∵平面ABC1⊥平面AA1C1C，
平面ABC1∩平面AA1C1C=AC1，BD⊂平面ABC1，
∴BD⊥平面AA1C1C．
（2）以点D为坐标原点，DA、DC、DB分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，
平面ABC1的一个法向量为，设平面ABC的法向量为，
由题意可得，，则，
所以平面ABC的一个法向量为=（，1，1），
∴cosθ=．
即二面角C1﹣AB﹣C的余弦值等于．
【点评】本题在三棱柱中求证线面垂直，并求二面角的平面角大小．着重考查了面面垂直的判定与性质、棱柱的性质、余弦定理、二面角的定义及求法等知识，属于中档题．
20．【答案】
【解析】解：四边形ABCD绕AD旋转一周所成的
几何体，如右图：
S表面=S圆台下底面+S圆台侧面+S圆锥侧面=
πr22+π（r1+r2）l2+πr1l1===
21．【答案】
【解析】（本小题满分12分）φ
解：（Ⅰ）f （x ）
=
+
﹣
=
+
=
）
由f （x
）图象过点（）知：
所以：φ
=
所以f （x ）
= 令（k ∈Z ）
即：
所以：函数f （x ）在[0，π]
上的单调区间为：
（Ⅱ）因为x 0∈（π，2π
），
则：
2x 0∈（π，2π）
则：
=
sin
所以
=）
=
【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数单调区间的确定，三角函数的求值问题，属于基础题型．
22．【答案】
【解析】（1）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ， 则由990S =，15240S =，得1193690
15105240
a d a d +=⎧⎨
+=⎩，解得12a d ==，……………3分
所以2(n 1)22n a n =+-⨯=，即2n a n =，
(1)
22(1)2
n n n S n n n -=+
⨯=+，即1n S n n =+（）．……………5分
23．【答案】
【解析】证明：（Ⅰ）∵以D为圆心、DA为半径的圆弧与以BC为直径半圆交于点F，且四边形ABCD为正方形，
∴EA为圆D的切线，且EB是圆O的切线，
由切割线定理得EA2=EF•EC，
故AE=EB．
（Ⅱ）设正方形的边长为a，连结BF，
∵BC为圆O的直径，∴BF⊥EC，
在Rt△BCE中，由射影定理得EF•FC=BF2=，
∴BF==，解得a=2，
∴正方形ABCD的面积为4．
【点评】本题考查两线段相等的证明，考查正方形面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
24．【答案】
【解析】解：（1）∵函数f（x）=x2﹣mx在[1，+∞）上是单调函数
∴x=≤1
∴m≤2
∴实数m的取值范围为（﹣∞，2]；
（2）由（1）知，函数f（x）=x2﹣mx在[1，+∞）上是单调增函数
∵，
∵
∴2﹣cos2α＞cos2α+3
∴cos2α＜
∴
∴α的取值范围为．
【点评】本题考查函数的单调性，考查求解不等式，解题的关键是利用单调性确定参数的范围，将抽象不等式转化为具体不等式．。