(2021年整理)中考反比例函数压轴题

中考反比例函数压轴题
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反比例函数
一．填空题（共19小题)
1．（2013•湖州）如图,已知点A是第一象限内横坐标为2的一个定点，AC⊥x轴于点M，交直线y=﹣x于点N．若点P是线段ON上的一个动点,∠APB=30°,BA⊥PA，则点P在线段ON上运动时，A点不变，B点随之运动．求当点P从点O运动到点N时,点B运动的路径长是．
2．（2014•市中区一模）如图,已知双曲线经过直角三角形OAB斜边OA的中点D，
且与直角边AB相交于点C．若点A的坐标为（﹣6，4)，则△AOC的面积为．
3．（2014•石家庄校级一模）如图，Rt△ABC的直角边BC在x轴正半轴上,斜边AC上的中线BD 反向延长线交y轴负半轴于E，双曲线y=的图象经过点A,若S△BEC=8，则k= ．
4．（2014•同安区校级质检)如图，直线y=﹣x+b与双曲线y=﹣（x＜0)交于点A，与x轴交于
点B,则OA2﹣OB2= ．
5．（2014•邳州市二模）如图，点P在双曲线y=（x＞0)上，以P为圆心的⊙P与两坐标轴都相
切,点E为y轴负半轴上的一点，过点P作PF⊥PE交x轴于点F，若OF﹣OE=6，则k的值
是．
6．（2014•遵义二模）如图，矩形ABCD的对角线BD经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点C在反比例函数的图象上．若点A的坐标为（﹣2，﹣2），则k的值为．
7．（2013•黄石）如图所示,在平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b（a≠0）的图象与反比例函数（k≠0)的图象交于二、四象限的A、B两点，与x轴交于C点．已知A(﹣2，m），B(n，﹣2），
tan∠BOC=，则此一次函数的解析式为．
8．(2013•遵义）如图,已知直线y=x与双曲线y=(k＞0）交于A、B两点，点B的坐标为（﹣4，﹣2），C为双曲线y=（k＞0)上一点，且在第一象限内,若△AOC的面积为6，则点C的坐标
为．
9．(2013•泸州）如图，点P1（x1,y1），点P2（x2，y2），…，点P n（x n，y n)在函数(x＞0）的图象上，△P1OA1，△P2A1A2，△P3A2A3，…,△P n A n﹣1A n都是等腰直角三角形,斜边OA1、A1A2、A2A3，…，A n﹣1A n都在x轴上（n是大于或等于2的正整数)，则点P3的坐标是;点P n的坐标是（用含n的式子表示）．
10．（2013•宁波)如图，等腰直角三角形ABC顶点A在x轴上，∠BCA=90°，AC=BC=2，反比例函数y=（x＞0）的图象分别与AB,BC交于点D，E．连结DE,当△BDE∽△BCA时，点E的坐标
为．
11．（2013•重庆）如图，菱形OABC的顶点O是坐标原点，顶点A在x轴的正半轴上，顶点B、C 均在第一象限,OA=2，∠AOC=60°．点D在边AB上，将四边形OABC沿直线0D翻折，使点B和点C 分别落在这个坐标平面的点B′和C′处，且∠C′DB′=60°．若某反比例函数的图象经过点B′,则这个反比例函数的解析式为．
12．（2013•芦淞区模拟）已知双曲线,的部分图象如图所示，P是y轴正半轴上一点，过
点P作AB∥x轴，分别交两个图象于点A,B．若PB=2PA，则k= ．
13．（2013•阜宁县二模）如图，D是反比例函数的图象上一点，过D作DE⊥x轴于E,DC⊥y轴于C，一次函数y=﹣x+m与的图象都经过点C，与x轴分别交于A、B两点,四边形DCAE的面积为4，则k的值为．
14．（2013•邓州市校级一模）如图，已知梯形ABCO的底边AO在x轴上,BC∥AO,AB⊥AO,过点C 的双曲线交OB于D，且OD：DB=1:2，若△OBC的面积等于3,则k的值是．
15．(2012•三明)如图，点A在双曲线上,点B在双曲线上，且AB∥y 轴，点P是y轴上的任意一点,则△PAB的面积为．
16．（2012•十堰）如图，直线y=6x,y=x分别与双曲线y=在第一象限内交于点A，B,若S△OAB=8，则k= ．
17．（2012•漳州)如图，点A(3，n)在双曲线y=上，过点A作AC⊥x轴,垂足为C．线段OA的垂直平分线交OC于点M，则△AMC周长的值是．
18．(2015•淄博模拟)如图，直线y=x与双曲线y=(x＞0)交于点A，将直线y=x向下平移个6单位后，与双曲线y=（x＞0)交于点B，与x轴交于点C，则C点的坐标为；若=2，则k= ．
19．（2012•桐乡市校级三模）如图，点A（a，b）在双曲线上,AB⊥x轴于点B,若点是双曲线上异于点A的另一点．
（1）k= ；
（2）若a2=169﹣b2,则△OAB的内切圆半径r= ．
二．解答题（共11小题）
20．解方程组:
21．（2014•淄博）如图,点A与点B的坐标分别是（1，0），（5，0），点P是该直角坐标系内的一个动点．
（1）使∠APB=30°的点P有个；
(2）若点P在y轴上，且∠APB=30°,求满足条件的点P的坐标；
（3)当点P在y轴上移动时，∠APB是否有最大值？若有，求点P的坐标,并说明此时∠APB最大的理由；若没有,也请说明理由．
22．（2013•湖州）如图①，O为坐标原点，点B在x轴的正半轴上，四边形OACB是平行四边形，
sin∠AOB=，反比例函数y=（k＞0)在第一象限内的图象经过点A，与BC交于点F．
（1）若OA=10，求反比例函数解析式；
（2）若点F为BC的中点,且△AOF的面积S=12，求OA的长和点C的坐标；
（3)在（2）中的条件下，过点F作EF∥OB,交OA于点E（如图②），点P为直线EF上的一个动点，连接PA，PO．是否存在这样的点P，使以P、O、A为顶点的三角形是直角三角形?若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
23．(2014•泉州）如图，直线y=﹣x+3与x,y轴分别交于点A,B，与反比例函数的图象交于点P （2，1）．
(1)求该反比例函数的关系式；
(2）设PC⊥y轴于点C，点A关于y轴的对称点为A′;
①求△A′BC的周长和sin∠BA′C的值；
②对大于1的常数m，求x轴上的点M的坐标，使得sin∠BMC=．
24．（2013•巴中）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b(k≠0）的图象与反比例函数y=的图象交于一、三象限内的A、B两点,直线AB与x轴交于点C,点B的坐标为(﹣6，n)，线
段OA=5,E为x轴正半轴上一点,且tan∠AOE=．
（1）求反比例函数的解析式；
(2）求△AOB的面积．
25．（2013•龙岩）如图,将边长为4的等边三角形AOB放置于平面直角坐标系xoy中,F是AB边上的动点（不与端点A、B重合），过点F的反比例函数y=（k＞0,x＞0)与OA边交于点E，过点F作FC⊥x轴于点C，连结EF、OF．
(1）若S△OCF=,求反比例函数的解析式；
（2）在（1）的条件下，试判断以点E为圆心，EA长为半径的圆与y轴的位置关系，并说明理由;（3）AB边上是否存在点F，使得EF⊥AE？若存在，请求出BF：FA的值；若不存在，请说明理由．
26．（2013•广元）如图，已知双曲线y=经过点D(6,1），点C是双曲线第三象限上的动点,过C
作CA⊥x轴,过D作DB⊥y轴，垂足分别为A，B，连接AB，BC．
（1)求k的值；
（2)若△BCD的面积为12，求直线CD的解析式；
（3）判断AB与CD的位置关系，并说明理由．
27．(2012•北海）如图，在平面直角坐标系中有Rt△ABC，∠A=90°，AB=AC,A（﹣2，0）、B（0,1）、C（d，2）．
(1）求d的值；
（2）将△ABC沿x轴的正方向平移，在第一象限内B、C两点的对应点B′、C′正好落在某反比例函数图象上．请求出这个反比例函数和此时的直线B′C′的解析式;
（3）在（2）的条件下,直线BC交y轴于点G．问是否存在x轴上的点M和反比例函数图象上的点P，使得四边形PGMC′是平行四边形?如果存在,请求出点M和点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
28．（2012•泰州）如图，已知一次函数y1=kx+b图象与x轴相交于点A，与反比例函数的图
象相交于B（﹣1，5）、C（，0)两点．点P（m，n）是一次函数y1=kx+b的图象上的动点．
(1)求k、b的值；
(2)设﹣1＜m＜,过点P作x轴的平行线与函数的图象相交于点D．试问△PAD的面积是否存
在最大值？若存在,请求出面积的最大值及此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）设m=1﹣a,如果在两个实数m与n之间(不包括m和n）有且只有一个整数，求实数a的取值范围．
29．（2012•淄博）如图,正方形AOCB的边长为4，反比例函数的图象过点E（3，4)．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）反比例函数的图象与线段BC交于点D,直线过点D,与线段AB相交于点F，求点F
的坐标；
（3)连接OF，OE，探究∠AOF与∠EOC的数量关系，并证明．
30．（2012•长春一模)如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A、B分别落在x轴、y轴的正半轴上，顶点C在第一象限，BC与x轴平行．已知BC=2,△ABC的面积为1．
（1）求点C的坐标．
(2）将△ABC绕点C顺时针旋转90°，△ABC旋转到△A1B1C的位置,求经过点B1的反比例函数关系式．
2015年03月05日1161622024的初中数学组卷
参考答案与试题解析
一．填空题（共19小题）
1．（2013•湖州）如图，已知点A是第一象限内横坐标为2的一个定点,AC⊥x轴于点M，交直线y=﹣x于点N．若点P是线段ON上的一个动点，∠APB=30°，BA⊥PA，则点P在线段ON上运动时，A点不变，B点随之运动．求当点P从点O运动到点N时，点B运动的路径长是．
考点：一次函数综合题．
专题：压轴题．
分析：
（1）首先,需要证明线段B0B n就是点B运动的路径（或轨迹），如答图②所示．利用相似三角形可以证明；
（2)其次，如答图①所示，利用相似三角形△AB0B n∽△AON,求出线段B0B n的长度，即点B 运动的路径长．
解答：解:由题意可知，OM=，点N在直线y=﹣x上,AC⊥x轴于点M，则△OMN为等腰直角三角形，ON=OM=×=．
如答图①所示，设动点P在O点（起点）时,点B的位置为B0，动点P在N点（终点)时，点B的位置为B n,连接B0B n
∵AO⊥AB0，AN⊥AB n,∴∠OAC=∠B0AB n，
又∵AB0=AO•tan30°,AB n=AN•tan30°，∴AB0：AO=AB n：AN=tan30°（此处也可用30°角的Rt△三边长的关系来求得），
∴△AB0B n∽△AON,且相似比为tan30°,
∴B0B n=ON•tan30°=×=．
现在来证明线段B0B n就是点B运动的路径（或轨迹）．
如答图②所示，当点P运动至ON上的任一点时，设其对应的点B为B i,连接AP，AB i,B0B i
∵AO⊥AB0，AP⊥AB i，∴∠OAP=∠B0AB i,
又∵AB0=AO•tan30°，AB i=AP•tan30°，∴AB0：AO=AB i：AP，
∴△AB0B i∽△AOP,∴∠AB0B i=∠AOP．
又∵△AB0B n∽△AON,∴∠AB0B n=∠AOP，
∴∠AB0B i=∠AB0B n，
∴点B i在线段B0B n上，即线段B0B n就是点B运动的路径（或轨迹）．
综上所述,点B运动的路径（或轨迹）是线段B0B n，其长度为．
故答案为：．
点评：本题考查坐标平面内由相似关系确定的点的运动轨迹，难度很大．本题的要点有两个：首先，确定点B的运动路径是本题的核心,这要求考生有很好的空间想象能力和分析问题的能力；
其次，由相似关系求出点B运动路径的长度，可以大幅简化计算，避免陷入坐标关系的复杂运算之中．
2．（2014•市中区一模）如图，已知双曲线经过直角三角形OAB斜边OA的中点D，且与直角边AB相交于点C．若点A的坐标为（﹣6，4）,则△AOC的面积为9 ．
考点:反比例函数系数k的几何意义．
专题：压轴题；数形结合．
分析：要求△AOC的面积,已知OB为高，只要求AC长,即点C的坐标即可，由点D为三角形OAB斜边OA的中点,且点A的坐标（﹣6，4)，可得点D的坐标为（﹣3，2），代入双曲线
可得k,又AB⊥OB，所以C点的横坐标为﹣6,代入解析式可得纵坐标，继而可求得面积．解答:解：∵点D为△OAB斜边OA的中点，且点A的坐标（﹣6，4），
∴点D的坐标为（﹣3,2），
把(﹣3,2）代入双曲线，
可得k=﹣6，
即双曲线解析式为y=﹣,
∵AB⊥OB，且点A的坐标(﹣6，4），
∴C点的横坐标为﹣6，代入解析式y=﹣，
y=1，
即点C坐标为（﹣6,1），
∴AC=3，
又∵OB=6,
∴S△AOC=×AC×OB=9．
故答案为：9．
点评:本题考查反比例函数系数k的几何意义及其函数图象上点的坐标特征，体现了数形结合的思想．
3．（2014•石家庄校级一模）如图,Rt△ABC的直角边BC在x轴正半轴上，斜边AC上的中线BD 反向延长线交y轴负半轴于E，双曲线y=的图象经过点A，若S△BEC=8，则k= 16 ．
考点：反比例函数系数k的几何意义．
专题:压轴题．
分析:
方法1：因为S△BEC=8，根据k的几何意义求出k值即可；
方法2：先证明△ABC与△OBE 相似,再根据相似三角形的对应边成比例列式整理即可得到k=2S△BEC=16．
解答：解:方法1：设OB=x，则AB=，
过D作DH⊥x轴于H，
∵D为AC中点，
∴DH为△ABC中位线，
∴DH=AB=，
∵∠EBO=∠DBC=∠DCB,
∴△ABC∽△EOB，
设BH为y,
则EO=，BC=2y，
∴S△EBC=BC•OE=••2y==8，
∴k=16．
方法2：∵BD是Rt△ABC斜边上的中线,
∴BD=CD=AD，
∴∠DBC=∠ACB，
又∠DBC=∠OBE，∠BOE=∠ABC=90°,
∴△ABC∽△EOB,
∴=，
∴AB•OB=BC•OE，
∵S△BEC=×BC•OE=8，
∴AB•OB=16,
∴k=xy=AB•OB=16．
故答案为：16．
点评：主要考查了用待定系数法求反比例函数的解析式和反比例函数系数k的几何意义．反比例函数系数k的几何意义为：反比例函数图象上的点的横纵坐标之积是定值k，同时｜k|也是该点到两坐标轴的垂线段与两坐标轴围成的矩形面积．本题综合性强，考查知识面广，能较全面考查学生综合应用知识的能力．
4．（2014•同安区校级质检）如图，直线y=﹣x+b与双曲线y=﹣(x＜0)交于点A，与x轴交于点B,则OA2﹣OB2= 2 ．
考点：反比例函数综合题．
专题:压轴题．
分析：由直线y=﹣x+b与双曲线y=﹣（x＜0）交于点A可知:x+y=b，xy=﹣1，又OA2=x2+y2，OB2=b2,
由此即可求出OA2﹣OB2的值．
解答：解：∵直线y=﹣x+b与双曲线y=﹣(x＜0）交于点A，
设A的坐标（x，y），
∴x+y=b，xy=﹣1，
而直线y=﹣x+b与x轴交于B点，
∴OB=b
∴又OA2=x2+y2,OB2=b2，
∴OA2﹣OB2=x2+y2﹣b2=（x+y）2﹣2xy﹣b2=b2+2﹣b2=2．
故答案为:2．
点评：此题难度较大，主要考查一次函数与反比例函数的图形和性质，也考查了图象交点坐标和解析式的关系．
5．（2014•邳州市二模）如图，点P在双曲线y=（x＞0)上，以P为圆心的⊙P与两坐标轴都相切，点E为y轴负半轴上的一点，过点P作PF⊥PE交x轴于点F，若OF﹣OE=6，则k的值是9 ．
考点：反比例函数综合题．
专题:计算题；压轴题．
分析：过P点作x轴、y轴的垂线，垂足为A、B,根据⊙P与两坐标轴都相切可知，PA=PB，由∠APB=∠EPF=90°可证△BPE≌△APF，得BE=AF,利用OF﹣OE=6，求圆的半径,根据k=OA×PA 求解．
解答:解：如图,过P点作x轴、y轴的垂线，垂足为A、B,
∵⊙P与两坐标轴都相切，
∴PA=PB，四边形OAPB为正方形，
∵∠APB=∠EPF=90°，
∴∠BPE=∠APF，
∴Rt△BPE≌Rt△APF，
∴BE=AF，
∵OF﹣OE=6,
∴（OA+AF）﹣(BE﹣OB)=6，
即2OA=6,
解得OA=3,
∴k=OA×PA=3×3=9．
故答案为:9．
点评：本题考查了反比例函数的综合运用．关键是根据圆与坐标轴相切的关系作辅助线，构造全等三角形，正方形,将有关线段进行转化．
6．（2014•遵义二模）如图,矩形ABCD的对角线BD经过坐标原点,矩形的边分别平行于坐标轴,点C在反比例函数的图象上．若点A的坐标为（﹣2,﹣2），则k的值为1或﹣3 ．
考点：反比例函数综合题．
专题:综合题；压轴题．
分析:根据矩形的对角线将矩形分成面积相等的两个直角三角形,找到图中的所有矩形及相等的三
角形，即可推出S四边形CEOF=S四边形HAGO，根据反比例函数比例系数的几何意义即可求出
k2+4k+1=4，再解出k的值即可．
解答：解：如图：
∵四边形ABCD、HBEO、OECF、GOFD为矩形，
又∵BO为四边形HBEO的对角线，OD为四边形OGDF的对角线,
∴S△BEO=S△BHO，S△OFD=S△OGD，S△CBD=S△ADB，
∴S△CBD﹣S△BEO﹣S△OFD=S△ADB﹣S△BHO﹣S△OGD，
∴S四边形HAGO=S四边形CEOF=2×2=4，
∴xy=k2+2k+1=4,
解得k=1或k=﹣3．
故答案为1或﹣3．
点评：本题考查了反比例函数k的几何意义、矩形的性质、一元二次方程的解法，关键是判断出S
=S四边形HAGO．
四边形CEOF
7．(2013•黄石）如图所示,在平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b（a≠0）的图象与反比例函数（k≠0)的图象交于二、四象限的A、B两点，与x轴交于C点．已知A(﹣2，m）,B(n,﹣2），tan∠BOC=，则此一次函数的解析式为y=﹣x+3 ．
考点：反比例函数与一次函数的交点问题．
专题：计算题；压轴题．
分析:过点B作BD⊥x轴,在直角三角形BOD中，根据已知的三角函数值求出OD的长，得到点B 的坐标,把点B的坐标代入反比例函数的解析式中，求出反比例函数的解析式，然后把点A 的横坐标代入反比例函数的解析式中求出点A的坐标，最后分别把点A和点B的坐标代入一次函数解析式，求出a和b的值即可得到一次函数解析式．
解答：解:过点B作BD⊥x轴，
在Rt△BOD中，∵tan∠BOC===,
∴OD=5，
则点B的坐标为（5，﹣2)，
把点B的坐标为(5,﹣2)代入反比例函数（k≠0)中,
则﹣2=,即k=﹣10,
∴反比例函数的解析式为y=﹣，
把A（﹣2,m)代入y=﹣中，m=5，
∴A的坐标为（﹣2，5),
把A（﹣2，5)和B（5，﹣2）代入一次函数y=ax+b(a≠0)中,
得：,解得，
则一次函数的解析式为y=﹣x+3．
故答案为：y=﹣x+3．
点评：此题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，以及三角函数值，用待定系数法确定函数的解析式，是常用的一种解题方法．同学们要熟练掌握这种方法．
8．（2013•遵义)如图，已知直线y=x与双曲线y=（k＞0）交于A、B两点，点B的坐标为(﹣4，﹣2），C为双曲线y=(k＞0)上一点，且在第一象限内，若△AOC的面积为6，则点C的坐标为（2,4）．
考点：反比例函数与一次函数的交点问题．
专题：压轴题．
分析：把点B的坐标代入反比例函数解析式求出k值，再根据反比例函数图象的中心对称性求出点A的坐标,然后过点A作AE⊥x轴于E,过点C作CF⊥x轴于F，设点C的坐标为（a，)，然
后根据S△AOC=S△COF+S梯形ACFE﹣S△AOE列出方程求解即可得到a的值，从而得解．
解答：解：∵点B（﹣4，﹣2）在双曲线y=上,
∴=﹣2，
∴k=8，
根据中心对称性，点A、B关于原点对称,
所以，A（4，2）,
如图，过点A作AE⊥x轴于E,过点C作CF⊥x轴于F,设点C的坐标为(a，），
若S△AOC=S△COF+S梯形ACFE﹣S△AOE,
=×8+×（2+）（4﹣a）﹣×8，
=4+﹣4,
=,
∵△AOC的面积为6，
∴=6，
整理得，a2+6a﹣16=0，
解得a1=2，a2=﹣8（舍去），
∴==4，
∴点C的坐标为（2，4)．
若S△AOC=S△AOE+S梯形ACFE﹣S△COF=,
∴=6，
解得：a=8或a=﹣2(舍去）
∴点C的坐标为（8，1）（与图不符，舍去）．
故答案为：（2，4）．
点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题,反比例函数系数的几何意义，作辅助线并表示出△ABC的面积是解题的关键．
9．（2013•泸州）如图，点P1（x1，y1），点P2(x2，y2），…，点P n（x n，y n）在函数（x＞0）的图象上，△P1OA1，△P2A1A2，△P3A2A3，…，△P n A n﹣1A n都是等腰直角三角形，斜边OA1、A1A2、A2A3，…，A n﹣1A n都在x轴上（n是大于或等于2的正整数），则点P3的坐标是(+，﹣) ;点P n 的坐标是（+，﹣）(用含n的式子表示）．
考点:反比例函数综合题．
专题：综合题；压轴题．
分析：
过点P1作P1E⊥x轴于点E，过点P2作P2F⊥x轴于点F，过点P3作P3G⊥x轴于点G,根据△P1OA1，
△P2A1A2，△P3A2A3都是等腰直角三角形，可求出P1,P2，P3的坐标,从而总结出一般规律得出点P n的坐标．
解答：
解：过点P1作P1E⊥x轴于点E，过点P2作P2F⊥x轴于点F，过点P3作P3G⊥x轴于点G，
∵△P1OA1是等腰直角三角形,
∴P1E=OE=A1E=OA1,
设点P1的坐标为（a，a），(a＞0），
将点P1（a，a）代入y=，可得a=1，
故点P1的坐标为(1，1）,
则OA1=2a,
设点P2的坐标为（b+2，b），将点P2（b+2，b）代入y=，可得b=﹣1，
故点P2的坐标为(+1，﹣1），
则A1F=A2F=﹣1，OA2=OA1+A1A2=2，
设点P3的坐标为（c+2，c）,将点P3（c+2，c）代入y=,可得c=﹣，
故点P3的坐标为（+，﹣），
综上可得：P1的坐标为（1，1)，P2的坐标为(+1，﹣1）,P3的坐标为（+，﹣)，
总结规律可得：P n坐标为：（+，﹣）．
故答案为：（+,﹣）、（+,﹣）．
点评：本题考查了反比例函数的综合，涉及了点的坐标的规律变化，解答本题的关键是根据等腰三角形的性质结合反比例函数解析式求出P1，P2,P3的坐标，从而总结出一般规律，难度较大．
10．（2013•宁波）如图，等腰直角三角形ABC顶点A在x轴上,∠BCA=90°,AC=BC=2，反比例函数y=（x＞0）的图象分别与AB，BC交于点D,E．连结DE,当△BDE∽△BCA时，点E的坐标为
（,）．
考点:反比例函数综合题．
专题：压轴题．
分析:由相似三角形的对应角相等推知△BDE的等腰直角三角形；根据反比例函数图象上点的坐标特征可设E（a，），D(b，），由等腰直角三角形的性质可以求得ab=3；最后,将其代入
直线AD的解析式即可求得a的值．
解答：解：如图,过点D作DF⊥BC于点F，
∵∠BCA=90°，AC=BC=2,反比例函数y=（x＞0)的图象分别与AB，BC交于点D，E,
∴∠BAC=∠ABC=45°，且可设E(a，），D（b，）,
∴C（a，0），B（a，2)，A（a﹣2，0），
∴易求直线AB的解析式是：y=x+2﹣a．
∵△BDE∽△BCA，
∴△BDE也是等腰直角三角形,
∴DF=EF,
∴a﹣b=﹣，
即ab=3．
又∵点D在直线AB上，
∴=b+2﹣a，即2a2﹣2a﹣3=0，
解得，a=，
∴点E的坐标是（，）．
故答案是：(，）．
点评:本题综合考查了相似三角形的性质、反比例函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上的点的坐标特征、待定系数法求一次函数的解析式．解题时，注意双曲线的对称性的应用．
11．（2013•重庆)如图，菱形OABC的顶点O是坐标原点，顶点A在x轴的正半轴上,顶点B、C
均在第一象限,OA=2，∠AOC=60°．点D在边AB上,将四边形OABC沿直线0D翻折，使点B和点C 分别落在这个坐标平面的点B′和C′处，且∠C′DB′=60°．若某反比例函数的图象经过点B′,
则这个反比例函数的解析式为y=﹣．
考点：反比例函数综合题．
专题:压轴题．
分析：连接AC，求出△BAC是等边三角形，推出AC=AB，求出△DC′B′是等边三角形，推出C′D=B′D，得出CB=BD=B′C′，推出A和D重合,连接BB′交x轴于E，求出AB′=AB=2，
∠B′AE=60°，求出B′的坐标是（3，﹣），设经过点B′反比例函数的解析式是y=,
代入求出即可．
解答：解:
连接AC,
∵四边形OABC是菱形，
∴CB=AB，∠CBA=∠AOC=60°，
∴△BAC是等边三角形，
∴AC=AB，
∵将四边形OABC沿直线0D翻折,使点B和点C分别落在这个坐标平面的点B′和C′处，∴BD=B′D，CD=C′D，∠DB′C′=∠ABC=60°，
∵∠B′DC′=60°，
∴∠DC′B′=60°,
∴△DC′B′是等边三角形，
∴C′D=B′D，
∴CB=BD=B′C′，
即A和D重合，
连接BB′交x轴于E，
则AB′=AB=2，∠B′AE=180°﹣（180°﹣60°)=60°，
在Rt△AB′E中，∠B′AE=60°，AB′=2，
∴AE=1,B′E=，OE=2+1=3，
即B′的坐标是(3，﹣）,
设经过点B′反比例函数的解析式是y=，
代入得：k=﹣3，
即y=﹣，
故答案为:y=﹣．
点评:本题考查了折叠性质，菱形性质,等边三角形的性质和判定的应用,主要考查学生的计算能力，题目比较好,有一定的难度．
12．（2013•芦淞区模拟）已知双曲线,的部分图象如图所示，P是y轴正半轴上一点,过点P作AB∥x轴，分别交两个图象于点A，B．若PB=2PA，则k= ﹣4 ．
考点：反比例函数综合题．
专题:压轴题；数形结合．
分析：因为AB∥x轴，PB=2PA，所以可知A和B点的纵坐标相同,B点的横坐标的长度是A横坐标的2倍，从而可求出k的值，因为过第二象限，所以k＜0．
解答：解:∵AB∥x轴,PB=2PA，
∴=
∴k=﹣4．
故答案为：﹣4．
点评：本题考查反比例函数图象的性质，以及从反比例函数获得信息，关键是看到纵坐标相同时，横坐标的不同，从而求出解．
13．（2013•阜宁县二模）如图,D是反比例函数的图象上一点，过D作DE⊥x轴于E,DC⊥y轴于C，一次函数y=﹣x+m与的图象都经过点C，与x轴分别交于A、B两点，四边形DCAE的面积为4，则k的值为﹣2 ．
考点:反比例函数综合题．
专题：计算题；压轴题．
分析：
由的图象经过点C，可求C(0，2），代入一次函数y=﹣x+m求m的值，得出A 点坐标，计算△AOC的面积，由四边形DCAE的面积为4，可知矩形OCDE的面积，从而得出k的值．
解答:
解：∵的图象经过点C，∴C（0，2)，
将点C代入一次函数y=﹣x+m中，得m=2，
∴y=﹣x+2,令y=0得x=2，∴A（2，0)，
∴S△AOC=×OA×OC=2，
∵四边形DCAE的面积为4，
∴S矩形OCDE=4﹣2=2，
∴k=﹣2．
故答案为:﹣2．
点评：本题考查了一次函数、反比例函数图象上点的坐标求法，矩形面积与反比例系数的关系．关键是通过求三角形的面积确定矩形的面积．
14．（2013•邓州市校级一模）如图,已知梯形ABCO的底边AO在x轴上，BC∥AO,AB⊥AO，过点C 的双曲线交OB于D，且OD：DB=1:2，若△OBC的面积等于3,则k的值是．
考点：反比例函数综合题．
专题：压轴题．
分析:设C（x，y)，BC=a．过D点作DE⊥OA于E点．
根据DE∥AB得比例线段表示点D坐标；根据△OBC的面积等于3得关系式，列方程组求解．解答:解:设C（x,y），BC=a．
则AB=y，OA=x+a．
过D点作DE⊥OA于E点．
∵OD：DB=1：2，DE∥AB，
∴△ODE∽△OBA，相似比为OD:OB=1：3，
∴DE=AB=y，OE=OA=（x+a)．
∵D点在反比例函数的图象上，且D（（x+a）,y），
∴y•（x+a）=k，即xy+ya=9k，
∵C点在反比例函数的图象上，则xy=k,
∴ya=8k．
∵△OBC的面积等于3,
∴ya=3,即ya=6．
∴8k=6，k=．
故答案为：．
点评：此题考查了反比例函数的应用、平行线分线段成比例及有关图形面积的综合运用，综合性较强．
15．（2012•三明）如图，点A在双曲线上,点B在双曲线上，且AB∥y 轴，点P是y轴上的任意一点，则△PAB的面积为 1 ．
考点：反比例函数系数k的几何意义．
专题：压轴题；探究型．
分析：设A(x,）,则B（x，），再根据三角形的面积公式求解．
解答：解：设A（x，），
∵AB∥y轴，
∴B(x,)，
∴S△ABP=AB•x=(﹣）×x=1．
故答案为:1．
点评:本题考查的是反比例函数系数k的几何意义,先根据题意设出A点坐标,再由AB∥y轴得出B 点坐标是解答此题的关键．
16．（2012•十堰）如图,直线y=6x，y=x分别与双曲线y=在第一象限内交于点A，B,若S△OAB=8，则k= 6 ．
考点:反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数系数k的几何意义．
专题：压轴题．
分析：过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，根据双曲线设出点A、B的坐标，并用直线与双曲线解析式联立求出点A、B的横坐标，再根据S△OAB=S△OAC+S梯形ACDB﹣S△OBD，然后列
式整理即可得到关于k的方程，求解即可．
解答：解：如图，过点A作AC⊥x轴于点C,过点B作BD⊥x轴于点D，
设点A（x1,），B（x2，），
联立,解得x1=,
联立，解得x2=，
S△OAB=S△OAC+S梯形ACDB﹣S△OBD，
=x1•+（+）×（x2﹣x1)﹣x2•，
=k+(k﹣k+k﹣k）﹣k,
=•k,
=×k,
=×k，
=k，
∵S△OAB=8，
∴k=8，
解得k=6．
故答案为：6．
点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数系数的几何意义，作出辅助线表示出△AOB的面积并整理成只含有k的形式是解题的关键．
17．（2012•漳州）如图，点A(3，n）在双曲线y=上，过点A作AC⊥x轴，垂足为C．线段OA 的垂直平分线交OC于点M,则△AMC周长的值是 4 ．
考点：反比例函数综合题．
专题：压轴题．
分析:先求出点A的坐标，根据点的坐标的定义得到OC=3，AC=1，再根据线段垂直平分线的性质可知AM=OM,由此推出△AMC的周长=OC+AC．
解答：解：∵点A(3，n）在双曲线y=上，
∴n==1，∴A（3，1)，
∴OC=3,AC=1．
∵OA的垂直平分线交OC于M，
∴AM=OM，
∴△AMC的周长=AM+MC+AC=OM+MC+AC=OC+AC=3+1=4．
故答案为：4．
点评：本题主要考查了反比例函数的图象性质和线段中垂线的性质，将求△AMC的周长转换成求OC+AC是解题的关键．
18．（2015•淄博模拟)如图,直线y=x与双曲线y=(x＞0）交于点A，将直线y=x向下平移个6单位后，与双曲线y=（x＞0)交于点B,与x轴交于点C，则C点的坐标为(,0) ；若=2，则k= 12 ．
考点：反比例函数综合题．
专题：计算题；压轴题．
分析：根据题意得到直线BC的解析式，令y=0，得到点C的坐标；根据直线AO和直线BC的解析式与双曲线y=联立求得A，B的坐标，再由已知条件=2，从而求出k值．
解答：解:∵将直线y=x向下平移个6单位后得到直线BC,
∴直线BC解析式为:y=x﹣6，
令y=0，得x﹣6=0，
∴C点坐标为（，0)；
∵直线y=x与双曲线y=（x＞0）交于点A，
∴A（，），
又∵直线y=x﹣6与双曲线y=(x＞0）交于点B,且=2，
∴B（+，）,将B的坐标代入y=中，得
(+）=k，
解得k=12．
故答案为：(,0），12．
点评：此题考查一次函数与反比例函数的性质，联立方程求出点的坐标，同时还考查学生的计算能力．
19．（2012•桐乡市校级三模）如图，点A（a,b）在双曲线上，AB⊥x轴于点B，若点是双曲线上异于点A的另一点．
（1）k= 60 ；
（2）若a2=169﹣b2，则△OAB的内切圆半径r= 2 ．
考点:反比例函数综合题．
专题：压轴题；数形结合．
分析：（1）把P点坐标代入反比例函数，即可求k；
（2）先把A点坐标代入反比例函数可得ab=60,再结合a2=169﹣b2组成方程组，解可得a、b
的值，进而利用勾股定理可求OA，再结合直角三角形内切圆半径公式，易求r．
解答:解：（1）把(5，4）代入反比例函数，可得
k=5×4=60；
（2)把（a，b）代入反比例函数，得
ab=60与a2=169﹣b2联合组成方程组为：，
解得或，
即知OB=12，AB=5或OB=5，AB=12,
在Rt△AOB中，OA=13，
故△AOB内切圆的半径r===2．
点评：本题考查了反比例函数的知识、勾股定理,解题的关键是能根据所给的点，求出k，并能解二元二次方程组．
二．解答题（共11小题）
20．解方程组：
考点：解二元一次方程组．
专题：换元法．
分析：如果我们把方程组中的“”、“”看成一个整体,这个方程组就是一个关于和的二元一
次方程组了．
此题需要用换元法把分式方程组转化成一元一次方程组来解．
解答：
解：设m=,n=，原方程组变形为,
解这个方程组，得．
把m=，n=﹣1分别代入m=，n=中,
得．
点评：此题考查的是用换元法解二元一次方程组，体现了转化思想在数学中的运用．
21．(2014•淄博）如图，点A与点B的坐标分别是（1，0）,（5，0),点P是该直角坐标系内的一个动点．
(1）使∠APB=30°的点P有无数个；
（2）若点P在y轴上,且∠APB=30°，求满足条件的点P的坐标；
（3）当点P在y轴上移动时，∠APB是否有最大值？若有，求点P的坐标，并说明此时∠APB最大的理由；若没有，也请说明理由．。