广东省普宁市华侨中学2011届高三数学三模考试题 文

2011届普宁市华侨中学高三三模考试(文科)数学试题
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
一．选择题：本大题共10小题；每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．
1. 设集合B A x x B x x A ⋂>=>-=则|},0log |{},01|{22
等于 （ ） A ．}1|{>x x B ．}0|{>x x
C ．}1|{-<x x
D ．}11|{>-<x x x 或
2. 设,a b 为实数，若复数1
121a bi i i
-=
++，则 （ ） A. 13,22a b ==- B. 31,22a b ==- C. 31
,22
a b == D.1,3a b ==-
3. 已知命题2
:,210,p x R x ∀∈+>则 （ ）
A ．2
:,210p x R x ⌝∃∈+≤
B ．2
:,210p x R x ⌝∀∈+≤
C ．2:,210p x R x ⌝∃∈+<
D ．2
:,210p x R x ⌝∀∈+<
4. 等差数列}{n a 中，若12011,a a 为方程2
10160x x -+=的两根，则210062010a a a ++等于 （ ） A ．10 B ．15 C ．20
D ．40
5. 定义在R 上的函数()x f 是奇函数又是以2为周期的周期函数,则()()()741f f f ++等于（ ）
1.-A 0.B 1.C 4.D
6．已知两条直线,m n ，两个平面,αβ，给出下面四个命题：
①//,m n m n αα⊥⇒⊥ ②//,,//m n m n αβαβ⊂⊂⇒ ③//,////m n m n αα⇒ ④//,//,m n m n αβαβ⊥⇒⊥
其中正确命题的序号是 ( ) A ．①③ B ．②④ C ．②③ D ．①④
7. 在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c , 已知A =
3
π
, a =3, b =1，则c = ( ) A ．1 B ．3 C ．3—1 D ．2
8. 如果实数y x ,满足:⎪⎩
⎪⎨⎧≥+≤-+≤+-010201x y x y x ，则目标函数y x z +=4的最大值为 ( )
D
P
F
E
O
A.2
B.3
C.
2
7 D.4
9. 定义运算
d
c b a =ad-bc,则符合条件
1
21211-+--x y
y x =0 的点P （x,y ）的轨迹方程为( )
A. (x-1)2+4y 2=1
B.(x-1)2－4y 2=1
C.(x －1)2+y 2=1
D.(x －1)2－y 2=1
10. ．已知离心率为e 的曲线22
217-=x y a ，其右焦点与抛物线216=y x 的焦点重合，则e 的值为( )
A ．34
B 423
C ．4
3
D 23
第Ⅱ卷（填空题、解答题 共100分）
二。

填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分。

(一)必做题(11~13题)
11. 函数())2
sin(
sin x x x f -=π
的最小正周期为__________.
12. 某高中有三个年级，其中高一学生有600人，若采用分层 抽样抽取一个容量为45的样本，已知高二年级抽取20人，高 三年级抽取10人，则该高中学生的总人数为 ___________。

13. 对任意非零实数,a b ，若a b ⊗的运算原理如右图程序框图所示，则23⊗= ．
（二）选做题（14、15题考生只能从中选作一题, 如果两题都做，按第一题得分给分） 14.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，直线4
π
θ=
与曲线2=ρ相交于A 、B 两点，则
AB =_________。

15. （几何证明选讲选做题）如图，P 是⊙O 外一点，PD 为⊙O 的切线，D 为切点，割线PEF 经
过圆心O ，若PF =12，PD =34，
则⊙O 的半径为_________，∠DFE=_________。

三．解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. (本小题满分12分) 已知向量(3sin ,cos ),(cos ,cos )a x x b x x == ,函数()21f x a b =⋅-
(第18题图）D
O C
B
A
P
(1)求()f x 的最小正周期; (2)当[, ]62
x π
π
∈时, 若()1,f x =求x 的值．
17. (本小题满分12分) 某校从高三年级学生中随机抽取60名学生，将一模考试的数学成绩（均为整数）分成六段：[)50,40，[)60,50，…，[]100,90后得到如下频率分布直方图． （Ⅰ）求分数在[)70,80内的频率；
（Ⅱ）根据频率分布直方图，估计该校高三年级学生一模考试数学成绩的平均分；
（Ⅲ）用分层抽样的方法在80分以上（含80分）的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看
成一个总体，从中任意选取2人，求其中恰有1人的分数不低于90分的概率．
18. (本小题满分14分)
在三棱锥P-ABC 中。

中，PAC ∆和PBC ∆都是边长为2的等边三角形，2AB =，O D 、分别是AB PB 、的中点．
（1）求证：//OD 平面PAC ； （2）求证：平面PAB ⊥平面ABC ； （3）求三棱锥A PBC -的体积．
19. (本小题满分14分) 数列{}n a 满足11a =，22a =，121
()2
n n n a a a --=
+，(3,4,)n =；数列{}n b 是首项为11b =，公比为2-的等比数列。

（Ⅰ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；
（Ⅱ）记(1,2,3,)n n n c na b n ==，求数列{}n c 的前n 项和n S 。

20. (本小题满分14分)
已知椭圆C:)0(122
22>>=+b a b
y a x 的左焦点为F （-1，0），离心率为22，过点F 的直线l 与
椭圆C 交于B A 、两点.
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（II ）设过点F 不与坐标轴垂直的直线交椭圆C 于A 、 B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交
于点G ，求点G 横坐标的取值范围.
21. 已知x
x
x g e x x ax x f ln )(],,0(,ln )(=
∈-=，其中e 是自然常数，.a R ∈ （1）讨论1=a 时, ()f x 的单调性、极值；
（2）求证：在（1）的条件下，
1
()()2
f x
g x >+；
（3）是否存在实数a ，使()f x 的最小值是3，若存在，求出a 的值；
若不存在，说明理由.
2011届普宁市华侨中学高三三模考试
(文科)数学 答题卷
二。

填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分。

11. 12. 13.
14. 15.
三．解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤．
学校： 普宁市华侨中学 姓名：
试室号： ：考生号 班级座号：
班别：高三（ ）班 密 封 线 内 答 题 无 效
2011届普宁市华侨中学高三三模考试(文科)数学试题
参考答案及评分标准 2011年5月14日
第Ⅰ卷选择题（满分50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分． 1．（A ） 2．（B ） 3．（A ） 4．（B ） 5．（B ） 6．（D ） 7．（D ） 8．（C ） 9．(A) 10．（C)
第Ⅱ卷非选择题（满分100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共20分．(第14、15为选做题，如果两题都做，按第一题得分给分)
11．π 12．1800 13．2 14．22 15. 4 030
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．(本小题满分12分)
解：(1) 2
()cos 2cos 1f x x x x =+- ……………………………………………………1分
2cos 2x x =+ ………………………………………………………………………………2分
2sin(2)6
x π
=+. ……………………………………………………………………………………4分
()f x ∴的最小正周期是π. …………………………………………………………………………6分
(2) 由()1,f x =得1sin 262
x π⎛⎫
+
= ⎪⎝
⎭ ………………………………………….8分 ∵[,]62x ππ
∈，∴72[,]626x πππ+∈ ∴5266
x ππ
+=
…………………………10分 ∴ 3
x π
=
…………………………………………………………………12分
17．(本小题满分12分)
解：（Ⅰ）分数在[)70,80内的频率为：
1(0.0100.0150.0150.0250.005)10-++++⨯10.70.3=-=． ………………3分
（Ⅱ）平均分为：
450.1550.15650.15750.3850.25950.0571x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．……………5分
（Ⅲ）由题意，[)80,90分数段的人数为：0.256015⨯=人； ………………6分
[]90,100分数段的人数为：0.05603⨯=人； ………………7分
∵用分层抽样的方法在80分以上（含80分）的学生中抽取一个容量为6的样本， ∴[)80,90分数段抽取5人，分别记为A ，B ，C ，D ，E ；
[]90,100分数段抽取1人，记为M ． …………8分
因为从样本中任取2人，其中恰有1人的分数不低于90分，
则另一人的分数一定是在[)80,90分数段，所以只需在分数段[)80,90抽取的5人中确定1人．设“从样本中任取2人，其中恰有1人的分数不低于90分为”事件A ，………
P
A
B
C
O D
(第18题图）9分
则基本事件空间包含的基本事件有：(A ，B )，(A ，C)，(A ，D)，(A ，E )，(B ，C )，(B ，D )，
(B ，E )，(C ，D )，(C ，E )，(D ，E)，(A ，M )，(B ，M )，(C ，M )，(D ，M )，(E ，M )共15种．
事件A 包含的基本事件有(A ，M )，(B ，M )，(C ，M )，(D ，M )，(E ，M )5种．………
11分
∴恰有1人的分数不低于90分的概率为51
()153
P A =
=． ………………12分 18. (本小题满分14分) 解：（1）,O D 分别为,AB PB 的中点，∴//OD PA ………………………2分
又PA ⊂平面PAC ，OD ⊄平面PAC ∴//OD 平面PAC …………………4分
（2）连结,OC OP
AC CB == 2AB =,90ACB ∴∠=
又O 为AB 的中点，,1OC AB OC ∴⊥=， 同理, ,1PO AB PO ∴⊥= (6)
分
又PC =
2222PC OC PO ∴=+=,
90POC ∴∠= ,PO OC ∴⊥ ……………8分
又 ,PO AB ⊥AB
OC O =,
PO ∴⊥平面ABC . PO ⊂平面PAB
∴平面PAB ⊥平面ABC …………10分
(3) 由（2）可知PO 垂直平面ABC ∴PO 为三棱锥P ABC -的高，且1PO =。

………11分
三棱锥A PBC -的体积为：11112113323A PBC P ABC ABC V V S PO --∆⎛⎫
==
⋅=⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭
……14分
19. (本小题满分14分)
（Ⅰ）由121
()2n n n a a a --=
+得 11211211
()()22
n n n n n n n a a a a a a a -------=+-=-- ，(3)n ≥ ……………………2分
又∵ 2110a a -=≠，∴数列{}1n n a a +-是首项为1公比为1
2
-的等比数列，
∴111
()2
n n n a a -+-=-。

12132431()()()()n n n a a a a a a a a a a -=+-+-+-++-
22
11111()()()222
n -=++-+-++-1
111()52121()133212
n n ----=+=--+， (4)
分
经检验它对1,2n =也成立，∴数列{}n a 的通项公式为1521()332n n a -=-- …………5分
∵数列{}n b 是首相为11b =，公比为2-的等比数列。

∴111(2)(2)n n n b --=⨯-=-。

………
7分 （Ⅱ）11152152[()](2)(2)33233
n n n n n n n n c na b n ---==-
-⋅-=⋅-- 123n n
S c c c c =+++⋅⋅⋅+02152[1(2)2(2)3(2)(2)](12)33
n n n -=⋅-+⋅-+⋅-+⋅⋅⋅+⋅--++⋅⋅⋅+ 0215(1)[1(2)2(2)3(2)(2)]33
n n n n -+=⋅-+⋅-+⋅-+⋅⋅⋅+⋅-- ………………10分
记 0211(2)2(2)3(2)(2)n n T n -=⋅-+⋅-+⋅-+⋅⋅⋅+⋅-， ①
则 12121(2)2(2)(1)(2)(2)n n n T n n --=
⋅-+⋅-+⋅⋅⋅+-⋅-+⋅- ② 由
①－② 得：0213(2)(2)(2)(2)(2)n n n T n -=-+-+-+⋅⋅⋅+--⋅-1(2)(2)3
n
n n --=-⋅- ∴1(31)(2)9
n
n n T -+-= ………………………………12分 ∴51(31)(2)(1)5(1)[1(31)(2)]393273
n n n n n n n n S n -+-++=⋅-=⋅-+--……………14分
20. (本小题满分14分)
解：（Ⅰ）由题意可知：1=c ，222c b a -=，22==
a c e ……2分 解得：1,2==
b a ……3分 故椭圆的方程为：12
22
=+y x ……4分 （II ）设直线AB 的方程为)0)(1(≠+=k x k y ， ……5分 联立，得⎪⎩⎪⎨⎧=++=12
)1(22y x x k y ,整理得0224)21(2222=-+++k x k x k 。

7分 直线AB 过椭圆的左焦点F ∴方程有两个不等实根. ….…8分
记),(),,(),,(002211y x N AB y x B y x A 的中点则2
2
21214k k x x +-=+ …..9分
2
,221
0210y y y x x x +=+=
…..10分 垂直平分线NG 的方程为)(100x x k y y --=-， …..11分 令241211
212122,022*******++-=+-=+++-=+==k k k k k k k ky x x y G 得…..12分 02
1,0<<-∴≠G x k …… 13分 ），横坐标的取值范围为（点02
1-∴G ….14分 21. (本小题满分14分)
解：（1） x x x f ln )(-=，x x x x f 111)(-=-
=' ……1分 ∴当10<<x 时，/()0f x <，此时()f x 单调递减
当e x <<1时，/()0f x >，此时()f x 单调递增 ……3分 ∴()f x 的极小值为1)1(=f ……4分
（2） ()f x 的极小值为1，即()f x 在],0(e 上的最小值为1， ∴ 0)(>x f ，()
min 1f x = ……5分 令21ln 21)()(+=+=x x x g x h ，'2
1ln ()x h x x -=， ……6分 当e x <<0时，0)(>'x h ，()h x 在],0(e 上单调递增 ……7分 ∴min max |)(|12
121211)()(x f e e h x h ==+<+== ∴在（1）的条件下，1()()2f x g x >+
……9分 （3）假设存在实数a ，使x ax x f ln )(-=（],0(e x ∈）有最小值3， /1()f x a x =-x
ax 1-= …9分 ① 当0≤a 时，)(x f 在],0(e 上单调递减，31)()(min =-==ae e f x f ，e a 4=
（舍去）， 所以，此时)(x f 无最小值. ……10分 ②当e a <<10时，)(x f 在)1,0(a 上单调递减，在],1(e a
上单调递增 3ln 1)1()(min =+==a a
f x f ，2e a =，满足条件. ……11分 ③ 当e a ≥1时，)(x f 在],0(e 上单调递减，31)()(min =-==ae e f x f ，e a 4=（舍去），
所以，此时)(x f 无最小值.
综上，存在实数2e a =，使得当],0(e x ∈时()f x 有最小值3. ……14分。