圆锥曲线中最值问题的求解策略

x,
a>
y)
a b
在 x 轴上方的 点,
求 W =x+y 的 最 大
b>0)
值。
2
2
x
y
解析:椭 圆 2 + 2 =1 的 参 数 方 程 形 式
a
b
为
x=ac
o
sθ,
。
θ∈ (
0,
π)
i
nθ,
y=bs
由于(
x,
y)是 椭 圆 上 的 点,故 W =x +
o
sθ+bs
i
nθ=
y=ac
2
2
a +b 。
三、线性关系，性质帮忙
例3
某商场为刺激消费,
拟按以下方案
张,
每张抽奖券的中奖概率为
0
ξ
进行促销:
顾客每消费5
0
0元便得到抽奖券1
1
,
若中奖,
商场
5
返回顾客现金 1
0
0 元。某顾客现购买价格为 7
得到 奖 券 1
5
9
9元的笔记本电脑一台,
5 张。设
该顾客抽奖后中奖的抽奖券张数为 X,
购买笔
记本电脑的实际支出为Y,
求Y 的数学期望。
1
=3。
5
1
1
5
P
2
1
10
3
1
10
。
求 E(
2
ξ+1)
解析:
E(
ξ)=0×
4
3
10
3
10
1
1
1
+1×
+2×
+
5
1
0
1
0
3
3 1
2
所 以 E(
3× +4× = ,
2
ξ+1)=2E (
ξ)
1
0
1
0 5
2
9
+1= 。
5
(
责任编辑
徐利杰)

(
上接第 3 页)
2
x
- 2 =1 的离 心 率 分 别 为 e1 和 e2 ,且 a>0,
a
分 析:将 所 给 的 函 数 式
改写 为 y =3
x +z,则 它 表
2
当 a,
求e2
b>0,
b 变化时,
e2 的最小值。
1+
示斜率为 3 的平行直线系方
程,
z 是 直 线 在y 轴 上 的 截
2
解 析: e2
+ e2 =
1
距。由图 2 易知:
在区域 G :
2
2
x y
+ ≤1 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ,
z 的 最 大、最
1
6 2
5
a +b
b
2
小值在直线与椭圆相切时取得。
2
图2
2
x
y
解:
将 y =3
x +z 代 入
+
=1,得
1
6 2
5
1
6
9
x +9
6
zx+1
6
z -4
0
0=0。
2
2
由 Δ=0,
得 z=±1
故所求的最大值为
3,
最小值为 -1
i
nx)
2
2
x y
圆 + =1,
因此 f (
x)的最值就是过点 C
5 4
2
2
x y
与椭圆 + =1上任一点的直线斜率的最值。
5 4
解:
设 CA 、
CB 是
椭 圆 的 两 条 切 线,如
图 1,
故f (
x)的最大
值 为 kCA ,
x)的 最
f(
小 值 为 kCB 。 设 过 C
故无最小值。
x -y =0 不表示双曲线,
kx+m 。
y=kx+m ,
由 x2 y2
消去 y 得:
+ =1
5 4
2
2
2
(
4+5
k)
x +1
0kmx+5m -2
0=0。
由 Δ =0,得 m = ±
5
k +4,可 求 得 切
2
2
线方程为 y=kx± 5
k +4。
,所 以 -1=
因为切线过 点 C (-3,-1)
-3k± 5
k +4。
2
3+ 2
1
0
0
评注:
一批产品可以 认 为 数 量 较 大,
从中
任意 地 连 续 取 出 2 件,相 当 于 2 次 独 立 重 复
试验,
得到的次品数ξ 服从二项分布。
1
解 析:由 已 知 得:
X ~B 1
5, ,所 以
5
E(
X)
=1
5×
所以 E (
Y=75
9
9-1
0
0X ,
Y)=75
9
9-
。
元)
1
0
0E(
X)
x -y =λ 中,
λ达
2
2
到最大值或最小值?
2
2
分析:
从双曲线 系:
x -y =λ 过 两 直 线
交点入手,
建立λ 与t 的函数关系。
解:
解方 程 组
坐标为 Q
x+2
y=t,
得两直线交点
2
x-y=a
t+2
a2
t-a 。
,
5
5
因为双曲线系 x2 -y2 =λ 过点 Q ,
所以:
λ =x
-y
2
-3t-
知识篇 知识结构与拓展
高二数学 2019 年 7-8 月
圆锥曲线中最值问题的求解策略
■ 河北省新河县新河中学
建目标函数,
从而研究这个函数的最值问题。
一、构建目标函数求最值问题
例1
在过动直线 x+2
y=t(其 中t∈
(
)
与定直线 2
0,
3
a]
x-y = a 的交点的等轴
双曲线系:
当t 取 何 值 时,
3- 2
1
,
。
则 k1 =
k2 =
4
4
3+ 2
1
,f (
的最大 值 为
x)
x)的 最
f(
4
3- 2
1
。
小值为
4
例4
2
2
x
y
已 知 x,
+
≤1,求
y 满足
1
6 2
5
z=y-3
x 的最值。
(
下转第 5 页)
3
知识篇 知识结构与拓展
高二数学 2019 年 7-8 月
nM
,
几何分布,
我们也有相应的公式:
同
E(
X)
=
N
学们不妨作为结论记住。
练习 2:
某厂 生 产 电 子 元 件,其 产 品 的 次
品 率 为 5% ,现 从 一 批 产 品 中 任 意 地 连 续 取
出 2 件,
写出其中次品数ξ 的期望。
解析:由 题 意,得 到 的 次 品 数 ξ~B (
2,
5
,
所以 E(
5% )
=2×
=0.
1。
ξ)
1
2
杨中凯
2
2
i
n(
a +b s
φ +θ)≤
所以 W =x+y 的最大值为 a2 +b2 。
点评:
若题 目 中 的 条 件 和 结 论 能 体 现 明
确的函数 关 系,则 可 首 先 选 择 适 当 的 变 量 构
2
2
x
y
图1
与椭 圆
+
=1 相
5
4
切的切线 的 斜 率 为 k,切 线 方 程 可 设 为 y =
二、转化为用平面几何知识求最值问题
例 3
试 求 函 数 f
-1-2
s
i
nx
-3- 5c
o
sx
(x ) =
的最大值、
最小值。
分析:
由于 f (
x)=
-1-2
s
i
nx
-3- 5c
o
sx
可以
看作是经过点 C(
-3,
-1)和 点 P (5c
o
sx,
的 直 线 的 斜 率。 而 点 P 的 轨 迹 是 椭
2
s
=75
9
9-3
0
0=72
9
9(
点评:
本题若直接求 Y 的分布列,
比较麻
烦。不难发现 X 与Y 之间满足线性关系 Y=
故可以利用期望的性质帮助解
75
9
9-1
0
0X ,
(
决。牢记:
1)
E(
aX +b)=aE (
X )+b;(
2)
。
E(
X +Y)
=E(
X)
+E(
Y)
练习3:
设离散型随机变量ξ 的分布列为:
2
=
-3
t +8
a
t+3
a
2
5
2
2
=
2
5 2
4
a + a
3
3
,
。
t∈ (
0,
3
a]
2
5
2
4
1 2
当t= a 时,
λmax = a 。
3
3
又由 0<t≤3
a,得 5
5
4
则 t- a ≤ a。
a,
3
3
3
于是当t=
2
例2
4
4
a <t- a ≤
3
3
4
a 时,λmin =0。 此 时 方 程
3
2
2
x y
设(
是椭圆 2 + 2 =1 (
1
3,
3。
2
2
2
2
+
a +b a +b
b a
=
+
=2+ 2 + 2
2
2
a
b
a b
2
2
2