几何辅助线之手拉手模型(初三)

手拉手模型
教学目标:
1：理解手拉手模型的概念，并掌握其特点
2：掌握手拉手模型的应用
知识梳理：
1、等边三角形
条件：△OAB，△OCD均为等边三角形
结论：；；
导角核心：
2、等腰直角三角形
条件：△OAB，△OCD均为等腰直角三角形
结论：；；
导角核心：
3、任意等腰三角形
条件：△OAB，△OCD均为等腰三角形，且∠AOB = ∠COD 结论：；；
核心图形：
核心条件：；；
典型例题：
例1:在直线ABC 的同一侧作两个等边三角形△ABD 和△BCE ，连接AE 与CD ，证明：（1）△ABE ≌△DBC ；（2）AE=DC ； （3）AE 与DC 的夹角为60°；（4）△AGB ≌△DFB ； （5）△EGB ≌△CFB ；（6）BH 平分∠AHC ；GF ∥AC
H F
G
E D
例2：如果两个等边三角形△ABD 和△BCE ，连接AE 与CD ，证明： （1）△ABE ≌△DBC ；（2）AE=DC ；（3）AE 与DC 的夹角为60°； （4）AE 与DC 的交点设为H,BH 平分∠AHC
E
B
A
例3：如果两个等边三角形△ABD 和△BCE ，连接AE 与CD ，证明： （1）△ABE ≌△DBC ；（2）AE=DC ；（3）AE 与DC 的夹角为60°； （4）AE 与DC 的交点设为H,BH 平分∠AHC
H
B
例4：如图，两个正方形ABCD 和DEFG ，连接AG 与CE ，二者相交于H 问：（1）△ADG ≌△CDE 是否成立？（2）AG 是否与CE 相等？ （3）AG 与CE 之间的夹角为多少度？（4）HD 是否平分∠AHE ？ H F
A D
C
G
例5：如图两个等腰直角三角形ADC 与EDG ，连接AG,CE,二者相交于H.问 （1）△ADG ≌△CDE 是否成立？（2）AG 是否与CE 相等？
（3）AG 与CE 之间的夹角为多少度？（4）HD 是否平分∠AHE ？
H G
A D
例6：两个等腰三角形ABD与BCE，其中AB=BD,CB=EB,∠ABD=∠CBE，连接AE与CD. 问（1）△ABE≌△DBC是否成立？
（2）AE是否与CD相等？（3）AE与CD之间的夹角为多少度？
（4）HB是否平分∠AHC？
E
H
A
B
C
例7：如图，分别以△ABC 的边AB、AC 同时向外作等腰直角三角形，其中 AB =AE ，AC =AD，∠BAE =∠CAD=90°，
点G为BC中点，点F 为BE 中点，点H 为CD中点。

探索GF 与GH 的位置及数量关系并说明理由。

例8：如图1，已知∠DAC=90°，△ABC是等边三角形，点P为射线AD任意一点（P与A不重合），连结CP，将线段CP绕点C顺时针旋转60°得到线段CQ，连结QB并延长交直线AD于点E.
（1）如图1，猜想∠QEP=_______°；
（2）如图2，3，若当∠DAC是锐角或钝角时，其它条件不变，猜想∠QEP的度数，选取一种情况加以证明；
（3）如图3，若∠DAC=135°，∠ACP=15°，且AC=4，求BQ的长．
例9：在△ABC 中，AB AC =，点D 是射线CB 上的一动点（不与点B 、C 重合），以AD 为一边在AD 的右侧作△ADE ，使AD AE =，DAE BAC ∠=∠，连接CE ．
1）如图1，当点D 在线段CB 上，且90BAC ∠=︒时，那么DCE ∠=_______度； （2）设BAC α∠=，DCE β∠=．
①如图2，当点D 在线段CB 上，90BAC ∠≠︒时，请你探究α与β之间的数量关系，并证明你的结论； ②如图3，当点D 在线段CB 的延长线上，90BAC ∠≠︒时，请将图3补充完整，并直接写出此时α与β之间的数量关系．
（3）结论：α与β之间的数量关系是____________．
例10：在ABC ∆中，2AB BC ==，90ABC ∠=︒，BD 为斜边AC 上的中线，将ABD ∆绕点D 顺时针旋转
α(0180α︒<<︒)得到EFD ∆，其中点A 的对应点为点E ，点B 的对应点为点F ，BE 与FC 相交于点H . （1）如图1，直接写出BE 与FC 的数量关系：____________; （2）如图2，M 、N 分别为EF 、BC 的中点.求证：MN =__________;
（3）连接BF ，CE ，如图3，直接写出在此旋转过程中，线段BF 、CE 与AC 之间的数量关系： .
当堂练习：
1：在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D在射线BC上（与B、C两点不重合），以AD为边作正方形ADEF，使点E与点B在直线AD的异侧，射线BA与射线CF相交于点G．若点D在线段BC上，①依题意补全图1；
②判断BC与CG的数量关系与位置关系，并加以证明；
2：已知：如图，点C为线段AB上一点，ACM
∆的
∆、MCB
∆是等边三角形．CG、CH分别是ACN
∆、CBN
高．求证：CG CH
=．
3：如图，已知ABC
+相等的理由．∆和ADE
∆都是等边三角形，B、C、D在一条直线上，试说明CE与AC CD
4：已知，如图，P是正方形ABCD内一点，且::1:2:3
∠的度数．
PA PB PC=，求APB
5：如图所示，P是等边ABC
∆中的一点，2
PA=，23
PB=，4
PC=，试求ABC
∆的边长.
6：在Rt△ABC中，90
ACB
∠=︒，D是AB的中点，DE⊥BC于E，连接CD．
（1）如图1，如果30
A
∠=︒，那么DE与CE之间的数量关系是___________．
（2）如图2，在（1）的条件下，P是线段CB上一点，连接DP，将线段DP绕点D逆时针旋转60°，得到线段DF，连接BF，请猜想DE、BF、BP三者之间的数量关系，并证明你的结论．
（3）如图3，如果Aα
∠=（090
α
︒<<︒），P是射线CB上一动点（不与B、C重合），连接DP，将线段DP绕点D逆时针旋转2α，得到线段DF，连接BF，请直接写出DE、BF、BP三者之间的数量关系（不需证明）．
D
B
F
E
D
A
B
E
D
A
B
C C C
P
A
E
课后练习：
1：在ABC △中，AB AC =，BAC ∠=α()060︒<α<︒，将线段BC 绕点B 逆时针旋转60︒得到线段BD ．
（1）如图1，直接写出ABD ∠的大小（用含α的式子表示）；
（2）如图2，150BCE ∠=︒，60ABE ∠=︒，判断ABE △的形状并加以证明；
（3）在（2）的条件下，连结DE ，若45DEC ∠=︒，求α的值
2：如图，△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，边BA 绕点B 顺时针旋转α角得到线段BP ，连结PA ，PC ，过点P 作PD ⊥AC 于点D ．
（1）如图1，若α=60°，求∠DPC 的度数；
（2）如图2，若α=30°，直接写出∠DPC 的度数；
（3）如图3，若α=150°，依题意补全图，并求∠DPC 的度数．
3：在△ABC 中，AB AC =，将线段AC 绕着点C 逆时针旋转得到线段CD ，旋转角为α，且0180α︒<<︒，连接AD 、BD ．
（1）如图1，当100BAC ∠=︒，60α=时，CBD ∠的大小为_________；
（2）如图2，当100BAC ∠=︒，20α=︒时，求CBD ∠的大小；
（3）已知∠BAC 的大小为()60120m m ︒<<︒，若CBD ∠的大小与（2）中的结果相同，请直接写出α的大小
4：如图1，正方形ABCD 与正方形AEFG 的边()AB AE AB AE <、在一条直线上，正方形AEFG 以点A 为旋转中心逆时针旋转，设旋转角为α，在旋转过程中，两个正方形只有点A 重合，其它顶点均不重合，连接BE DG 、．
（1）当正方形AEFG 旋转至如图2所示的位置时，求证：=BE DG ；
（2）当点C 在直线BE 上时，连接FC ，直接写出FCD ∠的度数； （3）如图3，如果45242AB AE α=︒==，，，求点G 到BE 的距离
5：将等腰Rt ABC △和等腰Rt ADE △按图1方式放置，90A ∠=︒，AD 边与AB 边重合，2AB =，4AD =．
将ADE △绕点A 逆时针方向旋转一个角度()α0α180︒≤≤︒，BD 的延长线交直线CE 于点P ．
（1）如图2，BD 与CE 的数量关系是__________，位置关系是__________；
（2）在旋转的过程中，当AD BD ⊥时，求出CP 的长；
（3）在此旋转过程中，求点P 运动的路线长．
6：△ABC 中，45ABC ∠=︒，AH ⊥BC 于点H ，将△AHC 绕点H 逆时针旋转90°后，点C 的对应点为点D ，直线BD 与直线AC 交于点E ，连接EH ．
（1）如图1，当∠BAC 为锐角时，
①求证：BE ⊥AC ；②求∠BEH 的度数；
（2）当∠BAC 为钝角时，请依题意用实线补全图2，并用等式表示出线段EC ，ED ，EH 之间的数量关系．
7：如图1，在ACB ∆和AED ∆中，AC BC =，AE DE =，90ACB AED ∠=∠=︒，点E 在AB 上，F 是线段BD 的中点，连接CE 、FE ．
（1）请你探究线段CE 与FE 之间的数量关系（直接写出结果，不需要说明理由）；
（2）将图1中的AED ∆绕点A 顺时针旋转，使AED ∆的一边AE 恰好与ACB ∆的边AC 在同一条直线上（如图2），连接BD ，取BD 的中点F ，问（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由；
绕点A顺时针旋转任意的角度（如图3），连接BD，取BD的中点F，问（1）中的结（3）将图1中的AED
论是否仍然成立，并说明理由．。