提高中学生数学解题能力的途径探索

浅谈教学中培养中学生数学解题能力的方法
摘要：培养中学生数学解题能力不但对开展中学生的各方面能力有重要作用，而且更能有效地提高中学数学教学质量。

在注重数学解题研究后，解题也一度把我国数以万计的中学生推入题海的旋涡，使他们如牛负重，苦不堪言。

从而在教学中培养中学生数学解题能力有着重要意义。

在本文中，我通过自己的所读所闻所感，利用一些案例和教材中的实例来阐述自己在教学中培养学生数学解题能力一些小小的看法：注重数学根底知识，完善中学生数学知识结构，是培养中学生的数学解题能力的根本前提；充分利用教材和反例，善于运用一题多变和一题多解，注意与学生一起探讨解题方法和总结要点等等。

在情感方面，通过数学趣味题和实际生活问题来调动学生的数学解提兴趣，注重数学解题习惯和兴趣的培养。

关键词：中学数学解题；数学解题能力；中学生数学解题兴趣
一、中学数学解题概述
1.1 中学数学习题的种类
中学阶段的数学习题成千上万，形形色色，可以有各种分类方法。

按内容来分，可以分为几何，代数，数论，组合数学等，其中代数包括方程，等式，不等式，函数等。

几何包平面几何，立体几何，解析几何，以及一些组合几何，几何不等式。

三角现在已经不作为独立的学科，往往归入代数中。

按问题的结论来分，可以分为计算题，求解题，证明题。

计算题大多数比拟容易，往往用于稳固所学的运算法那么，培养运算能力。

如初中以多项式的运算为主，求解题比运算题稍难，结论往往不能由计算得出，需要通过列方程，或公式变换等手段才能化为计算题；证明题通常更难一些，着重培养推理能力。

从形式上分为选择题，填空题，综合题。

前两者有人称为客观题，因为答案唯一，便于使用计算机评分。

其实很多项选择择题或计算题仍需要计算或推理，只是掠去了过程。

长期做大量的选择题和填空题对智力的开展有害无益。

反之，到是做好了综合题，做选择题和填空题也一定得心应手。

综合题即所谓的大题，应该进一步分类〔如：分为计算，求解，证明三大类〕。

从数学教学内容的设置不同和作用不同，可以分为导入教学而设置的习题，典型示范而设置的习题，稳固“双基〞而设置的习题和训练学生而设置的习题，复习题和总复习题。

1.2 中学数学解题的方法
中学数学解题中常用的解题方法有分析法，综合法，归纳法，反证法等推
理方法，还有常用的转化通法有换元法，拆补法，消元法，待定系数法，分域法，构造法等。

1.3 中学数学解题能力的意义
中学数学解题对于开展中学生的能力具有极其重要的作用。

有效地进行数学习题的解决，特别有助于增进数学思维能力，培养勇于创新的精神。

在当今科技突飞猛进，人类知识积累急剧增加的时代，不仅要培养学生具有现代科学的系统才根底知识和根本技能，更要教会学生思考，具有独立的，创造性解决问题的能力。

“问题是数学的心脏，问题解决是数学教育的核心。

〞古往今来，无论是学习数学还研究数学都离不开数学问题和数学问题的解决。

美国20世纪80年代掀起了数学改革高潮，其中心就是数学解题。

在注重数学解题研究后，解题也一度把我国数以万计的中学生推入题海的旋涡，使他们如牛负重，苦不堪言。

其实解决这一问题的有效方法就是培养中学生数学解题能力，从方法的高度来驾驭数学习题的解决，使广阔学生从题海的桎梏中解脱出来。

从宏观意义来讲，培养数学解题能力是数学发现，创造的关键动力。

从微观意义来讲，在数学教学和数学学习中，培养中学生数学解题能力不但是数学教育的一项重要任务，同时有效地提高数学教学质量，而且提高了学生的思维水平，学以至用，真正懂得数学的价值。

二、在教学中培养中学生数学解题能力的方法
2.1 高效的解题教学
中学生数学解题能力可以直接反响中学生对数学教学内容的理解，应用状况，并且在数学解题的不断实践中也更能稳固和加深知识点的认识。

于是，在教学中培养中学生数学解题能力，要使学生领悟，理解，掌握，运用数学的方法，逃离题海漩涡，就需要通过精心的教学设计和课堂`上的教学活动过程，沟通课本与学生认识，在教师的指导，学生参与下完成。

2.1.1 挖掘教材在例题中觅解题方法
无论是提高教学质量，还是培养中学生数学解题能力，我们都不可以抛开课本，教材，纸上谈兵。

数学教材中蕴涵了许多数学思想方法和解题方法，值得深究，以便于在教学中让学生体会到教材对他们解题大有裨益。

大多数中学
生都几乎不看课本，觉得课本知识太浅，一看就动，没有什么价值，并没有挖掘到其中的思想方法。

比方高二课本中第七章圆锥曲线第一节椭圆的标准方程，这一节内容中关于求椭圆的标准方程就不仅是在求椭圆的标准方程，而且也是在介绍求其他锥曲线的一般方法和步骤。

这里就需要向学生重点讲解和指明其中的解题方法，对于以后类似题目可以用类似的解题方法。

所以要挖掘教材中的数学解题方法，提高自身数学修养，同时以启示学生。

有理数乘法法那么的讲述，在新教材中就充分运用了数形结合和归纳推理的方法，较旧教材中注重由一般到特殊就演绎推理降低了难度而又不失科学性。

教师可以给学生介绍这两种根本而又常用的解题方法。

又如：
在二元一次方程组的应用局部，有一道题的解法与旧教材的解法不同，用了“整体代入〞的解题方法，在以后的学习中将广为使用。

同时，这也是对字母代替数的更深刻的理解。

无论是教材，还是教学，数学例题都是其一个重要的组成局部，遍布于中学数学教学过程之中，其内容不仅包括引进概念，形成命题，归纳公式，运用法那么等知识的发生，开展过程中的问题，也包括知识应用过程中的例题，练习题，习作题，，复习题和总复习题。

而从教学的角度，我们可以把数学例题分为导入教学而设置的例题，典型示范而设置的例题，稳固“双基〞而设置的例题和训练学生而设置的例题。

不同形式的教学内容匹配适当的例题，进行精心地安排，合理组织训练；由简到繁，由易到难，有条理地组成一个突出重点，分散难点的整体系统；特别地，在习题课中，除了要求例题的选配有具有目的性，典型性，启发性和延伸性等特点外，注意将数学例题进行归类，由一道题的解法向学生揭示类似题目的根本解题方法和步骤，从中领悟知识方法要点，熟悉标准解答。

通过以上介绍，可以有效激发学生的解题兴趣，潜移默化地使学生自己不断总结解题方法，把书本越读越薄，培养中学数学解题能力。

2．2．2 反例的应用
事物往往是互为因果的，具有双向性和可逆性的特征,如果正向思维受阻,那么,“顺难那么逆,直难那么曲,正难那么反〞,顺向推导有困难时就逆向推导,直接证明有困难时就间接证明,正面求解有困难就反向找,探求问题的可能性有困难是就探求不能性。

“司马光砸缸〞那传诵千古的魅力根源于反向思考,逆向思
维。

解决中学数学问题时,大多数是从条件出发,借助于一些具体的模式和方法,进行正面的,顺向思考。

这种思考在思维方向上具有定向性,层次性和聚合性,弊端是容易形成某种思维定势。

教师对这一点要尤为重视。

在教学中通过学生易错的题目,反例让学生逆向思考,拓展学生的解题思路,提高学生的数学解题能力。

在具体的数学教学中,可以用分析法,逆推法,反证法,同一法,举反例等解题方法,让学生自己也逐渐学会应用反向思考,反例消除在解题中的一些疑惑,数学思维严密,也可以提高中学生数学解题的速度和准确率。

例1
是无理数。

讲解 条件实在太空,太少,以至于正面推导一小步都很困难。

按照
“正难那么反〞的策略,
为有理数,那么存在a ,b ∈N +,(a ,b )=1, 使a b
. ①
这样
是就具体了,可供使用的条件也增多了.
由①有2222b a b a b <<⎧⎨=⎩
=2b a =a b =2b a a b --. 记112a b a b a b =-⎧⎨=-⎩; 那么1a ,1b ∈N, a >1a ,b >1b ,
a
b =11
a b 同理,可得无限个i a ,i b ∈N +(i=1,2,……)满足
a >1a >2a ……,
b >1b >2b ……,
a
b =11a b =22
a b =…… 但小于a (或b )的自然数只有有限个。

矛盾,
是无理数。

例2 解不等式
1x ≥-
讲解 正面求解需解两个不等式组
222152010152(1)x x x x x x ⎧+-≥⎪-≥⎨⎪+-≥-⎩
或 2152010x x x ⎧+-≥⎨-<⎩
反面的思考是,
1x <-, 即
222152010152(1)x x x x x x ⎧+-≥⎪->⎨⎪+-<-⎩
即
3511x x x ⎧-≤≤⎪>⎨⎪<-⎩
或3511x x x ⎧-≤≤⎪>⎨⎪>+⎩ 得
<1x ≤+再求不等式在存在域[]3,5-
上的补集3,1⎡-+⎣,此即为原不等式的解集。

由上面的例子可以看到,从问题的相反方向或否认形式出发,思考常能产生新的观念,它在正向思考受阻时,作用特别大(当然,正向思维顺畅仍有重要作用)。

但是,不能忘了,反向思考,应用反例都是建立在正向思维方法的根底上的,注重把正向思考与逆向思考结合起来,把论证与反例结合起来。

每次数学考试后,我们常常会发现这样一些学生,将一些完全可以做对的考题解错了,总是埋怨自己太粗心了,但下次考试又犯类似的错误。

心理学研究说明粗心是由于思维不严密造成的,思维的严谨性与一个人的气质有关。

要改变一个人的气质很困难,需要通过长期的训练才可能实现。

在教学的实践说明,在教学过程中,经常地培养学生重视自己的错误,进行解题后的反思,及应用反例,可以有效地克服学生解题粗心的现象,提高学生的数学解题能力。

我们可以从以下几个方面入手：
① 利用易错的典型题目,引导学生反思条件是否充分利用
某些数学习题的条件的内涵很丰富,需要通过仔细分析才能理解透彻,如果单从外表去分析,常常会使条件的利用价值降低,导致所给的问题的解集范围无形中扩大。

例3 设0ab <,1a b +=,二项式()9
a b +按a 的降幂排列展开后,第二项不大于第
三项,求a 的取值范围。

众多的学生给出的解答如下:
27229T C a b =, 27239T C a b =, 由 23T T ≤ 得 872936a b a b ≤, 即224a b ab ≤. (*)
0,4.ab a b <∴≥. 将1a b +=变形为1b a =-,代入(*) 式
得()41a a ≥-,由此得45
a ≥。

上述解答看起来条理清楚,推理过程步步有依据,条件都完全利用,
因此解答结果似乎正确。

但是,通过仔细分析可以发现,上述解答结果是错误的,错误的原因引导学生作如下的反思:
⑴题目给出的条件:是否充分利用?
⑵由0ab <,1a b += 能否得出a 的一个取值范围? 假设能,这个取值范围与上述答复结果一致吗?
通过反思,学生很容易发现,条件0ab <,1a b +=没有充分利用,由
0ab <,1a b +=可以得出a 的取值范围是a <0或a >1。

符合条件的a 的正确取值范围应该由不等式组045a a <⎧⎪⎨≥⎪⎩或145a a >⎧⎪⎨≥⎪⎩ 确定,由此得a >1。

用一些条件不易充分利用的典型例子,以学生的错解作为反面教
材,引导学生进行反思,可以有效地培养学生认真审题,充分利用以知条件的好习惯,从而培养学生的数学解题能力。

② 用易错的典型题目,引导学生反思隐藏条件是否发现
有一些数学习题,它的条件由两部构成,一局部是明显的,另一局部是隐蔽的。

这就需要我们在解题过程中仔细分析,合情推理才能发现,这类数学问题很容易导致错解现象的发生,请看下面这个例子：
例4 圆()2
221x y -+=与抛物线()220y px p =>有公共点,
求p 的取值范围。

学生认为这是一道简单题目,因为他们知道,两曲线有公共点的问题等价于由两曲线的方程组成的方程组有实数解的问题。

因此,众多的学生容易给出如下的解法:
由 ()()2222120x y y px p ⎧-+=⎪⎨=>⎪⎩ , 可得 ()22430x p x +-+= (*) 圆()2
221x y -+=和抛物线()220y px p =>存在公共点,方程(*)应存在实根,由此得()20,24120p ∆≥∆=--≥,联系p >0
解之得02p <≤,
或2p ≥+. 上述解答从推理过程看,步步有依据,不存在什么问题,但是通过仔细发现 果是错误的,其原因引导学生作如下反思:
⑴圆与抛物线有公共点存在隐蔽条件吗?假设有,试求出隐蔽条件。

⑵分析隐蔽条件对p 的取值范围有影响吗?假设有,试根据隐蔽条件求出p 的取值的正确范围。

学生通过反思容易发现,圆()2221x y -+=与抛物线()220y px p =>有公共点存在隐蔽条件13x ≤≤(圆与抛物线的公共点应在圆()2221x y -+=()221x -≤,即13x ≤≤.这个隐蔽条件对p 的取值范围有影响。

正确的理解应该是:方程()22430x p x +-+=的两根应在区间[]1,3内,由此得正确的解法如下:
令 ()()2243,f x x p x =+-+
由 ()()()224120421321030
p p f f ⎧∆=--≥⎪-⎪<<⎪⎨⎪>⎪⎪>⎩
得02p <≤ 即为所求. 利用一些存在隐蔽条件的典型例子,让学生从错解中反思。

可以有效地培养学生分析和寻找隐蔽条件的能力。

③ 利用易错的典型题目,引导学生反思分析与推理是否合理
有一些数学习题概念性很强,假设对概念的内涵理解不透彻,就会导致错解的现象的发生。

请看下面的例子:
例 5 给出如下命题: 有两个面互相平行,其
余各面都是平行四边形的几何体一定是棱柱。

判断
这个命题的真假。

多数学生都认为这是一个真命题。

因为他们一
时找不出反例来否认这个命题.善于动脑筋的学生
甲很快构造出一个反例模型〔如图1〕,在一个长方
体IJKL-EFGH 的上面放上一个平行六面体
EFGH-ABCD,这个几何体满足题设的条件,但它不满足棱柱的定义.因此它不是棱柱。

由此可得出所给出命题是假命题。

图1 学生甲给出这个反例模型之后,众多学生顿时醒悟了,觉得学生甲的判断正确.此时,教师引导学生作如下反思:
⑴学生甲对棱柱的概念理解对吗?
⑵用图1否认所给的命题合理吗?
教师提出这两个问题之后学生顿时惊讶,认为学生甲的判断正确合理,无可非议。

此时教师再引导学生反思:
⑶图1给出的几何体是凸多面体还是凹面体?棱柱是凹面体吗?
学生容易看出,图1所示的凹多面体,也容易从教材给出的图2看出,棱柱应该是凸多面体。

教师趁势引导学生反思:
⑷棱柱是凸多面体,用图1所示的凹多面体来否认与棱柱概念有关的命题合理吗?
此时,多数学生突然意识到学生甲用凹多面体作为反例来否认与棱柱有关的概念是不合理的,应该在凸多面体集合中去寻找反例。

这样的反例寻找很困难,教师可给出图3所示的模型作为反例,让学生观察分析。

通过观察分析,他们明白了学生甲给出的反例为什么不合理。

错误的原因源于对棱柱的概念理解不深刻。

通过以上的反思,使学生加深了对棱柱概念的理解,培养了学生对解题的合理性进行细心推敲的反思的习惯。

在教学过程中,经常利用一些易错的典型例子,引导学生进行解题后的反思,可以有效地克服学生解题粗心的现象,培养学生思维的严谨性,大大地提高了学生的数学解题能力。

2.2.3 课堂中渗透解题思想，引导学生总结解题方法
在教学中，要培养中学生数学解题能力，除了抓好根底知识，根本能力的学习与培养外，更重要的是解题实践——分析解题思路，探求解题途径，发现解题规律，掌握解题方法。

这就要求在教学中做好以下几个方面的工作：①有方案地指导学生，帮助学生掌握解题的科学程序。

就是把整个解题过程：分析解题思路，探求解题途径，发现解题规律，掌握解题方法，是解题过程程序化，就能使学生对解题总过程有一个有序框架，形成一种思维定势和化归的趋势，做到目标清楚，思维方向明确。

为此，在教学中对于所有例题的讲解及示范解题，都要充分展现解题过程的四个程序及每个程序进行的过程，并且不断给以总结，反复强调，使学生在日积月累的熏陶中去掌握解题程序，领悟各程序中
思维的方向和思维的进程。

当然，这样做就必须要求教师事先要对例题的选取和设计进行深入研究，对例题的目的意图，隐含条件的析取，干扰信息的排除，思维偏差的纠正，解题策略的制定，解题关键的把握以及解题后的开拓和引伸等都要做到心中有数。

②有目的有意识渗透，介绍和突出有关数学思想方法。

在进行教学中，一般可以前面我们对数学特征几中学数学内容分析的数学思想方法中考虑，应渗透，介绍或强调哪些数学思想，要求学生在什么层次上把握数学解题方法，是了解，是理解，是掌握，还是灵活运用。

然后进行合理的教学设计，从教学目标确实定，问题的提出，情景创设，到教学方法的选择，整个教学过程都要有目的有意识的进行数学思想方法教学。

比方：
化归是一种数学解题的重要的思想方法和解题策略，因此，我们可以把它作为一个指导思想方法渗透在教学过程中，根据具体的教学内容。

通过渗透，介绍，强调等不同方式，让学生体验，学习这一思想方法。

解方程时，一般总是考虑将分式方程化归为整式方程，无理方程化归为有理方程，超越方程化归为代数方程；处理立体几何问题时，一般考虑把空间问题化归为到一个平面上〔这个平面一般是几何体的某个面，或某个辅助面〕，再用平面几何的结论和方法去解决；在解析几何中，一般可考虑通过建立恰当的直角坐标系，把几何问题化归为代数问题去处理，；有关复数的问题，可通过其代数形式或三角形式化归为实数问题或三角问题加以解决。

教师应指导学生从一招一式的解题方法和不同题型的反复练习中提炼概括出一般规律和有关的解题方法。

教师还可以结合具体对象内容，渗透重要的意识和观点，介绍相应的方法：在有理数的有关内容中，渗透数形结合的思想和矛盾统一的观点；在代数式中，初步突出抽象的思想，数学形式化的观点和分类讨论的方法；在平面几何中渗透和介绍几何变换的思想方法，运动变化的观点；在解方程和解不等式中强调等价转换的思想方法；在立体几何和二次曲线中强调类比——猜测——证明的发现过程，渗透创新意识等等。

总之，我们本着从能力的角度出发，通过潜移默化地渗透思想方法，使学生能够利用解题方法来驾驭千变万化的数学习题，培养学生的数学解题能力。

③帮助学生掌握解题的策略和转化的解题方法。

探索解题途径，主要是根据审题提供的依据，制定解题策略，探索解题方向〔转化命题是关键〕，沟通靠
拢条件，把所面临的问题逐步靠拢和转化为既定解法和程序的标准问题，然后利用的理论，方法和技巧。

实现问题的解决。

因此，在教学中，必须结合例题的示范教学，有方案，有目的地帮助学生掌握解决数学问题的策略原那么，培养学生的数学解题能力。

2.2.4 注意一题多变与一题多解
所谓一题多变，就是指同一个题目适当变换，变化为多个与原题内容不同，但解法相同或相近的题目，这有利于扩大学生的视野，深化知识，举一反三，触类旁通，从而提高解题能力。

同一道题，同样的条件，从不同的角度出发，可以提出不同的问题。

如解答“五一班有学生４５人。

女生占４／９，女生有多少人？〞这本来是一道很简单的题目。

教学中，老师往往会因学生很容易解答，而一晃而过，无视发散思维的训练。

对于这样的题型，老师要执意求新，变换提出新的问题。

如再提出如下问题：〔１〕男生有多少人？〔２〕全班有多少人？〔３〕男生比女生多多少人？〔４〕男生是女生的几倍？〔５〕女生是男生的几分之几？等等。

这样，可以起到“以一当十〞的教学效果。

像同一道题，老师还可以从分析上多提问，从解法上多提问，从检验上多提问，进行多问启思训练，培养学习思维的灵活性。

通常，教学中的变条件、变问题、条件和问题的互换等，都是一题多变的好形式，但是，变题训练要掌握一个原那么，就是要在学生较牢固的掌握法那么、公式的根底上，进行变题形练。

否那么，将淡化思维定势的积极作用，不利于学生牢固地掌握知识。

一题多解：同一道题，同样的条件，从不同的角所谓一题多解，就是同一个题目，可能考虑多种不同的解法。

强调一题多解，有利于培养学生综合运用数学知识的能力。

例如某些几何问题可用代数法、三角法、解析法来解决等等。

在解题时，要经常注意引导学生从不同的方面，探求解题途径，以求最正确解法。

例如“某村方案修一条长１５０米的路，前３天完成了方案的２０％，照这样计算，完成这条路还需多少天？〞首先老师要学生用多种方法解。

在学生没有学习工程问题时，解法一般集中在以下三种上：①〔１５０－１５０×２０％〕÷〔１５０×２０％÷３〕＝１２〔天〕；②１５０÷〔１５０×２０％÷３〕－３＝１２〔天〕；③１５０×〔１－２０％〕÷〔１５０×２０％
÷３〕＝１２〔天〕。

针对这些解法，老师要善于引导学生比拟三种方法的异同点，总结出“三种方法中都运用了全程１５０米〞这一条件的共性。

针对这一共性，老师可打破思维定势，启迪学生的新思维：“假设把１５０米当作一条路〔用１来表示〕，还可以怎样解答？〞这一点拨，学生很容易发现如下解法：④３×［〔１－２０％〕÷２０％］＝１２〔天〕；⑤１÷〔２０％÷３〕－３＝１２〔天〕；⑥３÷２０％－３＝１２〔天〕。

综上六种解法，显然后三种解法〔尤其是解法⑥〕，列式简洁，想象丰富，充分可以显示学生思维的灵活性。

在课堂教学中，教师要善于激活学生的思维，使数学解题方法渗透与课堂教学的内容之中，真正从课堂上培养学生的数学解题能力。

三、教学中应引起注意的问题
虽然以上谈到许多的提高中学生数学解题能力的途径，但在实践中我们还是需要与实际情况相联系，在数学解题教学中应引起以下几个注意的问题：
①精练所学知识与题海战术之间没有明确的分界线，所以教师
在教学中容易在无形中走上题海战术的道路上，使学生负担过重，对数学学习产生厌学情绪。

所以教师需要把握好精练所学知识的度，比方对一种类型的题目练个不停，也容易使学生形成思维定式，做其他题目就像条件反射一样想到练习的那类题目的解题方法，当然也要结合自己班级的实际情况。

如果教师在数学解题教学中发现学生通过精练所学知识对自己的解题能力都没有太大帮助，此时就不要让其一味做大量习题，应该从其他方面找原因，帮助学生解决困难。

②思维定势的积极作用与消极作用。

我们对题型进行分类，讨论练习的过程中，学生很容易形成思维定势。

我们要充分利用思维定势的积极性，比方形成固定模式，提高解题效率；但要注意思维定势的消极性，比方在上一章介绍的定期进行趣味题与实际生活问题的应用介绍，来尽量减少思维定势的消极性，开拓学生的解题思路及创新意识。

总之，在数学教学中，提高学生的数学解题能力已成为我们的一项重要任务。

教师在数学教学过程中应当注意结合自己班级的实际情况，对症下策，并不断进行教学反思，从而有效地提高学生的数学解题能力。