高三订正过的数学试卷

一、选择题（每题5分，共50分）
1. 已知函数$f(x) = 2x^2 - 4x + 1$，其对称轴为：
A. $x = 1$
B. $x = -1$
C. $y = 1$
D. $y = -1$
【答案】A
【订正说明】原答案为B，经检查，对称轴公式为$x = -\frac{b}{2a}$，代入$a = 2$，$b = -4$，得$x = 1$。

2. 在三角形ABC中，$∠A = 60°$，$AB = AC = 2$，则$BC$的长度为：
A. $2\sqrt{3}$
B. $2$
C. $2\sqrt{2}$
D. $4$
【答案】A
【订正说明】原答案为C，经检查，由余弦定理$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos A$，代入$AB = AC = 2$，$∠A = 60°$，得$BC =
2\sqrt{3}$。

3. 下列函数中，是奇函数的是：
A. $f(x) = x^2 + 1$
B. $f(x) = x^3$
C. $f(x) = |x|$
D. $f(x) = x^4 + 1$
【答案】B
【订正说明】原答案为A，经检查，奇函数满足$f(-x) = -f(x)$，代入选项B，$f(-x) = (-x)^3 = -x^3 = -f(x)$，故B为奇函数。

4. 已知数列$\{a_n\}$的通项公式为$a_n = 3^n - 2^n$，则数列$\{a_n\}$的前$n$项和$S_n$为：
A. $S_n = (3^n - 2^n)n$
B. $S_n = \frac{3^{n+1} - 2^{n+1}}{2} - 3$
C. $S_n = \frac{3^{n+1} - 2^{n+1}}{2} - 1$
D. $S_n = \frac{3^{n+1} - 2^{n+1}}{2} + 3$
【答案】C
【订正说明】原答案为D，经检查，通过错位相减法计算前$n$项和，得$S_n =
\frac{3^{n+1} - 2^{n+1}}{2} - 1$。

5. 下列不等式中，正确的是：
A. $x^2 + 1 > 0$ 对所有实数$x$成立
B. $\sqrt{x^2} = |x|$ 对所有实数$x$成立
C. $x^3 > x$ 对所有实数$x > 0$成立
D. $\log_2(x^2) = 2\log_2(x)$ 对所有实数$x > 0$成立
【答案】A
【订正说明】原答案为C，经检查，选项A、B、C、D中，只有A选项对所有实数$x$都成立。

二、填空题（每题5分，共25分）
6. 若$|x - 2| + |x + 1| = 5$，则实数$x$的取值范围为______。

【答案】$x \in [-3, 2]$
【订正说明】原答案为$x \in [-2, 2]$，经检查，$|x - 2| + |x + 1|$的图像为折线，交点为$x = -3$和$x = 2$，故$x$的取值范围为$[-3, 2]$。

7. 函数$f(x) = x^3 - 3x + 2$的极值点为______。

【答案】$x = -1$和$x = 2$
【订正说明】原答案为$x = 1$，经检查，求导得$f'(x) = 3x^2 - 3$，令$f'(x) = 0$，解得$x = -1$和$x = 2$，代入原函数得$f(-1) = 4$，$f(2) = 0$，故极值点为$x = -1$和$x = 2$。

8. 已知向量$\vec{a} = (2, 3)$，$\vec{b} = (-1, 2)$，则$\vec{a} \cdot
\vec{b}$的值为______。

【答案】$-7$
【订正说明】原答案为$-5$，经检查，向量点积公式为$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2$，代入$\vec{a}$和$\vec{b}$的坐标，得$\vec{a} \cdot
\vec{b} = 2 \cdot (-1) + 3 \cdot 2 = -2 + 6 = 4$，故原答案有误。

9. 若数列$\{a_n\}$满足$a_1 = 1$，$a_n = a_{n-1} + 2^n$，则$a_5$的值为
______。

【答案】$49$
【订正说明】原答案为$31$，经检查，根据递推公式逐项计算得$a_2 = 1 + 2^2 = 5$，$a_3 = 5 + 2^3 = 21$，$a_4 = 21 + 2^4 = 49$，故$a_5 = 49$。

10. 若等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n = 2n^2 - n$，则数列的公差$d$为______。

【答案】$d = 4$
【订正说明】原答案为$d = 3$，经检查，等差数列的前$n$项和公式为$S_n =
\frac{n}{2}(a_1 + a_n)$，代入$S_n = 2n^2 - n$，解得$a_1 = 1$，$a_n = 4n - 1$，故公差$d = a_n - a_{n-1} = 4$。

三、解答题（每题15分，共45分）
11. 解下列方程组：
$$
\begin{cases}
x + 2y - 3 = 0 \\
2x - 3y + 1 = 0
\end{cases}
$$
【答案】$x = 2$，$y = 1$
【订正说明】原答案为$x = 1$，$y = 1$，经检查，通过消元法解方程组，得$x = 2$，$y = 1$。

12. 已知函数$f(x) = \frac{x^2 - 4x + 3}{x - 1}$，求函数的值域。

【答案】值域为$(-\infty, 3) \cup (3, +\infty)$
【订正说明】原答案为值域为$(-\infty, 3) \cup (3, +\infty)$，经检查，函数的定义域为$x \neq 1$，分母$x - 1$不为0，故值域为$(-\infty, 3) \cup (3,
+\infty)$。

13. 设数列$\{a_n\}$的通项公式为$a_n = 2^n - 3^n$，求$\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{3^n}$。

【答案】$\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{3^n} = -1$
【订正说明】原答案为$\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{3^n} = -\frac{2}{3}$，经检查，利用极限的性质和洛必达法则，得$\lim_{n \to \infty}
\frac{a_n}{3^n} = -1$。

以上为高三数学试卷的订正版，请同学们认真检查自己的答案，如有错误，及时纠正。