中考压轴题--圆含答案

中考压轴题（一)-—-———--与圆有关压轴题
1.如图,在M 中，AB 所对的圆心角为120，已知圆的半径为2cm ，并建立如图所示的直角坐标系． （1）求圆心M 的坐标； (2)求经过A B C ，，三点的抛物线的解析式；
（3)点D 是弦AB 所对的优弧上一动点,求四边形ACBD 的最大面积； （4）在（2）中的抛物线上是否存在一点P ，使PAB △和ABC △相似?若存在，
求出点P 的坐标；若不存在,请说明理由． [解］ （1）如图(1），连结MA MB ，． 则120AMB ∠=60CMB ∴∠=，30OBM ∠=．
1
12
OM MB ∴==，(01)
M ∴，． （2）由A B C ，，三点的特殊性与对称性， 知经过A B C ，，三点的抛物线的解析式为2y ax c =+．
1OC MC MO =-=，223OB MB OM =-=，
(01)(30)C B ∴-，，，．
113c a ∴=-=，2113y x ∴=-．
（3）
ABC ABD ACBD S S S =+△△四边形，又ABC S △与AB 均为定值，
∴当ABD △边AB 上的高最大时，ABD S △最大,此时点D 为M 与y 轴的交点，如图1．
2111
43cm 222
ABC ABD ACBD S S S AB OC AB OD AB CD ∴=+=
+==△△四边形···． (4）方法1：如图2，ABC △为等腰三角形，303AB
ABC BC
∠==，，
ABC PAB ∴△∽△等价于302336PAB PB AB PA PB ∠=====，，．
设()P x y ，且0x >，则cos3033323x PA
AO =-=-=·，sin303y PA ==·． 又
(233)P ，的坐标满足2113y x =-,∴在抛物线21
13
y x =-上，存在点(233)P ，，使ABC PAB △∽△．
由抛物线的对称性，知点(233)-，
也符合题意．∴存在点P ，它的坐标为(233)，或(233)-，． 方法2：
如图(3）,当ABC PAB △∽△时，30PAB BAC ∠=∠=，又由(1)知30MAB ∠=，
y
x
A
M O B
C
y x
B
C A M
P
图2
O y
x
A
M O
B
C
D
图1
∴点P 在直线AM 上．
设直线AM 的解析式为y kx b =+，
将(
30)(01)A M -，，，代入，解得3
31.k b ⎧=
⎪⎨⎪=⎩
，∴直线AM 的解析式为
3
13
y x =
+． 解方程组2313113y x y x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
，得(233)P ，
． 又3
tan 3233
PBx ∠==-，60
PBx ∴∠=．30P ∴∠=，
ABC PAB ∴△∽△．
∴在抛物线21
13
y x =-上，存在点(233)P ，
，使ABC PAB △∽△． 由抛物线的对称性，知点(233)-，
也符合题意．∴存在点P ,它的坐标为(233)，或(233)-，． 方法3：
如图3，ABC △为等腰三角形，且
3AB
BC
=，设()P x y ，则 图3 ABC PAB △∽△等价于23PB AB ==,36PA AB ==．
当0x >时，得2222
(3)23(3) 6.x y x y ⎧-+=⎪
⎨⎪++=⎩，解得(233)P ，
． 又
(233)P ，的坐标满足2113y x =-,∴在抛物线21
13
y x =-上，存在点(233)P ，，使ABC PAB △∽△．
由抛物线的对称性，知点(233)-，
也符合题意．∴存在点P ，它的坐标为(233)，或(233)-，． [点评]本题是一道综合性很强也是传统型的压轴题，涉及了函数、方程、相似、圆等大量初中数学的重点知识，解这
类问题要求学生必须稳固的掌握各个领域的数学知识，须注意的是在第4小问中涉及了相似三角形的问题,很有可能会有多解的情况出现，此时就要求学生拥有较强的数形结合思想去探索结论的存在性。

2。

(06湖南湘潭卷）已知:如图，抛物线2323333
y x x =-
-+的图象与x 轴分别交于A B ，两点，与y 轴交于C 点,
M 经过原点O 及点A C ，，点D 是劣弧OA 上一动点(D 点与A O ，不重合）．
（1)求抛物线的顶点E 的坐标；
（2）求M 的面积;
（3）连CD 交AO 于点F ，延长CD 至G ,使2FG =，试探究当点D 运动到何处时,直线GA 与M 相切，并请说明
理由．
[解] (1）抛物线2323333
y x x =-
-+ ()23321333
x x =-
++++ y E C M
A
F G
D O
B
)2
133x =-
++ E ∴
的坐标为1⎛- ⎝
⎭ （2）连AC ；M 过90A O C AOC =，，，∠AC ∴为O 的直径．
而3OA OC ==，
2
AC
r ∴== 23M
S
r ∴=π=π
（3）当点D 运动到OA 的中点时，直线GA 与M 相切
理由：在Rt ACO △
中，3OA OC ==
，tan ACO ==∠．
6030ACO CAO ∴==∠，∠点D 是OA 的中点AD DO ∴=
30ACG DCO ∴==∠∠tan301OF OC ∴==,60CFO =∠
在GAF △中，22AF FG ==，60AFG CFO ==∠∠AGF ∴△为等边三角形60GAF ∴=∠
90CAG GAF CAO ∴=+=∠∠∠ 又AC 为直径,∴当D 为OA 的中点时，GA 为M 的切线
[点评］本题将抛物线与圆放在同一坐标系中研究，因此数形结合的解题思想是不可缺少的，解第3小问时可以先自己作图来确定D 点的位置。

3．（06湖南永州卷）如图,以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的直径AD 交小圆于M N ，两点，大圆的弦AB 切小圆于点C ，过点C 作直线CE AD ⊥，垂足为E ，交大圆于F H ，两点． （1）试判断线段AC 与BC 的大小关系，并说明理由． （2）求证：FC CH AE AO =．
（3）若FC CH ，
是方程2
40x -+=的两根（CH CF >），求图中阴影部分图形的周长． ［解] (1）相等．
连结OC ，则CO AB ⊥，故AC BC =．
（2）由ACH FCB △∽△，得2
AC CB FC CH AC ==，
又由ACE AOC △∽△，得2
AC AE AO =． FC CH AE AO ∴=． (3）解方程得
:1CH =
，1CF =，
1)1CE ==，242AC AC ==，，
在Rt ACE △中，1
sin 2
CE A AC =
=，30A ∴=∠，60120AOC CON ∴==，∠∠． 在ACO △
中，tan 23CO AC A ==⨯
=
4sin 603AC
AO =
=
,333
AM AO OM =-=-=，
弧CN 长1423923
=
⨯π=
3
，22AN AM OC =+=+=，
A
阴影部分周长2
AC AN CN
=++=+．
[点评]本题是比较传统的几何型综合压轴题,涉及圆、相似、三角等几何重点知识。

4. （06辽宁卷)如图,
已知(10)(0
A E
-，，，,以点A为圆心，以AO长为半径的圆交x轴于另一点B,过点B作BF AE
∥
交A于点F，直线FE交x轴于点C．
(1）求证：直线FC是A的切线；
(2）求点C的坐标及直线FC的解析式；
（3）有一个半径与A的半径相等，且圆心在x轴上运动的P．若P与直线FC相交于M N
，两点，是否存在这样的点P，使PMN
△是直角三角形．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
［解］（1)证明：连结AF
AE BF
∥1342
∴∠=∠∠=∠
，
又AB AF
=34
∴∠=∠12
∴∠=∠
又AO AF AE AE
==
，
AOE AFE
∴△≌△90
AFE AOE
∴∠=∠=
FC
∴是O的切线．
(2）方法①由（1
）知EF OE
==
AE BF
∥，
AC CE
AB EF
∴
=
1
1
OC+
∴=
CE
∴=①
又222
OE OC CE
+=
,
2
22
2
CE CO
⎛
∴=+
⎝⎭
②
由①②解得0
OC=（舍去)或2
OC=,
直线FC
经过0
E
⎛
⎝⎭
，，(20)
C，两点设FC的解析式：y kx b
=+
20
k b
b
+=
⎧
⎪
∴⎨
=
⎪
⎩
解得
k
b
⎧
⎪⎪
⎨
⎪=
⎪⎩
∴直线FC
的解析式为y=．
方法②：CF切A于点F，90
AFC EOC
∴∠=∠=
又ACF OCE
∠=∠，COE CFA
∴△∽△，
OE CO
AF CF
∴
=2
1
∴=
2
CE-①
又222
OE OC CE
+=
，
2
22
CE CO
∴=+
⎝⎭
②
由①②解得0
CO=（舍去）或2
CO=(20)
C
∴，(求FC的解析式同上）．
方法③AE BF
∥,
AC CE
AB EF
∴
=
1
1
OC+
∴
CE
∴=+①
FC切A于点F，90
AFC COE
∴∠=∠=ACE OCE
∴∠=∠，COE CFA
∴△∽△
OE CO
AF CF
∴=
,2
1
∴=
CE
∴-②由①②解得：2
CO=，（求FC的解析式同上）．
x
（3）存在；
当点P 在点C 左侧时，若90MPN ∠=，过点P 作PH MN ⊥于点H ， 90MPN ∠=,PM PN =，2cos452
PH PM ∴=⨯=
AF FC ⊥，PH AF ∴∥，CPH CAF ∴△∽△PH CP
AF CA
∴=
，2
213CP ∴= 322CP ∴=
,32
22PO ∴=-，32202P ⎛⎫∴- ⎪ ⎪⎝⎭
， 当点P 在点C 右侧P '时，设90M P N '
''∠=，过点P '作P Q M N '''⊥于点Q ，则2
2
P Q '= P Q PH '∴=，可知P '与P 关于点C 中心对称，
根据对称性得
32
22OP OC CP ''∴=+=+32202P ⎛⎫'∴+ ⎪ ⎪⎝⎭， ∴存在这样的点P ,使得PMN △为直角三角形,
P 点坐标32202⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，或32202⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭
，． ［点评]本题是一道综合性很强的传统型压轴题，其难度比较恰当，选拔功能较强，解第3小题时要注意分类讨论，这
是本题最容易失分的地方
5. （06辽宁沈阳卷）如图,在平面直角坐标系中,直线3
13
y x =-
+分别与x 轴，y 轴交于点A ，点B ． (1）以AB 为一边在第一象限内作等边ABC △及ABC △的外接圆M （用尺规作图，不要求写作法，但要保留作图痕迹)；
（2）若M 与x 轴的另一个交点为点D ，求A ，B ,C ,D 四点的坐标;
（3）求经过A ，B ，D 三点的抛物线的解析式,并判断在抛物线上是否存在点P ,使ADP △的面积等于ADC △的面积？若存在，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标;若不存在，请说明理由．
［解] （1）如图，正确作出图形，保留作图痕迹 （2)由直线3
13
y x =-
+，求得点A 的坐标为(
)
30，，点B 的坐标为()01，
∴在Rt AOB △中，3OA =，1OB =
2AB ∴=，tan 3OA
OBA OB ==∠ 60OBA ∴=∠
9030OAB OBA ∴=-=∠∠
ABC △是等边三角形2CA AB ∴==，60CAB =∠
x
y
A
B
C
O P F M
E
H N
Q
P '
N '
M '
1 2
3
4
90CAD CAB OAB ∴=+=∠∠∠∴点C
的坐标为
)
2，连结BM
ABC △是等边三角形1
302
MBA ABC ∴==∠∠90OBM OBA MBA ∴=+=∠∠∠
OB BM ∴⊥∴直线OB 是M 的切线2OB OD OA ∴=213OD
∴
=OD ∴=
∴点D 的坐标为03⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
， （3）设经过A ，B ，D
三点的抛物线的解析式是(3y a x x ⎛⎫
=- ⎪ ⎪⎝
⎭
把()01B ，代入上式得1a =∴
抛物线的解析式是2
1y x =+ 存在点P ，使ADP △的面积等于ADC △的面积 点P
的坐标分别为12P ⎫⎪⎪⎝⎭
，22P ⎫
⎪⎪⎝⎭
． [点评］本题是一道综合性很强的压轴题，主要考查二次函数、一次函数、圆、几何作图等大量知识，第3小题是比较
常规的结论存在性问题，运用方程思想和数形结合思想可解决.
6。

已知：抛物线2
:(1)(2)M y x m x m =+-+-与x 轴相交于12(0)(0)A x B x ，，
，两点,且12x x <． （Ⅰ）若120x x <，且m 为正整数，求抛物线M 的解析式；（Ⅱ)若121
1x x <>，，求m 的取值范围; （Ⅲ）试判断是否存在m ，使经过点A 和点B 的圆与y 轴相切于点(02)C ，，若存在，求出m 的值;若不存在，试说明理由;
(Ⅳ）若直线:l y kx b =+过点(07)F ，,与(Ⅰ)中的抛物线M 相交于P Q ，两点，且使
1
2
PF FQ =，求直线l 的解析式． ［解] (Ⅰ）解法一：由题意得, 1220x x m =-<． 解得，2m <．
m 为正整数，1m ∴=．21y x ∴=-．
解法二:由题意知，当0x =时，2
0(1)0(2)0y m m =+-⨯+-<． 以下同解法一) 解法三：22(1)4(2)(3)m m m ∆=---=-， 12(1)(3)
122
m m x x x m --±-∴=
∴=-=-，，．
又
122020x x x m <∴=->，． 2m ∴<．（以下同解法一．）
解法四:令0y =，即2
(1)(2)0x m x m +-+-=，12(1)(2)012x x m x x m
∴++-=∴=-=-，，．（以下同解法三．）
(Ⅱ）解法一:
1212111010x x x x <>∴-<->，，，．12(1)(1)0x x ∴--<，
即1212()10x x x x -++<．
1212(1)2x x m x x m +=--=-，
(2)(1)10m m ∴-+-+<．解得 1m <m ∴的取值范围是1m <．
解法二:由题意知,当1x =时，
1(1)(2)0y m m =+-+-<． 解得：1m <．m ∴的取值范围是1m <．
解法三：由（Ⅰ）的解法三、四知，121
2x x m =-=-，．
121121x x m <>∴->，，， 1m ∴<．m ∴的取值范围是1m <．
（Ⅲ)存在．
解法一：因为过A B ，两点的圆与y 轴相切于点(02)C ，，所以A B ，两点在y 轴的同侧，120x x ∴>． 由切割线定理知，2
OC OA OB =， 即2122x x =．124x x ∴=，
12 4.x x ∴=2 4.6m m ∴-=∴=．
解法二：连接O B O C ''，．圆心所在直线11222
b m m
x a --=-
=-=
， 设直线12
m
x -=
与x 轴交于点D ，圆心为O '， 则122m O D OC O C OD -''====，．
2132
AB
AB x x m BD =-==-=
，， 32m BD -∴=．
在Rt O DB '△中， 2
2
2
O D DB O B ''+=． 即2
2
231222m m --⎛⎫⎛⎫
+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
．解得 6m =．
（Ⅳ）设1122()()P x y Q x y ，，，，则22
11221
1y x y x =-=-，． 过P Q ，分别向x 轴引垂线，垂足分别为11
2(0)(0)P x Q x ，，，．
则11PP FO QQ ∥∥．
所以由平行线分线段成比例定理知，11PO PF
OQ FQ
=．
因此，
1201
02
x x -=-,即212x x =-． 过P Q ，分别向y 轴引垂线,垂足分别为2122(0)(0)P y Q y ，，，， 则22PP QQ ∥．所以22FP P FQ Q △∽△．22P F FP
FQ FQ
∴
=． 127172y y -∴=-．12212y y ∴-=． 22
1222
11212(1) 1.2324 1.
x x x x ∴--=-∴-=- 2
1142x x ∴=∴=，,或12x =-． 当12x =时，点(23)P ，．直线l 过(23)(07)P F ，，
，, 7032.k b k b =⨯+⎧∴⎨=⨯+⎩， 解得72.
b k =⎧⎨=-⎩，
当12x =-时，点(23)P -，
．直线l 过(23)(07)P F -，，
，，
703(2).k b k b =⨯+⎧∴⎨
=⨯-+⎩， 解得72.
b k =⎧⎨=⎩，
故所求直线l 的解析式为：27y x =+，或27y x =-+．
7。

如图，在平面直角坐标系中,
已知点(B -，(0)A m
，(0)m <<,以AB 为边在x 轴下方作正方形ABCD ，
点E 是线段OD 与正方形ABCD 的外接圆除点D 以外的另一个交点，连结BE 与AD 相交于点F ．
（1）求证：BF DO =；
（2）设直线l 是BDO △的边BO 的垂直平分线,且与BE 相交于点G ．若G 是BDO △的外心，试求经过B F O ，，三点的抛物线的解析表达式；
（3）在（2)的条件下，在抛物线上是否存在点P ，使该点关于直线BE 的对称点在x 轴上？若存在，求出所有这样的点的坐标；若不存在，请说明理由． [解］ (1）在ABF △和ADO △中， 四边形ABCD 是正方形，90AB AD BAF DAO ∴===，∠∠． 又ABF ADO ABF ADO =∴∠∠，△≌△， BF DO ∴=．
（2）由（1）,有ABF ADO △≌△，AO AF m ==．∴点
()F m m ，．
G 是BDO △的外心，∴点G 在DO 的垂直平分线上．∴点B 也
在DO 的垂直平分线上．DBO ∴△
为等腰三角形，BO BD ==
．
而BO AB m m ==-=，
，
)
2m m ∴=∴=-，．
(2F ∴--．
设经过B F O ，，三点的抛物线的解析表达式为()2
0y ax bx c a =++≠．
抛物线过点()00O ，，0c ∴=．2
y ax bx ∴=+． ·
············· ①
把点()
B -
，点(2F --的坐标代入①中,得
(
(
(
(22
0222.a b a b ⎧=-+-⎪⎨⎪-=-+-⎩
，
即(02 1.b a b ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，
解得12a b ⎧=
⎪⎨⎪=⎩， ∴
抛物线的解析表达式为2
12
y x =
+． ··················· ② （3）假定在抛物线上存在一点P ,使点P 关于直线BE 的对称点P '在x 轴上．BE 是OBD ∠的平分线, x ∴轴上的点P '关于直线BE 的对称点P 必在直线BD 上，即点P 是抛物线与直线BD 的交点．
设直线BD 的解析表达式为y kx b =+,并设直线BD 与y 轴交于点Q ,则由BOQ △是等腰直角三角形．
OQ OB ∴=
．(0Q ∴-，
．
把点()
B -
，点(0Q -，代入y kx b =+中,得
0.
b b ⎧=-+⎪⎨
-=⎪⎩
，1k b =-⎧⎪∴⎨=-⎪⎩，
∴直线BD
的解析表达式为y x =--
设点()00P x y ，
，则有00y x =-- ···························· ③
把③代入②，得
2
00012
x x +=--
)2001102
x x ∴++=
，即
)
2
0210x x ++=．
(()00
20x x ∴++=
．解得0
x
=-02x =-．
当0x =-
00y x =--==;当02x =-
时，002y x =--=-．
∴
在抛物线上存在点(
)(1222P P ---，，，它们关于直线BE 的对称点都在x 轴上． 8。

在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 1经过点A (—2,0）和点B （0
，直线l 2
的函数表达式为y x =l 1与l 2相交于点P ．⊙C 是一个动圆，圆心C 在直线l 1上运动,设圆心C 的横坐标是a ．过点C 作CM ⊥x 轴,垂足是点M ．
（1） 填空：直线l 1的函数表达式是 ，交点P 的坐标是 ，∠FPB 的度数是 ；
(2) 当⊙C 和直线l 2相切时，请证明点P 到直线CM 的距离等于⊙C 的半径R ，并写出R =223-时a 的值。

（3) 当⊙C 和直线l 2不相离时，已知⊙C 的半径R =223-,记四边形NMOB 的面积为S (其中点N 是直线CM 与
l 2的交点)．S 是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时a 的值；若不存在，请说明理由．
［解] （1） 33
2
33+=
x y P (1，3） 60º
（2) 设⊙C 和直线l 2相切时的一种情况如图甲所示，D 是切点，连接CD ,则CD ⊥PD ．
过点P 作CM 的垂线PG ，垂足为G ,则Rt △CDP ≌Rt △PGC (∠PCD =∠CPG =30º，CP =PC ）, 所以PG =CD =R ．
当点C 在射线P A 上，⊙C 和直线l 2相切时,同理可证．取R =223-时，a=1+R =123-，或a=—(R -1)233-= (3） 当⊙C 和直线l 2不相离时，由(2）知，分两种情况讨论：
① 如图乙，当0≤a ≤123-时，a a S ⋅+-+=)]33433(332[21a a 36
32
+-=,
当3)6
3
(23=-
⨯-
=a 时，（满足a ≤123-），S 有最大值．此时233)6
3
(43=
-
⨯-=
最大值S （或3
29
）． ② 当233-≤a ＜0时，显然⊙C 和直线l 2相切即233-=a 时，S 最大．此时 2
3
3233]334)233(33332[21=
-⋅+--=最大值S ．
(第24题图甲)
图2
综合以上①和②，当3a =或233-=a 时,存在S 的最大值,其最大面积为
2
3
3 9。

如图1，已知Rt ABC △中，30CAB ∠=，5BC =．过点A 作AE AB ⊥,且15AE =,连接BE 交AC 于点P ． （1)求PA 的长；
（2)以点A 为圆心,AP 为半径作A ，试判断BE 与A 是否相切，并说明理由;
(3)如图2，过点C 作CD AE ⊥,垂足为D ．以点A 为圆心，r 为半径作A ;以点C 为圆心，R 为半径作C ．若r 和
R 的大小是可变化的,并且在变化过程中保持A 和C 相切．．，且使D 点在A 的内部，B 点在A 的外部,求r 和R 的变化范围．
[解］ (1）在Rt ABC △中，305CAB BC ∠==，，210AC BC ∴==．
AE BC ∥,APE CPB ∴△∽△．::3:1PA PC AE BC ∴==．:3:4PA AC ∴=，31015
42
PA ⨯=
=． （2）BE 与
A 相切．
在Rt ABE △
中，AB =15AE =，
tan AE ABE AB ∴∠=
==60ABE ∴∠=． 又
30PAB ∠=，9090ABE PAB APB ∴∠+∠=∴∠=，BE ∴与A 相切．
(3)
因为5AD AB ==，，所以r
的变化范围为5r <<． 当A 与C 外切时,10R r +=，所以R
的变化范围为105R -<<； 当
A 与C 内切时，10R r -=,所以R
的变化范围为1510R <<+
[点评]本题是一道比较传统的几何综合题，第1题运用相似三角形知识即可得解,第2小题也较基础，第3小题注意要
分类，试题中只说明了“A 和C 相切”，很多同学漏解往往是由于没有仔细读题和审题.
8，(06江苏宿迁课改卷)设边长为2a 的正方形的中心A 在直线l 上，它的一组对边垂直于直线l ,半径为r 的⊙O
的圆心
C
Ｄ
图1 图2
O 在直线l 上运动．．
，点A 、O 间距离为d ． （1）如图①，当r ＜a 时，根据d 与a 、r 之间关系，将⊙O 与正方形的公共点个数填入下表：
所以，当r ＜a 时，⊙O 与正方形的公共点的个数可能有
个;
r 之间关系，将⊙O 与正方形的公共点个数填入下表： 所以，当r ＝a 时，⊙O 与正方形的公共点个数可能有 个；
（3)如图③,当⊙O 与正方形有5个公共点时，试说明r ＝5
4
a ；
（4）就r ＞a 的情形,请你仿照“当……时,⊙O 与正方形的公共点个数可能有
个”的形式,至少给出一个关于“⊙O 与正方形的公共点个数”的正确结论．
［解］ （1)
所以，当r ＜a 时，⊙O 与正方形的公共点的个数可能有0、1、2个;
（2）
所以，当r ＝a 时,⊙O 与正方形的公共点个数可能有0、1、2、4个；
（3）方法一：如图所示，连结OC 则OE ＝OC ＝r ，OF ＝EF －OE ＝2a －r ． 在Rt △OCF 中, OF 2＋FC 2＝OC 2
即（2a －r ）2＋a 2＝r 2
4a 2－4ar ＋r 2＋a 2＝ 5a 2＝4ar
5a ＝4r l
图①
l
图②
图③
l
l
图①
l
图②
∴r ＝
5
4
a ．
方法二：如图,连结BD 、OE 、BE 、DE ． ∵四边形BCMN 为正方形 ∴∠C ＝∠M ＝∠N ＝90°
∴BD 为⊙O 的直径,∠BED ＝90° ∴∠BEN ＋∠DEM ＝90° ∵∠BEN ＋∠EBN ＝90° ∴∠DEM ＝∠EBN ∴△BNE ∽△EMD ∴
BN EM
NE MD
=
∴DM ＝12a 由OE 是梯形BDMN 的中位线得OE ＝12（BN ＋MD ）＝5
4
a ．
(4）①当a ＜r ＜54
a 时，⊙O 与正方形的公共点个数可能有0、1、2、4、6、7、8个；
②当r ＝54
a 时，⊙O 与正方形的公共点个数可能有0、1、2、5、8个；
③当524
a r a <<时,⊙O 与正方形的公共点个数可能有0、1、2、3、4、6、8个；
④当2r a =时，⊙O 与正方形的公共点个数可能有0、1、2、3、4个； ⑤当2r a >时,⊙O 与正方形的公共点个数可能有0、1、2、3、4个．
[点评］本题是一道较为新颖的几何压轴题,考查圆、相似、正方形等几何知识，综合性较强，有一定的难度，试题的区分度把握非常得当，是一道很不错的压轴题。

9. （06山东枣庄课改卷）半径为2。

5的⊙O 中，直径AB 的不同侧有定点C 和动点P ．已知BC :CA ＝4 ： 3，点P 在AB 上运动，过点C 作CP 的垂线，与PB 的延长线交于点O （1）当点P 与点C 关于AB 对称时，求CQ 的长； （2）当点P 运动AB 到的中点时,求CQ 的长;
（3）当点P 运动到什么位置时，CQ 取到最大值?求此时CQ 的长．
［解] （1）当点P 与点C 关于AB 对称时,CP ⊥AB ，设垂足为D 。

∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB=900.
∴AB=5,AC:CA=4：3，∴BC=4， AC=3。

又∵AC ·BC=A B ·CD
∴ 1224,.55
CD PC =
= 在Rt △ACB 和Rt △PCQ 中,
∠ACB ＝∠PCQ=900， ∠CAB ＝∠CPQ ， Rt △ACB ∽Rt △PCQ ∴
432
,.35
AC BC BC PC CQ PC PC CQ AC ==== （2）当点P 运动到弧AB 的中点时，过点B 作BE ⊥PC
C
D M
O
A l
B
N E
于点E(如图）.∵P 是弧AB
的中点，∴0
45,2
PCB CE BE BC ∠===
= 又∠CPB=∠CAB ∴∠CPB= tan ∠CAB=
43
∴3tan 42BE PE BE CPB =
==∠
而从2
PC PE EC =+=
由（l
）得，433
CQ PC =
= （3）点P 在弧AB 上运动时，恒有4
.3
BC PC CQ PC AC == 故PC 最大时,CQ 取到最大值．
当PC 过圆心O ，即PC 取最大值5时，CQ 最大值为
20
3
[点评]本题属于常规的几何综合题，解第3小问时要有动态的思想（在草稿上画画图）不难猜想出结论。

10.如图，点P 在y 轴上，P 交x 轴于A B ，两点,连结BP 并延长交P 于C ，
过点C 的直线2y x b =+交x
轴于D ，且
P 4AB =．
（1)求点B P C ，，的坐标；
（2)求证：CD 是P 的切线；
（3）若二次函数2
(1)6y x a x =-+++的图象经过点B ,求这个二次函数的解析式，并写出使二次函数值小于一次函数
2y x b =+值的x 的取值范围．
［解］ （1）如图，连结CA OP AB ∵⊥
OB =∴222OP BO BP +=∵ 2541OP =-=∴,1OP =
BC ∵是P 的直径90CAB ∠=∴CP BP =∵,OB OA = 22AC OP ==∴ (20)B ，
∴，(01)P ，， (2）2y x b =+∵过C 点6b =∴ 26y x =+∴
∵
当
y =时,
3
x =-
(30)
D -，∴
∴21
OB AC AD OP ====，∵90CAD POB ∠=∠=DAC POB ∴△≌△ DCA ∠=∠∴ 90ACB CBA ∠+∠=∵
90DCA ACB ∠+∠=∴（也可用勾股定理逆定理证明） DC ∴是
P 的切线
(3)2
(1)6y x a x =-+++∵过(20)B ，
点 202(1)26a =-++⨯+∴ 2a =-∴ 26y x x =--+∴
因为函数2
6y x x =--+与26y x =+的图象交点是(06)，和点(30)D -，(画图可得此结论）
所以满足条件的x 的取值范围是3x <-或0x >
11. 如图,在平面直角坐标系中,以坐标原点O 为圆心，2为半径画⊙O ，P 是⊙O 上一动点，且P 在第一象限内，过点P 作⊙O 的切线与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B 。

（1）点P 在运动时，线段AB 的长度在发生变化，请写出线段AB 长度的最小值,并说明理由；
（2）在⊙O 上是否存在一点Q,使得以Q 、O 、A 、P 为顶点的四边形时平行四边形？若存在，请求出Q 点的坐标;若不存在,请说明理由.
［解] （1)线段AB 长度的最小值为4
理由如下：连接OP
因为AB 切⊙O 于P ，所以OP ⊥AB 取AB 的中点C ，则OC AB 2=
当OP OC =时，OC 最短, 即AB 最短，此时4=AB (2）设存在符合条件的点Q ， 如图①，设四边形APOQ 为平行四边形，
因为四边形APOQ 为矩形又因为OQ OP =所以四边形APOQ
所以︒=∠=45,QOA QA OQ ,
在Rt △OQA 中，根据︒=∠=45,2AOQ OQ ，得Q 点坐标为（2,2-）。

如图②，设四边形APQO 为平行四边形因为OQ
∥PA ，︒=∠90APO ，所以
︒=∠90POq ，又因为OQ OP =所以︒=∠45PQO ，
因为 PQ ∥OA,所以
y PQ ⊥轴.设y PQ ⊥轴于点H ， 在Rt △OHQ 中，根据︒=∠=45,2HQO OQ ,得Q 点坐标为（2,2-
） 所以符合条件的点Q 的坐标为（2,2-）或（2,2-
）。

12。

如图①,在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为圆心的⊙O 的半径为12-，直线l ：2--=x y 与坐标轴分别
交于A 、C 两点，点B 的坐标为(4，1)，⊙B 与x 轴相切于点M 。

（1）求点A 的坐标及∠CAO 的度数；
（2）⊙B 以每秒1各单位长度的速度沿x 轴负方向平移，同时，直线l 绕点A 顺时针匀速旋转。

当⊙B 第一次与
⊙O 相切时,直线l 也恰好与⊙B 第一次相切。

问:直线AC 绕点A 每秒旋转多少度？
（3）如图②，过A 、O 、C 三点作⊙O 1，点E 为劣弧AO 上一点，连接EC 、EA 、EO ，当点E 在劣弧AO 上运动
时（不与A 、O 两点重合），
EO
EA
EC -的值是否发生变化？如果不变，求其值；如果变化，说明理由。

图①
图②
第25题图②
F
图10－2
p B G
C E M O
D A x y
图10－1M G
O D B E A C
x y
13。

（06广东深圳课改卷)(10分)如图10—1,在平面直角坐标系xoy 中，点M 在x 轴的正半轴上, ⊙M 交x 轴于
A B 、两点，交y 轴于C D 、两点,且C 为AE 的中点，AE 交y 轴于G 点，若点A 的坐标为（－2,0）,AE 8= (1）(3分）求点C 的坐标。

（2）（3分)连结MG BC 、，求证：MG ∥BC
（3）（４分） 如图10—2，过点D 作⊙M 的切线，交x 轴于点P .动点F 在⊙M 的圆周上运动时,PF
OF
的比值是否
发生变化，若不变，求出比值；若变化，说明变化规律.
14。

(06 安徽芜湖市课改卷）一位小朋友在粗糙不打滑的“Z ”字形平面轨道上滚动一个半径为10cm 的圆盘,如图所示,AB 与C D 是水平的,BC 与水平面的夹角为600，其中AB=60cm ，CD=40cm,BC=40cm ，请你作出该小朋友将园盘从A 点滚动到D 点其圆心所经过的路线的示意图,并求出此路线的长度。

15。

（07芜湖市）24. 已知圆P 的圆心在反比例函数k
y x
=
(1)k >图象上，并与x 轴相交于A 、B 两点． 且始终与y 轴相切于定点C (0，1)．
(1) 求经过A 、B 、C 三点的二次函数图象的解析式;
(2) 若二次函数图象的顶点为D ，问当k 为何值时，四边形ADBP 为菱形．
解: （1）连结PC 、P A 、PB ，过P 点作PH ⊥x 轴,垂足为H ． ∵⊙P 与y 轴相切于点C （0,1),∴PC ⊥y 轴． ∵P 点在反比例函数k
y x
=
的图象上， ∴P 点坐标为（k ，1）． ∴P A=PC=k ．
在Rt △APH 中，AH =22
PA PH -=21k -,
∴OA=OH —AH =k －21k -． ∴A （k －21k -,0）．
∵由⊙P 交x 轴于A 、B 两点,且PH ⊥AB ，由垂径定理可知， PH 垂直平分AB ．
∴OB=OA +2AH = k －21k -+221k -=k +21k -，∴B （k +21k -，0）． 故过A 、B 两点的抛物线的对称轴为PH 所在的直线解析式为x=k ． 可设该抛物线解析式为y=a 2
()x k -+h ．
又抛物线过C (0，1)， B （k +21k -,0)， 得：
222
1;(1)0.
ak h a k k k h ⎧+=⎪
⎨+--+=⎪⎩ 解得a =1，h =1－2
k ．
∴抛物线解析式为y =2
()x k -+1－2
k ．
（2）由(1)知抛物线顶点D 坐标为（k ， 1－2
k )∴DH =2
k －1．
若四边形ADBP 为菱形．则必有PH=DH ．∵PH =1,∴2
k －1=1． 又∵k ＞1，∴k =2
∴当k 取2时，PD 与AB 互相垂直平分,则四边形ADBP 为菱形．
16. 26。

如图①，②，在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为（4,0),以点A 为圆心，4为半径的圆与x 轴交于O ，
B 两点,O
C 为弦，60AOC ∠=，P 是x 轴上的一动点，连结CP ．
（1)求OAC ∠的度数;（2分)（2）如图①，当CP 与A 相切时，求PO 的长;(3分)
（3）如图②，当点P 在直径OB 上时，CP 的延长线与
A 相交于点Q ，问PO 为何值时，OCQ △是等腰三角形？）
解:（1）∵60AOC ∠=,AO AC =,∴AOC △是等边三角形． ∴60OAC ∠=． （2）∵CP 与
A 相切，∴90ACP ∠=． ∴9030APC OAC ∠=-∠=．
又∵A （4，0）,∴4AC AO ==．∴28PA AC ==． ∴844PO PA OA =-=-=．
（3）①过点C 作1CP OB ⊥,垂足为1P ，延长1CP 交
A 于1Q ，
∵OA 是半径, ∴1OC OQ =,∴1OC OQ =，∴1OCQ △是等腰三角形． 又∵AOC △是等边三角形，∴11
2
PO OA ==2 ． ②解法一:过A 作AD OC ⊥，垂足为D ，延长DA 交
A 于2Q ，2CQ 与x 轴交于2P ，
∵A 是圆心， ∴2DQ 是OC 的垂直平分线． ∴22CQ OQ =．∴2OCQ △是等腰三角形， 过点2Q 作2Q E x ⊥轴于E ，在2Rt AQ E △中，∵21302
Q AE OAD OAC ∠=∠=∠=， ∴221
2232
Q E AQ AE =
==，2Q 的坐标（4+32-）
． 在1Rt COP △中,∵1260PO
AOC =∠=，,∴123CP =C 点坐标（2，23． 设直线2CQ 的关系式为：y kx b =+，则有
2(423)232k b k b ⎧-=++⎪⎨
=+⎪⎩，
． 解得：1223k b =-⎧⎪⎨=+⎪⎩
，．∴223y x =-++0y =时，223x =+2223P O =+． 解法二: 过A 作AD OC ⊥，垂足为D ，延长DA 交
A 于2Q ,2CQ 与x 轴交于2P ，
∵A 是圆心， ∴2DQ 是OC 的垂直平分线． ∴22CQ OQ =．∴2OCQ △是等腰三角形．
∵60OAC ∠=，∴21
302
OQ C OAC ∠=∠=．∵2DQ 平分22,OQ C AC AQ ∠=，∴2215ACQ AQ C ∠=∠=．
∵AOC △是等边三角形，1CP OA ⊥， ∴11
302
PCA ACO ∠=∠=． ∴1212301545PCP PCA ACQ ∠=∠+∠=+=． ∴12CPP △是等腰直角三角形．∴12123PP
CP ==2112223P O PO PP =+=+
17。

26. 如图12—1所示,在ABC △中，2AB AC ==，90A =∠，O 为BC 的中点，动点E 在BA 边上自由移动，动点F 在AC 边上自由移动．
(1）点E F ，的移动过程中，OEF △是否能成为45EOF =∠的等腰三角形?若能，请指出OEF △为等腰三角形时动点E F ，的位置．若不能,请说明理由．
(2）当45EOF =∠时，设BE x =,CF y =,求y 与x 之间的函数解析式，写出x 的取值范围． （3）在满足(2）中的条件时,若以O 为圆心的圆与AB 相切（如图12-2），试探究直线EF 与
O 的位置关系，并证明
你的结论．
E F
解：如图,
（1）点E F ，移动的过程中，OEF △能成为45EOF ∠=°的等腰三角形．此时点E F ，的位置分别是： ①E 是BA 的中点，F 与A 重合．
②BE CF ==
E 与A 重合，
F 是AC 的中点
（2）在OEB △和FOC △中，135EOB FOC ∠+∠=°，135EOB OEB ∠+∠=°，
FOC OEB ∠=∠∴．又B C ∠=∠∵，OEB FOC ∴△∽△．BE BO
CO CF
=
∴． BE x =∵，CF y =
,OB OC ==
=2
(12)y x x
=∴≤≤． （3）EF 与O 相切．OEB FOC ∵△∽△，BE OE CO OF =∴．BE OE BO OF =∴．即BE BO
OE OF
=
． 又45B EOF ∠=∠=∵°，BEO OEF ∴△∽△．BEO OEF ∠=∠∴．∴点O 到AB 和EF 的距离相等． AB ∵与O 相切，∴点O 到EF 的距离等于O 的半径．EF ∴与O 相切．
18。

（06武汉市) 如图①,在平面直角坐标系中，Rt △AOB ≌Rt △CDA ，且A （－1,0)、B （0，2），抛物线y ＝ax 2＋ax
－2经过点C 。

(1)求抛物线的解析式；
(2）在抛物线(对称轴的右侧）上是否存在两点P 、Q ，使四边形ABPQ 是正方形？若存在，求点P 、Q 的坐标，若不存在，请说明理由；
(3）如图②，E 为BC 延长线上一动点，过A 、B 、E 三点作⊙O '，连结AE,在⊙O ’上另有一点F ，且AF ＝AE ，AF 交BC 于点G ，连结BF 。

下列结论:①BE ＋BF 的值不变；②AG
BG
AF BF =
，其中有且只有一个成立，请你判断哪一个结论成立，并证明成立的结论。

A E
F
O C B
A
E
F
O C B （图12－1） （图12－2）
(第25题图①)
(第25题图②)
解:⑴由Rt △AOB ≌Rt △CDA 得OD=2+1=3,CD=1∴C 点坐标为（－3，1), ∵抛物线经过点C,∴1= (－3)2 a ＋(－3)ａ－2,∴21=
a .∴抛物线的解析式为22
1
212-+=x x y . ⑵在抛物线(对称轴的右侧）上存在点P 、Q,使四边形ABPQ 是正方形。

以AB 边在AB 右侧作正方形ABPQ 。

过P 作PE ⊥OB 于E ，QG ⊥x 轴于G ，可证△PBE ≌△AQG ≌△BAO ， ∴PE ＝AG ＝BO ＝2,BE ＝QG ＝AO ＝1，∴∴P 点坐标为(2,1），Q 点坐标为(1，－1）。

由（1)抛物线22
1
212-+=
x x y .当x ＝2时,y ＝1，当x ＝,1时,y ＝－1。

∴P 、Q 在抛物线上。

故在抛物线(对称轴的右侧）上存在点P （2,1)、Q （1，－1),使四边形ABPQ 是正方形。

⑵另解:在抛物线（对称轴的右侧）上存在点P 、Q ，使四边形ABPQ 是正方形。

延长CA 交抛物线于Q ，过B 作BP ∥CA 交抛物线于P,连PQ ，设直线CA 、BP 的解析式分别为y=k 1x+b 1, y=k 2x+b 2, ∵A （－1,0）,C （－3，1），∴CA 的解析式2121--
=x y ，同理BP 的解析式为2
1
21+-=x y ， 解方程组⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
-+=--=221212
1212x x y x y 得Q 点坐标为(1,－1），同理得P 点坐标为（2，1）。

由勾股定理得AQ ＝BP ＝AB ＝5，而∠BAQ ＝90°,
∴四边形ABPQ 是正方形。

故在抛物线（对称轴的右侧）上存在点P(2，1)、Q(1，－1)，使四边形ABPQ 是正方形。

⑵另解:在抛物线（对称轴的右侧）上存在点P 、Q,使四边形ABPQ 是正方形。

如图，将线段CA 沿CA 方向平移至AQ ，∵C （－3，1)的对应点是A(－1，0),∴A （－1,0)的对应点是Q （1,－1)，再将线段AQ 沿AB 方向平移至BP ，同理可得P （2,1）
∵∠BAC ＝90°，AB ＝AC
∴四边形ABPQ 是正方形。

经验证P(2,1）、Q （1,－1）两点均在抛物线22
1
212-+=x x y 上。

⑶结论②
AG
BG
AF BF =成立, 证明如下：连EF ，过F 作FM ∥BG 交AB 的延长线于M ，则△AMF ∽△ABG ，∴
AG
BG
AF MF =。

由⑴知△ABC 是等腰直角三角形，∴∠1＝∠2＝45°。

∵AF ＝AE ，∴∠AEF ＝∠1＝45°。

∴∠EAF ＝90°,EF 是⊙O ´的直径。

∴∠EBF ＝90°.∵FM ∥BG,
∴∠MFB ＝∠EBF ＝90°,∠M ＝∠2＝45°,∴BF ＝MF,∴
AG
BG
AF BF =
24、如图12，形如三角板的∆ABC 中，∠ACB=90°，∠ABC=45°，BC=12cm ，形如矩形量角器的半圆O 的直径DE=12cm,矩形DEFG 的宽EF=6cm ，矩形量角器以2cm /s 的速度从左向右运动，在运动过程中,点D 、E 始终在BC 所在的直线上，设运动时间为x （s ），矩形量角器和∆ABC 的重叠部分的面积为S （cm 2）。

当x=0（s)时,点E 与点C 重合.（图（3）、图（4）、图（5）供操作用）. （1）当x=3时，如图（2），S= cm 2,
当x=6时,S= cm 2， 当x=9时,S= cm 2；
（2）当3〈x 〈6时，求S 关于x 的函数关系式； （3）当6〈x 〈9时，求S 关于x 的函数关系式； （4)当x 为何值时，∆ ABC 的斜边所在的直线与半圆．．．．．．．．．．．O ．所在的圆．．．．相切？ 解：（1）36,54,18
（2）如图，设矩形DEFG 与斜边AB 的交点分别为N 、H ，与直角边AC 的交点为M 。

BE ＝12－2x,AM ＝12－6＝6 ∴S ＝S ∆ABC -S ∆AMN -S ∆BHE ＝
21×12×12－21×6×6－2
1×(12－2x ）2
＝－2x 2
+24x-18
所以,当3〈x<6时，S ＝－2x 2
+24x-18
（3）如图,设矩形DEFG 与斜边AB 的交点为M ，延长FG 交AC 于点H AH ＝12－6＝6，HG ＝2x －12 ∴S ＝S ∆ABC —S ∆AHM -S 矩形HCDG ＝
21×12×12－21×6×6－2
1
×6×（2x －12)＝－12x ＋126 所以，
当6<x<9时，S ＝－12x ＋126 （4)如图，
①过点O 作OD ⊥AB 于点D ，由题意得OD ＝6 ∵∠ABC=45°,∠ODB=90° ∴OB=2266+=62 ∴x 1＝
2392
2
6126-=-+（秒）
②过点O 作OE ⊥AB,交AB 的延长线于点E ，由题意得OE ＝6 ∵∠OBE=45°，∠OEB=90° ∴OB=2266+=62
∴x 2＝
2392
2
6126+=++（秒） 故当x 等于（9－23）秒或（9＋23)秒时，∆ABC 的斜边所在的直线与半圆O 所在的圆相切.
B
A
C B
A
C
图（5）
图（4）
图（3）
C A
B
图6
x
y
F
E
H
N M
P
D C B A
O
21。

07(湖南省韶关市） 25。

如图6，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是矩形，OA=4，AB=2，直线32
y x =-+与坐标轴交于D 、E 。

设M 是AB 的中点，P 是线段DE 上的动点。

（1）求M 、D 两点的坐标;
（2)当P 在什么位置时，PA=PB ？求出此时P 点的坐标；
（3）过P 作PH ⊥BC ，垂足为H ，当以PM 为直径的⊙F 与BC 相切于点N 时，求梯形PMBH 的面积。

解： （1）3(4,1),(,0)2
M D
（2）∵PA=PB ，∴点P 在线段AB 的中垂线上， ∴点P 的纵坐标是1，又∵点P 在3
2
y x =-+
上， ∴点P 的坐标为1
(,1)2
（1） 设P （x,y ），连结PN 、MN 、NF.
∵点P 在3
2
y x =-+上，∴3(,)2P x x -+
依题意知：PN ⊥MN ，FN ⊥BC,F 是圆心。

∴N 是线段HB 的中点，HN=NB=
42x -，31
2(),122
PH x x BM =--+=+= ∵∠HPN+∠HNP=∠HNP+∠BNM=90°，∴∠HPN=∠BNM,又∠PHN=∠B=90°
∴Rt △PNH ∽Rt △NMB ， ∴41
22,41
2
x x HN PH x BM BN -+
=∴=
-∴212140x x -+=，解得： 3
622(2
x x =+〉舍去）
，622x =1
(1622)(4622)
()3719222
2224
PMBH BM HP BH S +-+===-+
22.已知Rt △ABC ，∠ACB ＝90o ，AC ＝4，BC ＝3，CD ⊥AB 于点D ，以D 为坐标原点,CD 所在直线为y 轴建立如图所示平面直角坐标系。

(1）求A 、B 、C 三点的坐标;
(2）若⊙O 1、⊙O 2分别为△ACD 、△BCD 的内切圆,求直线12O O 的解析式；
(3）若直线12O O 分别交AC 、BC 于点M 、N ，判断CM 与CN 的大小关系,并证明你的结论.
解： （1）在Rt ABC △中,CD AB ⊥
ADC ACB ∴△∽△ 2165
AC AD AB AD ∴=∴=， 同理912
55
DB CD ==，
16912000555A B C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
∴- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，，，，，
（2）设
1O 的半径为12r O ，的半径为2r ， 则有111
()22
ADC S AD CD AD CD AC r ==++△ 145AD CD r AD CD AC ∴=
=++ 同理235r =1244335555O O ⎛⎫⎛⎫
∴- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，，，
由此可求得直线12O O 的解析式为：124
735
y x =-+ （3)CM 与CN 的大小关系是相等．
证明如下：法一：由(1）易得直线AC 的解析式为：312
45y x =+， 联立直线12O O 的解析式，求得点M 的纵坐标为24
25
M y =，过点M 作ME y ⊥轴于点E ，
3625CE CD DE ∴=-=，由Rt Rt CME CAD △∽△，得CE CM CD CA
=, 解得：125CM =
同理12
5
CN =,
CM CN ∴=
法二：由
11224Rt Rt 3O D AC
O O D ABC O D BC
===⇒△∽△ 21O O D BAC ∴∠=∠由此可推理：14545CMN O DA CNM CM CN ∠=∠=∴∠=∴=，
， 23. (07贵阳市)25. 如图14，从一个直径是2的圆形铁皮中剪下一个圆心角为90的扇形．
(1）求这个扇形的面积（结果保留π)．（3分)
(2）在剩下的三块余料中，能否从第③块余料中剪出一个圆作为底面与此扇形围成一个圆锥？请说明理由．（4分) (3）当O 的半径(0)R R >为任意值时，（2）中的结论是否仍然成立？请说明理由．（5分）
图14
B
解: （1）连接BC ，由勾股定理求得：
AB AC ==213602
n R S π==π
（2）连接AO 并延长,与弧BC 和
O 交于E F ，
,
2EF AF AE =-=BC
的长：1802
n R l π=
=π222r π=
π∴圆锥的底面直径为:22
r =
22-<
，∴不能在余料③中剪出一个圆作为底面与此扇形围成圆锥．
（3）由勾股定理求得:AB AC ==
弧BC 的长：1802
n R l R π=
=2
22
r R π=
π ∴圆锥的底面直径为:
22
r R
=
2(2EF AF AE R R =-==
222-
<
且0R
>(22
R R ∴<
即无论半径R 为何值，2EF r < ∴不能在余料③中剪出一个圆作为底面与此扇形围成圆锥
24。

. 如图，
O 的半径均为R ．
（1）请在图①中画出弦AB CD ，，使图①为轴对称图形而不是．．
中心对称图形;请在图②中画出弦AB CD ，，使图②仍为中心对称图形； （2）如图③，在
O 中，(02)AB CD m m R ==<<,且AB 与CD 交于点E ，夹角为锐角α．求四边形ACBD 的面
积（用含m α，的式子表示）； （3）若线段AB CD
，是
O 的两条弦，且AB CD ==,你认为在以点A B C D ，，，为顶点的四边形中,是否存
在面积最大的四边形？请利用图④说明理由．
解：（1)答案不唯一，如图①、②（只要满足题意，画对一个图形给2分,画对两个给3分）
B
（第25题图①） （第25题图②） （第25题图③） （第25题图④） （第25题答案图①） （第25题答案图②）
(2）过点A B ，分别作CD 的垂线，垂足分别为M N ，．
11
sin 22ACD S CD AM CD AE α==△∵···，
11
sin 22BCD S CD BN CD BE α==△···．
ACD BCD ACBD S S S =+△△四边形∴
11sin sin 22
CD AE CD BE αα=+····
1()sin 2CD AE BE α=+··1sin 2CD AB α=··21sin 2
m α=． （3）存在．分两种情况说明如下：
①当AB 与CD 相交时，由(2）及2AB CD R ==知21
sin sin 2
ACBD S AB CD R αα=
=四边形··． ②当AB 与CD 不相交时，如图④．
2AB CD R ==∵,OC OD OA OB R ====，
90AOB COD ∠=∠=∴°,
而Rt Rt AOB OCD AOD BOC ABCD S S S S S =+++△△△△四边形
2AOD BOC R S S =++△△．
延长BO 交
O 于点E ，连接EC ，则132390∠+∠=∠+∠=°．12∠=∠∴．
AOD COE ∴△≌△．AOD OCE S S =△△∴．AOD BOC OCE BOC BCE S S S S S +=+=△△△△△∴．
过点C 作CH BE ⊥，垂足为H ，则1
2
BCE S BE CH R CH =
=△··．∴当CH R =时，BCE S △取最大值2R ． 综合①、②可知，当1290∠=∠=°，即四边形ABCD 是边长为2R 的正方形时，
2222ABCD S R R R =+=四边形为最大值．
25在直角坐标系中，⊙A 的半径为4，圆心A 的坐标为（2,0），⊙A 与x 轴交于E 、F 两点，与y 轴交于C 、D 两点,过
点C 作⊙A 的切线BC ，交x 轴于点B ． （1）求直线CB 的解析式；
（2）若抛物线y =ax 2+b x +c 的顶点在直线BC 上,与x
轴的交点恰为点E 、F ，求该抛物线的解析式; （3)试判断点C 是否在抛物线上？
（4） 在抛物线上是否存在三个点,由它构成的三角形与
△AOC 相似？直接写出两组这样的点． 解:(1）方法一：
连结AC ，则AC BC ⊥．
∵ 24OA AC ==，，∴ OC =23． 又 Rt △AOC ∽Rt △COB ，∴
AO OC
OC OB
=． ∴ OB =6． A C
B
D
O
M
E N α （第25题答案图③）
（第25题答案图④）
1
3 2
O
B
C
E H A
D。