九年级数学上册 1.2 一元二次方程的解法 利用配方法解题举例素材 苏科版(2021学年)

九年级数学上册１.2 一元二次方程的解法利用配方法解题举例素材(新版)苏科版
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利用配方法解题举例
作为一个重要的数学方法,配方法在中学数学中的应用极为广泛，下面举例说明.
一、用于因式分解
例1分解因式：
（1)x4+4;
（２)a2－4ab＋３b2-２bc-ｃ２
解：(1）原式＝x４＋4ｘ2+4—4x2
=（x2+２)2-(2ｘ）２
=（ｘ2+2x＋２)(ｘ2—2x+2）．
(2)原式＝(a2-4ab＋4b２)—（b２+2ｂc＋c2)
=(ａ—2ｂ)２—（b＋c）2
＝(a－b+c）(a-３b—ｃ)．
二、用于求值
例2已知x2＋ｙ2+4x—６ｙ+13=0，x,y为实数,则x y=__＿____．
解：由已知等式配方，得（x＋2)2+(y－3）2＝0.
因x，y为实数,故x＝—2,ｙ＝３.
故x y=(—2)3=-８.
三、用于化简根式
四、用于解方程(组）
例4解方程(x２+2)（y2＋4)(z2+8)＝6４xｙｚ(x，y,z均为正实数）．
解：原方程变形,得
ｘ２y２z2+４x2z２+2ｙ２z2+８z２+８x2ｙ２+32x2+16ｙ2+６4—64xyｚ＝0．
各自配方，得(xｙｚ-８）２＋2（４x—ｙz）2+4（2ｙ-ｘz）2＋8（ｚ—xｙ)2＝0．
解:显然，x=ｙ=z=0适合方程组.
当ｘ≠0，ｙ≠0,z≠0时，原方程组可变形为:
∴ x=1,ｙ=1,z＝１.
五、用于求最值
解:所求式变形配方,得
∴ 当x=1时，y有最小值1.
六、用于证明恒等式
例7四边形的四条边长a，b，c，d满足等式a4+b4+c4+d4=４abcd．求证:a=b=c＝ｄ.证明:已知等式变形,得
a４—2a２b２+ｂ４＋ｃ4—2c2d2+d2+2a2b2+2ｃ2d2—4abcd=０．
配方，得(ａ2—b2)2+(c2—d２）２+２(ａｂ—ｃd)２=0.
∴ａ２＝b2，c2＝d2,ａb＝cｄ．故a=ｂ＝c＝d．
七、用于证明不等式
例8若ａ，ｂ,c为实数,求证:a2+b2+c2-aｂ-ｂc—ac≥0．
证明：∴2（ａ２+b2+c2—ab—bc—ac)
＝(a２-2ａｂ+b2)+(b2-2bc＋c２)＋(a２-２ac＋c2)
=(a—ｂ）2+(b-c)２+(a—c)2≥0,
∴ ａ2+b2+ｃ2—ａb—bc－ac≥0．
八、用于判定几何图形的形状
例9已知a，ｂ,c是△ABＣ的三边,且ａ2+ｂ2+ｃ2—ａb—ｂｃ－ca＝0，试判定△ＡＢＣ的形状.
解:仿上例,已知等式可化为(ａ—b）2+(ｂ—c)２+(c-ａ)２=０.
∴ a—ｂ=0,b—c＝0,ｃ—ａ＝0.即ａ=b=ｃ．
故△ＡBＣ是等边三角形．
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