2024-2025学年广东省深圳市福田区红岭中学高三(上)第一次月考数学试卷(含答案)

2024-2025学年广东省深圳市福田区红岭中学高三（上）第一次月考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设全集U={1,2,3,4,5}，集合M满足∁U M={2,4}，则( )
A. 1⊆M
B. 4⊆M
C. 5∈M
D. 3∉M
2.“ln(x−1)<0”的一个必要不充分条件是( )
A. −1<x<−1
e B. x>0 C. −1<x<0 D. 1<x<3
2
3.若a=0.20.3，b=0.30.2，c=log0.50.3，则a，b，c的大小关系为( )
A. c<a<b
B. b<a<c
C. a<b<c
D. a<c<b
4.函数f(x)=ln(x+2)
x−1
的图象大致是( )
A. B.
C. D.
5.已知圆C：x2+y2−4x−6y+4=0关于直线l：ax+by−1=0(ab>0)对称，则1
2a +1
3b
的最小值是( )
A. 2
B. 3
C. 6
D. 4
6.已知函数f(x)=log a[x(a−x)](a>0，且a≠1)在(1,2)上单调递增，则a的取值范围为( )
A. (1,2]
B. (1,4]
C. [2,+∞)
D. [4,+∞)
7.若函数f(x)={2x−m,x<1,
x2−4mx+3m2,x≥1有3个零点，则实数m的取值范围是( )
A. [1
3
,1) B. (−∞,0)∪[1，+∞)
C. [1,2)
D. [1
3
,1)∪[2，+∞)
8.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)+f(2−x)=0，f(1+x)=f(3−x)，当x∈[1,2]时，f(x)=x3−2 x2+x，则方程6f(x)−x+1=0所有根之和为( )
A. 10
B. 11
C. 12
D. 13
二、多选题：本题共3小题，共15分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.对于任意实数a，b，c，d，有以下四个命题，其中正确的是( )
A. 若a>b，c>d，则ac>bd
B. 若ac2>bc2，则a>b
C. 若a>b，且1
a >1
b
，则ab<0 D. 若a>b>0，则b
a
<b+1
a+1
10.已知双曲线C：x2
a2−y2
b2
=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线与C的左支相交于
P，Q两点，若PC⊥PF2，且4|PQ|=3|PF2|，则( )
A. |PQ|=2a
B. PF1=−2QF1
C. C的离心率为17
3
D. 直线PQ的斜率为±4
11.用与母线不垂直的两个平行平面截一个圆柱，若两个截面都是椭圆形状，则称夹在这两个平行平面之间的几何体为斜圆柱．这两个截面称为斜圆柱的底面，两底面之间的距离称为斜圆柱的高，斜圆柱的体积等于底面积乘以高．椭圆的面积等于长半轴与短半轴长之积的π倍，已知某圆柱的底面半径为2，用与母线成45°角的两个平行平面去截该圆柱，得到一个高为6的斜圆柱，对于这个斜圆柱，下列选项正确的是
A. 底面椭圆的离心率为2
2
B. 侧面积为242π
C. 在该斜圆柱内半径最大的球的表面积为36π
D. 底面积为42π
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知f(x)=2−x−2x−x，则f(x2−3)+f(2x)<0的解集为______．
13.已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，a=2且(2+b)(sinA−sinB)=(c−b)sinC，则△ABC面积的最大值为．
14.已知函数f(x)=x a−log b x(a>1,b>1)有且只有一个零点，则ab的取值范围为．
四、解答题：本题共5小题，共60分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题12分)
若一个数列从第二项起，每一项与前一项的差值组成的新数列是一个等差数列，则称这个数列是一个“二阶等差数列”，已知数列{a n}是一个二阶等差数列，其中a1=1，a2=3，a3=6．
(1)求a4及{a n}的通项公式；
(2)设b n=8a n−4n
8a n−4n−1
，求数列{b n}的前n项和S n．
16.(本小题12分)
如图，PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，AB//CD，PQ//CD，AD=CD=DP=2PQ=2AB=2，点E，F，M分别为AP，CD，BQ的中点．
(1)求证：EF//平面CPM；
(2)若N为线段CQ上的点，且直线DN与平面QPM所成的角为π
，求QN：NC的值．
6
17.(本小题12分)
已知函数f(x)=x(e x−ax2)．
(1)若曲线y=f(x)在x=−1处的切线与y轴垂直，求y=f(x)的极值．
(2)若f(x)在(0,+∞)只有一个零点，求a．
18.(本小题12分)
新高考数学试卷出现多项选择题，即每小题的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.若正确答案为两项，每对一项得3分：若正确答案为三项，每对一项得2分；
(1)学生甲在作答某题时，对四个选项作出正确判断、判断不了(不选)和错误判断的概率如表：
选项作出正确判断判断不了(不选)作出错误判断
A0.80.10.1
B0.70.10.2
C0.60.30.1
D0.50.30.2
若此题的正确选项为AC.求学生甲答此题得6分的概率：
(2)某数学小组研究发现，多选题正确答案是两个选项的概率为p，正确答案是三个选项的概率为
1−p(0<p<1).现有一道多选题，学生乙完全不会，此时他有两种答题方案：Ⅰ.随机选一个选项；Ⅱ.随机选两个选项．
①若p=1
2
，且学生乙选择方案Ⅰ，分别求学生乙本题得0分、得2分的概率．
②以本题得分的数学期望为决策依据，p的取值在什么范围内唯独选择方案Ⅰ最好？
19.(本小题12分)
定义：若椭圆C：x2
a2+y2
b2
=1(a>b>0)上的两个点A(x1,y1)，B(x2,y2)满足x1x2
a2
+y1y2
b2
=0，则称A、B为
该椭圆的一个“共轭点对”，记作[A,B].已知椭圆C的一个焦点坐标为F1(−22,0)，且椭圆C过点A(3,1)．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)求“共轭点对”[A,B]中点B所在直线l的方程；
(3)设O为坐标原点，点P、Q在椭圆C上，且PQ//OA，(2)中的直线l与椭圆C交于两点B1、B2，且B1点的纵坐标大于0，设四点B1、P、B2、Q在椭圆C上逆时针排列.证明：四边形B1PB2Q的面积小于83．
参考答案
1.C
2.B
3.C
4.D
5.D
6.D
7.C
8.B
9.BCD 10.ACD 11.ABD
12.(−∞,−3)∪(1,+∞) 13. 3 14.(e 1
e ,+∞)
15.解：(1)由a 1=1，a 2=3，a 3=6，得a 2−a 1=2，a 3−a 2=3，(a 3−a 2)−(a 2−a 1)=1，
由数列{a n }是一个二阶等差数列，得{a n +1−a n }是以2为首项，1为公差的等差数列，因此a n +1−a n =2+(n−1)×1=n +1，a 4=4+a 3=10，
当n ≥2时，a n =a 1+(a 2−a 1)+(a 3−a 2)+⋯+(a n −a n−1)=1+2+3+⋯+n =n 2+n
2
，a 1=1满足上式，则a n =
n 2+n
2，所以{a n }的通项公式是a n =
n 2+n 2
．(2)由(1)知，b n =8a n −4n 8a n −4n−1=8⋅n 2
+n
2−4n 8⋅n 2+n 2
−4n−1=4n 2
4n 2−1
=1+1(2n−1)(2n +1)=1+12(12n−1−12n +1)，
所以T n =n +12[(1−13)+(13−15)+(15−17)+⋯+(12n−1−1
2n +1)] =n +1
2(1−1
2n +1)=n +n
2n +1．
16.解：(1)证明：连接EM ，由AB//CD ，PQ//CD ，得AB//PQ ，
又AB =PQ ，则四边形PABQ 为平行四边形，
由点E 和M 分别为AP 和BQ 的中点，得EM//AB 且EM =AB ，
而AB//CD ，CD =2AB ，F 为CD 的中点，则EM//CF 且EM =CF ，四边形EFCM 为平行四边形，则EF//MC ，又EF⊄平面MPC ，CM ⊂平面MPC ，所以EF//平面MPC ，得证；
(2)由PD ⊥平面ABCD ，AD ⊥CD ，得直线DA ，DC ，DP 两两垂直，以D 为原点，直线DA ，DC ，DP 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,1,0)，C(0,2,0)，P(0,0,2)，Q(0,1,2)，M(1,1,1)，PM =(1,1,−1),PQ =(0,1,0),CM =(1,−1,1),PC =(0,2,−2)，设n =(x,y,z)为平面PQM 的法向量，则{n ⋅PM =x +y−z =0
n ⋅PQ =y =0
，取z =1，得n =(1,0,1)，
设QN =λQC (0≤λ≤1)，即QN =(0,λ,−2λ)，则N(0,λ+1,2−2λ)，DN =(0,λ+1,2−2λ)，
由直线DN 与平面PMQ 所成的角为π
6，得sin π
6=|cos 〈DN ,n 〉||DN n |
|DN ||n |
，即1
2=|2−2λ|
(λ+1)2+(2−2λ)2⋅
2，
整理得3λ2−10λ+3=0，而0≤λ≤1，解得λ=13
，所以QN ：NC =1：2．
17.解：(1)
函数f(x)=x(e x −ax 2)的定义域为R ，求导得f′(x)=(x +1)e x −3ax 2，f′(−1)=−3a ，依题意，f′(−1)=0，则a =0，f(x)=xe x ,f′(x)=(1+x)e x ，当x <−1时，f′(x)<0，当x >−1时，f′(x)>0，
因此函数f(x)在(−∞,−1)上单调递减，在(−1,+∞)上单调递增，所以函数f(x)在x =−1处取得极小值f(−1)=−1
e ，无极大值．
(2)
函数f(x)=x(e x −ax 2)在(0,+∞)只有一个零点，等价于y =e x −ax 2在(0,+∞)只有一个零点，设g(x)=e x −ax 2，则函数g(x)在(0,+∞)只有一个零点，当且仅当g(x)=0在(0,+∞)只有一解，即a =e x
x 2在(0,+∞)只有一解，于是曲线y =e x
x 2(x >0)与直线y =a 只有一个公共点，令φ(x)
=e x x 2(x >0)，求导得φ′(x)
=e x (x−2)x 3
，当x <2时，φ′(x)<0，当x >2时，φ′(x)>0，
因此函数φ(x)在(0,2)上单调递减，在(2,+∞)上单调递增，函数φ(x)在x =2取得极小值同时也是最小值φ(2)=e 2
4，当x→0时，φ(x)→+∞；当x→+∞时，φ(x)→+∞，画山φ(x)
=e x
x
2大致的图象，如图，
g(x)在(0,+∞)只有一个零点时，a =φ(2)=
e 24
，所以f(x)在(0,+∞)只有一个零点吋，a =e 2
4．
18.解：(1)设事件M 表示“学生答此题得6分”，
即对于选项A 、C 作出正确的判断，且对于选项B 、D 作出正确的判断或判断不了，所以P(M)=0.8×(0.7+0.1)×0.6×(0.5+0.3)=0.3072；(2)①记X 为“从四个选项中随机选择一个选项的得分”，P(X
=0)=12×2C 14+1
2×1C 14
=38,P(X
=2)=12×C 1
3C 14
=38；②对于方案I ：记ξ为“从四个选项中随机选择一个选项的得分”，则ξ的所有可能取值为0，2，3，
则P(ξ=0)=p ×2
C 14+(1−p)×1
C 14=1+p
4，
P(ξ
=2)=(1−p)×C 13C 14
=3
4(1−p)，
P(ξ=3)=p
×C 12C 14
=12p ，所以E(ξ)=0×1+p
4+2×3
4(1−p)+3×1
2p =3
2；
对于方案Ⅱ：记ε为“从四个选项中随机选择两个选项的得分”，则ε的所有可能取值为：0，4，6，则P(ε=0)=p ×C 24−1
C 24
+(1−p)
×C 13C 24
=13p +1
2，
P(ε
=4)=(1−p)×C 24−C 1
3
C 24
=12(1−p)，P(ε=6)=p ×1
C 24
=1
6p ，
所以E(ε)=0×(1
3p +1
2)+4×1
2(1−p)+6×1
6p =2−p ，要使唯独选择方案I 最好，则
{
2−p <3
20<p <1，解得：1
2<p <1，故P 的取值范围为(1
2,1)．
19.解：(1)已知椭圆C 的一个焦点坐标为F 1(−2 2,0)，且椭圆C 过点A(3,1)，
所以{
c =2 29a 2+1b 2=1a 2=b 2+c 2，解得a 2=12，b 2=4，则椭圆C 的标准方程为x 2
12
+
y 2
4
=1；(2)不妨设[A,B]中点B 的坐标为B(x,y)，已知椭圆C 上的点A(3,1)，
由“共轭点对”[A,B]的定义，可知直线l 的方程为3x 12+y
4
=0，整理得x +y =0；(3)联立{
x +y =0
x 212
+y 24
=1，
解得{x =− 3y = 3或{
x = 3y =− 3，又B 1点的纵坐标大于0，
所以B 1(− 3, 3)，B 2( 3,− 3)，不妨设点P(x P ,y P )，Q(x Q ,y Q )，
此时
{
x 2P
12+y 2
P
4=1x 2Q
12
+y 2
Q
4=1
，两式相减得
(x P −x Q )(x P +x Q )12
+(y P −y Q )(y P +y Q )
4=0，
又PQ//OA ，所以y P −y Q
x P −xQ =1
3
，
此时y P +y Q =−(x p +x Q )，即
y P +y Q 2=−x P +x Q
2，因为线段PQ 被直线l 平分，
不妨设点P(x P ,y P )到直线x +y =0的距离为d ，
此时四边形B 1PB 2Q 的面积S B 1PB 2Q =2S △PB 1B 2=2×12
×|B 1B 2|×d ，又B 1(− 3, 3)，B 2( 3,− 3)，
所以|B 1B 2|= (− 3− 3)2+( 3+
3)2=2 6，
不妨设过点P 且与直线l 平行的直线l 1的方程为x +y =m ，当l 1与椭圆C 相切时，d 取得最大值，
联立{
x +y =m
x 212
+y 24
=1，消去y 并整理得4x 2−6mx +3(m 2−4)=0，
令Δ=36m 2−48(m 2−4)=0，解得m =±4，
当m=±4时，此时方程为4x2±24x+36=0，
即(x±3)2=0，
解得x=±3，
则点P或点Q必有一个和点A(3,1)重合，不符合题意，所以直线l1与椭圆C不可能相切，
此时d小于平行直线x+y=0和x+y=4(或x+y=−4)的距离4
2
=22，
故四边形S B
1PB2Q=2×
1
2
×|B1B2|×d<26×22=83．。