三角比的各个知识点和公式(K12教育文档)

三角比的各个知识点和公式(word版可编辑修改)
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三角比的各个知识点和公式与解斜三角形
锐角三角比的定义
sinA=角A的对边/斜边
cosA＝角A的邻边/斜边
tanA=角A的对边/邻边
cotA=角A的邻边/对边
同角的三角比关系
tanA×cotA=1
互为余角的三角比关系
sinA=cos(90—A）
cosA=sin(90-A）,
tanA=cot(90—A）
cotA=tan(90—A)
直角三角形边、角关系
边与边a^2+b^2=c^2
角与角∠A+∠B=90°
边与角:锐角三角比概念
所以，历史上三角函数曾有三角比之称，三角比不只是三角函数，两者之间还有一定的差别。

任意角的三角比
象限角：定点在平面直角坐标系的原点，始边与x轴重合的角
其三角比的定义：
正弦sinθ=y/r
余弦cosθ=x/r
正切tanθ=y/x
余切cotθ=x/y
正割secθ=r/x
余割cscθ=r/y
公式一
设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：
sin（2kπ＋α）＝sinα
cos（2kπ＋α)＝cosα
公式二
设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin(π＋α）＝－sinα
cos(π＋α）＝－cosα
tan(π＋α）＝tanα
cot(π＋α)＝cotα
公式三
任意角α与 -α的三角函数值之间的关系:
sin(－α)＝－sinα
cos（－α）＝cosα
tan(－α）＝－tanα
cot(－α）＝－cotα
公式四
利用公式二和公式三可以得到π—α与α的三角函数值之间的关系：sin（π－α）＝sinα
cos（π－α）＝－cosα
tan（π－α)＝－tanα
cot（π－α）＝－cotα
公式五
利用公式一和公式三可以得到2π—α与α的三角函数值之间的关系：sin（2π－α）＝－sinα
cos（2π－α）＝cosα
tan（2π－α）＝－tanα
cot（2π－α)＝－cotα
公式六
π/2±α与α的三角函数值之间的关系：
sin（π/2＋α）＝cosα
cos（π/2＋α)＝－sinα
tan（π/2＋α）＝－cotα
cot(π/2＋α）＝－tanα
sin（π/2－α）＝cosα
cot（π/2－α）＝tanα
诱导公式记忆口诀
上面这些诱导公式可以概括为:
对于k·π/2±α（k∈Z）的个三角函数值，
①当k是双数时,得到α的同名函数值，即函数名不改变;
②当k是单数时，得到α相应的余函数值，即sin→cos；cos→sin;tan→cot，cot→tan。

（单变双不变）
然后在前面加上把α看成锐角时原函数值的符号。

（符号看象限）
例如：
sin(2π－α)＝sin(4·π/2－α)，k＝4为偶数，所以取sinα。

当α是锐角时，2π－α∈(270°，360°),sin(2π－α）＜0，符号为“－”。

所以sin(2π－α）＝－sinα
上述的记忆口诀是：
单变双不变，符号看象限.
公式右边的符号为把α视为锐角时，角k·360°+α（k∈Z），-α、180°±α，360°-α 所在象限的原三角函数值的符号可记忆
水平诱导名不变；符号看象限。

各种三角函数在四个象限的符号如何判断，也可以记住口诀“一全正；二正弦；三为切；四余弦”．．
还有一个与英语有关的记忆口诀,来判断符号。

All Station To Center.每个站都能到中央车站。

All 代表第一象限内所有都为正.
Station 开头字母S代表Sin，第二象限只有Sin为正。

To 开头字母T代表Tan，第三象限只有Tan为正。

Center 开头字母C代表Cos，第四象限只有Cos为正。

做题时若需要考虑正负,一下子想不起来，可画简略坐标,在四个象限非别表上A S T C，就一目了然了。

同角三角函数基本关系
⒈同角三角函数的基本关系式
倒数关系：
tanα ·cotα＝1
sinα ·cscα＝1
cosα ·secα＝1
商的关系:
tanα=sinα/cosα或者tanα=secα/cscα,可以简记为s/c
cotα=cosα/sinα或者cotα=cscα/secα,可以简记为c/s
平方关系：
sin^2（α）＋cos^2（α)＝1
1＋tan^2(α)＝sec^2（α）
1＋cot^2（α)＝csc^2（α）
两角和差公式
⒉两角和与差的三角函数公式
sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ
sin(α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ
cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ
cos（α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ
tan(α＋β）＝(tanα＋tanβ） / (1－tanα ·tanβ）
tan(α－β）＝（tanα－tanβ） / （1＋tanα ·tanβ）
倍角公式
⒊二倍角的正弦、余弦和正切公式（升幂缩角公式）
sin2α＝2sinαcosα
cos2α＝cos^2（α)－sin^2（α）＝2cos^2(α)－1＝1－2sin^2（α) tan2α＝2tanα / ［1－tan^2(α)］
半角公式
⒋半角的正弦、余弦和正切公式（降幂扩角公式）
sin^2(α/2）＝（1－cosα)/2
cos^2（α/2）＝（1＋cosα）/2
tan^2(α/2)＝（1－cosα） / (1＋cosα）
*tan（α/2）=sinα / (1+cosα)=（1—cosα） / sinα
万能公式
⒌万能公式
sinα＝2tan（α/2) / ［1＋tan^2(α/2）]
cosα＝[1－tan^2（α/2)］ / ［1＋tan^2(α/2)]
tanα＝2tan(α/2) / ［1－tan^2（α/2）]
三倍角公式
⒍三倍角的正弦、余弦和正切公式
sin3α＝3sinα－4sin^3(α）
2．余弦定理： 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c b a ba C ⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩ 或 222
222222cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac b a c C ab ⎧+-=⎪⎪+-⎪=⎨⎪⎪+-=⎪⎩
. 3．(1）两类正弦定理解三角形的问题：
1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.
2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角.
（2）两类余弦定理解三角形的问题：
1、已知三边求三角.
2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.
4．判定三角形形状时,可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式。

5．解题中利用ABC ∆中A B C π++=，以及由此推得的一些基本关系式进行三角变换的运算,如:sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=-sin cos ,cos sin ,tan cot 222222
A B C A B C A B C +++===. 6．求解三角形应用题的一般步骤：
(1）分析：分析题意，弄清已知和所求；
(2）建模：将实际问题转化为数学问题,写出已知与所求，并画出示意图；
(3）求解:正确运用正、余弦定理求解；
（4）检验：检验上述所求是否符合实际意义。

补充：1、2、sinα·cosβ=1/（tanα+cotα）
2、角的集合：（1）与角a终边重合的角：{B｜B=2kπ+a，K∈Z｝
（2）关于X轴对称：{B｜B=2kπ—a，K∈Z｝
（3)关于Y轴对称:｛B｜B=2kπ+π-a，K∈Z}
（4）关于原点对称：｛B｜B=2kπ+π+a，K∈Z｝
(5)与角a终边垂直:{B|B=2kπ±π/2+a，K∈Z｝
（6)与角a关于直线y=x对称：｛B|B=2kπ±π/2-a，K∈Z｝
3、辅助角公式：Asinα+Bcosα= （A^2+B^2）^(1/2）sin（α+β)
其中sinβ=B/（A^2+B^2)^(1/2)
cosβ=A/（A^2+B^2）^（1/2）。