高三数学第三次教学质量检测试题理试题

2021届高三数学第三次教学质量检测试题 理
制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日
(考试时间是是：120分钟 满分是：150分)
第一卷 (60分)
一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，满分是60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的.
1.R 为实数集，集合{}02A x x =<<，{}3B x x =<，那么()R A B = A.
{}
23x x << B.
{}
23x x ≤< C.
{}03x x x <≤<或2
D.{}03x x x ≤≤<或2
2.假设复数12z z ，在复平面内对应的点关于原点对称，11z i =+，那么12z z ⋅= A.-2 B.2i - C.2 D.2i
3.在新冠肺炎疫情联防联控期间，某居委会从辖区内A ，B ，C 三个小区志愿者中各选取2人，随机安排到这三个小区，协助小区保安做好封闭管理和防控宣传工作.假设每个小区安排2人，那么每位志愿者不安排在自己居住小区，且每个小区安排的志愿者来自不同小区的概率为
A.59
B.49
C.445
D.2
135
4.双曲线22
221x y a b
-=(0a >，0b >)的顶点到渐近线的间隔 为2a ，那么该双曲线的离心
率为
A.3
2
5.“关于x 的方程()
212x x a +=有实数解〞的一个充分不必要条件是
A.113a <<
B.12a ≥
C.2
13
a << D.112a ≤<
6.3tan 32πα⎛⎫
+
= ⎪
⎝
⎭，那么3sin cos 3cos sin αααα
+=- A.19 B.39 C.1
3
D.33
1650年的埃及莱因德纸草书上载有如下问题：“十人分十斗玉米，从第二人开场，各人所得依次比前人少八分之一，问每人各得玉米多少斗？〞在上述问题中，第一人分得玉米
A.91070881⨯-斗
B.10101010887⨯-斗
C.9101010887⨯-斗
D.8
101010887
⨯-斗 8.ABC ∆三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，
假设2cos a b c B +=，那么2
b c a b ⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
的最小值为
A.22
B.3
C.23
D.4
9.某校高一年级研究性学习小组利用激光多普勒测速仪实地测量复兴号高铁在某时刻的速度，其工作原理是：激光器发出的光平均分成两束后射出，并在被测物体外表会聚，探测器接收反射光.当被测物体横向速度为零时，反射光与探测光频率一样；当横向速度不为零时，反射光相对探测光会发生频移2sin p v f ϕ
λ
=
，其中v 为测速仪测得被测物体的横向速度，λ为激光波长，ϕ为两束探测光
线夹角的一半，如图.假设激光测速仪安装在间隔 高铁1m 处，发出的激光波长为1550nm (91nm 10m -=)，测得某时刻频移为99.03010⨯(1/h)，那么该时刻高铁的速度约等于
A.320km/h
B.330km/h
C.340km/h
D.350km/h
1111ABCD A B C D -中，6AB AD ==，12AA =，M 为棱BC 的中点，动点P 满足
APD CPM ∠=∠，那么点P 的轨迹与长方体的面11DCC D 的交线长等于
A.
23π B.π C.43
π D.2π 11.不等式()1ln 1x e x m x x -->-+⎡⎤⎣⎦对一切正数x 都成立，那么实数m
的取值范围是
A. 3e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，
B. 2e ⎛
⎤-∞ ⎥⎝⎦
， C.(] 1-∞，
D.(] e -∞， 12.在矩形ABCD 中，4AB =
，BC = G H ，分别为直线 BC CD ，上的动点，AH 交DG 于点P .假设2DH DC λ=，12
CG CB λ=(01λ<<)，矩形ABCD 的对称中心M 关于直线AD 的对称点是点N ，那么PMN ∆的周长为
A.12
B.16
C.24λ
D.32λ
第二卷 (90分)
—第21题为必考题，每个试题考生都必须答题.第22题、第23题为选考题，考生根据要求答题.
二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题5分，满分是20分.把答案填在答题卡上的相应位置.
人，那么上表中
a = .
5
44x x ⎛⎫-+ ⎪⎝
⎭的展开式中，2
x 的系数为 . 15.数列{}n a 中n a n =，数列{}n b 的前n 项和21n n S =-.假设数列n n a b ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的前n 项和n T M <对于*n N ∀∈都成立，那么实数M 的最小值等于 .
16.三棱锥A BCD -的三条侧棱AB AC AD ，，两两垂直，其长度分别为a b c ，，.点A 在底面BCD 内的射影为O ，点A
B C D ，，，所对面的面积分别为A B C D S S S S ，，，.在以下所给的
命题中，正确的有 .(请写出所有正确命题的编号)
①三棱锥A BCD -外接球的外表积为()222
a b c π++；
②2
A BCO D S S S ∆⋅=； ③3333A
B
C
D S S S S <++；
④假设三条侧棱与底面所成的角分别为111αβγ，，，那么222
111sin sin sin 1αβγ++=；
⑤假设点M 是面BCD 内一个动点，且AM 与三条侧棱所成的角分别为222αβγ，，，那
么222
222cos cos cos 1αβγ++=.
三、解答题：本大题一一共6小题，满分是70分.解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤．
17.(本小题满分是12分)
函数()()
cos sin 3cos f x x x x ωωω=+(0ω>). ⑴求函数()f x 的值域； ⑵假设方程()32
f x =在区间[]0 π，
上恰有两个实数解，求ω的取值范围.
18.(本小题满分是12分)
如图，边长为2的等边ABC ∆所在平面与菱形11A ACC 所在
平面互相垂直，1
13AC AC =，M 为线段AC 的中点. ⑴求证：平面1BMC ⊥平面11A BC ； ⑵求点C 到平面11A BC 的间隔 .
19.(本小题满分是12分)
某积极贯彻落实国务院?“十三五〞节能减排综合工作方案?，空气质量明显改善.该生态环境局统计了某月(30天)空气质量指数，绘制成如下频率分布直方图.空气质量等级与空气质量指数对照如下表： ⑴根据频率分布直方图估计，在这30天中，空气质量等
级为优或者良的天数；
⑵根据体质检查情况，医生建议：当空气质量指数高于90时，民甲不宜进展户外体育运动；当空气质量指数高于70时，民乙不宜进展户外体育运动(两人是否进展户外体育运动互不影响).
①从这30天中随机选取2天，记乙不宜进展户外体育运动，且甲适宜进展户外体育运动的天数为X ，求X 的分布列和数学期望；
②以一个月空气质量指数分布的频率代替每天空气质量指数分布的概率(假定每天空气质量指数互不影响)，甲、乙两人分别随机选择3天和2天进展户外体育运动，求甲恰有2天，且乙恰有1天不宜进展户外体育运动的概率.
20.(本小题满分是12分)
函数()x x f x e e ax -=--(e 为自然对数的底数)，其中a R ∈. ⑴试讨论函数()f x 的单调性；
⑵证明：()22
132ln 21n
i n n i i n n =-->+∑. 空气
质量
指数 (0，50]
(50，100]
(100，150]
(150，200]
(200，
300]
300以上
空气
质 量等级
一级 (优) 二级
(良)
三级
(轻度污染)
四级 (中度污染) 五级 (重度污染) 六级
(严重污
染)
21.(本小题满分是12分)
在平面直角坐标系xOy中，点P是椭圆E：
2
21
4
x
y
+=上的动点，不经过点P的直线l交
椭圆E于A，B两点.
⑴假设直线l经过坐标原点，证明：直线PA与直线PB的斜率之积为定值；
⑵假设0
OA OB OP
++=，直线l与直线PO交于点Q，试判断动点Q的轨迹与直线PA的位置关系，并说明理由.
请考生在第22、23题中任选一题答题.注意：只能做所选定的题目，假如多做，那么按所做的第一个题目计分，答题时，请需要用2B铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑.
22.(本小题满分是10分)选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，直线m的参数方程为
cos
sin
x t
y t
α
α
=
⎧
⎨
=
⎩
(t为参数，0απ
≤<).以坐标原
点为极点，以x E的极坐标方程为2+2cos30
ρρθ-=，直线m与曲线E交于A，C两点.
⑴求曲线E的直角坐标方程和直线m的极坐标方程；
⑵过原点且与直线m垂直的直线n，交曲线E于B，D两点，求四边形ABCD面积的最大值.
23.(本小题满分是10分)选修4-5：不等式选讲
函数()221
f x x x
=--+的最小值为m.
⑴求m的值；
⑵假设0a b c m +++=，证明：2222420a b c b c ++-++≥.
2021届高三第三次教学质量检测数学试题(理科)
参考答案及评分HY
一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分.
二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分.
13.480 14.-960 15.4 16.①②④⑤
三、解答题：本大题一一共6小题，满分是70分.
17.(本小题满分是12分)
解:(1)()())
1
cos sin sin21cos2
2
f x x x x x x
ωωωωω
==+sin2
3
x
π
ω
⎛⎫
=+
⎪
⎝⎭
.
由1sin21
3
x
π
ω
⎛⎫
-≤+≤
⎪
⎝⎭
得，()
f x的值域是11
⎤
⎥
⎣⎦
(5)
分
(2)∵0xπ
≤≤，∴22
333
x
πππ
ωωπ
≤+≤+，
由正弦函数的图像可知，()
f x在区间[]
0π
，上恰有两个实数解，必须
223
3
π
πωππ
≤+<，
解得54
63
ω
≤<. ………………………………12分
18.(本小题满分是12分)
解：(1)∵四边形
11
A ACC是菱形，∴
11
AC AC
⊥，
又∵1
13AC AC =，∴1=60ACC ∠，∴1ACC ∆是等边三角形. ∵点M 为线段AC 的中点，∴1C M AC ⊥. 又∵AC ∥11A C ，∴111C M AC ⊥. ∵在等边ABC ∆中，BM AC ⊥， 由AC ∥11A C 可得，11BM AC ⊥. 又∵1BM
C M M =，∴111AC BMC ⊥平面，
∵11AC ⊂平面11A BC ，∴平面1BMC ⊥平面11A BC .……………………………5分 (2)∵BM AC ⊥，平面ABC ⊥平面11A ACC ，且交线为AC ， ∴11BM ACC A ⊥平面，∴直线MB ，MC ，1MC 两两垂直. 以点M 为坐标原点，分别以MB ，MC ，1MC 所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，如图，
那么(
)3 0 0B
，，，()
10 0 3
C ，，，()
10 2 3
A -，，，
()0 1 0C ，，，
∴()110 2 0A C =，，，()13 0 3BC =-，，，()
1 01 3CC =-，，. 设平面11A BC 的一个法向量为() n x y z =，，
， ∴1110
A C n BC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，∴0330y x z =⎧⎪⎨-+=⎪⎩.令1x =，得()1 0 1n =，，
， ∴136
2
2
CC n d n
⋅===，即点C 到平面
11
A BC 的间隔 为
6
2
. ………………………………12分
19.(本小题满分是12分)
解:(1)由频率分布直方图可得，空气质量指数在(90，110]的天数为2天，所以估计空气质量指数在(90，100]的天数为1天，故在这30天中空气质量等级属于优或者良的天数为
28天.……………………3分
(2)①在这30天中，乙不宜进展户外体育运动，且甲适宜进展户外体育运动的天数一共6天，
∴()2
24230920145C P X C ===，()116242
30481145C C P X C ⋅===，()262301
229
C P X C ===， ∴X 的分布列为
∴ 924812012145145295
EX =⨯
+⨯+⨯=. …………………………………8分 ②甲不宜进展户外体育运动的概率为
110，乙不宜进展户外体育运动的概率为3
10
， ∴2
2
13
21937
5671010
101050000P C C ⎛⎫=⋅⋅⋅⋅⋅=
⎪⎝⎭. ………………………………12分
20.(本小题满分是12分) 解：(1)()x x f x e e a -'=+-.
当2a ≤时，()20x x f x e e a a -'=+-≥-≥，()f x 在R 上单调递增； 当2a >时，由()0f x '=
得x
e =
x =.
当ln a x ⎛⎛⎫
+
⎪∈-∞+∞
⎪⎝⎭⎝⎭
，时，()0f x '>， 当x ⎛
∈ ⎝⎭
时，()0f x '<. ∴()f
x 在⎛ -∞ ⎝⎭，
和
⎛⎫ ⎪+∞ ⎪⎝⎭
上单调递增，
在⎛ ⎝⎭
上单调递减.………………………………5分 (2)由(1)知，当2a =时，()2x x f x e e x -=--在R 上单调递增，
∴()()1
ln 2ln g x f x x x x
==-
-在()0+∞，
上单调递增. 当2n Z n ∈≥且时，11
2ln 12ln101n n n -->--=，即212ln n n n ->，
∴当2n Z n ∈≥且时，
21211
ln 111
n n n n n >=-
--+， ∴()
2211111
1111132
1ln 132411212n 1n
i n n i i
n n n n n =-->-+-+
+-=+--=
-+++∑. ………………………………
12分
21.(本小题满分是12分)
解: 设点()00P x y ，，()11A x y ，，()22B x y ，. (1)∵直线l 经过坐标原点，∴2121x x y y =-=-，.
∵022014x y +=，∴022
014
x y =-. 同理得122
114
x y =-.
∴001101
01010122
2222
01012222
22010111444414
PA PB
x x x x y y y y y y k k x x x x x x x x x x ⎛⎫
⎛⎫
----- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--+⎝⎭⎝⎭⋅=⋅====--+---. ∴直线PA 与直线PB 的斜率之积为定值. ……………………………5分 (2)∵0OA OB OP ++=，∴2OP OQ =-. 设()Q x y ，，那么0022x x
y y
=-⎧⎨
=-⎩.
由0220
14
x y +=，得2241x y +=， ∴动点Q 的轨迹方程为2241x y +=. ……………………………8分
设直线OB 与直线PA 交于点M ，那么点M 为线段PA 的中点，且222
2x
y M ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，
当20y ≠时，∵02
2
014x y +=，122114
x y +=，∴1010210102144PA y y x x x k x x y y y -+==-⋅=--+，
∴直线PA 的方程为2222242y x x y x y ⎛⎫
+
=-+ ⎪⎝⎭，整理得2
2
24x x y y +=-. 将22
24x x y y +=-
代入动点Q 的轨迹方程得，()()
2222
222244410x y x x x y +++-=(※). 将22
2214
x y +=代入(※)，整理得2222
440x x x x ++=. ∵222
216160x x ∆=-=，∴直线PA 与动点Q 的轨迹相切. 当20y =时，直线PA 的方程为1x =±，∴直线PA 与动点Q 的轨迹相切. 综上可知，直线PA 与动点Q 的轨迹相切. ……………………………12分
22.(本小题满分是10分)
(1)曲线E 的直角坐标方程为()2
2+14x y +=，
直线m 的极坐标方程为θα=(R ρ∈). ………………………………5分 (2)设点A ，C 的极坐标分别为()1ρα，，()2ρα，.
由2=+2cos 30
θαρρθ⎧⎨-=⎩得，2+2cos 30ρρα-=，∴122cos ρρα+=-，123ρρ=-，
∴12AC ρρ=-=
同理得BD =
∵221
cos 3sin 372
ABCD S AC BD αα=
⋅=≤+++=， 当且仅当22cos 3sin 3αα+=+，即34
4
π
π
α=
或
时，等号成立， ∴四边形ABCD 面积的最大值为7. ………………………………10分
23.(本小题满分是10分)
(1)()3 122113113 1x x f x x x x x x x -<-⎧⎪
=--+=--≤<⎨⎪-≥⎩
，，，，
根据函数图象得，()f x 的最小值为-2，
∴2m =-. ………………………………5分 (2)由(1)知，2a b c ++=，
∴()()()()()()2222
2222121111112119a b c a b c a b c ⎡⎤+-++⋅++≥⋅+-⋅++⋅=+++=⎡⎤⎣⎦
⎣⎦
， ∴()()22
2123a b c +-++≥，
当且仅当12a b c =-=+，2a b c ++=，即1a =，2b =，1c =-时等号成立， ∴2222420a b c b c ++-++≥. ………………………………10分
制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日。