06年辽宁高考题及答案

2006年高考试题辽宁卷理科数学试题
一. 选择题
(1) 设集合{1,2}A =,则满足{1,2,3}A B ⋃=的集合B 的个数是
(A)1 (B)3 (C)4 (D)8
(2) 设()f x 是R 上的任意函数,则下列叙述正确的是
(A)()()f x f x -是奇函数 (B)()()f x f x -是奇函数
(C) ()()f x f x --是偶函数 (D) ()()f x f x +-是偶函数
(3) 给出下列四个命题:
①垂直于同一直线的两条直线互相平行.
②垂直于同一平面的两个平面互相平行.
③若直线12,l l 与同一平面所成的角相等,则12,l l 互相平行. ④若直线12,l l 是异面直线,则与12,l l 都相交的两条直线是异面直线. 其中假．
命题的个数是 (A)1 (B)2 (C)3 (D)4
(4) 双曲线2
2
4x y -=的两条渐近线与直线3x =围成一个三角形区域,表示该区域的不等式组是
(A)0003x y x y x -≥⎧⎪+≥⎨⎪≤≤⎩ (B)0003x y x y x -≥⎧⎪
+≤⎨⎪≤≤⎩ (C)
003x y x y x -≤⎧⎪
+≤⎨⎪≤≤⎩ (D) 0003x y x y x -≤⎧⎪
+≥⎨⎪≤≤⎩
(5) 设○
+是R 上的一个运算,A 是R 的非空子集,若对任意,a b A ∈有a ○+b A ∈,则称A 对运算○
+封闭,下列数集对加法、减法、乘法和除法(除数不等于零)四则运算都封闭的是 (A)自然数集 (B)整数集 (C)有理数集 (D)无理数集
(6)
ABC 的三内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c 设向量
(,)p a c b =+,(,)q b a c a =--,若//p q ,则角C 的大小为
(A)
6π (B)3π (C) 2
π
(D) 23π
(7) 与方程221(0)x
x y e e x =-+≥的曲线关于直线y x =对称的曲线的方程为
(A)ln(1y =
(B) ln(1y =-
(C) ln(1y =-+
(D) ln(1y =-
(8) 曲线
221(6)106x y m m m +=<--与曲线22
1(59)59x y m m m
+=<<--的 (A)焦距相等 (B) 离心率相等 (C)焦点相同 (D)准线相同
(9) 在等比数列{}n a 中,12a =,前n 项和为n S ,若数列{}1n a +也是等比数列,则n S 等于
(A)122n +- (B) 3n (C) 2n (D)31n
-
(10) 直线2y k =与曲线2222918k x y k x += (,)k R ∈≠且k 0的公共点的个数为
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4 (11)已知函数11
()(sin cos )sin cos 22
f x x x x x =
+--,则()f x 的值域是 (A)[]1,1-
(B) 2⎡⎤
-
⎢⎥⎣
⎦
(C) ⎡-⎢⎣
⎦
(D)
1,⎡-⎢⎣
⎦
(12) 设(0,0)O ,(1,0)A ,(0,1)B ,点P 是线段AB 上的一个动点,AP AB λ=,若
OP AB PA PB ⋅≥⋅,则实数λ的取值范围是
(A)
1
12
λ≤≤
(B) 112λ-≤≤
(C) 1122λ≤≤+
(D) 11λ≤≤+ 二. 填空题
(13) 设,0.(),0.
x e x g x lnx x ⎧≤=⎨>⎩则1
(())2g g =__________
(14) 2222464646
()()...()
57
5757lim 545454
()()...()656565
n n n n n →∞-+-++-=-+-++-_____________ (15) 5名乒乓球队员中,有2名老队员和3名新队员.现从中选出3名队员排成1、2、3号参
加团体比赛,则入选的3名队员中至少有一名老队员,且1、2号中至少有1名新队员的排法有_______种.(以数作答)
(16) 若一条直线与一个正四棱柱各个面所成的角都为α,则cos α=______ 三． 解答题
(17) (本小题满分12分)
已知函数2
2
()sin 2sin cos 3cos f x x x x x =++，x R ∈.求:
(I) 函数()f x 的最大值及取得最大值的自变量x 的集合； (II) 函数()f x 的单调增区间.
(18) (本小题满分12分)]
已知正方形ABCD .E 、F 分别是AB 、CD 的中点,将ADE 沿DE 折起,如图所示,记二面角A DE C --的大小为(0)θθπ<<.
(I) 证明//BF 平面ADE ;
(II)若ACD 为正三角形,试判断点A 在平面BCDE 内的射影G 是否在直线EF 上,证明你的结论,并求角θ的余弦值.
(19) (本小题满分12分)
现有甲、乙两个项目，对甲项目每投资十万元，一年后利润是1.2万元、1.18万元、1.17万元的概率分别为
16、12、1
3
;已知乙项目的利润与产品价格的调整有关,在每次调整中价格下降的概率都是(01)p p <<,设乙项目产品价格在一年内进行2次独立的调整,记乙项目产品价格在一年内的下降次数为ξ,对乙项目每投资十万元, ξ取0、1、2时, 一年后相应利润是1.3万元、1.25万元、0.2万元.随机变量1ξ、2ξ分别表示对甲、乙两项目各投资十万元一年后的利润.
(I) 求1ξ、2ξ的概率分布和数学期望1E ξ、2E ξ; (II) 当12E E ξξ<时,求p 的取值范围.
C
D
F
C
E
(20) (本小题满分14分)
已知点11(,)A x y ,22(,)B x y 12(0)x x ≠是抛物线2
2(0)y px p =>上的两个动点,O 是坐标
原点,向量OA ,OB 满足O A O B O A O B +=-.设圆C 的方程为
221212()()0x y x x x y y y +-+-+=
(I) 证明线段AB 是圆C 的直径;
(II)当圆C 的圆心到直线X-2Y=0的距离的最小值为时，求P 的值。

21．（本小题满分12分）
已知函数f(x)=d cx bx ax +++2
33
1
,其中a , b , c 是以d 为公差的等差数列，，且
a ＞0,d ＞0.设的极小值点，在为)(0x f x ［1-
0,2a
b
］上，处取得最大植在1')(x x f ，在处取得最小值2x ，将点
依次记为（))(,(,()),(,()),(,22'21'100x f x f x x f x x f x A ， B ， C (I)求的值o x
(II)若⊿ABC 有一边平行于x 轴，且面积为32+，求a ,d 的值
22．（本小题满分12分） 已
知
0(
)
,n
f x x ='11()
()(1)
k k k f x f x f --=
,其中
(,k n n
k N +
≤∈,设
02122201()()()...()...()k n
n n n k n n F x C f x C f x C f x C f x =+++++,[]1,1x ∈-.
(I) 写出(1)k f ;
(II) 证明:对任意的[]12,1,1x x ∈-,恒有1
12()()2
(2)1n F x F x n n --≤+--.
2006年高考试题辽宁卷理科数学试题
一. 选择题
(2) 设集合{1,2}A =,则满足{1,2,3}A B ⋃=的集合B 的个数是（ ）
(A)1 (B)3 (C)4 (D)8
【解析】{1,2}A =，{1,2,3}A B ⋃=，则集合B 中必含有元素3，即此题可转化为求集合
{1,2}A =的子集个数问题，所以满足题目条件的集合B 共有224=个。

故选择答案C 。

【点评】本题考查了并集运算以及集合的子集个数问题，同时考查了等价转化思想。

(2) 设()f x 是R 上的任意函数,则下列叙述正确的是 (A)()()f x f x -是奇函数 (B)()()f x f x -是奇函数 (C) ()()f x f x --是偶函数 (D) ()()f x f x +-是偶函数
【解析】A 中()()()F x f x f x =-则()()()()F x f x f x F x -=-=，
即函数()()()F x f x f x =-为偶函数，B 中()()()F x f x f x =-，()()()F x f x f x -=-此时()F x 与()F x -的关系不能确定，即函数()()()F x f x f x =-的奇偶性不确定， C
中
()()()
F x f x f x =--，
()()()()F x f x f x F x -=--=-，即函数
()()()F x f x f x =--为奇函数，D 中()()()F x f x f x =+-，
()()()()F x f x f x F x -=-+=，即函数()()()F x f x f x =+-为偶函数，故选择答案D 。

【点评】本题考查了函数的定义和函数的奇偶性的判断，同时考查了函数的运算。

(3) 给出下列四个命题:
①垂直于同一直线的两条直线互相平行.
②垂直于同一平面的两个平面互相平行.
③若直线12,l l 与同一平面所成的角相等,则12,l l 互相平行. ④若直线12,l l 是异面直线,则与12,l l 都相交的两条直线是异面直线.
其中假．
命题的个数是 (A)1 (B)2 (C)3 (D)4
【解析】利用特殊图形正方体我们不难发现①、②、③、④均不正确，故选择答案D 。

【点评】本题考查了空间线面的位置关系以及空间想象能力，同时考查了立体几何问题处理中运用特殊图形举例反证的能力。

(4) 双曲线2
2
4x y -=的两条渐近线与直线3x =围成一个三角形区域,表示该区域的不等
式组是
(A)0003x y x y x -≥⎧⎪+≥⎨⎪≤≤⎩ (B)0003x y x y x -≥⎧⎪
+≤⎨⎪≤≤⎩
(C)
003x y x y x -≤⎧⎪
+≤⎨⎪≤≤⎩ (D) 0003x y x y x -≤⎧⎪
+≥⎨⎪≤≤⎩
【解析】双曲线2
2
4x y -=的两条渐近线方程为y x =±，与直线3x =围成一个三角形区
域时有0003x y x y x -≥⎧⎪
+≥⎨⎪≤≤⎩。

【点评】本题考查了双曲线的渐近线方程以及线性规划问题。

(5) 设○
+是R 上的一个运算,A 是R 的非空子集,若对任意,a b A ∈有a ○+b A ∈,则称A 对运算○
+封闭,下列数集对加法、减法、乘法和除法(除数不等于零)四则运算都封闭的是 (A)自然数集 (B)整数集 (C)有理数集 (D)无理数集
【解析】A 中1－2＝－1不是自然数，即自然数集不满足条件；B 中1÷2＝0.5不是整数，
即整数集不满足条件；C 中有理数集满足条件；D
2=不是无理数，即无理数集不满足条件，故选择答案C 。

【点评】本题考查了阅读和理解能力，同时考查了做选择题的一般技巧排除法。

(6)
ABC 的三内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c 设向量
(,)p a c b =+,(,)q b a c a =--,若//p q ,则角C 的大小为
(A)
6π (B)3π (C) 2
π
(D) 23π
【解析】222
//()()()p q a c c a b b a b a c ab ⇒+-=-⇒+-=，利用余弦定理可得
2cos 1C =，即1cos 23
C C π
=
⇒=，故选择答案B 。

【点评】本题考查了两向量平行的坐标形式的重要条件及余弦定理和三角函数，同时着重考
查了同学们的运算能力。

(7) 与方程221(0)x
x y e e x =-+≥的曲线关于直线y x =对称的曲线的方程为
(A)ln(1y =
(B) ln(1y =-
(C) ln(1y =-+
(D) ln(1y =-
【解析】2221(0)(1)x
x x y e
e x e y =-+≥⇒-=，0,1x x e ≥∴≥，即
：
1l n )x e x y =⇒=+
，
所以1
()ln(1f x -=，故选择答案A 。

【点评】本题考查了方程和函数的关系以及反函数的求解。

同时还考查了转化能力。

(8) 曲线
221(6)106x y m m m +=<--与曲线22
1(59)59x y m m m
+=<<--的 (A)焦距相等 (B) 离心率相等 (C)焦点相同 (D)准线相同
【解析】由
22
1(6)106x y m m m +=<--知该方程表示焦点在x 轴上的椭圆，由22
1(59)59x y m m m
+=<<--知该方程表示焦点在y 轴上的双曲线，故只能选择答案A 。

【点评】本题考查了椭圆和双曲线方程及各参数的几何意义，同时着重考查了审题能力即参数范围对该题的影响。

(9) 在等比数列{}n a 中,12a =,前n 项和为n S ,若数列{}1n a +也是等比数列,则n S 等于
(A)1
2
2n +- (B) 3n (C) 2n (D)31n -
【解析】因数列{}n a 为等比，则1
2n n a q -=，因数列{}1n a +也是等比数列，
则
22121122212
(1)(1)(1)22(12)01
n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a q q q +++++++++=++⇒+=++⇒+=⇒+-=⇒=
即2n a =，所以2n S n =，故选择答案C 。

【点评】本题考查了等比数列的定义和求和公式，着重考查了运算能力。

(10) 直线2y k =与曲线2222
918k x y k x += (,)k R ∈≠且k 0的公共点的个数为
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
【解析】将2y k =代入22
2
2
918k x y k x +=得：22
2
2
9418k x k k x +=
29||1840x x ⇒-+=，显然该关于||x 的方程有两正解，即x 有四解，所以交点有4个，
故选择答案D 。

【点评】本题考查了方程与曲线的关系以及绝对值的变换技巧，同时对二次方程的实根分布也进行了简单的考查。

(11)已知函数11
()(sin cos )sin cos 22
f x x x x x =
+--,则()f x 的值域是 (A)[]1,1-
(B) 2⎡⎤
-
⎢⎥⎣
⎦
(C) 1,2⎡-⎢⎣⎦
(D)
1,2⎡--⎢⎣⎦
【解析】cos (sin cos )11
()(sin cos )sin cos sin (sin cos )22x x x f x x x x x x x x ≥⎧=+--=⎨<⎩
即等价于min {sin ,cos }x x ，故选择答案C 。

【点评】本题考查绝对值的定义、分段函数、三角函数等知识，同时考查了简单的转化和估算能力。

(12) 设(0,0)O ,(1,0)A ,(0,1)B ,点P 是线段AB 上的一个动点,AP AB λ=,若
OP AB PA PB ⋅≥⋅,则实数λ的取值范围是
(A)
1
12
λ≤≤
(B) 112λ-≤≤
(C) 1122λ≤≤+
(D) 1122λ-≤≤+ 【解析】
(1)(1,),
(1)(1,1),(,)
AP AB OP OA OB PB AB AP AB AP AB λλλλλλλλλλλ=⇒=-+=-=-=-=--==-
2(1,)(1,1)(,)(1,1)2410OP AB PA PB λλλλλλλλ⋅≥⋅⇔--≥---⇒-+≤
解得
: 1122
λ-
≤≤+,因点P 是线段AB 上的一个动点,所以01λ≤≤,即满足条件的实数λ
的取值范围是112
λ-
≤≤,故选择答案B. 【点评】本题考查向量的表示方法,向量的基本运算,定比分点中定比的范围等等. 二. 填空题
(13) 设,0.(),0.
x e x g x lnx x ⎧≤=⎨>⎩则1
(())2g g =__________
【解析】1ln 2111
(())(ln )222
g g g e ===.
【点评】本题考察了分段函数的表达式、指对数的运算.
(14) 2222464646()()...()
57
5757lim 545454
()()...()656565
n n n n n →∞-+-++-=-+-++-_____________ 【解析】22222222464646444666()()...()(...)(...)
57
5757555777lim 545454555444
()()...()(...)(...)656565666555n n n n n n n n n →∞-+-++-+++-+++=-+-++-+++-+++ 4161[1()][1()]5577
1111511()()1()575
77lim lim lim 1514111
5[1()][1()]()()()16655656
111165
n n n n n
n n n n n n n n →∞→∞→∞-------====--------
【点评】本题考查了等比数列的求和公式以及数列极限的基本类型.
(15) 5名乒乓球队员中,有2名老队员和3名新队员.现从中选出3名队员排成1、2、3号参加团体比赛,则入选的3名队员中至少有一名老队员,且1、2号中至少有1名新队员的排法有_______种.(以数作答)
【解析】两老一新时, 有112
322C 12C A ⨯=种排法;
两新一老时, 有123
233C C 36A ⨯=种排法,即共有48种排法.
【点评】本题考查了有限制条件的排列组合问题以及分类讨论思想.
(16) 若一条直线与一个正四棱柱各个面所成的角都为α,则cos α=______
【解析】不妨认为一个正四棱柱为正方体,与正方体的所有面成角相等时,为与相交于同一顶点的三个相互垂直的平面所成角相等,即为体对角线与该正方体所成角.故
cos
α=
=. 【点评】本题考查了直线与平面所成角的定义以及正四棱柱的概念,充分考查了转化思想的
应用.
三． 解答题
(17) (本小题满分12分)
已知函数2
2
()sin 2sin cos 3cos f x x x x x =++，x R ∈.求: (I) 函数()f x 的最大值及取得最大值的自变量x 的集合； (II) 函数()f x 的单调增区间. 【解析】(I) 解法一:
1cos 23(1cos 2)
()sin 21sin 2cos 22)224
x x f x x x x x π
-+=
++=++=++
∴当224
2
x k π
π
π+
=+
,即()8
x k k Z π
π=+
∈时, ()f x 取得最大值2函数()f x 的取得最大值的自变量x 的集合为{/,()}8
x x R x k k Z π
π∈=+∈.
解法二:
2222()(sin cos )2sin cos 2cos 2sin cos 12cos sin 2cos 22
f x x x x x x x x x x x =+++=++=++
2)4
x π
=++
∴当224
2
x k π
π
π+
=+
,即()8
x k k Z π
π=+
∈时, ()f x 取得最大值2函数()f x 的取得最大值的自变量x 的集合为{/,()}8
x x R x k k Z π
π∈=+∈.
(II)解: ()2)4
f x x π
=+
由题意得: 222()2
4
2
k x k k Z π
π
π
ππ-≤+
≤+
∈
即: 3()88
k x k k Z ππ
ππ-
≤≤+∈ 因此函数()f x 的单调增区间为3[,]()88
k k k Z ππ
ππ-
+∈. 【点评】本小题考查三角公式,三角函数的性质及已知三角函数值求角等基础知识,考查综合
运用三角有关知识的能力. (18) (本小题满分12分)]
已知正方形ABCD .E 、F 分别是AB 、CD 的中点,将ADE 沿DE 折起,如图所示,记二面角A DE C --的大小为(0)θθπ<<.
(I) 证明//BF 平面ADE ;
(II)若ACD 为正三角形,试判断点A 在平面BCDE 内的射影G 是否在直线EF 上,证明你的结论,并求角θ的余弦值.
【解析】(I)证明:EF 分别为正方形ABCD 得边AB 、CD 的中点, ∴EB//FD,且EB=FD,
∴四边形EBFD 为平行四边形. ∴BF//ED
,EF AED BF AED ⊂⊄平面而平面 ∴//BF 平面ADE .
(II)解法1:
如右图,点A 在平面BCDE 内的射影G 在直线EF 上, 过点A 作AG 垂直于平面BCDE,垂足为G,连结
GC,GD. ∆ACD 为正三角形, ∴AC=AD ∴CG=GD
C
D
F
C
E
G 在CD 的垂直平分线上,
∴点A 在平面BCDE 内的射影G 在直线EF 上,
过G 作GH 垂直于ED 于H,连结AH,则AH DE ⊥,所以AHD ∠为二面角A-DE-C 的平面角.即G AH θ∠=
设原正方体的边长为2a,连结AF
在折后图的∆AEF 中,EF=2AE=2a,
即∆AEF 为直角三角形, AG EF AE AF ⋅=⋅
2
AG a ∴= 在Rt ∆ADE 中, AH DE AE AD ⋅=⋅
AH ∴=
GH ∴= 1cos 4
GH AH θ==. 解法2:点A 在平面BCDE 内的射影G 在直线EF 上
连结AF,在平面AEF 内过点作AG EF '⊥,垂足为G '.
∆ACD 为正三角形,F 为CD 的中点,
AF CD ∴⊥
又因EF CD ⊥,
所以CD AEF ⊥平面
AG AEF '⊂平面
AG CD '∴⊥
又AG EF '⊥且,,BCDE CD EF F CD BCDE EF ⋂=⊂⊂平面平面
AG BCDE '∴⊥平面
G '∴为A 在平面BCDE 内的射影G.
即点A 在平面BCDE 内的射影在直线EF 上
过G 作GH 垂直于ED 于H,连结AH,则AH DE ⊥,所以AHD ∠为二面角A-DE-C 的平面角.即G AH θ∠=
设原正方体的边长为2a,连结AF
在折后图的∆AEF 中,EF=2AE=2a,
即∆AEF 为直角三角形, AG EF AE AF ⋅=⋅
AG ∴=
在Rt ∆ADE 中, AH DE AE AD ⋅=⋅
AH ∴=
GH ∴= 1cos 4
GH AH θ==. 解法3: 点A 在平面BCDE 内的射影G 在直线EF 上
连结AF,在平面AEF 内过点作AG EF '⊥,垂足为G '.
∆ACD 为正三角形,F 为CD 的中点,
AF CD ∴⊥
又因EF CD ⊥,
所以CD AEF ⊥平面
CD BCDE ∴⊂平面
AEF BCDE ∴⊥平面平面
又AEF =EF,BCDE AG EF '⋂⊥平面平面
AG EF '⊥
AG BCDE '∴⊥平面
G '∴为A 在平面BCDE 内的射影G.
即点A 在平面BCDE 内的射影在直线EF 上
过G 作GH 垂直于ED 于H,连结AH,则AH DE ⊥,所以AHD ∠为二面角A-DE-C 的平面角.即G AH θ∠=
设原正方体的边长为2a,连结AF
在折后图的∆AEF 中,EF=2AE=2a,
即∆AEF 为直角三角形, AG EF AE AF ⋅=⋅
2
AG a ∴= 在Rt ∆ADE 中, AH DE AE AD ⋅=⋅
AH ∴=
GH ∴=
,
1cos 4
GH AH θ==. 【点评】本小题考查空间中的线面关系,解三角形等基础知识考查空间想象能力和思维能力.
(19) (本小题满分12分)
现有甲、乙两个项目，对甲项目每投资十万元，一年后利润是1.2万元、1.18万元、1.17万元的概率分别为16、12、13
;已知乙项目的利润与产品价格的调整有关,在每次调整中价格下降的概率都是(01)p p <<,设乙项目产品价格在一年内进行2次独立的调整,记乙项目产品价格在一年内的下降次数为ξ,对乙项目每投资十万元, ξ取0、1、2时, 一年后相应利润是
1.3万元、1.25万元、0.2万元.随机变量1ξ、2ξ分别表示对甲、乙两项目各投资十万元一年后的利润.
(I) 求1ξ、2ξ的概率分布和数学期望1E ξ、2E ξ;
(II) 当12E E ξξ<时,求p 的取值范围.
【解析】
(I)解法1: 1ξ的概率分布为
E 1ξ=1.26⨯+1.182⨯+1.1713
⨯=1.18. 由题设得~(2,)B p ξ,则ξ的概率分布为
故2ξ的概率分布为
所以2ξ的数学期望为
E 2ξ=21.3(1)p ⨯-+1.252(1)p p ⨯-+20.2p ⨯=2
0.1 1.3p p --+.
解法2: 1ξ的概率分布为
E 1ξ=1.26⨯+1.182⨯+1.1713
⨯=1.18. 设i A 表示事件”第i 次调整,价格下降”(i=1,2),则
P(ξ=0)= 212()()(1)P A P A p =-;
P(ξ=1)=1212()()()()2(1)P A P A P A P A p p +=-;
P(ξ=2)=212()()P A P A p =
故2ξ的概率分布为
所以2ξ的数学期望为
E 2ξ=21.3(1)p ⨯-+1.252(1)p p ⨯-+20.2p ⨯=2
0.1 1.3p p --+. (II) 由12E E ξξ<,得:
20.1 1.3 1.18(0.4)(0.3)00.40.3p p p p p --+>⇒+-<⇒-<<
因0<p<1,所以12E E ξξ<时,p 的取值范围是0<p<0.3.
【点评】本小题考查二项分布、分布列、数学期望、方差等基础知识,考查同学们运用概率知识解决实际问题的能力.
(20) (本小题满分14分) 已知点11(,)A x y ,22(,)B x y 12(0)x x ≠是抛物线2
2(0)y px p =>上的两个动点,O 是坐标原点,向量OA ,OB 满足OA OB OA OB +=-.设圆C 的方程为 221212()()0x y x x x y y y +-+-+=
(I) 证明线段AB 是圆C 的直径;
(II)当圆C 的圆心到直线X-2Y=0时，求p 的值。

【解析】(I)证明1:
22,()()OA OB OA OB OA OB OA OB +=-∴+=- 222222OA OA OB OB OA OA OB OB +⋅+=-⋅+
整理得: 0OA OB ⋅=
12120x x y y ∴⋅+⋅=
设M(x,y)是以线段AB 为直径的圆上的任意一点,则0MA MB ⋅=
即1212()()()()0x x x x y y y y --+--=
整理得:221212()()0x y x x x y y y +-+-+=
故线段AB 是圆C 的直径
证明2: 22,()()OA OB OA OB OA OB OA OB +=-∴+=- 222222OA OA OB OB OA OA OB OB +⋅+=-⋅+
整理得: 0OA OB ⋅=
12120x x y y ∴⋅+⋅= (1)
设(x,y)是以线段AB 为直径的圆上则
即211221
1(,)y y y y x x x x x x x x --⋅=-≠≠-- 去分母得: 1212()()()()0x x x x y y y y --+--=
点11122122(,),(,),(,)(,)x y x y x y x y 满足上方程,展开并将(1)代入得:
221212()()0x y x x x y y y +-+-+=
故线段AB 是圆C 的直径
证明3: 22,()()OA OB OA OB OA OB OA OB +=-∴+=- 222222OA OA OB OB OA OA OB OB +⋅+=-⋅+
整理得: 0OA OB ⋅=
12120x x y y ∴⋅+⋅= (1)
以线段AB 为直径的圆的方程为
2222121212121()()[()()]224
x x y y x y x x y y ++-+-=-+- 展开并将(1)代入得:
221212()()0x y x x x y y y +-+-+=
故线段AB 是圆C 的直径
(II)解法1:设圆C 的圆心为C(x,y),则
121
222
x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩ 2211222,2(0)y px y px p ==>
22121224y y x x p
∴= 又因12120x x y y ⋅+⋅=
1212x x y y ∴⋅=-⋅
22121224y y y y p
∴-⋅= 12120,0x x y y ⋅≠∴⋅≠
2124y y p ∴⋅=-
2222121212121211()(2)2444x x y y x y y y y y y p p p
+==+=++- 221(2)y p p
=+ 所以圆心的轨迹方程为222y px p =-
设圆心C 到直线x-2y=0的距离为d,则
22221|
(2)2|y p y d +-===
22=
当y=p 时,d
= 2p ∴=.
解法2: 设圆C 的圆心为C(x,y),则
1212
22
x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩ 2211222,2(0)y px y px p ==>
2212122
4y y x x p ∴= 又因12120x x y y ⋅+⋅=
1212x x y y ∴⋅=-⋅
2212122
4y y y y p ∴-⋅= 12120,0x x y y ⋅≠∴⋅≠
2124y y p ∴⋅=-
2222121212121211()(2)2444x x y y x y y y y y y p p p
+==+=++- 221(2)y p p
=+ 所以圆心的轨迹方程为222y px p =-
设直线x-2y+m=0到直线x-2y=0
则 2m =±
因为x-2y+2=0与22
2y px p =-无公共点,
所以当x-2y-2=0与222y px p =-仅有一个公共点时,该点到直线x-2y=0的距离最小值为
22220(2)2(3)x y y px p
--=⎧⎨=-⎩ 将(2)代入(3)得22
2220y py p p -+-= 2244(22)0p p p ∴∆=--=
02.
p p >∴= 解法3: 设圆C 的圆心为C(x,y),则
1212
22
x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩ 圆心C 到直线x-2y=0的距离为d,则
1212|
()|x x y y d +-+= 2211222,2(0)y px y px p ==>
2212122
4y y x x p ∴= 又因12120x x y y ⋅+⋅=
1212x x y y ∴⋅=-⋅
2212122
4y y y y p ∴-⋅= 12120,0x x y y ⋅≠∴⋅≠
2124y y p ∴⋅=-
2212122221|
()()|y y y y d +-+∴==
22
=
当
122y y p +=时,d 5= 2p ∴=.
【点评】本小题考查了平面向量的基本运算,圆与抛物线的方程.点到直线的距离公式等基础知识,以及综合运用解析几何知识解决问题的能力.
21．（本小题满分12分）
已知函数f(x)=d cx bx ax +++2331,其中a , b , c 是以d 为公差的等差数列，，且a ＞0,d ＞0.设的极小值点，在为)(0x f x ［1-0,2a
b ］上，处取得最大植在1')(x x f ，在处取得最小值2x ，将点依次记为（))(,(,()),(,()),(,22'21'100x f x f x x f x x f x A ， B ， C (I)求的值o x
(II)若⊿ABC 有一边平行于x 轴，且面积为32+
，求a ,d 的值 【解析】(I)解: 2b a c =+
22()2()(1)()f x ax bx c ax a c x c x ax c '∴=++=+++=++
令()0f x '=,得1c x x a
=-=-或 0,00a d a b c
>>∴<<< 1,1c c a a
∴>-<- 当1c x a
-<<-时, ()0f x '<; 当1x >-时, ()0f x '>
所以f(x)在x=-1处取得最小值即1o x =-
(II) 2()2(0)f x ax bx c a '=++>
()f x '∴的图像的开口向上,对称轴方程为b x a
=- 由1b a
>知2|(1)()||0()|b b b a a a ---<--
()f x '∴在2[1,0]b a -
上的最大值为(0)f c '= 即1x =0 又由21,[1,0]b b b a a a
>-∈-知 ∴当b x a
=-时, ()f x '取得最小值为22(),b d b f x a a a '-=-=-即 01()(1)3
f x f a =-=- 2
1(1,),(0,)(,)3b d A a B c C a a
∴---- 由三角形ABC 有一条边平行于x 轴知AC 平行于x 轴,所以2
221,a =3(1)3d a d a
-=-即
又由三角形ABC 的面积为32+得1(1)()223
b a
c a -+⋅+=
利用b=a+d,c=a+2d,得2
22(2)3d d a
+=+
联立(1)(2)可得3,d a ==解法2: 2()2(0)f x ax bx c a '=++> 2(1)0,(0)b f f c a
''-
== 又c>0知()f x 在2[1,0]b a -上的最大值为(0)f c '= 即: 1x =0
又由21,[1,0]b b b a a a
>-∈-知 ∴当b x a
=-时, ()f x '取得最小值为22(),b d b f x a a a '-=-=-即 01()(1)3
f x f a =-=- 2
1(1,),(0,)(,)3b d A a B c C a a
∴---- 由三角形ABC 有一条边平行于x 轴知AC 平行于x 轴,所以2221,a =3(1)3d a d a -=-即
又由三角形ABC 的面积为32+
得1(1)()223
b a
c a -+⋅+=利用b=a+d,c=a+2d,
得2
22(2)3d d a
+=+ 联立(1)(2)
可得3,d a ==【点评】本小题考查了函数的导数,函数的极值的判定,闭区间上二次函数的最值,等差数基础知识的综合应用,考查了应用数形结合的数学思想分析问题解决问题的能力
22．（本小题满分12分）
已知0(),n
f x x ='11()()(1)k k k f x f x f --=,其中(,)k n n k N +≤∈, 设02122201()()()...()...()k n n n n k n n F x C f x C f x C f x C f x =+++++,[]1,1x ∈-.
(I) 写出(1)k f ;
(II) 证明:对任意的[]12,1,1x x ∈-,恒有112()()2(2)1n F x F x n n --≤+--.
【解析】(I)由已知推得()(1)n k k f x n k x -=-+,从而有(1)1k f n k =-+
(II) 证法1:当11x -≤≤时,
212(1)22(2)2()12()(1)...(1)...21n n n k n k n n n n n F x x nC x n C x n k C x C x ----=++-+-++++
当x>0时, ()0F x '>,所以()F x 在[0,1]上为增函数
因函数()F x 为偶函数所以()F x 在[-1,0]上为减函数
所以对任意的[]12,1,1x x ∈-12()()(1)(0)F x F x F F -≤-
01211
2
1
0(1)(0)(1)...(1)...2(1)...(1)...2k n n n n n n
n n n k
n n n n n F F C nC n C n k C C nC n C n k C C C -----=++-+-+++=+-+-++++
1(1)()(1,2,31)n k n k n k n n n
k
k
n n n k C n k C C nC C k n -----+=-+=+=-
121121011111(1)(0)(...)(...)(21)212(2)1k n n n n n n n n
n n n F F n C C C C C C C n n n --------=++++++=-+-=+--
因此结论成立.
证法2: 当11x -≤≤时,
212(1)22(2)2()12()(1)...(1)...21n n n k n k n n n n n F x x nC x n C x n k C x C x ----=++-+-++++
当x>0时, ()0F x '>,所以()F x 在[0,1]上为增函数
因函数()F x 为偶函数所以()F x 在[-1,0]上为减函数
所以对任意的[]12,1,1x x ∈-12()()(1)(0)F x F x F F -≤-
0121(1)(0)(1)...(1)...2k n n n n n n F F C nC n C n k C C --=++-+-+++
又因12110(1)(0)23......k n n n n n n F F C C kC nC C ---=++++++
所以121102[(1)(0)](2)[......]2k n n n n n n F F n C C C C C ---=+++++++
1211012(1)(0)[......]22(22)12(2)12k n n n n n n n n n F F C C C C C n n n ---+-=
+++++++=-+=+--
因此结论成立.
证法3: 当11x -≤≤时,
212(1)22(2)2()12()(1)...(1)...21n n n k n k n n n n n F x x nC x n C x n k C x C x ----=++-+-++++
当x>0时, ()0F x '>,所以()F x 在[0,1]上为增函数
因函数()F x 为偶函数所以()F x 在[-1,0]上为减函数
所以对任意的[]12,1,1x x ∈-12()()(1)(0)F x F x F F -≤-
0121(1)(0)(1)...(1)...2k n n n n n n F F C nC n C n k C C --=++-+-+++
由11221121112
[(1)][.....1]
.....n n n n k n k n n n n n n
n k
n k n n n n n x x x x C x C x C x C x C x C x C x C x x ------+-+-=+++++=+++++
对上式两边求导得
111221(1)(1)(1)...(1)..21
n n n n n n k n k n n n n n x x nx x nx nC x n C x n k C x C x -----+-++-=+-+-++++22212()(1)(1)n n n F x x nx x nx -=+++-
11(1)(0)221(2)21n n n F F n n n n --∴-=+--=+--
因此结论成立.
【点评】本小题考查导数的基本计算,函数的性质,绝对值不等式及组合数性质等基础知识,考查归纳推理能力以及综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力.。