2017-2018学年浙江省绍兴市柯桥区高二(下)期末数学试卷(解析版)

2017-2018学年浙江省绍兴市柯桥区高二（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的.
1．（5分）复平面内表示复数z＝a+bi（a，b∈R）的点在第二象限，则（）A．a＜0，b＞0B．a＞0，b＜0C．a＞0，b＞0D．a＜0，b＜0 2．（5分）点（1，﹣1）到直线x﹣y+2＝0的距离是（）
A．1B．2C．D．2
3．（5分）设a，b∈R+，若a•b＞1，则（）
A．a＞1且b＞1
B．a＜1且b＜1
C．a，b中至少有一个大于1
D．a，b中一个大于1，一个小于1
4．（5分）双曲线的离心率为（）
A．B．C．D．
5．（5分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（）
A．cm3B．1cm3C．2cm3D．3cm3
6．（5分）已知（x2）n展开式中的各项二项式系数之和为64，则展开式中的各项系数之和为（）
A．64B．32C．﹣32D．﹣64
7．（5分）设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（）A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥αB．若l⊥α，l∥m，则m⊥α
C．若l∥α，m⊂α，则l∥m D．若l∥α，m∥α，则l∥m
8．（5分）4名同学报名参加学校的音乐、美术、写作3个兴趣小组，每人限报其中的一个兴趣小组，则不同的报名方法的总数是（）
A．A B．C A
C．34D．43
9．（5分）设函数f（x）＝ax2+bx+c（a，b∈R），若x＝1为函数f（x）•e﹣x的一个极值点，则下列图象不可能为y＝f（x）的图象是（）
A．B．
C．D．
10．（5分）已知棱长为1正方体ABCD﹣A1B1C1D1，P为空间任意一点，设P到直线AA1，B1C1，CD的距离分别为d1，d2，d3，记d＝max{d1，d2，d3} （max{d1，d2，d3} 表示中最大的），则（）
A．d B．d C．d D．d≥1
二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）
11．（5分）抛物线x2＝的焦点坐标是．
12．（5分）已知复数z满足z（1+i）＝3+4i，则z＝．
13．（5分）已知展开式（2x﹣1）8＝a0+a1x+…+a8x8，则a3＝．
14．（5分）已知点O在二面角α﹣AB﹣β的棱上，点P在平面α内，且∠POB＝60°．若直线PO与平面β所成的角为45°，则二面角α﹣AB﹣β的正弦值为．15．（5分）已知F1，F2是椭圆C1：＝1（a＞b＞0）与双曲线C2：x2＝1的公共焦点，C2的一条渐近线与C1交于一点P，若PF1⊥PF2，则a2+b2＝．
16．（5分）从6种不同的蔬菜种子a，b，c，d，e，f中选出4种，分别种在4块不同的土壤A，B，C，D中进行试验，已有资料表明A土壤不宜种植a，B土壤不宜种植b，但a，b品种产量高，现a，b品种必种的试验方案有种．（用数字作答）
三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）用数学归纳法证明（1+a）n＞1+na，其中a＞﹣1，a≠0，n是大于1的自然数．18．（12分）如图，三棱锥A﹣BCD中AB＝BD＝AD＝AC＝2，△BCD是BD为斜边的等腰直角三角形，P为AB中点，E为BD的中点．
（1）求证：AE⊥平面BCD；
（2）求直线PD与平面ACD所成角的正弦值．
19．（12分）已知函数f（x）＝．
（1）求函数y＝f（x）的图象在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）当x≥0时，证明：﹣x2+x+1≤f（x）≤x+1．
20．（12分）设直线l：y＝与抛物线C：x2＝4y相交于A，B两点，M为弦AB的中点，过A，B分别作抛物线C的切线，交点为E．
（1）求点M的横坐标；
（2）设直线ME与抛物线C相交于点N，求证：|MN|＝|NE|．
21．（12分）已知函数f（x）＝lnx+（e﹣a）x﹣2b，其中a，b∈R，e为自然对数的底数．（1）若a＝e﹣2b，当f（x）≥0有唯一解时，求b的值；
（2）若不等式f（x）≤0对x∈（0，+∞）恒成立，求的最小值．
2017-2018学年浙江省绍兴市柯桥区高二（下）期末数学
试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的.
1．【解答】解：∵复平面内表示复数z＝a+bi（a，b∈R）的点在第二象限，
∴a＜0，b＞0．
故选：A．
2．【解答】解：点（1，﹣1）到直线x﹣y+2＝0的距离：
d＝＝2．
故选：D．
3．【解答】解：由ab＞1，得a，b中至少有一个大于1，
故选：C．
4．【解答】解：由双曲线可得a2＝2，b2＝3，
∴离心率＝＝＝．
故选：C．
5．【解答】解：由题意，该几何体是以俯视图为底面，有一条侧棱垂直于底面的四棱锥，如图：
四棱锥的体积为：＝1（cm3）．
故选：B．
6．【解答】解：∵（x2）n展开式中的各项二项式系数之和为64，
∴2n＝64，
解得n＝6，
∴展开式中的各项系数之和为：
（1﹣3）6＝64．
故选：A．
7．【解答】解：A，根据线面垂直的判定定理，要垂直平面内两条相交直线才行，不正确；C：l∥α，m⊂α，则l∥m或两线异面，故不正确．
D：平行于同一平面的两直线可能平行，异面，相交，不正确．
B：由线面垂直的性质可知：平行线中的一条垂直于这个平面则另一条也垂直这个平面．故正确．
故选：B．
8．【解答】解：根据题意，4名同学报名参加学校的音乐、美术、写作3个兴趣小组，
每人限报其中的一个兴趣小组，则每人可以在3个小组中任选1个，有3种情况可选，
则4人有3×3×3×3＝34种报名方法，
故选：C．
9．【解答】解：由y＝f（x）e﹣x＝e﹣x（ax2+bx+c），
则的导数y′＝f′（x）e﹣x﹣e﹣x f（x）＝e﹣x[﹣ax2+（2a﹣b）x+b﹣c]，
由x＝1为函数f（x）e x的一个极值点可得，1是函数y＝﹣ax2+（2a﹣b）x+b﹣c的一个变号零点，
所以有﹣a+（2a﹣b）+b﹣c＝0．即a＝c，
且△＝（2a﹣b）2+4a（b﹣c）＝b2＞0，即b≠0
所以函数f（x）＝ax2+bx+a的两个零点积为1，
D中函数的两个零点均大于1，故积大于1，
故D不可能为y＝f（x）的图象
故选：D．
10．【解答】解：以D为坐标原点，以DC，DA，DD1分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
设P（x，y，z），由图形可得P到直线AA1的距离为d1＝，
P到直线B1C1的距离d2＝，
P到直线CD的距离为d3＝，
d＝max{d1，d2，d3}，可得
d≥，d≥，d≥，
平方相加可得3d2≥x2+（1﹣x）2+y2+（1﹣y）2+z2+（1﹣z）2，
由柯西不等式可得x2+（1﹣x）2≥＝，
同理可得y2+（1﹣y）2≥，
z2+（1﹣z）2≥，
即有x2+（1﹣x）2+y2+（1﹣y）2+z2+（1﹣z）2≥，
则3d2≥，即有d≥，
当且仅当x＝y＝z＝取得等号．
故选：B．
二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）
11．【解答】解：抛物线x2＝的焦点坐标是：（0，）；
故答案为：（0，）．
12．【解答】解：复数z满足z（1+i）＝3+4i，
则z＝＝＝＝+i．
故答案为：+i．
13．【解答】解：∵展开式（2x﹣1）8＝a0+a1x+…+a8x8，
∴T r+1＝＝（﹣1）r28﹣r x8﹣r，
由8﹣r＝3，得r＝5，
∴a3＝（﹣1）5•23＝﹣448．
故答案为：﹣448．
14．【解答】解：如图，
过P作PE⊥β，垂足为E，过E作EF⊥AB，垂足为F，
连接OE，PF，则∠POE为直线PO与平面β所成的角为45°，∠PFE为二面角α﹣AB﹣β的平面角．
设OP＝a，在Rt△PEO中，由∠POE＝45°，可得PE＝a，
在Rt△PFO中，由∠POF＝60°，可得PF＝．
在Rt△PEF中，可得sin∠PFE＝．
即二面角α﹣AB﹣β的正弦值为．
故答案为：．
15．【解答】解：双曲线C2：x2﹣＝1的焦点（±，0），∴a2﹣b2＝5．
取C2的一条渐近线y＝2x，与椭圆相交于点P（m．n）
∵PF1⊥PF2，∴m，n满足，且．
∴，
∴a2+b2＝5+2b2＝5+4，
故答案为：5+4．
16．【解答】解：ab必种的方法有C42A44＝144种，a刚好种在A或者b刚好种在B的方法有C42A33＝36种，
第一步先从c，d，e，f选种，有C42＝6种，
第二步，分类，若a种植在B土壤，则其它任意种即可，故有A33＝9种，
若a不种植在B土壤，则从C，D土壤选一个种植a，再从A或C，D中的一个，种植b，则其它任意种即可，故有A21A31A22＝12种，
根据分步和分类计数原理可得，共有6×（9+12）＝126种，
故答案为：126
三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．【解答】证明：由a＞﹣1，a≠0，
当n＝2时，（1+a）2＝1+2a+a2＞1+2a，不等式成立；
假设n＝k，k≥2，k∈N，有（1+a）k＞1+ka，
当n＝k+1时，（1+a）k+1＝（1+a）k（1+a）
＞（1+ka）（1+a）＝1+a（k+1）+ka2＞1+（k+1）a．
即n＝k+1时，不等式也成立．
综上可得，（1+a）n＞1+na成立．
18．【解答】证明：（1）∵AB＝BD＝AD＝2，△BCD是BD为斜边的等腰直角三角形，E为BD的中点．
∴AE⊥BD，AE＝，EC＝1．
∵AC＝2，∴AE2+EC2＝AC2，
∴AE⊥EC，又BD∩EC＝E．
∴AE⊥平面BCD；
解：（2）由（1）可得EC，ED，EA两两垂直，故以E为原点建立空间直角坐标系（如图）．则A（0，0，），B（0，﹣1，0），C（1，0，0），P（0，﹣，）．D（0，1，0）．
，，
设面ACD的法向量为，
，可取．
设直线PD与平面ACD所成角为θ，
sinθ＝＝
直线PD与平面ACD所成角的正弦值为．
19．【解答】解：（1）函数f（x）＝的导数为f′（x）＝••2＝，
函数y＝f（x）的图象在点（0，f（0））处的斜率为k＝1，
f（0）＝1，即有函数y＝f（x）的图象在点（0，f（0））处切线方程为y＝x+1；（2）证明：由（）2﹣（x+1）2＝2x+1﹣x2﹣2x﹣1＝﹣x2≤0，
可得f（x）≤x+1；
又令t＝（t≥1），
可得x＝，
由y＝﹣x2+x+1﹣f（x）＝﹣++1﹣t＝﹣t4+t2+﹣t，
可得y′＝﹣t3+t﹣1＝﹣（t﹣1）2（t+2），
由t≥1，可得y′≤0，
即有函数y在t≥1递减，
则y≤﹣++﹣1＝0，
可得﹣x2+x+1≤f（x），
综上可得﹣x2+x+1≤f（x）≤x+1．
20．【解答】解：（1）直线l：y＝与抛物线C：x2＝4y联立，可得
x2﹣2x﹣4b＝0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
可得x1+x2＝2，x1x2＝﹣4b，
可得AB的中点M的横坐标为1；
（2）证明：由y＝的导数为y′＝x，
可得A处的切线方程为y﹣＝x1（x﹣x1），
即y＝x1x﹣，①
B处的切线方程为y＝x2x﹣，②
联立①②可得E的横坐标为（x1+x2）＝1，
由①+②可得2y＝（x1+x2）﹣[（x1+x2）2﹣2x1x2]
＝×2﹣（4+8b）＝﹣2b，
即y＝﹣b，可得E（1，﹣b），
又M（1，+b），
ME的中点为（1，），即N点满足抛物线方程x2＝4y，
则|MN|＝|NE|．
21．【解答】解：（1）∵a＝e﹣2b，
∴f（x）＝lnx+（e﹣a）x﹣2b＝lnx+2bx﹣2b．
f′（x）＝，
若b≥0，则f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上单调递增，不满足题意；
若b＜0，则当x∈（0，）时，f′（x）＞0，当x∈（﹣，+∞）时，f′（x）＜0，∴f（x）在（0，）上单调递增，在（﹣，+∞）上单调递减，
∴f（x）的极大值也是最大值为f（﹣）＝ln（﹣）﹣1﹣2b．
∵f（x）≥0有唯一解，∴f（﹣）＝ln（﹣）﹣1﹣2b＝0，
即b＝；
（2）∵函数f（x）＝lnx+（e﹣a）x﹣2b，其中e为自然对数的底数，
f′（x）＝+（e﹣a），x＞0，当a≤e时，f′（x）＞0，f（x）≤0不可能恒成立，
当a＞e时，x＝，
∵不等式f（x）≤0恒成立，∴f（x）的最大值为0，
当x∈（0，）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
当x∈（，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
由题意当x＝时，f（x）取最大值0，
可得ln（a﹣e）+2b+1≥0，即2b≥﹣1﹣ln（a﹣e），
则≥，
令h（x）＝，（x＞e）
则h′（x）＝，
令H（x）＝（x﹣e）ln（x﹣e）﹣e，
H′（x）＝ln（x﹣e）+1，
由H′（x）＝0，得x＝e+，
当x∈（e+，+∞）时，H′（x）＞0，H（x）是增函数，
x∈（e，e+）时，H′（x）＜0，H（x）是减函数，
∴当x＝e+时，H（x）取最小值H（e+）＝﹣e﹣．
∵x→e时，H（x）→0，x＞2e时，H（x）＞0，H（2e）＝0，∴当x∈（e，2e）时，F′（x）＜0，F（x）是减函数，
当x∈（2e，+∞）时，F′（x）＞0，F（x）是增函数，
∴x＝2e时，F（x）取最小值，即F（2e）＝﹣．
得的最小值为﹣．。