江苏版2018年高考数学一轮复习专题2.10函数最值讲20171129317

专题 2.10 函数最值
【考纲解读】
要 求
备注
内 容
A B C
函数概念与基本初等
√ 1．会运用函数图像理解和研究函数的最值．
函数最值
函数Ⅰ
2．会根据函数解析式选用恰当方法求函数的最值． 【知识清单】
1 函数最值的求法:
(1)利用函数的单调性:若 y=f(x)是[a,b]上的单调增(减)函数,则 f(a),f(b)分别是 f(x) 在区间[a,b]上取得最小(大)值,最大(小)值.
(2)利用配方法:形如 y
ax 2 bx c (a
0)型,用此种方法,注意自变量 x 的范围.
(3)利用三角函数的有界性,如sin x [
1, 1], cos x [1,1].
(4)利用“分离常数”法:形如 y=
a x b
cx d
或 y
a x
bx
e
2
cx d
(a,c 至少有一个不为零)的
函数,求其最值可用此法.
(5)利用换元法:形如 y ax b cx d 型,可用此法求其最值.
(6)利用基本不等式:
(7)导数法:利用导数与函数的连续性求图复杂函数的极值和最值
【考点深度剖析】
函数的最值是函数的一个重要性质，几乎是每年必考的内容，求函数最值的方法较多， 需结合函数解析式进行选用．
【重点难点突破】
考点 1 函数的最值
4
【2-1】求函数 y ＝x ＋ (x <0)的最大值．
x 【答案】－4
4
4
x
(－x －x ) 【解
析】∵x <0，∴x ＋ ＝－
≤－4，
当且仅当 x ＝－2时等号成立．
- 1 -
∴y ∈(－∞，－4]． ∴函数的值域为(－∞，－4]．
【2-2】 求函数 y ＝x 2＋2x (x ∈[0,3])的最值． 【答案】最大值为 15，最小值为 0.
1－x 2 【2-3】 求函数 y ＝ 的最大值． 1＋x 2 【答案】1
1－x 2 2 【解析】y ＝ ＝ －1， 1＋x 2 1＋x 2
∵1＋x 2≥1， 2 ∴0< ≤2.
1＋x 2
2
∴－1< －1≤1.即 y ∈(－1,1]．
1＋x 2 ∴ 函数的值域为(－1,1]．
【2-4】 求函数 f (x )＝x － 1－2x .的最大值． 【答案】
1 2
. 1－t 2
【解析】法一：(换元法)令 1－2x ＝t ，则 t ≥0 且 x ＝ ，
2
1－t 2 1 于是 y ＝ －t ＝－ (t ＋1)2＋1， 2 2
1
1 由于 t ≥0，所以 y ≤ ，故函数的值域是 (
, ]
.
2
2
1 法二：(单调性法)容易判断 f (x )为增函数，而其定义域应满足 1－2x ≥0，即 x ≤ ，所以 2
1 1 y f ( )
2 2
1
即函数的值域是 (
, ] . 2
- 2 -
x2－x
【2-5】求函数y＝的最小值．
x2－x＋1
1
【答案】最小值为
.
3
【思想方法】
求函数最值的五个常用方法
(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值．
(2)图像法：先作出函数的图像，再观察其最高点、最低点，求出最值．
(3)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值．
(4)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等
式求出最值．
(5)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值．
【温馨提醒】求函数最值的方法多样化，需结合函数解析式的特点选用恰当的方法；在求函数的值域或最值时，应先确定函数的定义域．
【易错试题常警惕】
求函数的值域或最值时，忽视函数的定义域导致错误．
设f x log 1x log 3x（a 0且a 1），且f 12，则f x在区间
a a 3 0,
2
上的最大值是．【答案】
- 3 -
- 4 -。