2011年中考复习二次函数单元测试题及参考答案

二次函数测试题
一、选择题(每题3分，共36分）
1.在下列关系式中，y 是x 的二次函数的关系式是 ( ）
A .2xy +x 2=1
B .y 2-ax +2=0
C 。

y +x 2—2=0
D .x 2-y 2+4=0 2。

设等边三角形的边长为x （x >0），面积为y ，则y 与x 的函数关系式是( )
A 。

212y x =
B 。

21
4
y x = C 。

232y x = D . 234y x = 3。

抛物线y =x 2
—8x +c 的顶点在x 轴上，则c 等于( ）
A 。

-16
B 。

-4
C .8
D .16
4.若直线y =ax ＋b （a ≠0)在第二、四象限都无图像,则抛物线y =ax 2+bx +c （ ）
A 。

开口向上，对称轴是y 轴
B 。

开口向下,对称轴平行于y 轴
C 。

开口向上，对称轴平行于y 轴
D 。

开口向下,对称轴是y 轴
5。

一次函数y =ax +b 与二次函数y =ax 2+bx +c 在同一坐标系中的图像可能是（ )
3x=1
O x
y
A 。

B .
C 。

D .
6。

若y =ax 2+bx +c 的部分图象如上图所示，则关于x 的方程ax 2+bx +c =0的另一个解为( ） A .-2 B .—1 C .0 D 。

1
7.已知抛物线y =—x 2+mx +n 的顶点坐标是（—1，- 3 ）,则m 和n 的值分别是（ ）
A .2,4
B 。

-2，-4
C .2,-4
D 。

—2,0 8.对于函数y =—x 2+2x -2使得y 随x 的增大而增大的x 的取值范围是 （ )
A .x >-1
B .x ≥0
C .x ≤0
D .x <—1 9。

抛物线y =x 2—(m +2）x +3(m —1)与x 轴 （ ）
A 。

一定有两个交点;
B ．只有一个交点；
C ．有两个或一个交点；
D ．没有交点 10。

二次函数y =2x 2+mx -5的图像与x 轴交于点A （x 1， 0）、B (x 2，0）， 且x 12+x 22=
29
4
，则m 的值为( ）
A .3
B 。

—3
C 。

3或—3
D 。

以上都不对 11.对于任何的实数t ，抛物线 y =x 2 +（2—t ) x + t 总经过一个固定的点,这个点是 ( ）
A . （1, 0)
B 。

（-1, 0)
C .（-1， 3）
D 。

（1， 3) 12。

已知二次函数y =ax 2+bx +c 的图象与x 轴交于点（x 1，0）、（2，0),且—1〈x 1<—2，与y 轴的副半轴的交点在点(0，—2）的上方。

下列结论:①abc 〉0;②4a +2b+c =0；③ 2a +c >0；④2a +b —1〈0中正确的个数是( ）
A .1
B .2
C 。

3
D 。

4 二、填空题（每题3分，共15 分)
13。

如果把抛物线y =2x 2-1向左平移1个单位，同时向上平移4个单位，那么得到的新的抛物线是 。

14. 抛物线在y =x 2-2x —3在x 轴上截得的线段长度是 。

15. 设矩形窗户的周长为6m ，则窗户面积S (m 2)与窗户宽x (m )之间的函数关系式是 ，自变量x 的取值范围是 。

16。

公路上行驶的汽车急刹车时的刹车距离S （m ）与时间t （s ）的函数关系为S =20t —5t 2，当遇到紧急情况时，司机急刹车，但由于惯性,汽车要滑行 米才能停下来.
17. 不等式2x 2+3x -2＞0的解集是： 。

三、解答题(共69分）
18.（8分)已知抛物线的顶点坐标为M （1,—2 ），且与x 轴交于点A 、B ，△AMB 为等腰直角三角形，求此抛物线的解析式．
19.（9分)某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下,若每千克涨价一元，日销售量将减少20千克。

⑴现要保证每天盈利6000元，同时又要让顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元? ②若该商场单纯从经济角度看,那么每千克应涨价多少元，能使商场获利最多。

20.（10分）已知抛物线y =x 2+(k －2)x +1的顶点为M ,与x 轴交于A (a ,0）、B (b ,0）两点，且k 2－（a 2＋ka +1）·（b 2+kb +1）=0， ⑴求k 的值；⑵问抛物线上是否存在点N ，使△ABN 的面积为43？若存在,求点N 的坐标，若不存在，请说明理由。

21。

（10分)二次函数215
642
y x x =
-+的图象与x 轴从左到右两个交点依次为A 、B ，与y 轴交于点C ，⑴求A 、B 、C 三点的坐标;
⑵如果P 是该抛物线对称轴上一点,试求出使P A +PC 最小的点P 的坐标；
⑶如果P 是该抛物线对称轴上一点，试求出使│P A —PC │最大的点P 的坐标；
22。

（10分）如图,在梯形ABCD 中，2AD BC AD =∥，，点M 是AD 的中点，MBC △是等边三角形。

⑴ 求证:梯形ABCD 是等腰梯形;
⑵ 动点P 、Q 分别在线段BC 和MC 上运动，且60MPQ ∠=︒保持不变,设PC x MQ y ==，，求y 与x 的函数关系式；
⑶ 在⑵中，当y 取最小值时，判断PQC △的形状，并说明理由．
60︒
Q
P
M
D
C B
A
23. （10分）如图，已知抛物线21y x =-与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ． ⑴ 求A 、B 、C 三点的坐标．
⑵ 过点A 作AP CB ∥交抛物线于点P ，求四边形ACBP 的面积．
⑶ 在x 轴上方的抛物线上是否存在一点M ，过M 作MG x ⊥轴于点G ， 使以A 、M 、G 三点为顶点的三角形与PCA ∆相似．若存在，请求出M 点的坐标;否则，请说明理由．
x
y
O P
C
B
A
24。

（12分）已知OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O 为原点,点A 在x 轴上，点C 在y 轴上,OA =10, OC =6,
⑴如图甲：在OA 上选取一点D ，将△COD 沿CD 翻折，使点O 落在BC 边上，记为E ．求折痕CD 所在直线的解析式；
⑵如图乙：在OC 上选取一点F ，将△AOF 沿AF 翻折,使点O 落在BC 边，记为G . ①求折痕AF 所在直线的解析式； ②再作GH //AB 交AF 于点H ,若抛物线2
112
y x h =-+过点H ,求此抛物线的解析式,并判断它与直线AF 的公共点的个数.
⑶如图丙:一般地，在OA 、OC 上选取适当的点I 、J ,使纸片沿IJ 翻折后，点O 落在BC 边上，记为K ．请你猜想：①折痕IJ 所在直线与第⑵题②中的抛物线会有几个公共点；② 经过K 作KL //AB 与IJ 相交于L ，则点L 是否必定在抛物线上。

将以上两项猜想在（l ）的情形下分别进行验证．
二次函数测试题参考答案：
一、选择题: 1。

C 2.D 3。

D 4。

A 5.C 6.B 7.B 8。

D 9。

C 10。

C 11.D 12.C
二、填空题: 13。

y =2x 2—4x +5 14.4 15.S =—x 2+3x (0<x <3） 16.20 17。

x <-2或x >1
2
三、解答题
18. 213
22
y x x =--
19。

解：⑴设应涨价x 元，
（10+x )(500—20x )=6000，整理得：x 2-15x +50=0,解之得x 1=5，x 2=10，要让顾客得到实惠,那么每千克应涨价5元。

⑵令总利润为y 元，则y =-20x 2+300x +5000=-20（x —7。

5)2+6125，故应涨价7.5元，最大总利润为6125元。

20。

⑴ a 2＋ka +1=2a ， b 2+kb +1=2b , ab =1，∴k 2—4=0，∴k =±2,当k =2时,△〈0；当k =-2时，△>0,∴k =-2 ⑵AB
=,△ABN
的面积为，∴│y N │=4,∴x 2-4x +1=±4，解得x
,∴点N 坐标为
（
，4）
21. ⑴ A 、B 、C 三点的坐标分别为（4,0）、（6,0）、（0,6） ⑵BC 与对称轴x =5交于点P (5,1)
⑶AC 与对称轴x =5交于点P （5，—
32
) 22。

⑴ ∵MBC △是等边三角形，∴60MB MC MBC MCB =∠=∠=︒，， ∵M 是AD 的中点，∴AM MD =，
∵AD BC ∥,∴60AMB MBC ∠=∠=︒，60DMC MCB ∠=∠=︒, ∴AMB DMC △≌△，∴AB DC =，∴梯形ABCD 是等腰梯形． ⑵ 在等边三角形MBC 中，460MB MC BC MBC MCB ===∠=∠=︒，,60MPQ ∠=︒
∴120BMP BPM BPM QPC ∠+∠=∠+∠=︒，∴BMP QPC ∠=∠∴PC CQ BMP CQP BM BP
=
△∽△， ∵PC x =,MQ y =,∴44BP x QC y =-=-， ∴444x y x -=
-,∴21
44
y x x =-+ ⑶∵()2
1234
y x =-+，∴当y 取最小值时，2x PC ==，
∴P 是BC 的中点，MP BC ⊥，而60MPQ ∠=︒ ∴30CPQ ∠=︒，∴90PQC ∠=︒． 23.⑴()10A -，，()10B ，,()01C -，
⑵ ∵1OA OB OC === ∴45BAC ACO BCO ∠=∠=∠=︒ ∵AP CB ∥ ∴45PAB ∠=︒．
过点P 作PE x ⊥轴于E ，则APE ∆为等腰直角三角形． 令OE a =，则1PE a =+．∴()1P a a +，． ∵点P 在抛物线21y x =-上．
∴211a a +=- 解得12a =，21a =-（不合题意，舍去）∴3PE =．
∴四边形ACBP 的面积1111
212342222
S AB OC AB PE =⋅+⋅=⨯⨯+⨯⨯=．
⑶ 假设存在
∵45PAB BAC ∠=∠=︒ ∴PA AC ⊥．
∵MG x ⊥轴于点G ，∴90MGA PAC ∠=∠=︒． 在Rt AOC ∆中，1OA OC ==
∴AC =在Rt PAE ∆中，3AE PE ==
∴AP =设M 点的横坐标为m ，则(21M m m -，
①点M 在y 轴左侧时，则1m <-．
（ⅰ）当AMG PCA ∆∆∽时，有AG MG
PA CA
=
． ∵1AG m =--，2
1MG m =-
2=
11m =-(舍去）223m =(舍去）． (ⅱ)当MAG PCA ∆∆∽时，有AG MG
CA PA =
2
=． 解得：1m =-（舍去)22m =-． ∴(23M -，
② 点M 在y 轴右侧时,则1m >．
（ⅰ）当AMG PCA ∆∆∽时有AG MG
PA CA
=
． ∵2
11AG m MG m =+=-，
2=
， 解得11m =-（舍去）,243m =．∴4739M ⎛⎫
⎪⎝⎭
，
（ⅱ）当MAG PCA ∆∆∽时有AG MG
CA PA =
2． 解得：11m =-（舍去）24m =．∴()415M ，
∴存在点M ，使以A 、M 、G 三点为顶点的三角形与PCA ∆相似．
M 点的坐标为()23-，，4739⎛⎫
⎪⎝⎭
，，()415，
． 24。

解：⑴由折法知，四边形OCEG 是正方形，∴OG =OC =6，∴G （6，0）、C （0,6）。

设直线CG 的解析式为：y =kx +b ，则0=6k +b , 6=0+b . ∴k =－1，b =6 ∴直线CG 的解析式为：y =－x +6。

⑵ ①在Rt △ABE ′中，BE ′=22610-=8，∴CE ′=2。

设OD =s ，则DE ′=s ，
CD =6－s ，∴在Rt △DCE ′中，s 2=（6－s ）2+22， s =
310。

则D (0，3
10）。

设AD ：y =k ′x +310。

由于它过A （10，0），∴k ′=－31。

∴AD ：y =－31x +3
10
.
②∵E ′F //AB , ∴E ′(2，6) ，∴设F （2，y F )，∵F 在AD 上，∴y F =－31×2+310=3
8
,
∴F （2，38）.又F 在抛物线上,∴38=－121×22+h 。

∴抛物线的解析式为：y =－121
x 2+3.
将y =－31x +310代入y =－121x 2+3。

得－121x 2+31x －31
=0。

∵△=（31）2－4×(－121）×（－3
1
）=0. ∴直线AD 与抛物线只一个交点。

⑶例如可以猜想：折痕所在直线与抛物线y =－12
1
x 2+3只有一个交点；验证:在图1 中折痕为CG . 将
y =－x +6 代入y =－121x 2+3。

得－12
1
x 2+x －3=0.
∵△=1－4 （－3）×（－121）=0, ∴折痕CG 所在直线的确与抛物线y =－12
1
x 2+3只有一个交点。