上海高考数学理科真题含解析

2016年上海高考数学(理科）真题
一、解答题（本大题共有14题，满分56分）
1. 设x ∈R ，则不等式31x -<的解集为________________ 【答案】(2,4)
【解析】131x -<-<，即24x <<，故解集为(2,4)
2。

设32i
i
z +=，其中i 为虚数单位，则Im z =_________________
【答案】3-
【解析】i(32i)23i z =-+=-，故Im 3z =-
3。

1l ：210x y +-=, 2l :210x y ++=, 则12,l l 的距离为__________________
25
【解析】221125
21
d +==+
4。

某次体检,6位同学的身高（单位：米)分别为1.72,1.78,1.75,1.80,1.69,1.77,则这组数据的中位数是___ (米） 【答案】1.76
5. 已知点(3,9)在函数()1x f x a =+的图像上，则()f x 的反函数1()f x -=____________ 【答案】2log (1)x -
【解析】319a +=，故2a =,()12x f x =+
∴2log (1)x y =-
∴12()log (1)f x x -=-
6. 如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 的边长为3，1BD 与底面所成角的大小为2arctan 3
， 则该正四棱柱的高等于____________________ 【答案】2【解析】32BD = 12
223
DD BD =⋅=
7. 方程3sin 1cos2x x =+在区间[0,2π]上的解为________________
【答案】π5π,66
x =
【解析】23sin 22sin x x =-，即22sin 3sin 20x x +-=
∴(2sin 1)(sin 2)0x x -+=
∴1
sin 2x =
∴π5π,66
x =
8。

在2n
x ⎫⎪⎭的二项式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于_______________
【答案】112
【解析】2256n =， 8n =
通项8843
3882()(2)r r
r r r r C x C x x
--⋅⋅-=-⋅
取2r =
常数项为228(2)112C -=
9. 已知ABC 的三边长为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于________________
【解析】3,5,7a b c ===，2221
cos 22
a b c C ab +-=
=-
∴sin C
∴2sin c R C ==
10。

设0,0a b >>，若关于,x y 的方程组1
1
ax y x by +=⎧⎨+=⎩无解，则a b +的取值范围是_____________
【答案】(2,)+∞
【解析】由已知，1ab =，且a b ≠，∴2a b +>
11。

无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成，n S 为{}n a 的前n 项和，若对任意*n ∈N ,{2,3}n S ∈,则k 的最大
值为___________ 【答案】4
12. 在平面直角坐标系中，已知(1,0)A ， (0,1)B -， P 是曲线y =,则BP BA ⋅的取值范围
是____________
【答案】[0,1+
【解析】设(cos ,sin )P αα， [0,π]α∈，(1,1)BA =, (cos ,sin 1)BP αα=+
π
cos [0,12]sin 12)14
BP BA ααα⋅=++=+∈+
13。

设,,a b ∈R , [0,2π)c ∈,若对任意实数x 都有π
2sin(3)sin()3
x a bx c -=+，则满足条件的有序实数组
(,,)a b c 的组数为______________ 【答案】4
【解析】（i)若2a =
若3b =,则5π3c =； 若3b =-，则4π
3
c =
（ii ）若2a =-,若3b =-,则π3c =；若3b =,则2π
3
c =
共4组
14。

如图,在平面直角坐标系xOy 中，O 为正八边形128A A A 的中心，1(1,0)A ，任取不同的两点,i j A A ,点
P 满足0i j OP OA OA ++=，则点P 落在第一象限的概率是_______________
【答案】5
28
【解析】2855
28
C =
二、选择题(本大题共有4题，满分20分）
15。

设a ∈R ,则“1a >"是“21a >”的（ )
A. 充分非必要条件
B. 必要非充分条件
C. 充要条件 D 。

既非充分也非必要条件
【答案】A
16. 下列极坐标方程中，对应的曲线为右图的是（ ）
A 。

65cos ρθ=+ B. 65sin ρθ=+ C 。

65cos ρθ=-
D 。

65sin ρθ=-
【答案】D
【解析】π
2
θ=-时，ρ达到最大
17. 已知无穷等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，且lim n n S S →∞
=,下列条件中，使得*2()n S S n <∈N 恒成立的是( )
A 。

10a >， 0.60.7q << B. 10a <， 0.70.6q -<<-
C 。

10a >, 0.70.8q <<
D 。

10a <， 0.80.7q -<<-
【答案】B
【解析】1(1)
1n n a q S q
-=-, 11a S q =-, 11q -<<
2n S S <，即1(21)0n a q -> 若10a >，则12n
q >，不可能成立
若10a <，则12
n
q <，B 成立
18。

设(),(),()f x g x h x 是定义域为R 的三个函数，对于命题：①若()()f x g x +，()()f x h x +，()()g x h x +均
为增函数,则(),(),()f x g x h x 中至少有一个为增函数；②若()()f x g x +，()()f x h x +,()()g x h x +均是以T 为周期的函数,则(),(),()f x g x h x 均是以T 为周期的函数，下列判断正确的是( ) A. ①和②均为真命题 B 。

①和②均为假命题
C. ①为真命题，②为假命题
D. ①为假命题，②为真命题 【答案】D
【解析】①不成立，可举反例
2,1)1(3,x x f x x x ≤-+>⎧=⎨⎩， 0
3,023,21()1,x x x x x x g x ≤-+<+⎧≥=<⎪⎨⎪⎩
, 0(0)2,,x h x x x x -=≤>⎧⎨⎩
②()()()()f x g x f x T g x T +=+++
()()()()f x h x f x T h x T +=+++ ()()()()g x h x g x T h x T +=+++
前两式作差,可得()()()()g x h x g x T h x T -=+-+ 结合第三式,可得()()g x g x T =+， ()()h x h x T =+ 也有()()f x f x T =+ ∴②正确 故选D
三、解答题（本大题共有5题,满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的
步骤． 19. （本题满分12分）将边长为1的正方形11AA O O （及其内部)绕1OO 旋转一周形成圆柱，如图，AC 长为
23π,11A B 长为3
π
,其中1B 与C 在平面11AA O O 的同侧 （1） 求三棱锥111C O A B -的体积
(2） 求异面直线1B C 与1AA 所成角的大小 【解析】(1) 连11O B ，则111113
AO A B B π
∠==
∴111O A B 为正三角形 ∴111
3
O A B S
∴111111113
3C O A B O A B V OO S -=⋅=
(2) 设点1B 在下底面圆周的射影为B ，连1BB ，则11BB AA ∥ ∴1BB C ∠为直线1B C 与1AA 所成角(或补角） 111BB AA == 连,,BC BO OC
113
AB A B π
==, 23
AC π=
∴3
BC π
=
∴3
BOC π
∠=
∴BOC 为正三角形 ∴1BC BO ==
∴11
tan 1BC
BB C BB ∠== ∴145BB C ∠=︒
∴直线1B C 与1AA 所成角大小为45︒
20．(本题满分14分）
有一块正方形菜地EFGH ， EH 所在直线是一条小河，收货的蔬菜可送到F 点或河边运走。

于是，菜
地分为两个区域1S 和2S ,其中1S 中的蔬菜运到河边较近，2S 中的蔬菜运到F 点较近,而菜地内1S 和2S 的分界线C 上的点到河边与到F 点的距离相等,现建立平面直角坐标系，其中原点O 为EF 的中点， 点F 的坐标为(1,0)，如图
（1) 求菜地内的分界线C 的方程
(2） 菜农从蔬菜运量估计出1S 面积是2S 面积的两倍，由此得到1S 面积的“经验值”为8
3。

设M 是C
上
纵坐标为1的点，请计算以EH 为一边，另一边过点M 的矩形的面积，及五边形EOMGH 的面积,并 判断哪一个更接近于1S 面积的经验值
【解析】（1) 设分界线上任一点为(,)x y ,依题意
221(1)x x y +=-+可得2(01)y x x =≤≤
（2） 设00(,)M x y ，则01y =
∴2001
44
y x ==
∴设所表述的矩形面积为3S ,则315
(1)422S ⨯+==
设五边形EMOGH 面积为4S ，则4351211311
1144224
OMP
MGQ
S S S
S
=-+=
-⨯⨯+⨯⨯= 13851326S S -=-=, 4111811
43126
S S -=-=<
∴五边形EOMGH 的面积更接近1S 的面积
21．(本题满分14分）本题共2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分
双曲线2
2
21(0)y x b b
-=>的左、右焦点分别为1F 、2F ，直线l 过2F 且与双曲线交于,A B 两点
（1） 若l 的倾斜角为2
π
，1F AB 是等边三角形,求双曲线的渐近线方程
（2） 设b 若l 的斜率存在，且11()0F A F B AB +⋅=,求l 的斜率
【解析】(1）由已知1(F , 2F
取x =2y b =
122F F A =
∵12F F =， 2
2F A b =
∴2=
即4222344(32)(2)0b b b b --=+-=
∴b =
∴渐近线方程为y =
(2）若b =，则双曲线为2
2
13
y x -= ∴1(2,0)F -， 2(2,0)F 设11(,)A x y , 22(,)B x y ，则
111(2,)F A x y =+, 122(2,)F B x y =+， 2121(,)AB x x y y =--
∴111212(4,)F A F B x x y y +=+++
222
211212121()4()0F A F B AB x x x x y y +⋅=-+-+-= (*）
∵22
22
121
2133y y x x -=-=
∴22222
1213()y y x x -=- ∴代入(＊)式,可得2
22
1214()4()0x x x x -+-= 直线l 的斜率存在，故21x x ≠ ∴121x x +=-
设直线l 为(2)y k x =-，代入2233x y -= 得2222(3)4(43)0k x k x k -+-+=
∴230k -≠，且4222164(3)(43)36(1)0k k k k ∆=+-+=+>
2
122413k x x k +=-=--
∴2
35k =
∴k =
∴直线l 的斜率为
22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分
已知a ∈R ，函数21
()log ()f x a x
=+
(1) 当5a =时，解不等式()0f x >
（2) 若关于x 的方程2()log [(4)25]0f x a x a --+-=的解集中恰有一个元素，求a 的取值范围
(3) 设0a >，若对任意1
[,1]2
t ∈,函数()f x 在区间[,1]t t +上的最大值和最小值的差不超过1，求a
的取值范围
【解析】（1）21log (5)0x +>151x ⇔+>41
0(41)0x x x x
+⇔
>⇔+> ∴不等式的解为{|0x x >或1
}4
x <-
(2)依题意,221
log ()log [(4)25]a a x a x
+=-+-
∴1
(4)250a a x a x
+=-+-> ① 可得2(4)(5)10a x a x -+--= 即(1)[(4)1]0x a x +--= ②
当4a =时，方程②的解为1x =-，代入①式,成立 当3a =时,方程②的解为1x =-，代入①式，成立
当3a ≠且4a ≠时，方程②的解为1
1,4
x a =--
若1x =-为方程①的解，则1
10a a x
+=->，即1a >
若14x a =-为方程①的解，则1
240a a x
+=->,即2a >
要使得方程①有且仅有一个解，则12a <≤
综上，若原方程的解集有且只有一个元素，则a 的取值范围为12a <≤或3a =或4a = （3）()f x 在[,1]t t +上单调递减 依题意，()(1)1f t f t -+≤
即2211
log ()log (
)11
a a t t +-+≤+ ∴11
2()1
a a t t +≤++，即1211(1)t a t t t t -≥-=++
设1t r -=，则1
[0,]2
r ∈
21(1)(1)(2)32
t r r
t t r r r r -==+---+ 当0r =时，2
032
r
r r =-+ 当1
02
r <≤时，21
2323r r r r r
=-++- ∵函数2
y x x
=+
在递减
∴219422r r +≥+=
∴112
293
332
r r ≤=+-- ∴a 的取值范围为2
3
a ≥
23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分
若无穷数列{}n a 满足：只要*(),p q a a p q ∈=N ，必有11p q a a ++=,则称{}n a 具有性质P .
（1) 若{}n a 具有性质P 。

且11a =, 22a =, 43a =, 52a =， 67821a a a ++=，求3a ； (2） 若无穷数列是等差数列,无穷数列是公比为正数的等比数列,,，
，判断是否具有性质，并说明理由；
(3） 设是无穷数列，已知,求证：“对任意,都具有性质"的充要条
件为“是常数列"。

【解析】(1）
∴ ∴ ∴ ∴ ∴
(2)设的公差为，的公差为,则 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵, 而， 但
故不具有性质
（3) 充分性：若为常数列，设 则
若存在使得, 则，
故具有性质
必要性：若对任意,具有性质 则
设函数,
由图像可得，对任意的，二者图像必有一个交点 ∴一定能找到一个,使得 ∴ ∴ 故
∴是常数列。