用递推的方法解决二项式定理的相关问题

用递推的方法解决二项式定理的相关问题
二项式定理是高中数学的一个难点，解决二项式定理相关问题的方法常见有构造函数法、公式变形法等.因为技巧性强，学生往往难以掌握.其实二项式定理也是涉及到正整数的相关问题，而数列同样也是涉及到正整数的问题.我们知道，递推关系是数列的核心，那么，能否用数列中的递推关系来解决二项式定理的相关问题呢？
例1、已知整数4≥n ，集合},,3,2,1{n M ⋅⋅⋅=的所有3个元素的子集记为3,,21n
C A A A ⋅⋅⋅.
⑴当5=n 时，求集合3,,21n
C A A A ⋅⋅⋅中所有元素之和；
⑵记i m 为i A 中最小元素，设321n
C n m m m P ⋅⋅⋅++=，求n P .
解：⑴当5=n 时，集合}5,4,3,2,1{=M ，其中含有1的三元子集共有62
4=C 个，同理，含有2,3,4,5的集合均有624=C 个，所以所有元素的和为90)54321(6=++++⨯.
⑵当1为i A 中最小元素时，这样的集合共有21-n C 个，当2为i A 中最小元素时，这样的集合共有22-n C 个，当3为i A 中最小元素时，这样的集合共有23-n C 个，……当2-n 为i A 中最小元素时，这样的集合共有22C 个，由题意得：
2224232221)2(432C n C C C C P n n n n n -+⋅⋅⋅++++=----
做到这里，学生难以操作下去. 解法1、利用公式变形：
2
224232221)2(432C n C C C C P n n n n n -+⋅⋅⋅++++=----
)()()(222222232323222221C C C C C C C C C n n n n n n +⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++++++=------
22
222322232422242322232222232221)()()()()(C C C C C C C C C C C C C C C C n n n n n n n ++++++⋅⋅⋅++⋅⋅++++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+++=-------33
3323332324332423332323223323232221)()()()()(C C C C C C C C C C C C C C C C C C n n n n n n n ++++++⋅⋅⋅++⋅⋅+++++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+++=-------4133343532313+--=+++⋅⋅⋅+++=n n n n C C C C C C C
将n P 各项拆开，再并项，利用公式m
n m n
m n C C C 11
+-=+求和.解法巧妙，但技巧性极强，学生
不易掌握.如将n P 看成是一个数列的某一项，为求其通项，不妨找一找前一项与后一项的递推关系，从而用数列的手段来进行求和.
解法2、 2
22
42
32
22
1)2(432C n C C C C P n n n n n -+⋅⋅⋅++++=----，
又4≥n ，522
2234=+=∴C C P
22232423221)3()4(32C n C n C C C P n n n n -+-++⋅⋅⋅+++=∴---- 22232322211C C C C C P P n n n n n ++⋅⋅⋅+++=-∴----33323232221n n n n C C C C C C =++⋅⋅⋅+++=---
41
453532
31
33532
31
3
445322115)())()(+---------=++⋅⋅⋅+++=++⋅⋅⋅+++=+-+⋅⋅⋅+-+-+-=∴n n n n n n n
n n n n n n n C
C C C
C
C C C
C
C P p p P P P P P P P
总结，找出n P 和1-n P 的递推关系，利用累加法求和，思路清晰，可操作性强. 例2、记)2
1()21)(21)(21(32n x
x x x +⋅⋅⋅+++展开式中x 的系数为n a ，2x 的系数为n b ，其中*N n ∈.
⑴求n a ；⑵是否存在常数q p ,，使)2
1)(21(31n n n q
p b ++=对*,2N n n ∈≥恒成立？证明你的结论. 解：⑴显然n n n a 2
1
12121212132-=+⋅⋅⋅+++=
. ⑵解法1、欲求q p ,，只需求出n b 即可，即要分析2
x 的来源，故只需
)21()21)(21)(21(32n x
x x x +⋅⋅⋅+++中每两个x 与其余的1相乘即可.
n
n n n n n b 2
1
21)2121(21)212121(21)212121(2114343232-+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++⋅++⋅⋅⋅++⋅=∴设k n k k
n k k n k k k k c +-+++-=--⋅=+⋅⋅⋅++=21412
11)
)21(1(2121)212121(21121
n n c c c c b +⋅⋅⋅+++=∴321)2
1
2121(21)414141(22n n n +⋅⋅⋅++-+⋅⋅⋅++=
)211)(211(31413221312
11)
211(2121411)411(4
11n n n n n n n --=⋅+-=--⋅---=-，所以存在1,2-=-=q p 或2,1-=--=q p 符合题意.
解法2、由递推的角度进行思考：因为)2
1()21)(21)(21(32n x
x x x +⋅⋅⋅+++
展开式中2x 的系数为n b ，则)2
1)(21()21)(21)(21(132+++⋅⋅⋅+++n n x x x x x 中2
x 的系数为1+n b .由多项式乘法
的法则知：112+++
=n n n n a b b ，*),3(,42
21211
N n n a b b n
n n n n n ∈≥-==-∴--. n
n n n n n n n n b b b b b b b b b 41
322131)4
141
41(2212121)()()(24
343223211⋅+-=++⋅⋅⋅++-+⋅⋅⋅++=+-+⋅⋅⋅+-+-=∴---
当2=n 时8
1
2=
b 也成立.下略. 例3、求证：对任意正整数n ，n )21(+必可表示成1-+s s 的形式. 证明：由二项式定理，
)
22(2)22()2()2()2(2)21(25312
420332210⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+++=+⋅⋅⋅++++=+n n n n n n n n n n n n n n C C C C C C C C C C C 因此，n )21(+总能表示成n n b a 2+的形式，且*,N b a n n ∈. 又n n b a 2+2
22n n b a +=，从而即要证：1222±=-n n b a .下面，我们来研究n n b a ,的
递推关系.
由n )21(+n n b a 2+=，当1=n 时，111==b a
∴1)21(++n )21)(2(211++=+=++n n n n b a b a ，化简得：
2)()2(211n n n n n n b a b a b a +++=+++，从而：
n n n n n n b a b b a a +=+=++11,2.设)(2)(11n n n n n n n n b a b a b a b a +++=+=+++μμλμ，
从而μλ+=1且μλμ+=2，解得2,21=
+=μλ或2,21-=-=μλ，所以
111)21()2(2-+⋅+=+n n n b a b a ①或111)21()2(2--⋅-=-n n n b a b a ②.
所以①×②得：n n n n b a b a )1()1()2(212
12
12
2
-=-⋅-=--.证毕.
总结：高中数学的一个难点就是如何打通知识点与知识点之间的脉络，巧用数列中的递推关系解决二项式定理中的相关问题，正较好地体现了这种思想.。