2020版高考数学大二轮专题突破文科通用版 课件：5.4.1 空间中的平行与几何体的体积

所以1 × 2x× 14x=2 7,
2
2
解得 x=-2(舍去),x=2.
于是 AB=BC=2,AD=4,PM=2 3.
所以四棱锥 P-ABCD 的体积 V=13 × 2×(22+4)×2 3=4 3.
-11-
考向一 考向二
解题心得1.证线面平行,一般利用线面平行的判定定理,难点是找 直线在平面内的平行线:
所以 E 到平面 ABCD 的距离为 3,
2
所以
VE-CDF=13×1×
3 2
=
63.
-22-
考向一 考向二
证平行关系求点到面的距离(多维探究) 类型一 定义法求点到面的距离 例3(2019全国卷1,文19)如图,直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是 菱形,AA1=4,AB=2,∠BAD=60°,E,M,N分别是BC,BB1,A1D的中点.
则CM⊥AD.
因为侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD,平面PAD∩平面
ABCD=AD, 所以PM⊥AD,PM⊥底面ABCD.
因为CM⊂底面ABCD,所以PM⊥CM.
-10-
考向一 考向二
设 BC=x,则 CM=x,CD= 2x,PM= 3x,PC=PD=2x.
取 CD 的中点 N,连接 PN,则 PN⊥CD,所以 PN= 214x. 因为△PCD 的面积为 2 7,
(1)证明:MN∥平面C1DE; (2)求点C到平面C1DE的距离.
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考向一 考向二
(1)证明
连接B1C,ME. 因为 M,E 分别为 BB1,BC 的中点,所以 ME∥B1C,且 ME=12B1C. 又因为 N 为 A1D 的中点,所以 ND=12A1D. 由题设知A1B1������ DC,可得B1C������ A1D,故ME������ ND,因此四边形 MNDE为平行四边形,MN∥ED. 又MN⊄平面C1DE,所以MN∥平面C1DE.
(2)证明线面垂直,需转化为证明线线垂直.
(3)证明线线垂直,需转化为证明线面垂直.
(4)证明面面垂直,需转化为证明线面垂直,进而转化为证明线线
垂直.
-6-
3.求几何体的表面积或体积 (1)对于规则几何体,可直接利用公式计算.对于某些三棱锥,有时 可采用等体积转换法求解. (2)对于不规则几何体,可采用割补法求解. (3)求解旋转体的表面积和体积时,注意圆柱的轴截面是矩形,圆 锥的轴截面是等腰三角形,圆台的轴截面是等腰梯形的应用. 4.解决平面图形的翻折问题,关键是抓住平面图形翻折前后的不 变性,即两条直线的平行与垂直关系以及相关线段的长度、角度等 的不变性.
全 国 3
证线线垂直; 求两四面体 体积之比
线面垂直判定定理、 勾股定理、锥体体积
四 面 体
演绎推理、转 换思想
-3-
年份
卷 别
设问特点
涉及知识点
几何 数学思想 模型 方法
全 国
1直的判定定理; 棱锥体积公式
三棱 演绎推理、 锥 转换思想
2018
全 国
2
证明线面垂 直;求点到面 的距离
-17-
考向一 考向二
又EH⊂平面PAD,∴CD⊥EH.
∵GH∥CD,∴GH⊥EH,
∴梯形EFGH为直角梯形.
不妨设 PA=AB=a,则 EF=12AB=12a,
GH=AB=a,EH= ������������2 + ������������2 = 22a.
所以 S 梯形 EFGH=(������������+���2���������)·������������ =
如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,PA⊥底面
ABCD,PA=AB,E,F,G分别是PA,PB,BC的中点.
(1)证明:平面EFG∥平面PCD;
(2)若平面EFG截四棱锥P-ABCD所得截面的面积为
3 2
2
,求四棱
锥P-ABCD的体积.
-16-
考向一 考向二
(1)证明 因为E,F分别为PA,PB的中点,所以EF∥AB.又AB∥CD,所以 EF∥CD.
理;点到面距离的定 义,线面垂直的判定 定理
全 证明线面垂 2019国 直;求四棱锥
2 的体积
线面垂直的判定定 理;面面垂直的性质 定理,三角形全等,锥 体体积公式
全 国 3
证四点共面、 面面垂直;求 四边形的面积
共面定理,面面垂直 的判定定理,面面垂 直的性质,菱形的性 质
几何模型
数学思 想方法
转换思 直四棱柱 想,演
全 2016 国
证线线垂直;求棱 锥体积
2
成比例线段的性质、 勾股定理、线面垂直 判定定理、棱锥体积
全 国
证线面平行;求四 面体体积
3
线面平行判定定理、 棱锥体积
几何模 型
四棱 锥、三 棱锥
长方 体、棱 柱
数学思想方法
演绎推理、 方程思想
演绎推理、 转换思想
正三棱 演绎推理、
锥
转换思想
演绎推理、 五棱锥 转换思想、
(1)利用三角形的中位线找平行线证线面平行; (2)构造平行四边形,找平行线; (3)利用平行线分线段成比例定理的逆定理证线线平行. 2.求几何体的体积,一般思路是围绕已知条件和要求的几何体的 底和高,通过几何体的几何性质,建立已知和未知的关系,依据题意 可借助方程的思想求出未知数,从而求出体积.
-12-
绎推理
长方体与 四棱锥
转换思 想,演 绎推理
平面图形 转换思 的折叠、 想,演 三棱柱 绎推理
-5-
1.证明线线平行和线线垂直的常用方法
(1)证明线线平行常用的方法:①利用平行公理,即证两直线同时
和第三条直线平行;②利用平行四边形进行平行转换;③利用三角
形的中位线定理证线线平行;④利用线面平行、面面平行的性质定
∵F,G分别为PB,BC的中点, ∴FG∥PC. ∵PC∩CD=C,EF∩FG=F, ∴平面EFG∥平面PCD.
(2)解 设H为AD的中点,连接GH,EH,则GH∥EF,则平面EFG截四棱 锥P-ABCD的截面为梯形EFGH,
∵PA⊥平面ABCD,DC⊂平面ABCD, ∴PA⊥DC,又DC⊥AD, ∴DC⊥平面PAD.
(2)若△PCD的面积为2 7,求四棱锥P-ABCD的体积.
-9-
考向一 考向二
(1)证明 在平面ABCD内,因为∠BAD=∠ABC=90°,所以BC∥AD. 又BC⊄平面PAD,AD⊂平面PAD,故BC∥平面PAD.
(2)解 取AD的中点M,连接PM,CM,如图.
由AB=BC=
1 2
AD及BC∥AD,∠ABC=90°得,四边形ABCM为正方形,
-21-
考向一 考向二
(2)解 S△CDF=12×2×1=1, 因为 AD⊥DC,AD⊥DP,
所以 AD⊥平面 PDC,
所以平面 ABCD⊥平面 PDC.
因为 CD=PD=2,∠CDP=120°,
所以 PC=2 3.
所以 P 到平面 ABCD 的距离为 2 3×sin 30°= 3,
因为 E 为 BP 的中点,
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5.4.1 空间中的平行与几何体的体 积
考向一 考向二
证平行关系求几何体的体积(多维探究) 类型一 证明线面平行及求几何体的体积 例1
如图,四棱锥P-ABCD中,侧面PAD为等边三角形且垂直于底面
ABCD,AB=BC=
1 2
AD,∠BAD=∠ABC=90°.
(1)证明:直线BC∥平面PAD;
(1)证明:PB∥平面AEC; (2)设 AP=1,AD= 3,三棱锥 P-ABD 的体积 V= 43,求点 A 到平面 PBC 的距离.
-27-
考向一 考向二
(1)证明 设BD与AC的交点为O,连接EO.因为四边形ABCD为矩形, 所以O为BD的中点.又E为PD的中点,所以EO∥PB.又EO⊂平面 AEC,PB⊄平面AEC,所以PB∥平面AEC.
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考向一 考向二
(2)解 过C作C1E的垂线,垂足为H. 由已知可得DE⊥BC,DE⊥C1C,所以DE⊥平面C1CE,故DE⊥CH. 从而CH⊥平面C1DE,故CH的长即为C到平面C1DE的距离. 由已知可得 CE=1,C1C=4,所以 C1E= 17,故 CH=41717. 从而点 C 到平面 C1DE 的距离为41717.
勾股定理的逆定理,线 面垂直的判定定理,等 面积求距离
三棱 演绎推理、 锥 转换思想
全 国
3
证面面垂直; 探寻线面平行 并证明
线面垂直性质及判定定 理;中位线定理及线面 平行判定定理
两面 垂直
演绎推理、 转换思想
-4-
年份
卷 别
设问特点
涉及知识点
全 证明线面平 国 行;求点到面 1 的距离
线面平行的判定定
理进行平行转换.
(2)证明线线垂直常用的方法:①利用等腰三角形底边上的中线即
高线的性质;②勾股定理;③线面垂直的性质,即要证两直线垂直,只
需证明一直线垂直于另一直线所在的平面即可,即l⊥α,a⊂α⇒l⊥a.
2.垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型
(1)证明线面、面面平行,需转化为证明线线平行.
(2)解 V=16PA·AB·AD= 63AB,由 V= 43,可得 AB=32.作 AH⊥PB 交 PB 于 点 H,由题设知 BC⊥平面 PAB,所以 BC⊥AH.故 AH⊥平面 PBC.又 AH=������������������·������������������ = 31313.所以点 A 到平面 PBC 的距离为31313.
5.4 立体几何大题
年份
卷 别
设问特点
涉及知识点
全 国
证面面垂直;求三 棱锥的侧面积
面面垂直判定定理、 三棱锥体积、侧面积
1
2015 全 国 2
在长方体中画正方 形;求平面分长方 体的两部分体积比
线面平行性质定理、 棱柱体积
全 证某点是线段中
国 1
点;求四面体体积
正投影、等腰三角形 的性质、线面垂直的 性质、棱锥体积
∵M,O分别为PC,AC的中点, ∴PA∥MO. ∵PA⊄平面BMD,MO⊂平面BMD,∴PA∥平面BMD.
-14-
考向一 考向二
(2)解 如图,取线段BC的中点H,连接AH.
∵四边形ABCD是菱形,∠ABC=60°,
∴AH⊥AD.
∵PA⊥平面ABCD,∴AH⊥PA.
又PA∩AD=A,所以AH⊥平面PAD,
-25-
考向一 考向二
解题心得在空间中,求点A到平面α的距离,可利用点到面的距离 的定义来求,一般在过点A且与平面α垂直的平面内作两平面交线的 垂线,由面面垂直的性质定理可知,该垂线垂直平面α,点A与垂足的 距离即为点到平面α的距离.
-26-
考向一 考向二
对点训练3
如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,E 为PD的中点.
∴点H到平面PAD的距离即为AH的长度.
又BC∥AD,∴点C到平面PAD的距离即为AH的长度.
∵M 为 PC 的中点,∴点 M 到平面 PAD 的距离即为12AH 的长度.
∴VM-PAD=13S△PAD·12AH=12
×
1 3
×
1 2
×
3×2× 3 = 12.
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考向一 考向二
类型二 证明面面平行及求几何体的体积 例2
考向一 考向二
对点训练1
(2019四川成都一模,文18)如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边 长为2的菱形,∠ABC=60°,PA⊥平面ABCD,点M是棱PC的中点.
(1)证明:PA∥平面BMD; (2)当PA= 3时,求三棱锥M-PAD的体积.
-13-
考向一 考向二
(1)证明 如图,连接AC交BD于点O,连接MO.
12������+������ ·22������ = 3
2
8
2a2=32
2,
∴a=2.
∴V 四棱锥 P-ABCD=13S 正方形 ABCD·PA=13×22×2=83.
-18-
考向一 考向二
解题心得1.证明面面平行的方法有: (1)利用定义证明; (2)利用判定定理:一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平 面,则这两个平面平行; (3)垂直于同一直线的两个平面平行; (4)平行于同一个平面的两个平面平行. 2.求几何体的体积首先要考虑的是几何体的底面面积和几何体 的高,如果都易求,那么直接代入体积公式即可.
定理逆用
四棱锥
演绎推理、 转换思想
-2-
年份
卷 别
设问特点
涉及知识点
几何 模型
数学思想方法
全 国 1
证明面面垂 直;求棱锥的 侧面积
面面垂直的判定定 理、棱锥体积
四 棱 锥
演绎推理、方 程思想
全 证明线面平 线面平行判定定理、 四
2017国 行;求棱锥体 面面垂直性质定理、 棱
2积
棱锥体积
锥
演绎推理、转 换思想、方程 思想
-19-
考向一 考向二
对点训练2
如图,在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD是正方 形,CD=PD,∠ADP=90°,∠CDP=120°,E,F,G分别为PB,BC,AP的中 点.
(1)求证:平面EFG∥平面PCD; (2)若CD=PD=2,求三棱锥E-CDF的体积.
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考向一 考向二
(1)证明 因为E,G分别为BP,AP的中点,所以EG∥AB, 又因为四边形ABCD是正方形,所以EG∥CD,所以EG∥平面PCD. 因为E,F分别为BP,BC的中点,所以EF∥PC,所以EF∥平面PCD. 所以平面EFG∥平面PCD.