多调和算子Dirichlet特征值下界的一种估计

1 n
。
1 n
2p k 2 j s 2 s je e 1 j 1 ≥ C 1 ， 2p n k 2 j s k 2 j s e e j 1 j 1
e
j 1
k
j
≥ k eC 。
LIU Qing-hui
(Department of Mathematics, Beijing Institute of Technology, Beijing 100081, China)
Abstract: By the finite sum of the heat kernel function, we give a new lowest bound estimates for the Dirichlet eigenvalue of
由上所知：
2 ˆ z, y 。 z, y z 2j x 2 j


R
n

ˆ z, y |2 dydz e 2 j s | z |2 p | j
j 1
k
令
ˆ z, y |2 dy ， F z |

从而
m x
参考文献：
[1] 丘成桐,孙理察.微分几何[M].北京:科学出版社,1991. [2] 王岷,傅爱民,韩彦彬.高阶椭圆算子 Dirichlet 本征值的下界[J].Mathematica Applicata, 2000,13(4):21-24.
Eigenvalue Estimates for Dirichlet Problem of Multiharmonic Operators
所以 R02 p
Rn
e
j 1
j
≥ k eC ，
2p 2p

f z g z dz ≤
Rn
| z |2 p f z g z dz ≤

， | | 表示区域
Rn
| z |2 p f z dz M 2 ≤ 0
其中 C 2
2 | n x, y e
R
n
dx |2 dy


R
n

2
n
e |
Rn k j 1 R

j s
j x j y ei x , z dx |2 dy

i x, z

Rn
| 1

m
2 i m x z , y | dydz
R

Rn
1

2m
m 1 1 m x x, y x x, y dydx
=LLLL

Rn
Rn
ˆ z , y |2 dzdy |
Rn

Rn
2 x, y dxdy
k 2


1
k i 1
2m
m x, y 2 x x, y dydx
定理得证。
注：若在定理证明中的(3)式中令 s = 0 ，可得：
e
即
j 1 k j
k
2 j s
e
j 1
2 j s
≥C
1 n
。
k n n p j ≥ Cn k n 2p j 1 ||
k
2p
其中 Cn 是仅与维数 n 有关的常数， 这与文[2]中的结果一样。
（1）
| z |
2p
本文的主要结果是： 定理： 设 为欧氏空间 R n 中具有光滑边界的有界区域， 假设 0 1 ≤ 2 ≤ L L ≤ k 是问题(1)的前 k 个特征值，那 么对任意的 k 有
k
1 n
| z |2 p R02 p f z M 1 ≥ 0,| z | R0 R02 p f z g z 2p 2p | z | R0 f z ≥ 0, | z |≥ R0
is k
js


i
j
j 1
j
j
x x dx y y dy
j j
je
j 1
k
2 j s
。
(ii) 若 P 为奇数，令 P = 2m + 1 ，则
e
j 1
2 j s

Rn

ˆ z, y |2 dydz | z |2 p |

k
1
2 m 1
m 1 x, y 2 x, y dydx x
ˆ z, y ， 得： 根据 Fourier 变换性质， 有 i z, y z j x j
je
j 1
2 j s
证明：选择 R0 > 0 ，使得
| z |2 p M 1dz M 2 ，

| z |≤ R0
Rn
n2 p n 2 p n2 p f z dz ≤ M 1 n 1 M2 n n
k j 1
2p
n
定理的证明： 设 j
n
M 2 n | z |2 p g z dz M 1 n 1 r n 2 p 1dr
R 0
R0

M1 n 1 R0n 2 p n 2p
M n 2 p n2 p R0 2 M 1 n 1
1
，
（1） 0 ≤ f z ≤ M 1 ； （2） n f z | z |2 p dz ≤ M 2 ，其
- 53 -
第 29 卷第 5 期
代入引理得：
唐山师范学院学报
2007 年 9 月
对上面的不等式两端同时对 s 求积分可得：
2p n2 p
e
j 1
k
2 j s
n ≤ 2 | | n 1 e 2 1 s n
n 2p n
x x
i j
ij
1, i j 0, i j
由 Planchel 公式和 Green 公式得：
(i) 若 P 为偶数，令 P=2m，则
定义函数
j s e j x j y , x, y x, y j 1 0, x, y
通过构造热核函数的部分和我们给出了多调和算子dirichlet特征值的一个新的下界估计新的估计式推广了已有的特征值估计的结果
第 29 卷第 5 期 Vol. 29 No.5
唐山师范学院学报 Journal of Tangshan Teachers College
2007 年 9 月 Sep. 2007

≤ 2 e 2 1 s | n j x e
n
dx |2 。

Rn
1

2 m 1
x, y dydx
m x 2
由 Bessell 不等式得：
=LLLL
n

Rn
ˆ z , y |2 dy ≤ 2 e 21 s | | |
n n2 p
k 2 s je j j 1
n n2 p
（3）

s j 1 k 0
e
j
k
2 j t
e
j 1
2 j t
dt ≥ C

1 n
s ，
将（3）式变形可得：
k 2 j s e 2 np j 1 ≤ 2 | |2 p n k p 2 2 j s 2 s je e 1 j 1
k

Rn

ˆ z , y | dydz | z |2 y | dydz | z 2 m
m 2 m x z , y | dydz
2
ˆ (z , y )表示关于变量 x 的 Fourier 变换，即 记

Rn
| 1
多调和算子 Dirichlet 特征值下界的一种估计
刘庆辉
（唐山师范学院 数信系，河北 唐山 063000） 摘 要：通过构造热核函数的部分和，我们给出了多调和算子 Dirichlet 特征值的一个新的下界估计，新的估
计式推广了已有的特征值估计的结果。 关键词：多调和算子；特征值；下界估计；热核函数 中图分类号：O175.2 文献标识码：A 文章编号：1009-9115（2007）05-0052-03
设 为欧氏空间 R n 中具有光滑边界的有界区域，现考 虑下列多调和算子的特征值问题：
p u u, x r u r 0, x , r 0,1,L , p 1
则自然有 又因为

Rn
| z |2 p g z dz M 2 ，
R
中 M 1 ， M 2 为正常数，则下列不等式成立
得
n

Rn
n2 p n 2 p n2 p ， f z dz ≤ M 1 n 1 M2 n n
2p
将 R0 代入到上式（2）中可得：
其中 n 1 Area S n 1 。
另一方面

Rn
ˆ z , y |2 dy | ˆ z , y |2 dy |

Rn


ˆ z, y |2 dydz | z |4 m 2 |

i x, z
Rn


ˆ z , y |2 dydz | z |2 | z 2 m
2 | z |2 | 1 m x z , y | dydz m
2 np
n 2p | |2 p n 1 n n
从而 因为

Rn
f z dz ≤ n g z dz
R
M1 n R0 n 1 。 （2） n
的体积， n- 1 = Area (S n- 1 )。
引理：若 f z : R R 是实值函数，满足
n n2 p
因此
n 2p C ， n
n
k 2 j s e 1 ≥ 2 s C n ， ln j 1 k
我们得到： 令s
1 ，则 2
e
j 1
k
2 j s
≥ k e
2 s C

ˆ z , y 2 2 x, y ei x , z dx n
R
n

Rn
1

2m
m 2 x x, y dydx
由 Planchel 公式得： 一方面

Rn
ˆ ( z , y ) |2 dz 2 x, y dx | n
s e j j x j y dxdy 1 j e
j 1 k k 2 j s j j

e x y dydx e x y
ˆ z, y ， x z, y z 2

M 1 2 | | e
n
2 j s
，
ˆ z, y , m 1, 2,L L z, y 1 z
m 2m

M 2 je
j 1
k
2 j s
是对应于特征值 j
k j 1
的单位正
令
M ,| z | R0 g ( z) 1 0,| z |≥ R0
交特征函数。即
────────── 收稿日期：2005-12-28 作者简介：刘庆辉（1981-） ，男，河北邢台人，助教，研究方向为函数论。 - 52 -
刘庆辉：多调和算子 Dirichlet 特征值下界的一种估计