高中数学人教A版必修4：第一章 1.1 1.1(1).2 弧 度 制

1．1.2 弧 度 制
预习课本P6～9，思考并完成以下问题
(1)1 弧度的角是如何定义的？ (2)如何求角 α 的弧度数？ (3)如何进行弧度与角度的换算？ (4)以弧度为单位的扇形弧长、面积公式是什么？
2019年8月10日
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[新知初探]
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[活学活用] 1．将－1 125°表示成2kπ＋α，0≤α<2π，k∈Z的形式
为________．
解析：因为－1 125°＝－4×360°＋315°， 315°＝315×1π80＝74π， 所以－1 125°＝－8π＋74π. 答案：－8π＋74π
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题点二：利用公式求半径和弧度数
2．扇形OAB的面积是4 cm2，它的周长是8 cm，求扇形的半 径和圆心角． 解：设扇形圆心角的弧度数为 θ(0<θ<2π)，弧长为 l cm， 半径为 r cm，
l＋2r＝8，
2
(3)角的弧度数的求法： 正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数 ，零 角的弧度数是 0 .如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，
l 那么角α的弧度数的绝对值|α|＝ r .
[点睛] 用弧度为单位表示角的大小时，“弧度”两个字 可以省略不写，如2 rad的单位“rad”可省略不写，只写2.
1．角的单位制 (1)角度制：
1 规定周角的 360 为1度的角，用度作为单位来度量角的单位 制叫做角度制．
(2)弧度制： 把长度等于 半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．以弧 度作为单位来度量角的单位制，叫做 弧度制 ，它的单位符号是 rad，读作 弧度 ，通常略去不写．
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用弧度制表示角的集合
[典例] 已知角α＝2 005°. (1)将α改写成β＋2kπ(k∈Z,0≤β＜2π)的形式，并指出α是 第几象限的角； (2)在[－5π，0)内找出与α终边相同的角．
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值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？ 解：设扇形的圆心角为α(0<α<2π)，半径为r，面积为S，
弧长为l，则l＋2r＝30，故l＝30－2r，
从而S＝
1 2
lr＝
1 2
(30－2r)r＝－r2＋15r＝－
r－125
2＋
225 4
π1＋51<r<15，所以，当r＝125 cm时，α＝2，扇形面积最
键是先分析题目已知哪些量求哪些量，然后灵活运用弧长公
式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解．
[提醒] 运用弧度制下的弧长公式及扇形面积公式的前提
是α为弧度．
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“多练提能·熟生巧”见“课时跟踪检测(二)” (单击进入电子文档)
2019ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ8月10日
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2．用弧度表示终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合．
解：如题图，330°角的终边与－30°角的终边相同，将
－30°化为弧度，即－π6，
而 75°＝75×1π80＝51π2， ∴终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合为
(0<α<2π)
[点睛] 由扇形的弧长及面积公式可知：对于α，r， l，S“知二求二”，它实质上是方程思想的运用．
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[小试身手]
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)1弧度＝1°.
( ×)
(2)每个弧度制的角，都有唯一的角度制的角与之对应．( √ )
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2．角度与弧度的换算
角度化弧度
弧度化角度
360°＝__2_π_r_a_d_ 180°＝_π_r_a_d_
2π rad＝360° π rad＝_1_8_0_°__
1°＝1π80 rad≈0.017 45 rad 度数×1π80＝弧度数
θ2kπ－π6<θ<2kπ＋51π2，k∈Z .
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扇形的弧长公式及面积公式
题点一：利用公式求弧长和面积 1．已知扇形的半径为 10 cm，圆心角为 60°，求扇形的弧长
和面积． 解：已知扇形的圆心角 α＝60°＝π3，半径 r＝10 cm，则弧 长 l＝α·r＝π3×10＝103π(cm)，于是面积 S＝12lr＝12×103π×10 ＝503π(cm2)．
[典例] 把下列角度化成弧度或弧度化成角度： (1)72°；(2)－300°；(3)2；(4)－29π. [解] (1)72°＝72×1π80＝25π.
(2)－300°＝－300×1π80＝－53π.
(3)2＝2×1π80°＝3π60°.
(4)－29π＝－29π×1π80°＝－40°.
1 rad＝1π80°≈57.30° 弧度数×1π80°＝度数
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3．弧度制下的弧长与扇形面积公式
公式 度量制
角度制
弧度制
弧长公式
l＝n18π0r l＝_α_·r_ (0<α<2π)
扇形面积公式
S＝n3π6r02 S＝_12_lr_＝_12_α_r_2
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角度与弧度互化技巧 在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式π rad＝180° 是关键，由它可以得到：度数×1π80＝弧度数，弧度数×1π80 ＝度数．
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(3)用弧度制度量角，与圆的半径长短有关．
( ×)
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2．若α＝kπ＋π3，k∈Z，则α所在的象限是
()
A．第一、二象限
B．第二、三象限
C．第一、三象限
D．第一、四象限
答案：C
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3．半径为1，圆心角为23π的扇形的面积是
A．43π
B．π
C．23π
() D．π3
答案：D
4．(1)23π＝________；(2)－210°＝________. 答案：(1)120° (2)－76π
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角度与弧度的换算
大，最大面积为2245 cm2.
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弧度制下涉及扇形问题的攻略
(1)明确弧度制下扇形的面积公式是S＝
1 2
lr＝
1 2
|α|r2(其中l
是扇形的弧长，r是扇形的半径，α是扇形的圆心角)．
(2)涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算，关
∴在[－5π，0)内与 α 终边相同的角是－3316π，－10336π，－17356π.
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用弧度制表示终边相同的角2kπ＋α(k∈Z)时，其中2kπ 是π的偶数倍，而不是整数倍，还要注意角度制与弧度制不 能混用．
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[解] (1)2 005°＝2 005×1π80 rad＝40316π rad
＝5×2π＋4316πrad，又 π<4316π<32π， ∴角 α 与4316π终边相同，是第三象限的角．
(2)与 α 终边相同的角为 2kπ＋4316π(k∈Z)，
由－5π≤2kπ＋4316π＜0，k∈Z 知 k＝－1，－2，－3.
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[活学活用] 将下列角度与弧度进行互化：
(1)5611π；(2)－71π2；(3)10°；(4)－855°. 解：(1)5611π＝5611×180°＝15 330°.
(2)－71π2＝－172×180°＝－105°.
(3)10°＝10×1π80＝1π8.
(4)－855°＝－855×1π80＝－194π.
①
依题意有12l·r＝4，
②
由①②，得 r＝2，∴l＝8－2r＝4，θ＝rl＝2.
故所求扇形的半径为 2、圆心角为 2 rad.
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题点三：利用公式求扇形面积的最值
3．已知扇形的周长是30 cm，当它的半径和圆心角各取什么