高三数列专题练习30道带答案

高三数列专题训练二
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、解答题
1．在公差不为零的等差数列{}n a 中，已知23a =，且137a a a 、、成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，记29
2n n
b S =
，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 2．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差,50,053=+≠S S d 且1341,,a a a 成等比数列.
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）设⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧n n a b 是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{}n b 的前n 项和n T .
3．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，218a =，且11
16
S +，2S ，3S 成等差数列，数列{}n b 满足2n b n =． （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设n n n c a b =⋅，若对任意*n N ∈，不等式121
212
n n c c c S λ+++≥+-…恒成立，求λ的取值范围．
4．已知等差数列{n a }的公差2d =，其前n 项和为n S ，且等比数列{n b }满足11b a =，
24b a =，313b a =．
（Ⅰ）求数列{n a }的通项公式和数列{n b }的前n 项和n B ； （Ⅱ）记数列{
1
n
S }的前n 项和为n T ，求n T ． 5．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()21,2,3,n n S a n =-=L ． （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）若数列{}n b 满足11b =，且1n n n b b a +=+，求数列{}n b 的通项公式；
6．已知差数列等{}n a 的前n 项和n S ，且对于任意的正整数n
满足1
n a =+.
（1）求数列
{}n a 的通项公式；
（2）设
11
n n n b a a +=
, 求数列{}n b 的前n 项和n B .
7．对于数列}{n a 、}{n b ，n S 为数列}{n a 的前n 项和，且n a S n S n n n ++=+-+)1(1，
111==b a ，231+=+n n b b ，*∈N n .
（1）求数列}{n a 、}{n b 的通项公式； （2）令)
1()
(2++=
n n n b n n a c ，求数列}{n c 的前n 项和n T .
8．已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，且1212
112(
)a a a a +=+， 345345
11164(
)a a a a a a ++=++． （1）求{}n a 的通项公式； （2）设2
1()n n n
b a a =+
，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 9．已知数列
{}
n a 的首项
11
a =，前n 项和为
n
S ，且
1210
n n S S n +---=（*
n ∈N ）.
（Ⅰ） 求证：数列{1}n a +为等比数列； （Ⅱ） 令n n b na =，求数列{}n b 的前n 项和n T . 10．已知各项都为正数的等比数列{}n a 满足31
2
a 是13a 与22a 的等差中项，
且123a a a =． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）设3log n n b a =，且n S 为数列{}n b 的前n 项和，求数列12{
}n
n
S S +的前n 项和n T ． 11．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,2121,2n n n a S a a ==+．
（1）求数列
{}n a 的通项公式；
（2）若2n a
n b =,求13521...n b b b b +++++．
（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n b 满足
*12121
1,2
n n n b b b n N a a a +++=-∈L ，求{}n b 的前n 项和n T ． 13．已知数列{}n a 是等比数列，满足143,24a a ==，数列{}n b 满足144,22b b ==，且{}n n b a -是等差数列.
（I ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （II ）求数列{}n b 的前n 项和。

14．设数列{}n a 满足3
21212222
n n a a a a n -+
+++=L ，*n N ∈. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设1(1)(1)
n
n n n a b a a +=
--，求数列{}n b 的前n 项和n S .
15．数列{}n a 的前n 项和n S 满足12n n S a a =-，且123,1,a a a +成等差数列． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设1
1
n n n n a b S S ++=
，求数列{}n b 的前n 项和n T ．
16．已知各项都为正数的等比数列{}n a 满足31
2
a 是13a 与22a 的等差中项，
且123a a a =. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）设3log n n b a =，且n S 为数列{}n b 的前n 项和，求数列的12{
}n
n
S S +的前n 项和n T . 17．已知数列}{n a 和}{n b 满足21=a ，11=b ，n n a a 21=+（*
∈N n ），
11
31211321-=+++++n n b b n
b b b Λ（*∈N n ）.
（1）求n a 与n b ；
（2）记数列}{n n b a 的前n 项和为n T ，求n T . 18．已知数列}{n a 中，21=a ，n n a a 121-=+，数列}{n b 中，1
1-=n n a b ，其中*
∈N n . （1）求证：数列}{n b 是等差数列；
（2）设n S 是数列}3
1{n b 的前n 项和，求
n
S S S 11121+++Λ 19．已知各项均为正数的数列
{}
n a 的前n 项和为n S ,满足
2
123724,1,,n n a S n a a a +=++-恰为等比数列{}n b 的前3项.
（1）求数列 {}n a ,{}n b 的通项公式； （2）若()21
1
1log n
n n n n c b a a +=--
,求数列{}n c 的前n 项和为n T . 20．已知等比数列{}n a 满足2343a a +=
,131
3
a a =,公比1q < （1）求数列{}n a 的通项公式与前n 项和； （2）设1
2log 3n n b a =
-，数列{}2n n b b +的前n 项和为T n ，若对于任意的正整数，都有
23
4
n T m m <-+
成立，求实 数m 的取值范围．
21．已知等差数列{}n a 满足：25a =,前4项和428S =. （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）若()1n
n n b a =-,求数列{}n b 的前2n 项和2n T ．
22．已知公差不为零的等差数列}{n a 中，11a =，且139,,a a a 成等比数列。

（1）求数列}{n a 的通项公式 （2）求数列{2}n a
的前n 项和n S 。

23．（本小题满分14分）等比数列{}n a 的前n 项和a S n n -=+62，数列{b }n 满足
)log log (log 122221
n a a a n n
b +++=
Λ（*N n ∈）. （1）求a 的值及{}n a 的通项公式； （2）求数列⎭
⎬⎫
⎩⎨
⎧
⋅+11n n b b 的前n 项和 ；
（3）求数列⎭
⎬⎫
⎩⎨
⎧n n b a 的最小项的值. 2
111
()12n n n f n a a a n
=
++++++…． （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）若2n
n n
a b =
，求数列{}n b 的前n 项和n S ； （3）求证：对2n ≥且*n N ∈恒有7
()112
f n ≤<．
25．已知各项均不为零的数列{}n a 满足：()
2*2+1n n n a a a n N +=∈，且12a =,478a a =． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）令()()*12
n
n n a b n N n n =
∈+，求数列{}n b 的前n 项和n S ． 26．已知{}n a 是单调递增的等差数列，首项13a =，前n 项和为n S ，数列{}n b 是等比数列，首项11b =，且223212,20a b S b =+=． （1）求{}n a 和{}n b 通项公式；
（2）令()()
cos n n n c S a n N π+=∈，求{}n c 的前n 项和n T ． 27．在数列{a n }中，a 1=1，a 4=7，a n+2﹣2a n+1+a n =0（n ∈N ﹢
）
（1）求数列a n 的通项公式； （2）若b n =
）（n ∈N +
），求数列{b n }的前n 项和S n ．
28．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且()()
1n S n n n N *=+∈. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n b 满足31223 (31313131)
n n n b b b b
a =++++++++,求数列{}n
b 的通项公式；
（3） 令()4
n n
n a b c n N *=
∈,数列{}n c 的前n 项和为n T . 29．已知数列{}n a 的前n 项和2
)
1(+=n n S n .
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设)1
2
()1(1n
n a n n n a a a b n
-+
⋅-=+，求数列{}n b 的前n 项和n T .
30．设数列{}n a 满足：1113n n a a a +==，，*
n N ∈．设n S 为数列{}n b 的前n 项和，已知10b ≠，112n n b b S S -=，*
n N ∈．
（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；
（2）设3log n n n c b a =，求数列{}n c 的前n 项和n T ．
参考答案
1．（1）
1
n a n =+（2）
1
n n T n -=
【解析】 试题分析：（1）求等差数列通项公式，基本方法为待定系数法，即根据条件列两个关于首项
与公差的方程：
()
()2
1111326a d a d a a d +=+=+，，注意公差不为零，解得12
1a d =⎧⎨=⎩
，代
入通项公式得
()2111
n a n n =+-⨯=+（2）先根据等差数列求和公式得
()()
33319132122n n n n n S n -+=⨯+⨯=
，因此代入化简数列
{}n b 通项公式()()
39921
22911n n b S n n n n =
=⨯=
++ ，所以利用裂项相消法求和，即
111n b n n =
-
+，
121111
111112231n n n T b b b n n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=-+-++-=-=
⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭
L L 试
题
解
析
：
①
设
{}
n a 的公差为
d
，依题意得
()()12
1113260a d a d a a d d +=⎧
⎪+=+⎨⎪≠⎩，．．．．．．．．．．．．．．．．．3分
解得12
1a d =⎧⎨
=⎩，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分
∴
()2111
n a n n =+-⨯=+．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
②()()33319132122n n n n n S n -+=⨯+⨯=
， ()()3992111
229111
n n b S n n n n n n =
=⨯==-
+++，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分
121111
111112231n n n T b b b n n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=-+-++-=-=
⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭
L L ，故
1
n n T n -=
．．．．．．12分
考点：等差数列通项，裂项相消法求和 【方法点睛】裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如1n n c a a +⎧
⎫
⎨
⎬⎩⎭
(其中{}n a 是各项均不为零的等差
数列，c 为常数)的数列. 裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和(如本例)，还有一类隔一项的裂项求和，如
1(1)(3)n n ++或1
(2)
n n +.
2．（Ⅰ）21n a n =+（Ⅱ）3n
n T n =⋅
【解析】 试题分析：（Ⅰ）将已知条件转化为首项和公差表示，解方程组可得到基本量，从而确定数列的通项公式；（Ⅱ）首先化简数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
得到{}n b 的通项公式1
(21)3n n b n -=+⋅，结合特点采用裂项相消法求和 试题解析：（Ⅰ）依题意得
⎪⎩⎪⎨
⎧
+=+=⨯++⨯+)
12()3(50254522331121
11d a a d a d a d a ………2分 解得⎩
⎨
⎧==23
1d a ， …………4分 1212)1(23)1(1+=+=-+=-+=∴n a n n d n a a n n 即，. ………………………6分
(Ⅱ)13-=n n
n
a b ，113)12(3--⋅+=⋅=n n n n n a b …………………7分
123)12(37353-⋅+++⋅+⋅+=n n n T Λ n n n n n T 3)12(3)12(3735333132⋅++⋅-++⋅+⋅+⋅=
-Λ ……………………9分
n
n n n T 3)12(3232323212+-⋅++⋅+⋅+=--Λ13(13)
32(21)32313
n n n n n --=+⋅-+=-⋅-
∴n n n T 3⋅= ………………………………12分 考点：数列求通项公式及数列求和
3．（1）1
1
()2
n n a +=；（2）(,2]-∞．
【解析】
试题分析：（1）设数列{}n a 的公比为q ，由1116S +，2S ，3S 称等差数列，求解1
2q =，即可求解数列的通项公式；（2）由（1）可知2
n n n
c =，利用乘公比错位相减法，求解数列
的和222n n n T +=-，再根据不等式121
212
n n c c c S λ+++≥+-…恒成立，利用()f n 关于
n 单调性，即可求解λ的取值范围．
试题解析：（1）设数列{}n a 的公比为q ， ∵1116S +，2S ，3S 称等差数列，∴2131216S S S =++，∴231
16
a a =+， ∵218a =
，∴3116
a =，∴3212a q a ==，
∴2
212111
()()822
n n n n a a q
--+==⋅=． （2）设数列{}n c 的前n 项和为n T ，则12n n T c c c =+++…， 又1
1
2()2
2n n n n n
n c a b n +=⋅=⋅=
， ∴231232222n n n T =
++++…， 2311121 22222
n n n n n T +-=++++…， 两式相减得
23111111222222
n n n n
T +=++++- (1111)
(1)
1221122212
n n n n n n ++-=-=---1
2
12
n n ++=-
w ， ∴2
22n n n T +=-，
又11(1)
1142(1)12212n n n S -==--， 对任意*n N ∈，不等式121
212
n n c c c S λ+++≥+-…恒成立， 等价于1212n n T S λ≥+-恒成立，即211211222n n n λ+-≥+--恒成立，即11
222
n n λ
+-≥恒成立，
令+1()2n n f n =
，1121(1)()0222
n n n n n n
f n f n ++++-+-=-=<， ∴()f n 关于n 单调递减，∴122n n +-关于n 单调递增，∴21
222
λ-≥，∴2λ≤，
所以λ的取值范围为(,2]-∞．
考点：数列的综合问题．
【方法点晴】本题主要考查了数列的综合问题，其中解答中涉及到等比数列的通项公式、等比数列的性质、数列的乘公比错位相减法求和、数列与函数的应用等知识点的综合考查，着重中考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及学生转化与化归思想的应用，本题的解答中利用乘公比错位相减法求得数列的和，转化为利用函数的单调性是解答的关键，试题有一定的难度，属于中档试题． 4．（Ⅰ）3(31)2
n
-；
（Ⅱ）32342(1)(2)n n n +-++ 【解析】
试题分析：（Ⅰ）因为等差数列{n a }的公差2d =，所以有22213111(24)(6)b b b a a a ==+=+，
解之得13a =，得3(1)221n a n n =+-⨯=+，设等比数列{n b }的公比为q ，则3q =，由等比数列前n 项和公式即可求出结果.（Ⅱ）由（Ⅰ）得(2)n S n n =+，所以
11111
()(2)22
n S n n n n ==-++，采用裂项相消即可求出结果. 试题解析：解：（Ⅰ）因为等差数列{n a }的公差2d =，
所以有22
213111(24)(6)b b b a a a ==+=+，解之得13a =
得3(1)221n a n n =+-⨯=+，设等比数列{n b }的公比为q ，则3q =， 于是3(13)3(31)132
n n
n B ⨯-==--
（Ⅱ）由（Ⅰ）得(2)n S n n =+，所以11111
()(2)22
n S n n n n ==-++ 因此111111111111[(1)()()()()()]23243546112
n T n n n n =
⨯-+-+-+-++-+--++L 1111323
(1)221242(1)(2)
n n n n n +=⨯+--=-++++. 考点：1.等差数列与等比数列；2.数列求和. 【方法点睛】裂项相消在使用过程中有一个很重要得特征，就是能把一个数列的每一项裂为
两项的差，其本质就是两大类型类型一:()()
n k
a f n f n c =
+型，通过拼凑法裂解成
11n n n c n n c k k a a a cd a a ++⎛⎫
=
=- ⎪⎝⎭
；类型二：通过有理化、对数的运算法则、阶乘和组合数公
式直接裂项型；该类型的特点是需要熟悉无理型的特征，对数的运算法则和阶乘和组合数公式。

无理型的特征是，分母为等差数列的连续两项的开方和，形如()()
n k
a f n f n c =
++型，
=11log log log n a a n a n n a a a a ++=-本身可
以裂解；③阶乘和组合数公式型要重点掌握()!1!!nn n n =+-和1
1m m m n n n C C C ++-=.
5．（1）1
12n n a -⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
；（2）1
1322n n b -⎛⎫
=- ⎪
⎝⎭
；（3）()
n
n n T 21
488+-=. 【解析】
试题分析：（1）由已知数列递推式求出首项，得到当2n ≥时，112---=n n a S ，与原递推式作差后可得数列{}n a 是以6为首项，以3为公比的等比数列．再由等比数列的通项公式得答
案；（2）由（1）可得1
112n n n b b -+⎛⎫-= ⎪
⎝⎭
，由累加法可求其通项公式；（3）由错位相减法求
其前n 项和.
试题解析：（1）解：当1n =时，112S a =-，则11a =， 当2n ≥时，()()11122n n n n n n n a S S a a a a ---=-=---=-，
则12n n a a -=，∴112n n a a -=，所以，数列{}n a 是以首相11a =，公比为12，而1
12n n a -⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
；
（2）∵1n n n b b a +=+，∴1
112n n n b b -+⎛⎫
-= ⎪
⎝⎭
，
当2n ≥时，()()()121321n n n b b b b b b b b -=+-+-++-L
1
0122
1
11111112
113212222212
n n n ---⎛⎫
- ⎪
⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭
=+++++=+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
-L ，
又11b =满足，∴1
1322n n b -⎛⎫
=- ⎪
⎝⎭
；
（3）∵()1
1322n n n C n b n -⎛⎫
=-= ⎪
⎝⎭
，
()0221
11111223122222n n n T n n --⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦L ①
而()2311111112231222222n n
n T n n -⎡⎤
⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦L ② ①---②得：012111111122222222n n
n T n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=++++-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦
L ，
()111811244848841222212
n
n n
n n n T n n n ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫
⎝⎭=-=--=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-．
考点：（1）数列递推式；（2）数列的通项公式；（3）数列求和.
【方法点晴】本题考查了数列的通项公式，考查了数列的求和，关键是会用累加法求通项公式和数列的错位相减法求和，难度适中；解题中，在利用1--=n n n S S a 这一常用等式以及
()n f b b n n =-+1时，用累加法求其通项公式；常见的数列求和的方法有公式法即等差等比
数列求和公式，分组求和类似于n n n b a c +=，其中{}
n a 和{}n b 分别为特殊数列，裂项相消法类似于()
11
+=n n a n ，错位相减法类似于n n n b a c ⋅=，其中{}
n a 为等差数列，{}n b 为等比
数列等.
6．（1）21n a n =-；（2）111221n B n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭
. 【解析】
试题分析：（1）当1n =时，11a =，1n >时，利用1
1(1)(2)
n n n S n a S S n -=⎧=⎨
-≥⎩求得通项公式为
21n a n =-；（2）根据（1）化简11122121n b n n ⎛⎫=
- ⎪-+⎝⎭，利用裂项求和法求得21
n
n
T n =+. 试题解析：
（1）Q
对于任意的正整数1n n a =+ ① 恒成立，当1n =
时，11a =+，即
)
2
110,1a =∴=,当2n ≥时，有11n a -=+ ② ,22 - ①② 得
2211
422n n n n n a a a a a --=-+-，
即
()()1120
n n n n a a a a --+--=,
110,0,2n n n n n a a a a a -->∴+≥∴-=Q ,
∴数列{}n a 是首项为1公差为2的等差数列.()11221n a n n ∴=+-⨯=-.
（2）
()()121
11121,,...212122121n n n n
a n
b B b b b n n n n ⎛⎫
=-∴=
=-∴=+++ ⎪-+-+⎝⎭
Q 11111
1111...123352121221n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎣⎦. 考点：递推数列求通项，裂项求和法.
7．（1）2n a n =，1321-⋅=-n n b ；（2）1
3
45
2415-⋅+-=
n n n T . 【解析】
试题分析： （1）由n a S n S n n n ++=+-+)1(1⇒121n n a a n +=++⇒
111()(n n n n a a a a +--=-+-
232211)()()(21)(23)31n a a a a a a n n -++-+-+=-+-+++=
L L (211)2
n n
-+2
n =⇒2n a n =.由231+=+n n b b ⇒113(1)n n b b ++=+⇒}1{+n b 是等比数列，首项为
211=+b ，公比为3⇒1
3
21-⋅=+n n b ⇒13
21
-⋅=-n n b ；（2）1123
1
32)(2---=⋅+=
n n n n n n n c ⇒0
12234
333n T =
+++ 21133n n n n --+++L ⇒2310031
334333323--++++++⋅=n n n n n T Λ⇒ 1
15252223n n n T -+=-⋅⇒
154n T =125
43n n -+-
⋅. 试题解析： （1）因为n a S n S n n n ++=+-+)1(1，所以121++=+n a a n n ，所以
=
+++-+-=+-+-++-+-=---+13)32()12()()()()(112232111ΛΛn n a a a a a a a a a a n n n n n
22
)112(n n
n =+-=
，所以}{n a 的通项公式为2n a n =.由231+=+n n b b ，得
)1(311+=++n n b b ，所以}1{+n b 是等比数列，首项为211=+b ，公比为3，所以1321-⋅=+n n b ，所以}{n b 的通项公式为1321-⋅=-n n b .
（2）1123132)(2---=⋅+=n n n n n n n c ，所以1
22103
1
3343332--++++++=n n n n n T Λ，① 则2
310031
334333323--++
++++⋅=
n n n n n T Λ② ②-①得1111223252215313
1131
1631)3131311(62-----⋅+-=+---
+=+-+++++=n n n n n n n n n T Λ. 所以1
345
2415-⋅+-
=n n n T . 考点：1、等差数列及其性质；2、等比数列及其性质；3、数列的前n 项和.
【方法点晴】本题考查等差数列及其性质、等比数列及其性质、数列的前n 项和，涉及特殊
与一般思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型.第一小题先由n a S n S n n n ++=+-+)1(1求得121n n a a n +=++，再利
用累加法求得2
n a n =.又由231+=+n n b b 求得113(1)n n b b ++=+，可得}1{+n b 是等比数列
再求得1
3
21-⋅=+n n b .第二小题化简1123
1
32)(2---=⋅+=
n n n n n n n c ，再利用错位相减法求得154n T =
1
25
43n n -+-
⋅. 8．（1）12n n a -=；（2）11(44)213
n n
n --++.
【解析】
试题分析：（1）根据已知列出关于首项1a 和公比q 的方程组，解出首项1a 和公比q 的值即可求得{}n a 的通项公式；（2）由（1）可知21()n n n b a a =+212111
2424
n n n n a a --=++=++，分三组分别求和即可.
试题解析：（1）设公比为q ，则11n n a a q -=，由已知有
11
11
234111234
111
112()11164(),a a q a a q a q a q a q a q a q a q ⎧
+=+⎪⎪⎨
⎪++=++⎪⎩，，
化简得212612,64,
a q a q ⎧=⎪⎨⎪⎩
又10a >，故2q =，11a =，
所以1
2n n a -=．
（2）由（1）可知21()n n n b a a =+212111
2424
n n n n a a --=++=++， 因此1
111(144
)(1)44n n n T --=+++++++……2n +11
(44)213
n n n -=-++．
考点：1、等比数列的通项及求和公式；2、“分组求和”的应用. 9．（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）1
(1)
(1)222
n n n n T n ++=--
+. 【解析】
试题分析：（Ⅰ）根据1n n n a S S -=-结合已知条件等式即可使问题得证；（Ⅱ）首先根据（Ⅰ）求得n b 的通项公式，然后利用分组求和法与错位相减法求解即可. 试题解析：（Ⅰ） 由1210n n S S n +---=， 当2n ≥时，12110n n S S n ---+-=，
两式相减，得1210n n a a +--=，可得112(1)(2)n n a a n ++=+≥， 4分 又121()2110a a a +---=，则23a =，满足2112(1)a a +=+， 即{1}n a +是一个首项为2，公比为2的等比数列.6分 （Ⅱ） 据（Ⅰ）得21n n a =-， 所以2n n n b na n n ==⨯-， 7分
则12n n T b b b =+++L 1212222(12)n n n =⨯+⨯++⨯-+++L L . 令1212222n n W n =⨯+⨯++⨯L ，则231212222n n W n +=⨯+⨯++⨯L ， 所以2
1
112(12)22222(1)2212
n n
n n n n W n n n +++--=+++-⨯=-⨯=---L .
则1(1)22n n W n +=-+.10分 所以1(1)
(1)222
n n n n T n ++=--
+.
考点：1、等比数列的定义；2、数列求和.
【方法点睛】对于递推公式确定的数列的求解，通常可以通过递推公式的变换，转化为等差或等比数列问题，有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列，此法称为辅助数列法.常用转化方法：变换法、待定系数法、加减法、累加法、迭代法等.
10．（Ⅰ）3n
n a =；（Ⅱ）n T 1
422++=n n
n ．
【解析】
试题分析：（Ⅰ）利用等差等比定义及性质组建方程组，求通项；（Ⅱ）利用第一问求出n b ，再利用等差数列求和公式得n S ，最后通过裂项相消法求和．
试题解析：（I ）设等比数列的公比为q ，由题意知0q >，且12332a a a +=，
∴2
1112
11132a a q a q a a q a q
⎧+=⎪⎨=⎪⎩g ，解得13a q ==，故3n n a =．………………5分
（II ）由（I ）得3log n n b a n ==，所以(1)
2
n n n S +=．………………6分 ∴
12211
22()2(1)1
n n S S n n n n +=+=-+++，………………8分 故数列12{
}n n S S +的前n 项和为11111
2[(1)()()]22231
n T n n n =-+-++-++L 21242(1)211
n n
n n n +=-+=++．………………12分
考点：1、等差等比知识；2、裂项相消求和． 11．（1）n a n =；（2）()1
2413
n +-． 【解析】
试题分析：（1）根据2
121,2n n n a S a a ==+，令1n =解得11a d ==，进而得数列{}n a 的通
项公式为n a n =；（2）由（1）2
2n
a n n
b ==，进而得{}21n b +是首项为2,公比为4的等比
数列,再由等比数列前n 项和公式可得结果． 试题解析：（1）222n n n
S a a =+，则
221211
2S a a a a =+=+，又
11
a =，得
22
a =，等差数
列
{}n a 的公差211d a a =-=，所以数列{}n a 的通项公式为n a n =．
（2）2
2n
a n n
b ==,所以数列{}21n b +是首项为2,公比为4的等比数列,
()1
135212 (413)
n n b b b b ++∴++++=
-． 考点：1、等差数列的通项公式；2、等比数列前n 项和公式． 12．（1）12-=n a n ；（2）23
32
n n
n T +=-． 【解析】
试题分析：（1）设等差数列{}n a 的公差为()0≠d d ，由2514,,a a a 构成等比数列得关于d 的方程，解出d
后利用等差数列的通项公式可得n a ；（2）由条件可知，2≥n 时，
n n n n n a b 2
1
2112111=⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-，再由（1）可求得n b ，注意验证1=n 的情形，利用错位相减法可求得n T ．
试题解析：（1）设等差数列{}n a 的公差为()0d d ≠，由2514,,a a a 构成等比数列，有
25214a a a =，即()()()2
1412113d d d +=++，解得0d =（舍去），或2d =，∴
()11221n a n n =+-⨯=-．
（2）由已知
12121
12n n n b b b a a a +++=-L ，当1n =时，1112
b a =； 当2n ≥时，有
11211211
12n n n b b b a a a ---+++=-L ，相减得111111222
n n
n n n b a -⎛⎫⎛
⎫=---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当1n =时，上式也成立，所以
()*1
2
n n n b n N a =∈，又由（1），知21n a n =-，∴()*
212
n n
n b n N -=
∈， 由23231135211132321,222222222n n
n n n n n n T T +---=++++=++++L L ， 相减得2311111222213
1212
22222
222n n n n n n n T +-+--⎛⎫=
++++-=-- ⎪⎝⎭L ，∴2332n n
n T +=-． 考点：（1）数列的求和；（2）等差数列与等比数列的综合．
【方法点晴】本题主要考查了等差数列，等比数列的概念，以及数列的求和，属于高考中常考知识点，难度不大；常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式，分组求和类似于n n n b a c +=，其中{}
n a 和{}n b 分别为特殊数列，裂项相消法类似于()
11
+=
n n a n ，
错位相减法类似于n n n b a c ⋅=，其中{}
n a 为等差数列，{}n b 为等比数列等．
13．(Ⅰ)123-⨯=n n a ；1
232(1,2,).n n b n n -=-+⨯=L （Ⅱ）
(3)3232
n n
n -+⨯-. 【解析】
试题分析：（Ⅰ）数列{}n a 是等比数列,所以根据公式m
n
m
n a a q
=
-，求公比，根据首项和公比求通项公式，因为数列{}n n b a -是等差数列，所以根据数列的首项11a b -和数列的第四项44a b -，求数列的公差，即求得数列{}n n b a -的通项公式，最后再求得数列{}n b 的通项
公式；（Ⅱ）1
232(1,2,)n n b n n -=-+⨯=L ，所以根据分组转化法：等差数列加等比数列
求和.
试题解析：（I ）设等比数列{}n a 的公比为q ，由题意得3
412483
a q a =
==，解得2q =. 所以11
132(1,2,)n n n a a q n --==⨯=L .
设等差数列{}n n b a -的公差为d ，
所以4411()3b a b a d -=-+.即2224(43)3d -=-+.解得1d =-. 所以11()(1)1(1)2n n b a b a n d n n -=-+-=--=-.
从而1
232(1,2,).n n b n n -=-+⨯=L
（II ）由（I ）知1
232(1,2,)n n b n n -=-+⨯=L .
数列{}2n -的前n 项和为
(3)2
n
n -，数列{}132n -⨯的前n 项和为 1233(21)32312
n n n -⨯=-=⨯--.
所以，数列{}n b 的前n 项和为
(3)3232
n n
n -+⨯-. 考点：1.等差，等比数列求和；2.分组转化法求和. 14．（1）*
2()n
n a n N =∈；（2）1
112
1
n n S +=-
-.
【解析】
试题分析：（1）利用递推关系即可得出；（2）结合（1）可得
()()
1
21
121121221
1---=--=++n n n n n n b ，利用裂项相消求和.
试题解析：（1）因为3
21212222
n n a a a a n -+
+++=L ，*n N ∈， ① 所以当1n =时，12a =. 当2n ≥时，3
121222(1)222
n n a a a a n --++++=-L ，② ①-②得，
1
22n
n a -=． 所以2n
n a =.
因为12a =，适合上式，所以*
2()n
n a n N =∈.
（2）由（1）得2n
n a =，所以112(1)(1)(21)(21)
n
n n n n n n a b a a ++==
---- 1
11
2121
n n +=
---. 所以12n n S b b b =+++L
11111111(1)()()()3377152121n n +=-+-+-++---L
1
1
121
n +=--. 考点：（1）数列递推式；（2）数列求和.
15．（1）2
n
n a =（2）211
222n +--
【解析】 试题分析：（1）由通项与和项关系求数列通项公式，需注意分类讨论，即
()()
112=1n n n n a s s n a s n -=-≥=，，而由
()
122n n a a n -=≥得数列成等比是不充分的，
需强调每一项不为零，这就必须求出首项（2）因为
()()1
1
222222n n n n b +++=--，所以一般利
用裂项求和：
1211
2222
n n n b ++=
-
--，即
233412
11111
1222222222222n n n T ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+++ ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭
L L 2221111
2222222n n ++=
-=-
---
试题解析：解：（1）由已知
1
2n n s a a =-，有
()
12n n n a s s n -=-≥，即
()
122n n a a n -=≥，
即数列{}n a 是以2为公比的等比数列，
又123,1,a a a +成等差数列，即：()13212a a a a +=+，
∴
()()
11114221,2,21n n a a a a a n +=+==≥解得故
（2）由（1）知
122
n n S +=-，∴
()()112122112222
2222n n n n n n b +++++==-
----，
∴
233412
11111
1222222222222n n n T ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+++ ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L 22211112222222n n ++=
-=-
---
考点：由通项与和项关系求数列通项公式，裂项相消法求和
【方法点睛】给出S n 与a n 的递推关系求a n ，常用思路是：一是利用S n －S n －1＝a n （n≥2）转化为a n 的递推关系，再求其通项公式；二是转化为S n 的递推关系，先求出S n 与n 之间的关
系，再求a n . 应用关系式a n ＝
{
1,n n-1S n=1S S n 2-≥，，
，时，一定要注意分n ＝1，n≥2两种情况，
在求出结果后，看看这两种情况能否整合在一起.
16．（I ）3n
n a =；（II ）2241
n n n
n +T =+
【解析】
试题分析：（I ）根据“
31
2
a 是13a 与22a 的等差中项”
，“123a a a =”这两个已知条件，化为1,a q 的形式，联立方程组，解得13a q ==，故3n
n a =.（II ）由（Ⅰ），得3log n n b a n ==，
所以(1)
2n n n S +=
，代入所求，得1221122()2(1)1n n
S S n n n n +=+=-+++，利用裂项求和法，求得2241
n n n
T n +=+.
试题解析：
（Ⅰ）设等比数列的公比为q ，由题意知0q >，且12332a a a +=，
∴2
1112
11132,.
a a q a q a a q a q ⎧+=⎪⎨=⎪⎩g ，解得13a q ==，故3n
n a =. （Ⅱ）由（Ⅰ），得3log n n b a n ==，所以(1)
2
n n n S +=. ∴
12211
22()2(1)1
n n S S n n n n +=+=-+++，
故数列12{
}n n S S +的前n 项和为11111
2[(1)()()]22231
n T n n n =-+-++-++L 21242(1)211
n n
n n n +=-+=++.
考点：数列基本概念，数列求和． 17．（1）n b n =；（2）22)1(1
+⨯-=+n n n T
【解析】
试题分析：（1）利用公式直接计算可知数列{}n a 的通项公式，通过作差可知
11n n
b b n n
+=+，进而可得n b n =；（2）通过（1）可知n
n n n b a 2⋅=，即可利用错位相加法计算数列的和. 试题解析：（1）由21=a ，n n a a 21=+，得：n
n a 2=. 当1=n 时，121-=b b ，故22=b . 当2≥n 时，
n n n b b b n
-=+11
，整理得n n b b n n 11+=
+， ∴n b n =.
（2）由（1）知，n
n n n b a 2⋅=， ∴n
n n T 2232223
2
⨯++⨯+⨯+=Λ，
143222)1(232222+⨯+⨯-++⨯+⨯+=n n n n n T Λ
∴22)1(22222211
3
2
-⨯-=⨯-++++=-=-++n n n
n n n n n T T T Λ，
∴22
)1(1
+⨯-=+n n n T .
考点：数列的递推关系式；数列的求和. 18．（1）证明见解析；（2）61
n n + 【解析】
试题分析：（1）化简11n n b b +-=，11b =，证得数列}{n b 是以1为首项，以1为公差的等差数列；（2）由(1)
6
n n n S +=
，得到1116()1n S n n =-+，即可利用裂项求和，求得数列的和.
试题解析：（1）证明：
111
11111211111
11=---=----=--
-=-++n n n n n
n n n n a a a a a a a b b ，
而11
1
11=-=
a b ，∴数列}{n b 是以1为首项，以1为公差的等差数列. （2）解：3
]1)1(1[3131n n b n =⨯-+=，
6
)
1(2)
331(+=
+=n n n
n S n ，
)1
1
1(6)1(61+-=+=n n n n S n ， ∴
1
6)1113121211(611121+=+-++-+-=+++n n
n n S S S n ΛΛ. 考点：等差数列的概念；数列求和.
19．（1） 1n a n =+,n
n b 2=；（2）1(1
21222(2n n n T n n n n -⎧+⎪⎪=⎨++⎪-+⎪+⎩
数）为奇数）为偶.
【解析】
试题分析：（1）借助题设条件运用等差数列等比数列的通项公式求解；（2）借助题设条件运用分类整合思想和裂项相消法求解. 试题解析：
（1）()
2
2
1124,2142n n n n a S n a S n n +-=++∴=+-+≥Q ,两式相减得
()2
22221121,211n n n n n n n a a a a a a a ++-=+∴=++=+,{}n a Q 是各项均为正数的数列, 所以11n n a a +-=,又()()()()2
23272221,115a a a a a a =-∴+=-+,解得123,2a a ==,所以
{}
n a 是以2为首项,1为公差的等差数列,所以1n a n =+.由题意知
1232,4,8,2n n b b b b ===∴=.
（2）由（1）得()()()
()()()
21
1
1log 211212n
n
n
n c n n n n n =--
=--
++++,
故()()()12111...123...1...233412n
n n T c c c n n n ⎡⎤⎡⎤=+++=-+-++--+++⎢⎥⎣⎦⨯⨯+⨯+⎣⎦
设
()123...1n
n F n
=-++++-,则当
n
为偶数时,
()()()1234 (12)
n n
F n n =-++-+++--+=
⎡⎤⎣⎦, 当
n
为奇数时,
()()111
22
n n n n F F n n --+-=+-=-=
,
设
()()111
...233412n G n n =
+++⨯⨯+⨯+, 则
1111111.1
122342
..23n G n n n =
-+-++=-+-++,
所
以
1(12122
2(2n n n T n n n n -⎧+⎪⎪=⎨++⎪-+⎪+⎩
数）为奇数）为偶.
考点：等差数列等比数列的通项公式及分类整合思想和裂项相消法等有关知识的综合运用． 20．（１）2
23
21
29,3--⋅-==n n n n S a ；（２）0≤m 或1≥m ． 【解析】
试题分析：（1）由等比数列的通项公式和性质可求得3
1
,132==a a ，由此可求得数列的通项公式和前n 项和公式； （2）化简得n b n 1=
，可求得)2
11(212+-=+n n b b n n ，由裂项相消可求得43)211211(21<+--+=n n T n ，题中不等式可转化为4
3432+-≤m m ，由此可解得m 的
取值范围．
试题解析：（1）由题设知，231413a a a a ==
，又因为2343a a +=，1q <,解得：231
1,3
a a ==，故a n ＝31
13n -⎛⎫
⎪
⎝⎭
＝23
n
-
前n 项和S n ＝
92－2
123n -⋅. （2）因为b n ＝
312log n
a -＝()122n --＝1
n ， 所以2n n b b +()1
2n n =
+＝11122n n ⎛⎫- ⎪+⎝⎭
，
所以1324352n n n T b b b b b b b b +=++++L ＝
1111111
1111232435112n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-+⋅⋅⋅+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣
⎦＝
111112212n n ⎛⎫+-- ⎪++⎝⎭<34
， 故要使234n T m m <-+
恒成立，只需233
44
m m ≤-+，解得0m ≤或m≥11m ≥. 考点：等比数列的性质；裂项相消数列求和． 21．（1）43n a n =-；（2）24n T n =．
【解析】
试题分析：（1）根据等差数列的通项公式和前n 项和公式得到方程组
21415
434282a a d S a d =+=⎧⎪
⎨⨯=+⨯=⎪⎩，求解即可；（2）可得()()143n n
b n =--，()
()()()()
1
1
114114314n n n n n b b n n ++++=-++--=-⋅，即12344,4,b b b b +=+=L ，所
以()()()212342124444n n n T b b b b b b n -=++++++=++=L L ．
试题解析：（1）由已知条件21415
43
4282
a a d S a d =+=⎧⎪
⎨⨯=+⨯=⎪⎩,解得114a d =⎧⎨=⎩,()1143n a a n d n ∴=+-⨯=-.
（
2
）由⑴可得
()()()()21143,1591317...8344n
n
n n n b a n T n n n =-=--∴=-+-+-++-=⨯=.
考点：1.等差数列；2.观察法在数列中的应用．
22．（1）n a n =；（2）1
22n n S +=-.
【解析】
试题分析：（1）由已知设等差数列的公差为d ，又11a =，且139,,a a a 成等比数列，根据等比数列的性质列方程()2
12d 118d +=⨯+（），解得1d =，代入等差数列的通项公式即可；
（2）由已知得2n n b =，根据等比数列的定义判断n {b }是以2为首项2为公比的等比数列，
代入等比数列的前n 项和公式即可. 试题解析：
解：（1）设公差为d,则有()2
12d 118d +=⨯+（）,
∴d=0（舍）或1d =, ∴n a n =
（2）令2
2n
a n n
b ==
∵1122,2
n n n n b b --==为定常数 ∴n {b }是以2为首项2为公比的等比数列
∴12(12)
2212
n n n S +⨯-=
=-- 考点：等差数列的通项公式；等比数列的定义和性质；等比数列的前n 项和公式.
23．（1）5
2+=n n a ，a=64；（2）前n 项和)121
121(
4+-=n T n ；
（3）⎭
⎬⎫⎩⎨⎧n n b a m in
1
1b a =
332
= . 【解析】
试题分析：（1）根据等差数列前n 项和公式求出52+=n n a ，带入a S n n -=+62即可求出a 的值；（2）由题意求出⎭
⎬⎫
⎩⎨
⎧
⋅+11n n b b 的通项公式，再用类推法求出前n 项和；
（3）方法一：求出n b ，
n n b a 的值，再判断n n n n b a
b a -++11的符号，进而判断⎭
⎬⎫⎩⎨⎧n n b a 的单调性，求出最小项的值；方法二：求出n b ，n n b a 的值，再用比值法判断11++n n b a 、n n b a
的大小，进而判断⎭
⎬⎫⎩⎨⎧n n b a 的单调性，求出最小项的值.
试题解析：（1）Θa S n n -=+62
a S n n -=+-512 （+∈≥N n n 且2)
∴ 512+-=-=n n n n S S a
经检验1=n 时也成立
∴ 52+=n n a
6411==S a =a n -+62
64=∴a
（2）
)12
1111(4)12)(11(411+-+=++=+n n n n b b n n 其前n 项和)12
1
111...141131131121(
4+-+++-+-=n n T n
=)12
1121(
4+-n （3）解：方法一：
)5...321(1
n n n b n +++++=
=211+n
56
221111
2
n n n n a n b n ++==
++
()()76176
12112(12)221211(12)11n n n n n n n n n n a a b b n n n n +++++++-+-=-=++++ ()()
62222(12)(12)11n n n n n ++-+⎡⎤⎣⎦
=
++
()()
62100(12)11n n n n ++=>++ ∴⎭⎬⎫
⎩⎨
⎧n n b a 在其定义域上单调递增 ∴⎭
⎬⎫
⎩⎨
⎧n n b a m in
1
1b a =
332
= 方法二、)5...321(1
n n n
b n +++++= =
2
11
+n 5
6
221111
2
n
n n n a n b n ++==
++
)1211(212)11(22
112212
25611+-=++=++=++++n n n n n b a b a n n n
n n n
即n
n n n b a b a 1
1++＞1
又Θ
0>n
n
b a ∴⎭⎬⎫
⎩⎨
⎧n n b a 在其定义域上单调递增 ∴⎭
⎬⎫
⎩⎨
⎧n n b a m in
1
1b a =
332
= 考点：等差数列前n 项和，类推法求一般数列前n 项和，做差法、比值法判断数列单调性. 24．（1）n a n = （2）1
2(2)()2
n n S n =-+ （3）见解析 【解析】
试题分析：（1）由条件已知2x x nx -<的解集中正整数的个数，可先求出不等式的解集
(0,1)x n ∈+，则可得数列{}n a 的通项公式；
（2）由（1）已知{}n a 的通项公式，由条件可先求出{}n b ，观察{}n b 的通项公式为等差与等比数列的积，需运用错位相减法来求和；
（3）为证明不等关系，可先分析()f n 的表达式，先定界出上限，再讨论它函数的单调性来先定界出下限，即可证出。

试题解析：（1）2x x nx -<等价于(1)0x x n --<，解得(0,1)x n ∈+
其中有正整数n 个，于是n a n =
（2）1()22n n n n b n ==⋅ 21211112()()222
n
n n
S b b b n =+++=⨯+⨯++⨯ (2311111)
1()2()()2222
n n S n +=⨯+⨯++⨯… 两式相减得231111111111
()()()()1()()22222222n n n n n S n n ++=++++-⨯=--⨯…
故1111
2()()=2(2)()222
n n n n S n n -=--⨯-+
（3 111
1n n n
<
+++=L
由111111
()1212n n n f n a a a n n n n n
=
+++=+++
++++++…… 知11111
(+1)++
2322122
f n n n n n n =
+++++++… 于是111111
(1)()021********
f n f n n n n n n n +-=+->+-=++++++
故(1)()f n f n +>()f n ∴当2n ≥且*n N ∈时为增函数7
()(2)12
f n f ∴≥=
综上可知7
()112
f n ≤<
【考点】（1）数列通项公式的求法。

（2）错位相减法求数列的和 （3）函数的单调性与不等关系的证明。

25．（1）2n
n a = （2）1
n n
S n =
+ 【解析】
试题分析：（1）由题已知()
2*2+1n n n a a a n N +=∈可运用等比数列的定义判定为等比数列（后一项比前一项的比为常数），再结合题中条件可得列{}n a 的通项公式； （2）由（1）已知等比数列的通项公式，可利用()()*12
n
n n a b n N n n =∈+，求出{}n b 的通项公式，观察可运用列项法求和。

试题解析：（1）()
2*2+1n n n a a a n N +=∈，所以数列{}n a 是等比数列，
设公比为q ，又12a =,364711882a a a q a q q =⇒=⇒=， 所以，()
1*12n n n a a q n N -==∈ （2）由（1），2n
n a =，()()1111211
n n n a b n n n n n n =
==-
+++， 数列{}n b 的前n 项和12n n S a a a =+++L 1111112231n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-
+-++- ⎪ ⎪ ⎪+⎝
⎭⎝⎭⎝⎭
L 1111
n
n n =-
=
++． 【考点】（1）等比数列的定义。

（2）列项法求数列的和。

26．（1）13,2n n n a n b -==；（2）()
()232,431,4
n n n n T n n +⎧⎪⎪=⎨⎪-+⎪⎩是偶数是奇数.
【解析】
试题分析：（1）可设公差为d ，公比为q ，根据223212,20a b S b =+=，列出关于d 、q 的
方程组，解出d 、q 的值，进而可得（{}n a 和{}n b 通项公式；（2）对于n 分奇数、偶数两种情况讨论，n 为偶数时246...n n T a a a a =++++，n 为奇数时，1n n n T T S -=-可求解. 试题解析：（1）设公差为d ，公比为q ，则()22312a b d q =+=，
()32223339320S b a b d q d q +=+=++=++=，
311,113d q q d +==-，
()()()()22
3113332312
32210,3730
d d d d d d d d +-=+-=--=+-=
{}n a 是单调递增的等差数列，0d >，
则()1
3,2,3133,2
n n n d q a n n b -===+-⨯==．
（2）()
()**31,2,2
cos331,21,2
n n n n n k k N c S n n n n k k N π+⎧=∈⎪⎪==⎨+⎪-=-∈⎪⎩，
当n 是偶数，246...n n T a a a a =++++=()
312n n +
n 为奇数时()()()2
2131133314224
n n n n n T T S n n n --+=-=
--=-+，
综上可得()
()232,431,4
n n n n T n n +⎧⎪⎪=⎨⎪-+⎪⎩是偶数是奇数．
考点：1、等差数列、等比数列的通项公式；2、等差数列前n 项和公式. 27．（1）a n =2n ﹣1；（2）S n =
（1﹣
）．
【解析】
试题分析：（1）通过a n+2﹣2a n+1+a n =0（n ∈N ﹢
）可知数列{a n }为等差数列，进而可得结论； （2）通过a n =2n ﹣1，裂项可得b n =（﹣），并项相加即可．
解：（1）∵a n+2﹣2a n+1+a n =0（n ∈N ﹢
），
∴a n+2﹣a n+1=a n+1﹣a n （n ∈N ﹢
）， 即数列{a n }为等差数列， ∵a 1=1，a 4=7，。