第1章 单自由度系统自由振动(b)PPT课件

振动解： x ( t) e 0 t( c 1 c* h t c 2 sh * t)
c1、c2：初始条件决定。
shx ex ex 2
2020/11/13 《振动力学》
chx ex ex
2
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单自由度系统自由振动－阻尼自由振动
过阻尼 1
振动解： x ( t) e 0 t( c 1 c* h t c 2 sh * t)
响应图形
位置
0
Td
A Ae0t
t
时间
ξ=0 ξ<1
欠阻尼是一种振幅逐渐衰减的振动。
– 指数衰减规律, 振幅包络线方程为：Ae-t
2020/11/13
– 自由振动衰减速率，阻尼起决定性作用.
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《振动力学》
单自由度系统自由振动－阻尼自由振动
不同阻尼大小下的欠阻尼振动衰减情况： 不同阻尼，振动衰减的快慢不同； 阻尼大，则振动衰减快； 阻尼小，则衰减慢。
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《振动力学》
复习：单自由度系统自由振动－能量法
解：
若选择平衡位置为零势能点，计算系统势 能时可以不考虑重力。设摆杆AO做自由
振动时，其摆角的变化规律为
Φ si(n 0t)
则系统振动时，摆杆的最大角速度
max0Φ
因此系统的最大动能为
2020/11/13 《振动力学》
Tmax
1 2
J02Φ2
l d Ae0t
得： 1 ln i
j i j
当 较小时（ 0.2）
0 0
2 1 2
2 1 2
2
2
i e0Td
2020/11/13 i1
《振动力学》
lni i1
ln
0Td
Td
2 d 0
2 12
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单自由度系统自由振动－阻尼自由振动
例: 实验观察到一有阻尼单自由度系统的振动幅值在5个完整的周
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《振动力学》
单自由度系统自由振动－阻尼自由振动
欠阻尼 振动解：
1 设初始条件：
x(0) 0
x(0) x0
x ( t) e 0 t( x 0 c o sd t x 0 0 x 0 s ind t) e 0 t(x 0 s ind t)
d
d
2020/11/13 《振动力学》
单自由度系统自由振动
教学内容
• 无阻尼自由振动 • 能量法 • 瑞利法 • 等效质量和等效刚度 • 阻尼自由振动 • 等效粘性阻尼
2020/11/13
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《振动力学》
单自由度系统自由振动－阻尼自由振动
• 阻尼自由振动
－ 实际系统的机械能不可能守恒，存在各种各样的阻力; － 振动中将阻力称为阻尼：摩擦阻尼，电磁阻尼，介质阻
动力学方程：
x2 0x02x0
0
k m
令： x et
特征方程： 22 0020
特征根： 1,2 00 21
c
2 km
三种情况： 1
欠阻尼
1
过阻尼
1
临界阻尼
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《振动力学》
单自由度系统自由振动－阻尼自由振动
动力学方程： x2 0x02x0 特征方程： 22 0020
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《振动力学》
复习：单自由度系统自由振动－能量法
能量法的概念:
利用无阻尼系统的机械能守恒，即动能 T 和势能 V 之
和保持不变 ，即：
d T V 0
或：
dt
TVconst
求系统的固有频率和振动方程.
如果重力的影响仅是改变了惯性元件的静平衡位置，那么
将坐标原点取在静平衡位置上，方程中就不会出现重力项。
T
1 2
Me x2
方法2：定义法
V
1 2
Ke x2
等效刚度：使系统只在选定的坐标上产生单位位移而需要在 此坐标方向上施加的力，叫做系统在这个坐标上 的等效刚度。
等效质量：使系统只在选定的坐标上产生单位加速度而需要
在此坐标方向上施加的力，叫做系统在这个坐标
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上的等效质量 。
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《振动力学》
x(0) x0
则： x (t) e 0 t[x 0 (x 00 x 0 )t]
x(t) x0
征反映在特征方程的特征根的实部和虚部
1,2 0id
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x ( t) e 0 t( x 0 co d t x s 0 0 x 0 si d t) n e 0 tA sid tn )(
d
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《振动力学》
单自由度系统自由振动－阻尼自由振动
减幅系数：
x(t)
A
Ae0t
0x0)2 d
tg1
x0
x0d 0x0
2020/11/13 《振动力学》
A
x02
x0
0
2
tg1
x00
x0
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单自由度系统自由振动－阻尼自由振动
欠阻尼 1
振动解： x ( t) e 0 t( x 0 co d t x s 0 0 x 0 si d t) n e 0 tA sid tn )( d
阻尼固有频率
d 0 12
阻尼自由振动周期：
2 Td d
2 0 1 2
T0 1 2
T0：无阻尼自由振动的周期
阻尼自由振动的周期大于无阻尼自由振动的周期。
• 阻尼对结构自振周期和频率的影响
– 阻尼使频率降低，周期延长;
2020/11/13 《振动力学》
– 对大多数土木结构阻尼对频率和周期的影响可以忽略. 17
单自由度系统自由振动分析的一般过程：
1、由力学模型建立自由振动的一般方程，并写出振动的标准方程； 2、根据标准方程，建立本征方程并计算得到本征值； 3、根据本征值，写出标准方程的通解； 4、根据初始条件，计算标准方程的特解。
单自由度系统自由振动分析的一般目标：
1、求系统的固有角频率，即固有频率； 2、求解标准方程，得到振动的控制方程，即微分方程。
TmaxVmax
xmax0xmax
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《振动力学》
复习：单自由度系统自由振动－能量法
例题：
如图所示振动系统中，摆杆AO对铰链点O 的转动惯量 为J，在杆的点A和B各安置一个刚度分别是k1和k2的弹簧， 系统在水平位置处于平衡，求系统作微振动时的固有频率。
l
k1
dB
A
O
k2
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平衡位置单自由度系统自由振动阻尼自由振动随着电能应用的不断拓展以电能为介质的各种电气设备广泛进入企业社会和家庭生活中与此同时使用电气所带来的不安全事故也不断发生2020105振动力学35sincos平衡位置单自由度系统自由振动阻尼自由振动随着电能应用的不断拓展以电能为介质的各种电气设备广泛进入企业社会和家庭生活中与此同时使用电气所带来的不安全事故也不断发生2020105振动力学36单自由度系统自由振动阻尼自由振动随着电能应用的不断拓展以电能为介质的各种电气设备广泛进入企业社会和家庭生活中与此同时使用电气所带来的不安全事故也不断发生2020105振动力学37刚杆质量不计系统在水平位置处于平衡1写出运动微分方程2临界阻尼系数阻尼固有频率小球质量m单自由度系统自由振动阻尼自由振动随着电能应用的不断拓展以电能为介质的各种电气设备广泛进入企业社会和家庭生活中与此同时使用电气所带来的不安全事故也不断发生2020105振动力学38阻尼固有频率
自由振动微分方程 ： m xkx0
Ik0
建立标准方程 ： x02x0
零时刻的初始条件：
x(0) x0
x(0) x0
初始条x(件t)下的x0自c由o振动s0t)：( x0 0si n0t()Asin0(t)
2020/11/13 《振动力学》
A
x02
x0
0
2
tg1
x00
x0
3
复习： 单自由度系统自由振动－无阻尼自由振动
期后衰减了50%，设系统阻尼为粘性阻尼，试计算系统的阻尼因子
解:设 j 5 ，则
1ln 11ln 1 1ln20 .1 3 8 6 3 5 1 5 50 .5 1 5
分别得到：
1 2 2 22 0 2 .1 3 0 8 .6 1 3 3 8 6 3 20 .0 2 2 0 5 8
22 0.12 3 8630.022064
T 1 mx2 2
从而计算系统固有频率。因此，瑞利法，基于能量法，用 于处理弹簧质量不能忽略的质量弹簧系统的振动问题。
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《振动力学》
复习：单自由度系统自由振动－等效质量和等效刚度 方法1：能量法
等效的含义是指简化前后的系统的动能和势能分别相等。
选定广义位移坐标后，将系统得动能、势能写成如下形式：
特征根： 1,2 00 21
第三种情况： 临界阻尼 1
特征根： 1,2 0
二重根
振动解： x(t)e0t(c1c2t)
c1、c2：初始条件决定。
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《振动力学》
单自由度系统自由振动－阻尼自由振动
临界阻尼 1
振动解： x(t)e0t(c1c2t)
设初始条件： x(0)x0
第一章
单自由度系统自由振动
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单自由度系统自由振动
教学内容
• 无阻尼自由振动 • 能量法 • 瑞利法 • 等效质量和等效刚度 • 阻尼自由振动
• 等效粘性阻尼
2020/11/13
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《振动力学》
复习： 单自由度系统自由振动－无阻尼自由振动
弹簧原长位置
0 k/m
m
0
静平衡位置
k
k
x
I
0 k / I
Pd cv
c：为粘性阻尼系数，或阻尼系数 k
c k x cx
单位： Ns/m 建立平衡位置，并受力分析
0 m
x
m mx
动力学方程： m x cx k x0
或写为： x2 0x02x0
0
k m
2020/11/13 《振动力学》
固有频率
c
相对阻尼系数
2 km
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单自由度系统自由振动－阻尼自由振动
x(0) 0
x(0) x0
则： x ( t) e 0 t( x 0 c h * t x 0 *0 x 0 s h * t) e 0 tx 0 * s h * t
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ζ ＞1 时x(t) 曲线
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单自由度系统自由振动－阻尼自由振动
动力学方程： x2 0x02x0 特征方程： 22 0020
i i1
Ae0ti Ae0 (ti Td )
0
t
e0Td
Td
A Ae0t
含有指数项，不便于工程应用
实际中常采用对数衰减率 ：
lni i1
ln
0Td
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《振动力学》
单自由度系统自由振动－阻尼自由振动
实验求解
x(t)
A
Ae0t
利用相隔 j 个周期的
两个峰值 进行求解:
0
t
i ( i )(i1)(ij1) j
图2-10 0 ＜ζ ＜ 1 时x(t) 曲线
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单自由度系统自由振动－阻尼自由振动
减幅系数
评价阻尼对振幅衰减快慢的影响.
x(t)
A
Ae0t
定义为相邻两个振幅的比值：
0
i i1
Ae0ti Ae0(ti Td )
A Ae0t
Td
t
e0Td
与 t 无关，任意两个相邻振幅之比均为 。
衰减振动的频率为 d，振幅衰减的快慢取决于 0 ，这两个重要的特
单自由度系统自由振动－阻尼自由振动
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《振动力学》
单自由度系统自由振动－阻尼自由振动
欠阻尼 1
振动解： x ( t) e 0 t( x 0 co d t x s 0 0 x 0 si d t) n e 0 tA sid tn )(
x(t)
d
A
Ae0t
TmaxVmax
即
l
k1
1J
2
02Φ 21 2(k1l2k2d2)Φ 2
dB O
k2
A
则得固有频率
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0
k1l2 k2d2 J
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复习：单自由度系统自由振动－瑞利法
瑞利法的概念:
在单自由度质量弹簧系统中，将无阻尼自由振动的简 谐规律代入具有分布质量的弹性元件，即以集中质量代替 分布质量，计算其动能，即
O k2
k1 A
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复习：单自由度系统自由振动－能量法
摆杆的最大角位移为Φ，平衡位置为零势能点，由平衡位置计算弹 簧变形，此时最大势能等于两个弹簧最大势能的和，有
V m a1 2 x k 1 (lΦ )2 1 2 k 2 (d Φ )2 1 2 (k 1 l2 k 2 d 2 ) Φ 2
由机械能守恒定律有
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《振动力学》
1 j
ln
i i j
2
12
222
2 25
单自由度系统自由振动－阻尼自由振动
动力学方程： x2 0x02x0 特征方程 ： 22 0020
特征根 ： 1,2 00 21
第二种情况： 过阻尼 1
* 0 21
特征根： 1,2 0* 两个不等的负实根 。
尼和结构阻尼; － 尽管已经提出了许多数学上描述阻尼的方法，但是实际
系统中阻尼的物理本质仍然极难确定。
－ 最常用的一种阻尼力学模型是粘性阻尼。
例如：在流体中低速运动或沿润滑表面滑动的物体，
通常就认为受到粘性阻尼。
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《振动力学》
单自由度系统自由振动－阻尼自由振动
粘性阻尼力与相对速度成正比，即：
设初始条件：
x(0) x0
x(0) x0
则： x (t) e 0 t (x 0 ch * t x 0*0 x 0sh * t)
x(t) x0
响应图形
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0
t
一种按指数规律衰减的非周期蠕动，没有振动发生。
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单自由度系统自由振动－阻尼自由振动
过阻尼 1 设初始条件：
特征根： 1,2 00 21
第一种情况： 欠阻尼 1
特征根： 1,2 0id 两个复数根
振动解： x (t) e 0 t (c 1 co d t s c 2 sid tn )
c1、c2：初始条件决定
d 0 12 阻尼固有频率， 有阻尼的自由振动频率。
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《振动力学》
单自由度系统自由振动－阻尼自由振动
欠阻尼 1
振动解： x (t) e 0 t (c 1 co d t s c 2 sid tn )
设初始条件： x(0)x0
x(0) x0
则： x (t) e 0 t (x 0co dt sx 00x 0sid n t) d
或：
x(t)e 0 t A sin dt ( )
A
x02
(x0