第四章 平面问题的极坐标解答-ppt01

（平面应力情形）
∂2 ∂2 ∂x 2 + ∂y 2 (σ x + σ y ) = 0 4 4 4 ∂ ϕ ∂ ϕ ∂ ϕ 4 ∇ ϕ = 4 +2 2 2 + 4 =0 ∂x ∂x ∂y ∂y
应力的应力函数表示：
∂ϕ σ x = 2 − Xx ∂y
2
∂ϕ σ y = 2 − Yy ∂x
τ rθ
—单元体上垂直r轴面上沿θ方向的应力
(3). 极坐标中的微元体
O
θ r dθ
rdθ
σr τ rθ
Pτ θr
σθ x
B
(r + dr )dθ dr A k r τ rθ + ∂τ rθ dr ∂r k
θ
∂ τ θr ∂σ θ dθ σθ + d θ τ θr + ∂θ ∂θ
y
C
∂σ r σr + dr ∂r
§4-1
1. 极坐标 (1) 极坐标系的建立
极坐标中的平衡微分方程
(2)极坐标系下基本变量
ur
uθ
εr
—沿r方向的位移，沿r伸长方向为正 —沿环向的位移，沿θ转正方向为正 —沿r方向相对伸长度
r —沿环向相对伸长度 r
εθ
γ rθ
σr
σθ
—由r与θ张开的直角改变量，角度减小为正
—单元体上垂直r轴面上的法向 应力，截面外法向上正应力为正 ； —单元体上平行r轴面上的法向应力，截面外法向上正应力为正
极坐标系的建立2极坐标系下基本变量沿r方向相对伸长度沿环向相对伸长度由r与张开的直角改变量角度减小为正单元体上平行r轴面上的法向应力截面外法向上正应力为正单元体上垂直r轴面上沿方向的应力rddr极坐标中的微元体应力正向规定
§4
平面问题的极坐标解答
＊本质上坐标系的选择并不影响弹性力学问题的求解 ＊但是影响边界条件的描述和表达，从而关系问题的 求解难易程度 ＊圆形，楔形，扇形等物体，采用极坐标系求解比 较方便。
体力： 应力：
PA面 PB面 BC面
k r , kθ σ θ , τ θr σ r , τ rθ
∂σ θ σθ + dθ ∂θ ∂ τ θr τ θr + dθ ∂θ
应力正向规定： 正应力 —— 拉为正，压为负； 剪应力 —— r、θ的正面上，与坐标方向一致时为正；
r、θ的负面上，与坐标方向相反时为正。
（2）利用极坐标下的物理方程，得应力表示的相容方程：
∂2 1 ∂ 1 ∂2 ∂r 2 + r ∂r + r ∂θ 2 (σ r + σ θ ) = 0 （常体力情形）
（3）利用平衡方程求出用应力函数表示的应力分量：
1 ∂ϕ 1 ∂ 2ϕ σr = + 2 r ∂r r ∂θ 2
∂τ θr ∂σ r dθdr + σ r drdθ − σ θ drdθ rdrdθ + ∂θ ∂r
两边同除以 rdrdθ ：
+ k r rdrdθ = 0
1 ∂τ θr σ r − σ θ ∂σ r + kr = 0 + + r ∂θ r ∂r
∑F
θ
= 0,
∂τ rθ ∂σ θ dr (r + dr ) dθ − τ rθ rdθ d θ dr − σ θ dr + τ rθ + σ θ + ∂r ∂θ ∂ τ θr d θ + τ dr d θ + k rdrd θ = 0 + τ θr + d θ dr θ θr 2 ∂θ 2 两边同除以 rdrdθ ，并略去高阶小量：
（4－3）
平面应变情形：
（4－4）
弹性力学平面问题极坐标求解的基本方程：
∂σ r 1 ∂τ θr σ r − σ θ + kr = 0 + + r ∂r r ∂θ
平衡微分方程： 1 ∂σ θ
几何方程：
ur 1 ∂uθ εθ = + r r ∂θ
γ rθ
∂τ rθ 2τ rθ + + + kθ = 0 r ∂θ r ∂r ∂u r εr = ∂r
∂uθ uθ − ∂r r
（j）
(3) 总应变
∂ur ∂ur ε r = ε r1 + ε r 2 = + 0= ∂r ∂r ur 1 ∂uθ ε θ = εθ 1 + εθ 2 = + r r ∂θ 1 ∂ur ∂uθ uθ γ rθ= γ rθ 1 + γ rθ 2 = + −
r ∂θ ∂r r
τ rθ r
θ
σθ
rθ θ = 0 θ θ = 0
§4-3 极坐标中的应力函数与相容方程
1. 直角坐标下变形调方程（相容方程）
∂ εx + 2 = 2 ∂y ∂x ∂x∂y
2
∂ 2ε y
∂ 2γ xy
∂2 ∂X ∂Y ∂2 ∂x + ∂y ∂y 2 + ∂x 2 (σ x + σ y ) = −(1 + µ )
ur , uθ
(ur )s = ur , (uθ )s = uθ l (σ r )s + m(τ rθ )s = k r 应力边界条件： l (τ rθ )s + m(σ θ )s = kθ
为边界上已知位移，
k r , kθ
为边界上已知的面力分量。
（位移单值条件）
θ
θ
θ
r
r
r
极坐标中如何写边界条件
（g）
B′′ ∂uθ uθ + dθ ∂θ
α2
uθ
A
∂uθ A′′ uθ + ∂r dr
环向线段PB的相对伸长：
εθ 2 =
uθ +
∂uθ dθ − uθ 1 ∂uθ ∂θ = rdθ r ∂θ
（i）
（h）
环向线段PB的转角： 剪应变为：
uθ β2 = − r
γ rθ 2 = α 2 + β 2 =
1 ∂σ θ ∂τ rθ 2τ rθ + + + kθ = 0 r ∂θ ∂r r
∑ M = 0, τ rθ = τ θr
—— 剪应力互等定理 于是，极坐标下的平衡方程为：
∂σ r 1 ∂τ θr σ r − σ θ + kr = 0 + + r ∂r r ∂θ
1 ∂σ θ ∂τ rθ 2τ rθ + + + kθ = 0 r ∂θ ∂r r
整理得：
∂ur εr = ∂r ur 1 ∂uθ εθ = + r r ∂θ
γ rθ
（4－2） —— 极坐标下的几何方程
1 ∂ur ∂uθ uθ = + − r ∂θ ∂r r
2. 物理方程
平面应力情形：
1 ε r = (σ r − µσ θ ) E 1 εθ = (σ θ − µσ r ) E 1 2(1 + µ ) τ rθ γ rθ = τ rθ = G E 1− µ 2 µ σθ ) εr = (σ r − E 1− µ 1− µ 2 µ σr) εθ = (σ θ − E 1− µ 1 2(1 + µ ) γ rθ = τ rθ = τ rθ G E
2
τ xy
∂ 2ϕ =− ∂x∂y
ϕ = ϕ ( x, y )
2. 极坐标下的应力分量与相容方程
方法1：（步骤） （1）利用极坐标下的几何方程，求得应变表示的相容方程：
1 ∂ 2ε r 1 ∂ 2 ∂εθ ∂ε r 1 ∂ 2 (r ⋅ γ rθ ) + = r − 2 r ∂r r ∂r ∂θ ∂r r ∂r∂θ
σθ
rq = − θ = 0 l 0 τ rθ θ = 0 = 0
θ =α θ =α
θ
l
σθ τ rθ σr τ rθ σr τ rθ
=0 =0
r
r =a r =a r =b r =b
=0 =0 =0 =0
∫σ ∫τ ∫σ
a b a b a
b
θ θ = 0
dr = 0 dr = 0 rdr = M
2 2 2
O
y y r r =x +y θ = arctan x x P y x = r cosθ y = r sin θ ϕ = ϕ ( r ,θ ) ∂r x ∂r y = = cosθ = = sin θ ∂x r ∂y r x cosθ ∂θ ∂θ y sin θ = 2 = =− 2 =− ∂ ∂ r ∂y r ∂x r r
2
∂ 2ϕ σθ = 2 ∂r
2 2
τ rθ
∂ 1 ∂ϕ =− ∂r r ∂θ
（4）将上述应力分量代入应力表示的相容方程，得应力函数表示的相容方程：
∂ 1 ∂ 1 ∂ ∂r 2 + r ∂r + r ∂θ 2 ϕ =0
（常体力情形）
方法2：（用极坐标与直角坐标之间的变换关系求得到） （1）极坐标与直角坐标间的关系：
r
= 0,
将上式化开：
（高阶小量，舍去）
∂τ θr ∂σ r ∂σ r 2 + σ rd θ + σ drd θ dθdr + rdrdθ + ( dr ) dθ − σ r rdθ + r r ∂θ ∂r ∂r dθ ∂σ θ dθ dθ − σ θ dr − σ θ dr − dθ dr + k r rdrdθ = 0 2 2 2 ∂θ
（4－1）
（4－2）
1 ∂ur ∂uθ uθ = + − r ∂θ ∂r r
物理方程：
1 2(1 + µ ) 1 τ rθ ε r = (σ r − µσ θ ) γ rθ = τ rθ = G E E 1 （4－3） εθ = (σ θ − µσ r ) (平面应力情形) E
边界条件： 位移边界条件：
∂ ϕ ∂θ ∂ ϕ ∂θ
∂ 2ϕ ∂ sin θ ∂ ∂ϕ sin θ ∂ϕ = cos θ − cosθ − 2 ∂x ∂r r ∂θ ∂r r ∂θ
2 2 2 2 sin cos sin ∂ ϕ θ θ ∂ ϕ θ ∂ϕ 2 = cos θ 2 − + ∂r r ∂r∂θ r ∂r 2 sin θ cosθ ∂ϕ sin 2 θ ∂ 2ϕ + + 2 2 r ∂θ r ∂θ 2
（d）
（b）
BB′ − PP′ = tan β1 ≈ β1 = PB
径向线段PA的相对伸长：
ε r1 =
∂ur ∂r
（a）
径向线段PA的转角：
α1 = 0
（b）
环向线段PB的相对伸长：
εθ 1 =
ur r
（c）
环向线段PB的转角：
1 ∂ur β1 = r ∂θ
（d）
剪应变为：
1 ∂ur γ rθ 1 = α1 + β1 = r ∂θ
2. 平衡微分方程
考虑微元体平衡（取厚度为1）：
∑F
∂σ r ∂τ θr dr )(r + dr )dθ − σ r rdθ − τ θr dr + (τ θr + dθ )dr + (σ r + ∂r ∂θ ∂σ θ dθ − σ dr dθ − σ θ + dθ dr + k r rdrdθ = 0 θ 2 ∂θ 2
∂ ∂ϕ ∂x ∂x
(a)Βιβλιοθήκη ∂ 2ϕ ∂ cos θ ∂ ∂ϕ cos θ ∂ϕ = sin θ sin θ + + 2 ∂y ∂r r ∂θ r ∂θ ∂r
2 2 2 2 sin cos cos ∂ ϕ θ θ ∂ ϕ θ ∂ϕ 2 = sin θ 2 + + ∂r r ∂r∂θ r ∂r
径向线段PA的转角： 线段PB的相对伸长： 环向线段PB的转角：
ur
∂ur ur + dr ∂r A A′
x
εθ 1 =
α1 = 0
P′B′ − PB (r + u r )dθ − rdθ u = = r （c） PB rdθ r (ur + ∂ur dθ ) − u r 1 ∂u r ∂θ = rdθ r ∂θ
（e）
(2) 只有环向变形，无径向变形。 O
径向线段PA的相对伸长：
θ r dθ
x
β2
P
dr
εr2 =
P′′A′′ − PA dr − dr = =0 PA dr
（f）
B y
P′′
径向线段PA的转角：
∂uθ uθ + dr − uθ ∂uθ ∂ r α2 = = dr ∂r
P′′B′′ − PB BB′′ − PP′′ = = PB PB
（4－1）
方程（4－1）中包含三个未知量，而只有二个方程，是一次超静 定问题，需考虑变形协调条件才能求解。
§4-2 极坐标中的几何方程与物理方程
1. 几何方程
径向线段PA的相对伸长：
O
(1) 只有径向变形，无环向变形。
θ r dθ
P
dr
P′ P′A′ − PA AA′ − PP′ ε r1 = PA = PA β1 B y B′ ∂ur ∂ur (r + u r )dθ ur + dr − ur ∂u u + dθ ∂r = = r （a） r ∂θ dr ∂r
∂x
θ
x
（2）应力分量与相容方程的坐标变换： 应力分量的坐标变换
∂y
∂ϕ ∂ϕ ∂r ∂ϕ ∂θ ∂ϕ sin θ ∂ϕ ∂ sin θ = + = cos θ − = cosθ − ∂x ∂r ∂x ∂θ ∂x ∂r r ∂θ ∂r r ∂ϕ ∂ϕ ∂r ∂ϕ ∂θ ∂ϕ cos θ ∂ϕ ∂ cosθ = + = sin θ + = sin θ + ∂y ∂r ∂y ∂θ ∂y ∂r r ∂θ ∂r r