2005年浙江高考重点和改革趋势_3

2005年浙江高考重点和改革趋势
湖州中学 徐 坚
2004年浙江高考数学试卷分析：
2004年高考数学是浙江省自主命题的第一年，其试题继续保持了全国高考的格局。

试卷严格遵循了现有考试大纲和《2004年考试说明》中的各项说明。

考核内容为：新增内容占38分，传统代数占64分，立体几何占27分。

文、理两份试卷异中有同，12个选择题中有7个相同，4个选择题中有一个相同，6个解答题中有三个相同，比2003年略有增加。

与2003年全国卷相比，难度明显降低，高难度题目明显减少，计算量也得到了控制，试题的解决途径与方法普遍增多，为考生提供了较多的思考时间与空间，是学生的聪明才智在解决问题的过程中得到充分展示。

体现了“高考考察目标以考察能力与素质为主、考察内容遵循大纲又不拘泥于大纲，考察试题增加能力开放型、新颖性，重点突出、平稳过渡、稳中有变”的命题主要思想，新增内容也符合大纲的新要求。

而且兼顾对数学基本方法、思维、应用和潜质等方面的考察。

试题设计风格明显，看似平淡却回味无穷，于平淡处见真功夫，仔细品味，2004年高考数学浙江卷有以下几个特点：
1、在考察学科主干知识、学科整体意义上设计试题
2004年高考数学浙江卷注重在学科主干知识、学科整体意义上设计试题，文、理科试卷重点分布在函数、不等式、数列、圆锥曲线、空间线面等知识。

对函数意义和性质的考察，占有较大的比重。

尤其是对函数的基本理解、对最基本函数性质的理解与掌握体现更为明显
理科第12题：若()x f 和()x g 都是定义在实数集R 上的函数，且方程()()0=-x g f x 有实数解，则()()x f g 不可能是 （ ） A. 512
-
+x x B. 512++x x C. 512-x D. 5
12
+x
分析：有许多学生一看到这道试题，感到手足无措，不知如何下手去分析解题思路。

而一些能力水准较好的考生，虽然也一时觉得比较茫然，但冷静下来，通过具体的数学试验，对题设进行等价代换：
“()x f 和()x g 都是定义在实数集R 上的函数，且方程()()0=-x g f x 有实数解”⇔“存在R x ∈0 ，使得()()00x x g f =成立。

”对本题的解法就会感到豁然开朗。

原来是一道关于“不动点”的试题，从简单函数“()00x x f = ”迁移到复合函数中，变成了 “()()00x x g f =”，所以就找到了下面的解法。

解法1：由题设知，存在R x ∈0，使得()()00x x g f =成立，不妨令()10x x g =，代入上式得：()10x f x =，再代入
()10x x g =，得：()()11x x f g =成立，所以()()x x f g =有实数解，
因此，以4个选项为()()x f g 代入，故选B
解法2：（特殊化方法），如果选择支与数量有关时，往往可以用特殊值代入法去确定选择支，其依据是利用“一般”
和“特殊”的逻辑关系：“一般正确⇒特殊一定正确，特殊不正确⇒ 一般一定不正确。

”而本题涉及的是对应法则f 和g ，一般情况下，对应法则f 和g 是不同的，而其特殊情况下f 和
g 可以看成是相同的对应法则，这时，()()x g f 与()()x f g 是两个相同的复合函数了，原题就成为：“若()x f 是定义
在R 上的函数，且方程()()0=-x f f x 有实数解，则()[]x f f 不可能是D C B A ,,,中的那一个？”而x x x =+
+5
1
2
无实数解。

2、在考察数学思想方法、数学思维品质的层面上设计试题
2004年高考试卷没有偏题、怪题，能够利用学生常见的、熟悉的问题做背景，重新设计考察数学思想方法、数学思维品质的试题，跳出了平时模拟试卷或复习资料上的题目，给考生提供了一个平等答题的机会。

如理科卷中函数与方程的思想、数形结合的思想、分类讨论的思想、等价转化的思想等在1、2、3、6、8、11、13、14、15、16、17、19、21、22等题中都有所体现。

理科第15题：已知坐标平面内一个质点从原点出发，沿x 轴的正方向或负方向跳动，每次跳动一个单位，若跳动5次后，落在点()0,3处，则质点不同的运动方式共有
种。

本题考察学生分析问题与解决问题的能力，考察记数原理，排列组合的基本意义，分类讨论思想、等价转化思想以及对背景新奇问题的理解中所表现出来的不同思维品质、思维能力。

解法1：分类讨论 第一次跳动在()0,1回头跳有一种，经过()()()0,4,0,3,0,2落在()0,3有三种，计5种。

解法2：等价转化 将问题抽象为就是5次跳动中正方向跳动四次，负方向跳动一次的不同组合，即共有54
5=C 种。

此题还可以推广到一般：跳动32+n 次，最后落在点()0,3处的不同的运动方式共有n n C 32+种。

3、在考察数学基本能力与素质的层面上设计试题
数学科的命题重点是考察学生运用知识分析问题的方法与解决问题的能力，它包括运算能力、空间想象能力、实践能力与创新意识。

2004年浙江数学高考试卷保持了这种命题的重点，避免了刻板、繁难、偏怪的试题。

可以看出命题者力图通过简洁通俗的语言叙述，看似平常的考题设计，能以数学最基本问题为载体，测量出学生将知识迁移到不同情景的能力，从而检测考生的学习潜质和学习能力。

进而向我们中学教师指出了一种教学导向：减少重复训练，跳出题海教学，理解数学本质，培养学习兴趣，提高基本能力与素质。

理科21题：已知双曲线的中心在原点，右顶点为()0,1A ，点Q P ,在双曲线的右支上，点()0,m M 到直线AP 的距
离为1 ⑴若直线AP 的斜率为k ，且⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡∈3,33k ，求实数m 的取值范围； ⑵当12+=m 时，三角形APQ 的内心恰好是点M ，求此双曲线的方程。

解：方法1⑴ 由条件得直线AP 的方程 ()1-=x k y 所以
11
2
=+-k k mk
即 2111k m +=- ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡∈3,33k 所以21332≤-≤m 所以m 的取值范围是⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡+
⎥⎦⎤⎢⎣⎡-
-3,33213321,1 ⑵设双曲线方程为 122
2
=-b
y x 由(
)
()0,1,0,12A M
+ 得2=AM 又因为M 是APQ ∆的内心，M 到AP
的距离为1，所以
45=∠MAP ，直线AM 是PAQ ∠的角平分线，且M 到PQ AQ ,的距离均为1，因此1=AP k 1-=AQ k ，
（不妨设P 在第一象限） 直线PQ 方程为22+=x
直线AP 的方程是1-=x y 所以解得()
21,22++P ，代入双曲线方程得3
2122++=b ，所以所求的双曲线方
程为：()
112222=--y x
方法2：⑴ ⎥⎦
⎤⎢
⎣⎡∈3,33k ，36π
θπ≤≤∴，又因为M 到AP 的距离为1 所以
2132
30sin 1160sin 1≤-≤⇒≤-≤m m
，从而⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∈3,3321332,1 m 。

⑵ 1,2==MR AM ，所以 45=∠PAM ，又M 为PAQ ∆的内心。

1,45==∠∴MR APQ ，不妨设P 在第一象限，则()
21,22++P
设曲线的方程为：122
2
=-b
y x ，将P 代入得 3
2122++=
b
故所求的双曲线方程是：()
112222=--y x 。

4、在考察应用意识、实践能力的层面上设计试题
对数学知识的应用性、实践性的考察是数学新课程卷命题改革的一个基本原则。

考察的创新意识和实践能力很大程度上表现在解答数学问题之中。

把一个实际问题进行数学抽象并最终得到解决，本身是一个创造性挑战性的思维过程。

2004年的高考运用题要求学生关注社会、关注生活。

文科20题：某地区有5个工厂，由于用电紧缺，规定每个工厂在一周内必须选择某一天停电（选哪一天是等可能的）。

假定工厂之间的选择互不影响。

⑴求5个工厂均选择星期日停电的概率；⑵求至少有两个工厂选择同一天停电的概率。

解：⑴记5个工厂都选择星期天停电事件为A ，则
()571
=A P ⑵设5个工厂选择停电时间各不相同的事件为B ，则()5577
A B P =
则至少有两个工厂选择同一天停电的概率为：()
()2401
2041
1=
-=B P B P 。

5、在新课程改革的新要求下设计试题：
2004年是浙江省使用新教材后的第一次高考，新教材中增加了微积分、概率、统计、线性规划、向量5个方面的内容。

这些内容是现代数学的重要基础知识。

在高考中得以充分的体现。

2004年理科试卷新增内容共考察43分，约占试卷分值的30%。

符合新增内容课时数所占比例。

通过这几年的高考试卷来分析，今后对新增内容的考察会逐渐加大，综合性会更强，新旧内容的结合手法上将不会停留在“戴帽子、穿靴子”的层面上。

理科20题：设曲线()0≥=-x e y x 在点()
t e t M -,处的切线l 与x 轴、y 轴所围成的三角形面积为()t S 。

⑴ 求切线l
的方程；⑵ 求()t S 的最大值。

解：⑴ 设切线l 的斜率为k ，则
()t t
x x
t
x x
e e e k -=-=--=-='
=
所以l 的方程是 ()t x e e y t t --=--- ⑵ 由l 的方程()t x e e y t t --=---得
当0=x 时，有()t e t y -+=1； 当0=y 时，有t x +=1 所以 ()()()0121
2≥+=
-t e t t S t ()()()t e t t t S --+='112
1 当()0='t S 时，有1=t 所以当[]1,0∈t 时，()0≥'t S ； 当[
)+∞∈,1t 时，()0≤'t S 则当1=t 时，()t S 有最大值，最大值为
e
2。

如何抓好第二轮复习：
一、与纲为纲，明确方向
高考是知识与能力的双重较量，更是意志和品质的双重竞争。

如何提高高考复习的效率和质量，历来为广大教师和考试所关注。

《高考大纲》是高考命题的依据，因而也是复习应考的依据。

数学科《考试大纲》指出：“数学科考试，要发挥数学作为基础学科的作用，即重视考察中学数学知识的掌握程度，又注重考察进入高校继续学习的潜能”；“数学科的考试，按照考察基础知识的同时，注重考察能力的原则，确立以能力立意命题的指导思想，增加运用性和能力型的试题，加强素质考察，融知识、能力和素质为一体，全面检测考生的数学素养”。

“数学科的命题，在考察基础知识的基础上，注重对数学思想和方法的考察，注重数学能力的考察，注重展现数学的科学价值和人文
价值，同时兼顾试题的基础性、综合性和现实性，重视试题的层次性，合理调控综合程度，坚持多层次、多角度的考察，努力实现全面考察综合数学素质的要求。

”这一段话，预示着随着新课程改革的进行和新《高中课程标准》的颁布。

高考也正在进行着惊人的变化。

要与时具进，顺应改革的变化，与高考的改革与变化保持同步。

⑴要继续不断的学习。

新教材、新大纲的施，当然在内容与要求上有所调整。

增加能力型试题。

这虽然有点抽象，不太好操作。

但我想主要是我们教学观念的改变，按照我们的老思想，老办法恐怕不行，在我们的课堂教学中也要引入一些新手段和新方法。

学生能力的提高需要我们动脑筋去思考，需要学生参与整个学习的全过程，这几年高考中用现成的知识和公式直接套用的试题逐渐减少，而用派生知识求解的题目不断增加。

做大量的习题与模拟试卷的复习方法已不能适应我们当前的形势与要求，我们应将我们的精力投向于，打好基础，帮助学生逐步加深理解基本概念和基本思想，熟练掌握一些基本技能，淡化各种技巧。

注重各知识板快之间的联系，揭示数学的本质，提高对数学的整体认识，注重数学知识与现实生活的联系，发展学生的应用意识。

以学生发展为目标，使学生主动学习。

⑵ 以“大纲”为依据，准确界定新增与删减内容
新“大纲”不断在教育、教学理念上进行了更新，在知识内容上也进行了较大幅度的调整。

这在我们高考复习中要牢牢把握住。

免得我们宝贵的时间与精力浪费。

通过这几年高考试卷的研究，我们更放心的严格按照“大纲”的知识范围去进行高考复习。

⑶ 以“大纲”与“考试说明”为依据，明确对各条知识的要求
对知识的要求，依次为了解、理解和掌握、灵活和综合运用三个层次。

了解：要求对所列知识的含义有初步的感性的认识，知道这一内容是什么，并能在有关的问题中去识别它。

如：“了解映射的概念，理解函数的概念。

”这对两个不同的概念有不同的要求。

理解和掌握：要求对所列知识内容有较深刻的理论认识，能解释、举例或变形、推断，并能利用知识解决有关问题。

灵活和综合运用：要求系统的掌握知识的内在联系，能运用所列知识分析和解决较为复杂的或综合性的问题。

明确各知识的要求，这在我们的高考复习中，有利于我们教师把握好例题的难度和我们复习的深度，使得我们的复习更有针对性。

二．以本为本，挖掘潜能
高考中许多富有新意的试题其实质都来源于课本，无论是解决问题所需的知识还是方法，其实质都源于课本。

突出方法永远是高考试题的特色，所以在复习过程中，要十分重视“蕴涵在课本数学知识发生、发展和应用的过程中的数学思想和方法”，注意借鉴和利用，不断提高分析问题于解决问题的能力。

例1：设),(y x M 是椭圆上任一点，椭圆的焦距为)0(2>c c ，M 与1F 和2F 的距离的和等于正常数a 2，则1F 、2F 的坐标分别是)0,(c -，)0,(c 。

椭圆就是集合{}
a MF MF M P 221=+=，
2
21)(y c x MF ++=，
2
22)(y c x MF +-=
得方程
=
+-+++2222)()(y c x y c x a 2①，
将这方程移项，两边平方，得222)(y c x a cx a +-=-②， 两边再平方，得2222222222422y a c a cx a x a x c cx a a ++-=+-③， 整理得2222222
()(a a y a x c a
=+-)2c -④，
c a > 022
>-∴c a
，设222
b c a
=-，
得椭圆标准方程)0,0(122
22>>=+b a b
y a x ⑤，
思索（1）：⑤式与圆的标准方程比较有什么不足； 思索（2）：哪一式弥补了这一不足； 思索（3）：在哪里进行了不等价变化；
思索（4）：可不可以不平方；
对于②如果不平方，可以两边除以a ，得
2
2)(y c x x a
c
a +-=-，
再得
0)()(222>+-=-y c x x c
a a c ， 并由此可得
a c
x c
a y c x =
-+-2
2
2)(，而这正是我们想导出的
椭圆的第二定义。

思索（5）：符合这样的方程一定是椭圆吗？ 例2、已知函数()R x x x f x
∈+=
21,,2
41，当121=+x x 时，()()21
21=+x f x f ， 设()()1110f n n f n f f a n +⎪⎭
⎫
⎝⎛-++⎪⎭⎫
⎝⎛+= ，求n a 。

分析：只需将和式中1+n 项两两组合，使之每个组合的和都等于2
1
，如何组合？绝大多数同学几乎不假思索，立即想到如下解法，既讨论n 的奇偶性。

解：⑴当n 是奇数时，和式是偶数项的和，恰好能两两组合，共有
21+n 个2
1
即 ()()1110f n n f n f f a n +⎪⎭
⎫
⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛+= =()()[]4121211021+=⨯+=++n n f f n ⑵ 当n 是偶数时，和式是奇数项的和，头尾两两组合得
2
n
个21，还剩中间一项⎪⎭⎫ ⎝⎛21f ，而⎪⎭⎫ ⎝⎛21f =4
1
， 所以()()1110f n n f n f f a n +⎪⎭
⎫
⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛+= =41+n 综合⑴⑵得， 4
1
+=
n a n 说明：上述解法学生采用了分类讨论的思想方法，确实是一种十分常用且行之有效的解题方法，但由于学生对情况⑵的中间项不很明确，或项数搞错导致本题的错解率提高，那么有更简洁的解法吗？，即等差数列前n 项和公式的推导方法----倒序相加。

另解：因为()()1110f n n f n f f a n +⎪⎭
⎫
⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛+= ，又 ()⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=n n f n n f f a n 211()01f n f +⎪⎭
⎫
⎝⎛++ ， 两式相加得412+=n a n 。

可见，采用“倒序相加法”可以避免对n 奇偶性的讨论，优化解题过程，提高解题正确率。

“倒序相加”是课本中推导等差数列前n 项和公式所采用的一种巧妙的方法，应为学生所熟知，但对于本题，绝大多数同学会出现上面的思维倾向呢？问题是学生对课本知识、对蕴涵在课本知识发生、发展过程中的数学思想和方法重视不够。

所以在学习中要注意培养学生的良好思想方法的积累、借鉴和提炼，这样许多看似繁难的问题都能迎刃而解。

高考，每年一变。

在复习中如何顺应高考的变化，使自己站在主动的地位。

我认为抓实“双基”。

深刻理解基本概念、灵活应用基本方法。

有不少学生认为，高考应注意技巧，在解题过程中追求解法的简洁，有一种解不惊人誓不休的样子。

说实在，对于这种对数学美的追求我们应该加以鼓励。

但他们认为基本方法是“体力活”，在做“搬运
工”。

不屑做！所不知就是靠它“养家糊口”的。

通法可以优化，也不见得都是“体力活”。

好方法有很多是在通法的基础上变化得到的。

例3是否存在常数R k ∈，使函数()()()k x k x x f -+-+=2224在(]1-∞-,上是减函数且在[)01,-上是
增函数。

分析：（方法1）设t x
=2
，则原函数可化为()()t g x f =
()()k t k t -+-+=222，问题转化为函数()t g 在[)∞+,1上
是增函数，在(]10,上是减函数，因此12
2=--
k ，即4=k .
这种方法学生感到很过瘾。

他主要紧紧抓住了函数的特征，充分应用函数的性质。

但是判断函数单调性的通法有两种，一是单调性的定义。

二是应用导数判断。

对于这个问题能不能用呢？ （方法2）任取021<<x x ，则()()21x f x f -
()()2
2
21424
1
2x x k x x --+-=()()k x x x x -++-=222212221 ()()(
)k x x x x x x -+++-=2222
12121 （*）
由
()x f 在(]1-∞-,上是减函数可知，
对任意的121-≤<x x ，（*）式0>恒成立，即022
221>-++k x x 恒成立，那么k x x >++2222
1. 由于421122
221=++>++x x ，因此当4≤k 时，（*）式0>恒成立.
又由
()x f 在[)01,-上是增函数可知，对任意的0
121<<≤-x x ，（*）式
0<恒成立，即
022221<-++k x x 恒成立，那么k x x <++22221. 由于22
221++x x 4211=++<，因此当4≥k 时，（*）
式0<恒成立.
由上面讨论可知，存在实数4=k
，使函数()()()k x k x x f -+-+=2224在(]1-∞-,上是减函数且在
[)01,-上是增函数.
（方法三）由题意知，1-=x 是函数的一个极值点，因为()x k x y -+='2243
，由01='-=x y 可知，
4=k ，从而有
()()()114443-+=-='x x x x x x f ，故当()1-∞-∈,x 时有()0<'x f ，即()x f 在(]1-∞-上
是减函数；当()01,x -∈时有()0>'x f ，即()x f 在[)01,-为增函数. 所以4=k 适合题意.
例4：函数()x f 有反函数()x f 1
-，已知()x f 的图象过点()1,0，则函数()21+-x f 的反函数的图象必过点
（ ）
A. ()1,2-
B. ()2,1-
C. ()0,1-
D. ()1,0-
分析：本题考察函数与反函数的概念，不仅考察了数学概念的深刻性，而且还考察了思维的思辩性，只凭简单套算
难于得出正确结论。

本题还考察了函数与反函数的内在本质的联系
()21+-x f 是什么？是()2+x f 的反函数？这是学生感到困惑的地方。

这当然应追溯到互为反函数的概念以及函数
图象的变换。

解答：因为()x f 过点()1,0，所以()x f 1
-过点()0,1，
则()21+-x f 过点()0,1-，故()21
+-x f 的反函数必过点()1,0-，答案为D
三、以重为重，突出主干
数学《考试大纲》指出：“对数学基础知识的考察，要求全面又突出重点，对于支撑学科知识体系的重点知识，考察时要保持较高的比例，构成数学试题的主体”，这就是说重点知识将重点考察。

因此高中数学传统重点内容“函数、不等式、数列、三角函数、立体几何的线面位置关系（尤其是垂直）、解析几何的坐标法等基本思想及直线与圆锥曲线的位置关系”等历来是高考中的重点、焦点和热点问题，而且在高考大题中作重点长考不衰。

值得注意的是，高中新增的“平面向量、简易逻辑、线性规划、概率统计、导数”等5大块内容中，“向量”、“概率统计”、“导数”等又将成为高考数学中新的考察重点与热点。

因此高三数学复习应将重点放在公认的“数学主体知识”上，使高中数学的重点内容得以保证。

从2000年全国新课程高考，对新增内容的考察从2000年的不够全面到2001年的既全面又基本，再到2002年的达到较高要求，所占的份额趋于合理直至2003年的既全面又合理所占比例
3
1
有余，并基本形成平稳发展的态势，2004年的浙江卷也保持了这一格局。

今后对新增内容的考察会逐渐加大，综合性会更强，新旧内容的结合手法上将不会停留在“戴帽子、穿靴子”的层面上。

将更多的以考察思想方法的形式出现，将会进一步挖掘新增内容的应用价值，以便更密切的联系教材考察学生数学建模和实践能力，因此应非常重视对新增内容的复习，达到深刻理解、运用熟练的境地。

例5：已知函数()b ax x g 23+=，[]1,1-∈x 单调递增，有最大值2，函数()d cx bx ax x f +++=23，[]1,1-∈x 的任一条切线都不会与双曲线122=-x y 的两支都相交，()x f 的最大值为3
2
，⑴求证()2≤x g ；⑵求()x f 的解析式；⑶求()x f 的最小值
例6：甲方是一个农场，乙方是一个工厂，由于乙方生产须占用甲方的资源，因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入。

在乙方不赔付甲方的情况下，乙方的年利润x （元）与年产量t （吨）满足函数关系式
t x 2000=。

若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方s 元。

⑴将乙方的年利润w 元表示为年产量t 吨的函数，并求出
乙方获得最大利润的年产量；⑵ 甲方每年受乙方影响的经济损失金额2002.0t y =元，在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格s 是多少？
概率统计是近几年高考的热点之一，特别是2004年浙江高考数学卷，以一个概率问题替代了每年必考的应用题，，这种现象值得注意，不能说今年也是如此，但我认为这给出了一个信息，概率与统计的内容在高中数学中的地位在提升。

它重点考察等可能事件的概率和互斥事件有一个发生的概率；相互独立事件同时发生的概率，以及离散型随机变量的分布列；数学期望与方差。

概率问题非常贴近我们的日常生活，常见的应用问题如：⑴上网接口问题；⑵事故鉴定问题；⑶投保问题；⑷产品合格问题；⑸得分问题。

例7：若在甲对乙的某一局比赛中，每一球甲胜乙的概率为P ，试求：⑴甲以11：5获胜的概率1P ；⑵甲以14：12获胜的概率2P ；⑶设2
1
=
P ，在出现10平后，甲以12：10获胜的概率比13：11拿下该局的概率大多少？ 分析：⑴ 比分11：5表示实际比赛的情形是前15只球中甲共得10分，且第16只球又赢得1分，所以
(
)()5
11
10155
101015111p P C P P P C P -=⨯-=。

⑵比分14：12表示实际比赛情形是两人先打成10平、11平、12平后甲又连得2分，所以
()()()()12
1410202121210
101020214111P P C P P P C P P C p P C P -=⨯-⨯-⨯-=。

⑶ 因为()411012
2
=
=P
P ，()
()8
11111321
2=⨯-=P P P C P ； 由此不难看出，两个实力相当的选手在出现10平后要想赢得比赛，越向后越困难。

四、以学为学,归纳创新
研究性学习是一种新形势下的新的学习方式，并没有固定的学习模式。

我认为它的核心是充分鼓励和要求学生参与整个学习的过程。

在整个学习过程中是以一种主动姿态积极吸收。

并不是以被动的状态去接受知识。

事实上也
证明主动学习与被动接受其效果有非常大的不同。

我们学校在这方面进行了一些尝试，现向各位做一介绍。

⑴ 开展高中小作文的实践与研究：
语文有作文，数学也可以有。

如何去写？写什么内容？这需要我们教师对整个高中教材做一个比较全面的规划，并不是性之所致随手拈来的。

我们经过认真的教研和讨论将我们的数学小作文分为大致4类。

①命题作文：对数学概念、图形、条件或结论、方法的探讨和研究。

如：《数学中的对称》是对数学中的对称图形和性质进行思考和总结。

《函数图象的运用》这是在解决数学问题时如何充分的利用图形，以形助数、数形结合。

②一章或一节内容结束之后的总结、感悟或知识点和方法的输理。

如：学生在函数这一章复习之后，从学生自己的视角去看函数这一章的内容。

他认为函数的重点和精华在图象。

掌握好函数的图象则所有函数的性质都蕴涵其中。

所以他就以函数的图象为起点，从基本函数图象到图象的变换直至图象的运用写了一篇水平较高的小论文。

③ 考试之后的思索。

是对自己在这次考试中的知识和心态的一种客观的总结和反思。

以明确自己在知识和心理上的弱点所在，积累考试经验。

④数学随笔：其作用之一是和教师经常交流、沟通、讨论。

；另一作用是对自己在数学上的感悟和思考所得积累下来。

⑵ 开展数学阅读课：
开展数学阅读课的目的是吸取课外的经验，要求每人订一本杂志，了解最新信息，如有好的专题或方法介绍推荐给同学共同研究。

⑶ 组织学生“说题”：
所谓“说题”是在教师的指导下，学生对一个或一类题进行准备。

然后向学生讲解，然后在组织学生对其解法进行讨论和研究。

教师所做的是在“说题”之前对学生准备的“说题”内容进行审查。

指出其不足之处和注意点，然后安排时间进行。

例8：问题： 如右图,过抛物线px y 22=的焦点的一条直线和这抛物线相交，两个交点分别为()11y ,x A 和()22y ,x B 。

结论1： 2
21p y y -=⋅；4
2
21p x x =⋅。

纵坐标分别是
1y 、2y ，
结论2： 抛物线px y 22=上有两个动点A ，B 的
且满足221p y y -=。

问：直线AB 是否过焦点
F ？
结论3：
AOB ∠一定是钝角。

结论4：
AOB ∠有最值5
3arccos -π。

结论5：AOB ∆的面积有最值2
2
p .
结论6： 若直线l 的倾斜角为θ
，则
θ
22sin p AB =。

结论7：
BF
AF 11+为常数。

结论8： 以
AB 为直径的圆和准线相切。

结论9： 1A ，1B 分别是
A ，
B 在准线上的射影。

求证o FB A 9011=∠
结论10： 弦AB 的垂直平分线交x 轴于一点P ，则
21=AB PF
其中这个学生准备的是结论1、2、3、6、8，经过大家的讨论和研究得到了上述10个结论。

通过这种形式的研究，学生反映效果好。

在提升他们的分析问题与解决问题的能力上有益。

五、以“错”纠错，查漏补缺
这里说的“错”，是指把平时做作业中的错误收集起来。

高三复习，各类试题要做几十套，甚至上百套。

有人把试卷看成是一张一张的网，每次考试都相当于在捕鱼。

如果发现有鱼从渔网上漏掉，就要及时修好渔网，下次捕鱼时才不至于有鱼再从这个洞里漏掉。

学习知识也是这样。

有的同学做题只重数量不重质量，做过之后不问对错就放到一边。

这种做法很不科学。

做题的目的是培养能力，是寻找自己的弱点和不足的有效途径。

俗话说“吃一堑，长一智”，多数有用的经验都是从错误中总结出来的，因此，发现了错误及时研究改正，并总结经验以免再犯，时间长了就知道做题的时候有哪些方面应引起注意，出错的机会就大大减少了。

如果平时做题出错较多，就只需在试卷上把错题做上标记，在旁边写上评析，然后把试卷保存好，每过一段时间，就把“错题笔记”或标记错题的试卷看一看。

在看参考书时，也可以把精彩之处或做错的题目做上标记，以后再看这本书时就会有所侧重。

查漏补缺的过程就是反思的过程。

除了把不同的问题弄懂以外，还要学会“举一反三”，及时归纳。

做一道题你从不同角度想出5种方法，与做5道同类型的题用的时间可能差不多，前者的效果肯定比后者要好得多。

高考碰到平时做过的陈题可能性不大，而解题所需的知识、方法和能力要求都不会超出大纲，都会在平时复习中遇到，关键是要能触类旁通。

反思是指主动的完成思维过程进行周密且有批判性的再思考，是对已形成的知识、方法从另一个角度的另一方式进行再认识以求得新的深入认识，或提出疑问作为新的思考起点，数学自身的研究发展就是一个不断反思的过程，反思推进了数学的进步，反思能促使学生从不同的方面多角度观察事物并寻求不同思路。

反思的种类很多，可以反思解题过程优化解题过程；反思错误原因，完善解题方法。

等，为此我们高三数学组在我们组长的带领下正在做一个高三错题库。

了解发生在高考第一线的问题与错误，反思我们的教学，寻找错误原因。

我们已经取得了部分第一手资料，正在着手进行分析。

例9：双曲线122
=-y x
的左枝上一点()b ,a P 到渐近线x y =的距离为2,则
b a +的值是（ ）
A. 2
1± B. 2± C. 21
- D. 2
错解：点
()b ,a P 到直线x y =的距离是22
=-=
b a d ，而点又在双曲线上，所以，122=-b a 即
b
a b a -=+1
故
2
1
=
+b a 所以选A 错了，因为左支上的点还应在渐近线0=+x y 的下方，故0<+b a 故应选C 。

很多题目的错误是问题出在审题的过程中，对题中所隐含的已知条件没有深刻的思考、分析。

因而产生错误。

例10：点()y ,x P 是曲线2
1x y -=
上任意一点，求使不等式0≥++m y x 恒成立的m 的取值范围。

错解：21x y
-=可得 122
=+y x
令θθsin y ,cos x ==代入不等式左边则0≥++m sin cos θθ对一
切R ∈θ均成立；即⎪⎭⎫ ⎝⎛
+-≥42πθsin m 对一切R ∈θ均成立
[]2
242,sin -∈⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+-πθ ，所以2≥
m
正解：2
1x y -=可得122
=+y x
()0≥y 令θθsin y ,cos x ==代入不等式⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+-≥42πθsin m 对一
切[]πθ,0∈
成立。

当[]πθ,0∈时
4
544
π
π
θπ
≤+
≤，故[]
1242,sin -∈⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+-
πθ。