安徽省马鞍山二中高一数学上学期期中试题（扫描版）(1)

安徽省马鞍山二中2021-2021学高一数学上学期期中试题（扫描版）
马鞍山市2014―2015学年度第一学期期中素养测试
数学必修① 试题答案
一、选择题（此题共12小题，每题3分，共36分）
二、填空题（此题共5小题，每题4分，共20分.）
13. [4,5)(5,)+∞ 14. 7- 15. 10
16. (,4][10,)-∞+∞ 17. ①③④． 三、解答题：（此题共5小题，共44分．解答题应写出文字说明、演算步骤或证明进程）
18. （本小题总分值8分）
已知集合{|240}A x x =-<，{|05}B x x =≤<，全集U =R ．
求：（Ⅰ）A B ； （Ⅱ）()U A B ．
【命题用意】考查集合的表示法和集合的交、并、补运算，简单题．
【答案】（Ⅰ）{|2}A x x =<,{}|5A B x x =<；
……4分 （Ⅱ）(){|05}U B x x x =<≥或，(){|0}U A B x x =<.
……8分 19. （此题总分值8分）
求以下各式的值：
（Ⅰ）1
lg lg 254-； （Ⅱ）1
212
[(1](1--． 【命题用意】考查指数、对数的大体运算，简单题．
【答案】
（Ⅰ）()1lg lg 25lg 4lg 25lg 425lg10024-=--=-⨯=-=-； ……4分
（Ⅱ）1
212[(1](111)0
--==-=． ……8分
20. （本小题总分值9分）
已知函数()log (1)a f x x =+，()log (1)a g x x =-，其中0a >且1a ≠，设()()()h x f x g x =-.
（Ⅰ）求函数()h x 的概念域；
（Ⅱ）判定函数()h x 的奇偶性，并说明理由；
（Ⅲ）解关于x 的不等式()0h x >.
【命题用意】考查函数性质的综合应用，中档题．
【答案】
（Ⅰ）()()()log (1)log (1)a a h x f x g x x x =-=+--，由1010x x +>⎧⎨->⎩
，解得11x -<<，因此函数()h x 的概念域为(1,1)-； ……3分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知概念域关于原点对称，
()log (1)log (1)()a a h x x x h x -=--+=-，因此()h x 为奇函数； ……6分
（Ⅲ）由()()()0h x f x g x =->得()()f x g x >，即log (1)log (1)a a x x +>-，
当1a >时，那么有1111x x x +>-⎧⎨-<<⎩
，解得()0,1x ∈； 当01a <<时，那么有1111x x x +<-⎧⎨
-<<⎩，解得()1,0x ∈-. ……………………9分 21. （本小题总分值9分） 已知函数()a f x x x =+
，且(1)10f =． （Ⅰ）求a 的值；
（Ⅱ）试判定函数()f x 在[3,)+∞上的单调性，并用概念加以证明；
（Ⅲ）求函数()f x 在区间[3,6]上的最大值与最小值．
【命题用意】考查函数单调性的判定和利用单调性求最值，中档题．
【答案】（Ⅰ）由(1)110f a =+=得9a =．
……2分 （Ⅱ）9()f x x x
=+在[3,)+∞上是增函数，证明如下： ……4分 任取12,[3,)x x ∈+∞，且12x x <，
1212121212999()()()()()1f x f x x x x x x x x x ⎛⎫-=+-+=-- ⎪⎝⎭
， ∵123x x ≤<，∴120x x -<，129x x >，12910x x -
>， ∴12()()0f x f x -<，即12()()f x f x <，
因此()f x 在[3,)+∞上是增函数． ……7分
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，()f x 在[3,6]上是单调递增，因此最大值为15(6)2
f =，最小值为(3)6f =. ……9分
22. （本小题总分值10分）
设函数()(,,)n f x x bx c n N b c R +=++∈∈
（Ⅰ）若2n =时，()f x 为偶函数，且函数()f x 的值域为[3,)+∞，求()f x 的解析式；
（Ⅱ）设2n ≥，1,1b c ==-，证明：()f x 在区间1(,1)2内存在唯一的零点；
（Ⅲ）在（Ⅱ）条件下，当3n =时，那个零点更靠近12与1中的哪个值？
【命题用意】考查函数的大体性质与二次函数的基础知识，和函数零点存在性定理的考查，较难题．
【答案】
（Ⅰ）当2n =时，又()f x 为偶函数，因此有()()f x f x -=，从而可求出0b =，
现在2()f x x c =+ ……2分
结合值域为[3,)+∞可知3c =.故解析式为2()3f x x =+； ……3分
（Ⅱ）()1n f x x x =+-，因为11111()()1()022222n n f =+-=-<，(1)11110n f =+-=>，因此1
()(1)02f f ⋅<，因此()
f x 在区间1
(,1)2内存在零点.
……5分 由于函数(2)n y x n N n +=∈≥，和1y x =-在1
(,1)2内单调递增，因此()1n f x x x =+-在1(,1)2内单调递增，从而()
f x 在区间1
(,1)2内存在唯一的零点. ……7分
（Ⅲ）当3n =时，3()1f x x x =+-，结合（Ⅱ）的结论可知，()f x 在区间1
(,1)2内存在唯一的零点，又因为
3111()()10222f =+-<，(1)10f =>，3333()()10444f =+->，因此那个零点在区间13(,)24内，故那个零点更靠近12. ……10分。