13-电路方程的矩阵形式
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n1 n n2 n3
矩阵形式 KVL : ub AT un
B 二.基本回路矩阵： = { b i j } l b 基本回路数 支路数 1.约定：（1） 回路电流的参考方向取连支电流方向。 （2）支路排列顺序为先连支后树支。 1 支路j与回路i关联，方向一致。 bij= -1 支路j 与回路i关联，方向相反。 0 支路j 不在回路 i 中。 选 4、5、6为树支，连支为1、2、3。 5 4 支路 3l 3 4 5 6 回路 1 2 3 l3 0 1 -1 0 l2 1 1 0 0 1 -1 1 = [ 1 Bt ] 2 B= 2 0 1 6 1 0 1 -1 l1 3 0 0 Bl Bt 1
2.基本回路矩阵Bf 表示的基尔霍夫定律的矩阵形式 （1）KVL的矩阵形式
设 ub [u1 u3 u4 u2 u5 u6 ]
ul
ut
u1 u3 u4 u2 u5 u6
l个独立 KVL方程
（2）KVL的矩阵形式 ３ 电路中的（n-1）个树支电压可用 （n-1）阶列向量表示，即 Q
４ ６ ５ 1 Q2
ut ut 1
T
ut 2
0 1 0 1 0 1
... ut ( n1)
1
T
２ Q3
ub Q f ut
1 0 0 T Q f ut 1 1 0
本章内容佳木斯大学信息电子技术学院佳木斯大学信息电子技术学院13131关联矩阵回路矩阵割集矩阵132回路电流方程的矩阵形式133结点电压方程的矩阵形式134状态方程136割集电压方程的矩阵形式135本章主要在图的基本概念的基础上介绍了关联矩阵回路矩阵和割集矩阵以及用这些矩阵表示的kclkvl方程
第13章 电路方程的矩阵形式
注意 连支电压可以用树支电压表示。
ut 1 Q f T u t ut ub T ul Ql
ul QlT ut
小结
A
KCL Aib=0
Bf
BfT il=ib Bfub=0
Qf Qfib=0
QfT ut=ub
KVL
AT u
n=ub
1 5 2
3
6 4
Q3
三、独立割集 这种由一条树支及相应的连支构成的割集称为单树支 割集或基本割集。 Q3
Q1
1 2
5 6 3
Q2
4
对于一个具有n个结点，b条支路的连通图G，独立割 集的数目等于树支数，为（n－1）。
§ 13.2 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵
图的矩阵表示: 图的矩阵表示是指用矩阵描述图的拓扑性质， 即KCL和KVL的矩阵形式。有三种矩阵形式：
§ 13.1 割集
一、割集定义 割集Q是连通图G中支路的集合，具有下述性质： 1.把Q中全部支路移去(保留支路的两个端点) ，将图 分成两个分离部分。 2.保留Q 中的一条支路，其余都移去， G还是连通的。
② ②
2
1
①
2
5
③
1 5 4
① ③
4
6
3
④
3
④
6
Q1: { 2 , 5 , 4 , 6 }
割集示例：
il 1 il il 2 独立回路电流 i1 i l 3 ②
矩阵形式的KCL： Bf T il =ib
例： 13-1 如图所示，选支路（3，5、6）为树支，求基本 回路矩阵。 解： 基本回路如下： 2 2 3 4 3 3 2 4 1 3 1 6 1 6 6
0 ut 1 u3 u 0 t2 u5 ut 1 u6 1 ut 3 ub ut 2 1 ut 1 ut 2 ut 3 u1 ut 3 u ut 1 ut 3 1 2 1 ut 2 ut 3 u4
i1 i2 i3 i4 i5 i6
T
以结点④为参考结点 -1 -1 1 0 0 0 0 0 -1 -1 0 1 1 0 0 1 1 0
n-1个独立 方程
Aib =
i1 1 2 3 i 2 i 4 6 0 3 3 i 4 4 5 i 5 1 i 6
1 A= 2 3 1 0 0 -1 0 1 -1 1 0 0 1 0 0 -1 1 0 0 -1
各行不独立。 设④为参考结点，划去 第4行。
称A为降阶关联矩阵 (n-1)b ， 表征独立结点与支路的关联 性质。也称关联矩阵。
2.关联矩阵A描述的基尔霍夫定律的矩阵形式 （1）KCL的矩阵形式
设: ib
1 2
1 1 B f 2 0 3 0 0 1 0
4
0 0 1
3
1 1 0
5
1 1 1
6
0 1 1 : Bt 1
Q 三.基本割集矩阵： = { q i j } n-1 b 基本割集数 支路数 1.约定：（1）割集方向与树支方向相同。 （2）支路排列顺序为先树支后连支。 1 支路j与割集i方向一致。 qij= -1 支路j 与割集i方向相反。 0 支路j 不在割集 i 中。 选 4、5、6为树支，连支为1、2、3。 4 5 Q Q1:{1,2,4} Q2:{1,2,3,5} Q3:{2,3,6} Q1 3 2 支路 6 1 2 3 割集 4 5 0 -1 -1 0 Q1 1 0 Q3 6 2 0 1 1 -1 = [ 1 Ql ] Q = Q2 0 1 1 0 -1 1 Q3 0 0 1
本章内容
13.1 13.2 13.3 13.4 13.5 13.6
割集
关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵 回路电流方程的矩阵形式 结点电压方程的矩阵形式 割集电压方程的矩阵形式 状态方程
佳木斯大学信息电子技术学院
本章学习目的及要求
本章主要在图的基本概念的基础上 介绍了关联矩阵、回路矩阵和割集矩阵， 以及用这些矩阵表示的KCL、KVL方程。 由此导出电路方程的矩阵形式，包括回 路电流方程、结点电压方程、割集电压 方程的矩阵形式。并介绍了状态方程的 初步知识。
矩阵形式的KCL：Qf ib =0
i 3 i 5 i 6 i1 i 2 i 4
Q3
i3 i1 i2 i5 i1 i4 0 i6 i1 i2 i4
i i i
i i i i i i
矩阵形式的KCL:Aib = 0
（2） KVL的矩阵形式 T 设: ub u1 u2 u3 u4 u5 u6
1 1 1 AT un 0 0 0 0 0 1 1 0 1
un1 un3 1 un1 u 0 1 u u un1 u u 2 0 n1 nu u 2 u3 u u ub n2 1 un2 un 3 u4 u un 3 5 un 3 1 u6 0 un 2
-
U S2
+
*
.
I S2
.
+
U2
U 1 jL1 ( I S 1 I 1 ) jM ( I S 2 I 2 ) U S 1
U 2 jL2 ( I S 2 I 2 ) jM ( I S 1 I 1 ) U S 2
U 1 jL1 ( I S 1 I 1 ) jM ( I S 2 I 2 ) U S 1
il 1 i3 1 0 0 ３ ４ il 2 0 1 0 i il 1 2６ 3 ③ 0 0 1 i l 3 4 ① T ５ B f il il 2 i i ib 1 1 0 i l 1 l 2 i 2 ２ l3 1 0 1 1 il 1 il 3 ④ 1 0 1 1 i5 il 2 il 3 i 6
k l Sk k
Sk
Z l I l U lS
Zl U lS （回路阻抗阵） （回路电压源相量） 回路矩阵方程
电路中电感之间有耦合，规定每个支路必须仅有一 . 个阻抗。 . U1 + . . U S1 I 1 I e1 jL1 + * . jωM
.ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ.
I S1
.
I2
I e2
jL2
1
5 4 3 6 4
2
1 5
2
1 5
2
3 6
4 6
3
注意：在移去支路时，与其相连的结点并不移去。 非割集示例：
1 5 2
1
5
2
4
3 6
4
6
3
二、割集判断方法 在图G上作一个高斯面（闭合面），使其包围G的某 些结点，而每条支路只能被闭合面切割一次，去掉与闭 合面相切割的支路，图G将被分为两部分，那么这组支 路集合即为图G的一个割集。在图G上画高斯面（闭合 面）Q1、Q2、Q3如下图所示，对应割集Q1、Q2、Q3的支 路集合为{1，5，2}、{1，5，3，6}、{2，5，4，6}。 注意：同一割集中每一条支路只能被切割一次。 Q2 Q1
2.基本割集矩阵Qf描述的基尔霍夫定律的矩阵形式 ４ （1）KCL的矩阵形式 ３ Q2 取（3，5，6）为树， ６ Q1 i [i i i i i i ]T
b 3 5 6 1 2 4
矩阵形式的KCL：
２
５ 1
1 0 Qf ib = 0 1 0 0
0 -1 -1 0 0 1 0 1 1 -1 -1 -1
U 2 jL2 ( I S 2 I 2 ) jM ( I S 1 I 1 ) U S 2
jL 1 U 1 U 2 jM
jM I S 1 I 1 U S 1 jL2 I S 2 I 2 U S 2
u1 u2 u5 u3 u2 u6 0 u4 u5 u6
1 0 0 -1 -1 0 Bf ub= 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 -1 1
矩阵形式的KVL：Bf ub= 0
（2）KCL的矩阵形式 设：ib [i1 i3 i4 i2 i5 i6 ]T
§ 13.3 回路电流方程的矩阵形式
取回路电流（连支电流）为未知变量。 . . 支路电压与支路电流的关系 U Z (I I ) U
k k k Sk Sk
.
I k I ek
Zk
.
-
U Sk
+ -
I Sk
+ . KVL BU k 0 Uk BU k BZk I k BZk I Sk BU Sk 0 KCL I k B T I l 代入上面方程，整理后得 回路方程矩阵形式 BZ B T I BU BZ I
结点
回路 割集
支路
支路 支路
关联矩阵 回路矩阵
割集矩阵
一、关联矩阵 1.关联矩阵： Aa={aij}n b 1 aij = -1 0 结支 1
1 Aa= 2 3 4 1 -1 0 0
1
②
2
③
0 0 -1 0 1 1 0 0 1 0 -1 1 0 0 -1 0 - 1 1 -1 0
结点数 支路数 ① 5 有向支路 j 背离 i 结点 3 4 有向支路 j 指向 i 结点 ④ 6 i结点与 j 支路无关 2 3 4 5 6 支 1 2 3 4 5 6 结
矩阵形式 KVL : ub AT un
B 二.基本回路矩阵： = { b i j } l b 基本回路数 支路数 1.约定：（1） 回路电流的参考方向取连支电流方向。 （2）支路排列顺序为先连支后树支。 1 支路j与回路i关联，方向一致。 bij= -1 支路j 与回路i关联，方向相反。 0 支路j 不在回路 i 中。 选 4、5、6为树支，连支为1、2、3。 5 4 支路 3l 3 4 5 6 回路 1 2 3 l3 0 1 -1 0 l2 1 1 0 0 1 -1 1 = [ 1 Bt ] 2 B= 2 0 1 6 1 0 1 -1 l1 3 0 0 Bl Bt 1
2.基本回路矩阵Bf 表示的基尔霍夫定律的矩阵形式 （1）KVL的矩阵形式
设 ub [u1 u3 u4 u2 u5 u6 ]
ul
ut
u1 u3 u4 u2 u5 u6
l个独立 KVL方程
（2）KVL的矩阵形式 ３ 电路中的（n-1）个树支电压可用 （n-1）阶列向量表示，即 Q
４ ６ ５ 1 Q2
ut ut 1
T
ut 2
0 1 0 1 0 1
... ut ( n1)
1
T
２ Q3
ub Q f ut
1 0 0 T Q f ut 1 1 0
本章内容佳木斯大学信息电子技术学院佳木斯大学信息电子技术学院13131关联矩阵回路矩阵割集矩阵132回路电流方程的矩阵形式133结点电压方程的矩阵形式134状态方程136割集电压方程的矩阵形式135本章主要在图的基本概念的基础上介绍了关联矩阵回路矩阵和割集矩阵以及用这些矩阵表示的kclkvl方程
第13章 电路方程的矩阵形式
注意 连支电压可以用树支电压表示。
ut 1 Q f T u t ut ub T ul Ql
ul QlT ut
小结
A
KCL Aib=0
Bf
BfT il=ib Bfub=0
Qf Qfib=0
QfT ut=ub
KVL
AT u
n=ub
1 5 2
3
6 4
Q3
三、独立割集 这种由一条树支及相应的连支构成的割集称为单树支 割集或基本割集。 Q3
Q1
1 2
5 6 3
Q2
4
对于一个具有n个结点，b条支路的连通图G，独立割 集的数目等于树支数，为（n－1）。
§ 13.2 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵
图的矩阵表示: 图的矩阵表示是指用矩阵描述图的拓扑性质， 即KCL和KVL的矩阵形式。有三种矩阵形式：
§ 13.1 割集
一、割集定义 割集Q是连通图G中支路的集合，具有下述性质： 1.把Q中全部支路移去(保留支路的两个端点) ，将图 分成两个分离部分。 2.保留Q 中的一条支路，其余都移去， G还是连通的。
② ②
2
1
①
2
5
③
1 5 4
① ③
4
6
3
④
3
④
6
Q1: { 2 , 5 , 4 , 6 }
割集示例：
il 1 il il 2 独立回路电流 i1 i l 3 ②
矩阵形式的KCL： Bf T il =ib
例： 13-1 如图所示，选支路（3，5、6）为树支，求基本 回路矩阵。 解： 基本回路如下： 2 2 3 4 3 3 2 4 1 3 1 6 1 6 6
0 ut 1 u3 u 0 t2 u5 ut 1 u6 1 ut 3 ub ut 2 1 ut 1 ut 2 ut 3 u1 ut 3 u ut 1 ut 3 1 2 1 ut 2 ut 3 u4
i1 i2 i3 i4 i5 i6
T
以结点④为参考结点 -1 -1 1 0 0 0 0 0 -1 -1 0 1 1 0 0 1 1 0
n-1个独立 方程
Aib =
i1 1 2 3 i 2 i 4 6 0 3 3 i 4 4 5 i 5 1 i 6
1 A= 2 3 1 0 0 -1 0 1 -1 1 0 0 1 0 0 -1 1 0 0 -1
各行不独立。 设④为参考结点，划去 第4行。
称A为降阶关联矩阵 (n-1)b ， 表征独立结点与支路的关联 性质。也称关联矩阵。
2.关联矩阵A描述的基尔霍夫定律的矩阵形式 （1）KCL的矩阵形式
设: ib
1 2
1 1 B f 2 0 3 0 0 1 0
4
0 0 1
3
1 1 0
5
1 1 1
6
0 1 1 : Bt 1
Q 三.基本割集矩阵： = { q i j } n-1 b 基本割集数 支路数 1.约定：（1）割集方向与树支方向相同。 （2）支路排列顺序为先树支后连支。 1 支路j与割集i方向一致。 qij= -1 支路j 与割集i方向相反。 0 支路j 不在割集 i 中。 选 4、5、6为树支，连支为1、2、3。 4 5 Q Q1:{1,2,4} Q2:{1,2,3,5} Q3:{2,3,6} Q1 3 2 支路 6 1 2 3 割集 4 5 0 -1 -1 0 Q1 1 0 Q3 6 2 0 1 1 -1 = [ 1 Ql ] Q = Q2 0 1 1 0 -1 1 Q3 0 0 1
本章内容
13.1 13.2 13.3 13.4 13.5 13.6
割集
关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵 回路电流方程的矩阵形式 结点电压方程的矩阵形式 割集电压方程的矩阵形式 状态方程
佳木斯大学信息电子技术学院
本章学习目的及要求
本章主要在图的基本概念的基础上 介绍了关联矩阵、回路矩阵和割集矩阵， 以及用这些矩阵表示的KCL、KVL方程。 由此导出电路方程的矩阵形式，包括回 路电流方程、结点电压方程、割集电压 方程的矩阵形式。并介绍了状态方程的 初步知识。
矩阵形式的KCL：Qf ib =0
i 3 i 5 i 6 i1 i 2 i 4
Q3
i3 i1 i2 i5 i1 i4 0 i6 i1 i2 i4
i i i
i i i i i i
矩阵形式的KCL:Aib = 0
（2） KVL的矩阵形式 T 设: ub u1 u2 u3 u4 u5 u6
1 1 1 AT un 0 0 0 0 0 1 1 0 1
un1 un3 1 un1 u 0 1 u u un1 u u 2 0 n1 nu u 2 u3 u u ub n2 1 un2 un 3 u4 u un 3 5 un 3 1 u6 0 un 2
-
U S2
+
*
.
I S2
.
+
U2
U 1 jL1 ( I S 1 I 1 ) jM ( I S 2 I 2 ) U S 1
U 2 jL2 ( I S 2 I 2 ) jM ( I S 1 I 1 ) U S 2
U 1 jL1 ( I S 1 I 1 ) jM ( I S 2 I 2 ) U S 1
il 1 i3 1 0 0 ３ ４ il 2 0 1 0 i il 1 2６ 3 ③ 0 0 1 i l 3 4 ① T ５ B f il il 2 i i ib 1 1 0 i l 1 l 2 i 2 ２ l3 1 0 1 1 il 1 il 3 ④ 1 0 1 1 i5 il 2 il 3 i 6
k l Sk k
Sk
Z l I l U lS
Zl U lS （回路阻抗阵） （回路电压源相量） 回路矩阵方程
电路中电感之间有耦合，规定每个支路必须仅有一 . 个阻抗。 . U1 + . . U S1 I 1 I e1 jL1 + * . jωM
.ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ.
I S1
.
I2
I e2
jL2
1
5 4 3 6 4
2
1 5
2
1 5
2
3 6
4 6
3
注意：在移去支路时，与其相连的结点并不移去。 非割集示例：
1 5 2
1
5
2
4
3 6
4
6
3
二、割集判断方法 在图G上作一个高斯面（闭合面），使其包围G的某 些结点，而每条支路只能被闭合面切割一次，去掉与闭 合面相切割的支路，图G将被分为两部分，那么这组支 路集合即为图G的一个割集。在图G上画高斯面（闭合 面）Q1、Q2、Q3如下图所示，对应割集Q1、Q2、Q3的支 路集合为{1，5，2}、{1，5，3，6}、{2，5，4，6}。 注意：同一割集中每一条支路只能被切割一次。 Q2 Q1
2.基本割集矩阵Qf描述的基尔霍夫定律的矩阵形式 ４ （1）KCL的矩阵形式 ３ Q2 取（3，5，6）为树， ６ Q1 i [i i i i i i ]T
b 3 5 6 1 2 4
矩阵形式的KCL：
２
５ 1
1 0 Qf ib = 0 1 0 0
0 -1 -1 0 0 1 0 1 1 -1 -1 -1
U 2 jL2 ( I S 2 I 2 ) jM ( I S 1 I 1 ) U S 2
jL 1 U 1 U 2 jM
jM I S 1 I 1 U S 1 jL2 I S 2 I 2 U S 2
u1 u2 u5 u3 u2 u6 0 u4 u5 u6
1 0 0 -1 -1 0 Bf ub= 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 -1 1
矩阵形式的KVL：Bf ub= 0
（2）KCL的矩阵形式 设：ib [i1 i3 i4 i2 i5 i6 ]T
§ 13.3 回路电流方程的矩阵形式
取回路电流（连支电流）为未知变量。 . . 支路电压与支路电流的关系 U Z (I I ) U
k k k Sk Sk
.
I k I ek
Zk
.
-
U Sk
+ -
I Sk
+ . KVL BU k 0 Uk BU k BZk I k BZk I Sk BU Sk 0 KCL I k B T I l 代入上面方程，整理后得 回路方程矩阵形式 BZ B T I BU BZ I
结点
回路 割集
支路
支路 支路
关联矩阵 回路矩阵
割集矩阵
一、关联矩阵 1.关联矩阵： Aa={aij}n b 1 aij = -1 0 结支 1
1 Aa= 2 3 4 1 -1 0 0
1
②
2
③
0 0 -1 0 1 1 0 0 1 0 -1 1 0 0 -1 0 - 1 1 -1 0
结点数 支路数 ① 5 有向支路 j 背离 i 结点 3 4 有向支路 j 指向 i 结点 ④ 6 i结点与 j 支路无关 2 3 4 5 6 支 1 2 3 4 5 6 结