乘积规则的推导

乘积规则的推导
乘积规则是微积分中的一个重要规则，用于求导数。

推导乘积规则的方式通常是通过定义和极限的性质来进行。

设有两个函数f(x)和g(x)，它们的乘积为h(x) = f(x) * g(x)。

我们要求它们的导数h'(x)。

根据导数的定义，我们有：
h'(x) = lim┬(Δx→0)⁡(h(x+Δx) - h(x))/Δx
将h(x)展开：
h(x+Δx) = f(x+Δx) * g(x+Δx)
将展开的式子代入到导数的定义中：
h'(x) = lim┬(Δx→0)⁡(f(x+Δx)* g(x+Δx) - f(x) * g(x))/Δx
使用极限的性质，我们可以将上式拆分为两个部分：
h'(x) = lim┬(Δx→0)⁡[f(x+Δx) * g(x+Δx) - f(x) * g(x+Δx)]/Δx + lim┬(Δx→0)⁡[f(x) * g(x+Δx) - f(x) * g(x)]/Δx
再次使用极限的性质，并且将公因式f(x)和g(x+Δx)取出：
h'(x) = lim┬(Δx→0)⁡[f(x+Δx) - f(x)] * g(x+Δx)/Δx + f(x) *
lim┬(Δx→0)⁡[g(x+Δx) - g(x)]/Δx
根据导数的定义和极限的性质，上式可以化简为：
h'(x) = f'(x) * g(x) + f(x) * g'(x)
即乘积规则得证。

乘积规则的推导过程较为复杂，其中的基本思路是使用导数的定义、极限的性质以及一些代数运算等来逐步化简式子，最终得到乘积规则的形式。