人教版九年级数学下册全册中考知识点梳理(共27讲)

第一部分教材知识梳理·系统复习
第一单元数与式
第1讲实数
第3讲分式
第4讲二次根式
第二单元方程(组)与不等式(组)
第5讲一次方程(组)
第6讲一元二次方程
第7讲分式方程
第8讲 一元一次不等式(组)
知识点一：不等式及其基本性质
关键点拨及对应举例 1.不等式
的相关概念
（1）不等式：用不等号(＞，≥，＜，≤或≠)表示不等关系的式子. （2）不等式的解：使不等式成立的未知数的值.
（3）不等式的解集：使不等式成立的未知数的取值范围.
例：“a 与b 的差不大于1”用不等式表示为a －b≤1. 2.不等式的基本
性质 性质1：若a ＞b,则 a ±c >b ±c ；
性质2：若a ＞b,c >0，则ac >bc ，a c >b c ；
性质3：若a ＞b,c <0，则ac <bc ，a c <b c
. 牢记不等式性质3，注意变号. 如：在不等式－2x ＞4中，若将不等式两边同时除以－2，可得x ＜2.
知识点二 ：一元一次不等式
3.定义
用不等号连接，含有一个未知数，并且含有未知数项的次数都是1的，左右两边为整式的式子叫做一元一次不等式. 例：若230m mx ++>是关于x 的一元一次不等式，则m 的值为-1. 4.解法
（1）步骤：去分母；去括号；移项；合并同类项；系数化为1.
失分点警示
系数化为1时，注意系数的正负性，若系数是负数，则不等式改变方向.
（2）解集在数轴上表示:
x ≥a x ＞a x ≤a x ＜a
知识点三 ：一元一次不等式组的定义及其解法
5.定义 由几个含有同一个未知数的一元一次不等式合在一起，就组成一个一元
一次不等式组．
（1）在表示解集时“≥”，“≤”表示含有，要用实心圆
点表示；“＜”，“＞”表示不包含要用空心圆点表示． （2）已知不等式（组）的解集
情况，求字母系数时，一般先
视字母系数为常数，再逆用不
等式（组）解集的定义，反推出含字母的方程，最后求出字母的值.
如：已知不等式（a-1）x ＜1-a
的解集是x ＞-1，则a 的取值
范围是a ＜1.
6.解法
先分别求出各个不等式的解集，再求出各个解集的公共部分
7.不等式
组解集的类型
假设a ＜b 解集 数轴表示 口诀
x a x b ≥⎧⎨
≥⎩ x ≥b 大大取大 x a x b
≤⎧⎨≤⎩ x ≤a 小小取小 x a x b
≥⎧⎨≤⎩ a ≤x ≤b 大小，小大中间找 x a x b
≤⎧⎨
≥⎩ 无解 大大，小小取不了 知识点四 ：列不等式解决简单的实际问题
8.列不等式解应用题
（1）一般步骤：审题；设未知数；找出不等式关系；列不等式；解不等式；验检是否有意义.
（2）应用不等式解决问题的情况：
a.关键词：含有“至少（≥）
”、“最多（≤）”、“不低于（≥）”、“不高于（≤）”、“不大（小）于”、“超过（＞）”、“不足（＜）”等； b.隐含不等关系：如“更省钱”、“更划算”等方案决策问题，一般还需根据整数解，得出最佳方案
注意：
列不等式解决实际问题中，设未知数时，不应带“至少”、“最多”等字眼，与方程中设未知数一致.
第9讲 平面直角坐标系与函数
知识点一：平面直角坐标系
关键点拨及对应举例
1.相关概念
（1）定义：在平面内有公共原点且互相垂直的两条数轴构成平面直角坐标系． （2）几何意义：坐标平面内任意一点M 与有序实数对(x ，y )的关系是一一对应． 点的坐标先读横坐标(x 轴)，再读纵坐标(y 轴).
2.点的坐标
特征
( 1 )各象限内点的坐标的符号特征（如图所示）： 点P (x,y)在第一象限⇔x ＞0，y ＞0； 点P (x,y)在第二象限⇔x ＜0，y ＞0； 点P （x,y ）在第三象限⇔x ＜0，y ＜0； 点P （x,y ）在第四象限⇔x ＞0，y ＜0.
（2）坐标轴上点的坐标特征： ①在横轴上⇔y ＝0；②在纵轴上⇔x ＝0；③原点⇔x
＝0，y ＝0.
（3）各象限角平分线上点的坐标
①第一、三象限角平分线上的点的横、纵坐标相等；
②第二、四象限角平分线上的点的横、纵坐标互为相反数
（4）点P （a ,b ）的对称点的坐标特征：
①关于x 轴对称的点P 1的坐标为(a ，－b )；②关于y 轴对称的点P 2的坐标为(－a ，b )； ③关于原点对称的点P 3的坐标为(－a ，－b )．
（5）点M （x,y ）平移的坐标特征：
M （x,y ） M 1(x+a ,y ) M 2(x+a ,y+b )
（1）坐标轴上的点不属于任何象限. （2）平面直角坐标系中图形
的平移，图形上所有点的
坐标变化情况相同. （3）平面直角坐标系中求图形面积时，先观察所求图形是否为规则图形，若是，再进一步寻找求这个图形面积的因素，若找不到，就要借助割补法，割补法的主要秘
诀是过点向x 轴、y 轴作垂线，从而将其割补成可以直接计算面积的图形来解决. 3.坐标点的
距离问题
（1）点M(a,b)到x 轴，y 轴的距离：到x 轴的距离为|b |；)到y 轴的距离为|a |．
（2）平行于x 轴，y 轴直线上的两点间的距离：
点M 1(x 1,0)，M 2(x 2,0)之间的距离为|x 1－x 2|，点M 1(x 1，y )，M 2(x 2，y )间的距离为|x 1－x 2|；
点M 1(0，y 1)，M 2(0，y 2)间的距离为|y 1－y 2|，点M 1(x ，y 1)，M 2(x ，y 2)间的距离为|y 1－y 2|．
平行于x 轴的直线上的点纵
坐标相等；平行于y 轴的直
线上的点的横坐标相等.
知识点二：函 数
4.函数的相关
概念
（1）常量、变量：在一个变化过程中，数值始终不变的量叫做常量，数值发生变化的量
叫做变量．
（2）函数：在一个变化过程中，有两个变量x 和y ，对于x 的每一个值，y 都有唯一确
定的值与其对应，那么就称x 是自变量，y 是x 的函数．函数的表示方法有：列表法、图像法、解析法.
（3）函数自变量的取值范围：一般原则为：整式为全体实数；分式的分母不为零；二次
根式的被开方数为非负数；使实际问题有意义．
失分点警示
函数解析式，同时有几个代数式，函数自变量的取值范围应是各个代数式中自变量的公共部分. 例：函数y=35
x x +-中自变量的取值范
围是x ≥-3且x ≠5. 5
.函数的图象 （1）分析实际问题判断函数图象的方法：
①找起点：结合题干中所给自变量及因变量的取值范围，对应到图象中找对应点； ②找特殊点：即交点或转折点，说明图象在此点处将发生变化；
③判断图象趋势：判断出函数的增减性，图象的倾斜方向.
（2）以几何图形（动点）为背景判断函数图象的方法： ①设时间为t （或线段长为x ），找因变量与t(或x)之间存在的函数关系，用含t(或x)的式子表示， 再找相应的函数图象.要注意是否需要分类讨论自变量的取值范围.
读取函数图象增减性的技巧：①当函数图象从左到右呈“上升”（“下降”）状态时，函数y 随x 的增大而增大（减小）；②函数值变化越大，图象越陡峭；③当函数y 值始终是同一个常数，那么在这个区间上的函数图象是一条平行于x 轴的线段.
第10讲 一次函数
知识点一 ：一次函数的概念及其图象、性质
关键点拨与对应举例
1
.一次函数的相关概念 （1）概念：一般来说，形如y ＝kx ＋b (k ≠0)的函数叫做一次函数．特别地，当b ＝
0时，称为正比例函数．
（2）图象形状：一次函数y ＝kx ＋b 是一条经过点（0,b ）和（-b/k ,0）的直线.特别
地，正比例函数y ＝kx 的图象是一条恒经过点（0,0）的直线.
例：当k ＝1时，函数y ＝kx ＋k －1是正比例函数,
2.
一次函数k ，b K ＞0， K ＞0， K ＞0，b=0 k <0， k <0， k <0，
（1）一次函数y=kx+b 中，k 确定
x
y
第四象限
(＋，－)第三象限 (－，－)第二象限 (－，＋)
第一象限 (＋，＋)
–1–2–31
2
3
–1
–2–31
23
O
的性质 符号 b ＞0 b ＜0
b >0
b <0 b ＝0
了倾斜方向和倾斜程度，b 确定了与y 轴交点的位置.
（2）比较两个一次函数函数值的大小：性质法，借助函数的图象，也可以运用数值代入法. 例：已知函数y =－2x ＋b ，函数值y 随x 的增大而减小(填“增大”或“减小”)．
大致 图象
经过象限 一、二、三 一、三、四 一、三 一、二、四 二、三、四 二、四 图象性质
y 随x 的增大而增大 y 随x 的增大而减小 3
.一次函数与
坐标轴交点坐标
(1)交点坐标：求一次函数与x 轴的交点，只需令y=0,解出x 即可；求与y 轴的交点，只需令x=0,求出y 即可.故一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)的图象与x 轴的交点是⎝⎛⎭⎫－b k ，0，与y 轴的交点是(0，b )；
(2)正比例函数y ＝kx (k ≠0)的图象恒过点(0，0)．
例：
一次函数y ＝x ＋2与x 轴交点的坐标是（-2,0），与y 轴交点的坐标是（0,2）. 知识点二 ：确定一次函数的表达式
4
.确定一次函数表达式
的条件
（1）常用方法：待定系数法，其一般步骤为： ①设：设函数表达式为y ＝kx ＋b (k ≠0)； ②代：将已知点的坐标代入函数表达式，解方程或方程组； ③解：求出k 与b 的值，得到函数表达式． （2）常见类型：
①已知两点确定表达式；②已知两对函数对应值确定表达式； ③平移转化型：如已知函数是由y=2x 平移所得到的，且经过点（0,1），则可设要求函数的解析式为y=2x+b,再把点（0,1）的坐标代入即可.
(1)确定一次函数的表达式需要
两组条件，而确定正比例函数的表达式，只需一组条件即可. (2)只要给出一次函数与y 轴交点
坐标即可得出b 的值,b 值为其纵坐标，可快速解题. 如:已知一次函数经过点（0,2），则可知b=2. 5.一次函数图
象的平移 规律：①一次函数图象平移前后k 不变，或两条直线可以通过平移得到，则可知它们的k 值相同.
②若向上平移h 单位，则b 值增大h ；若向下平移h 单位，则b 值减小h. 例：将一次函数y=-2x+4的图象
向下平移2个单位长度，所得图象的函数关系式为y=-2x+2．
知识点三 ：一次函数与方程（组）、不等式的关系
6.一次函数与方
程
一元一次方程kx+b=0的根就是一次函数y=kx+b （k 、b 是常数，k ≠0）的图象与x 轴交点的横坐标.
例：
（1）已知关于x 的方程ax+b=0的解为x=1,则函数y=ax+b 与x 轴的交点坐标为（1,0）. （2）一次函数y=-3x+12中，当x
＞4时，y 的值为负数．
7.一次函数与方
程组
二元一次方程组 的解⇔两个一次函数y=k 1x+b 和y=k 2x+b 图象的交点
坐标. 8.
一次函数与不等式 （1）函数y=kx+b 的函数值y ＞0时，自变量x 的取值范围就是不等式kx+b ＞0的
解集
（2）函数y=kx+b 的函数值y ＜0时，自变量x 的取值范围就是不等式kx+b ＜0的解集
知识点四 ：一次函数的实际应用
9.
一般步骤 （1）设出实际问题中的变量；
（2）建立一次函数关系式； （3）利用待定系数法求出一次函数关系式； （4）确定自变量的取值范围； （5）利用一次函数的性质求相应的值，对所求的值进行检验，是否符合实际意义； （6）做答.
一次函数本身并没有最值，但在实际问题中，自变量的取值往往有一定的限制，其图象为射线或线段.涉及最值问题的一般思路：确定函数表达式→确定函数增减性→根据自变量的取值范围确定最值.
10.常见题型
（1）求一次函数的解析式.
（2）利用一次函数的性质解决方案问题.
第11讲 反比例函数的图象和
性质
知识点一：反比例函数的概念及其图象、性质
关键点拨与对应举例
y=k 2x+b
y=k 1x+b
1.反比例函
数的概念（1）定义：形如y＝
k
x
(k≠0)的函数称为反比例函数，k叫做比例系数，自变量
的取值范围是非零的一切实数．
（2）形式：反比例函数有以下三种基本形式：
①y＝
k
x
；②y=kx-1; ③xy=k.(其中k为常数，且k≠0)
例：函数y=3x m+1，当m=－2时，则该函
数是反比例函数．
2.反比例函数的图象和性质k的符号图象经过象限y随x变化的情况（1）判断点是否在反比例函数图象上
的方法：①把点的横、纵坐标代入看是
否满足其解析式；②把点的横、纵坐标
相乘，判断其乘积是否等于k.
失分点警示
（2）反比例函数值大小的比较时，首
先要判断自变量的取值是否同号，即是
否在同一个象限内，若不在则不能运用
性质进行比较，可以画出草图，直观地
判断.
k>0 图象经过第
一、三象限
（x、y同号）
每个象限内，函数y的值
随x的增大而减小.
k<0 图象经过第
二、四象限
（x、y异号）
每个象限内，函数y的值
随x的增大而增大.
3.反比例函
数的图象
特征（1）由两条曲线组成，叫做双曲线；
（2）图象的两个分支都无限接近x轴和y轴，但都不会与x轴和y轴相交；
（3）图象是中心对称图形，原点为对称中心；也是轴对称图形，2条对称轴分
别是平面直角坐标系一、三象限和二、四象限的角平分线．
例：若(a，b)在反比例函数
k
y
x
=的图
象上，则(－a，－b)在该函数图象
上.(填“在"、"不在")
4.待定系数
法只需要知道双曲线上任意一点坐标，设函数解析式，代入求出反比例函数系数
k即可.
例：已知反比例函数图象过点（－3，
－1），则它的解析式是y=3/x.
知识点二：反比例系数的几何意义及与一次函数的综合
5.系数k的
几何意义（1）意义：从反比例函数y＝
k
x
(k≠0)图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，
垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|,以该点、一个垂足和原点为顶点的三
角形的面积为1/2|k|.
（2）常见的面积类型：
失分点警示
已知相关面积，求反比例函数的表达
式，注意若函数图象在第二、四象限，
则k＜0.
例：已知反比例函数图象上任一点作坐
标轴的垂线所围成矩形为3，则该反比
例函数解析式为：
3
y
x
=或
3
y
x
=-.
6.与一次函
数的综合（1）确定交点坐标：【方法一】已知一个交点坐标为（a,b），则根据中心对称
性，可得另一个交点坐标为（-a,-b）.【方法二】联立两个函数解析式，利
用方程思想求解.
（2）确定函数解析式：利用待定系数法，先确定交点坐标，再分别代入两个函
数解析式中求解
（3）在同一坐标系中判断函数图象：充分利用函数图象与各字母系数的关系，
可采用假设法，分k＞0和k＜0两种情况讨论，看哪个选项符合要求即可.
也可逐一选项判断、排除.
（4）比较函数值的大小：主要通过观察图象，图象在上方的值大，图象在下方
的值小，结合交点坐标，确定出解集的范围.
涉及与面积有关的问题时，①要善于把
点的横、纵坐标转化为图形的边长，对
于不好直接求的面积往往可分割转化
为较好求的三
角形面积；②也
要注意系数k的
几何意义.
例：如图所示，
三个阴影部分的面积按从小到大的顺
序排列为：S△AOC=S△OPE＞S△BOD.
知识点三：反比例函数的实际应用
7.一般步
骤（1题意找出自变量与因变量之间的乘积关系；
（2设出函数表达式；
（3）依题意求解函数表达式；
（4）根据反比例函数的表达式或性质解决相关问题.
第12讲二次函数的图象与性质
知识点一：二次函数的概念及解析式关键点拨与对应举例
13讲二次函数的应用
第
第四单元图形的初步认识与三角形
第14讲平面图形与相交线、平行线
第15讲一般三角形及其性质
5. 三角形中内、外角与角平分线
的规律总结
如图①，AD 平分∠BAC ，AE ⊥BC ，则∠α=12∠BAC-∠CAE=1
2
(180°-∠B-∠C ）-（90°-∠C ）=
1
2
(∠C-∠B ）； 如图②，BO 、CO 分别是∠ABC 、∠ACB 的平分线，则有∠O=
1
2∠A+90°；
如图③，BO 、CO 分别为∠ABC 、∠ACD 、∠OCD 的平分线，则∠O=12∠A ，∠O ’=1
2
∠O ；
如图④，BO 、CO 分别为∠CBD 、∠BCE 的平分线，则∠O=90°-
1
2
∠A.
对于解答选择、填空题，可以直接通过结论解题，会起到事半功倍的效果.
知识点二 ：三角形全等的性质与判定
6.全等三角形的性质
(1)全等三角形的对应边、对应角相等．
(2)全等三角形的对应角平分线、对应中线、对应高相等．
(3)全等三角形的周长等、面积等． 失分点警示：运用全等三角形的性质时，要注意找准对应边与对应角.
7.三角形
全等的判定
一般三角形全等
SSS （三边对应相等）
SAS （两边和它们的夹角对应相等）
ASA （两角和它们的夹角对应相等）
AAS （两角和其中一个角的对边对应相等）
失分点警示
如图，SSA 和AAA 不能判定两个三角形全等.
直角三角形全等
(1)斜边和一条直角边对应相等（HL ）
(2)证明两个直角三角形全等同样可以用 SAS,ASA 和AAS.
8.全等三
角形的运用
（1）利用全等证明角、边相等或求线段长、求角度：将特征的边或角放到
两个全等的三角形中，通过证明全等得到结论.在寻求全等的条件时，注意公共角、公共边、对顶角等银行条件. （2）全等三角形中的辅助线的作法：
①直接连接法：如图①，连接公共边，构造全等.
②倍长中线法：用于证明线段的不等关系，如图②，由SAS 可得△ACD ≌△EBD ，则AC=BE.在△ABE 中，AB+BE ＞AE ，即AB+AC ＞2AD. ③截长补短法：适合证明线段的和差关系，如图③、④.
例：
如图，在△ABC 中，已知∠1=∠2，BE=CD ，AB=5，AE=2，则CE=3.
第16讲 等腰、等边及直角三角形
知识点一：等腰和等边三角形
关键点拨与对应举例
1.等腰
三角形
（1）性质
①等边对等角：两腰相等，底角相等，即AB ＝AC ∠B ＝∠C ； ②三线合一：顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高
互相重合;
③对称性：等腰三角形是轴对称图形，直线AD 是对称轴. （2）判定
①定义：有两边相等的三角形是等腰三角形；
②等角对等边：即若∠B ＝∠C ，则△ABC 是等腰三角形.
（1）三角形中“垂线、角平分线、中线、等腰”四个条件中，只要满足其中两个，其余均成立. 如：如左图，已知AD ⊥BC,D 为BC 的中点，则三角形的形状是等腰三角形.
失分点警示：当等腰三角形的腰和底不明确时，需分类讨论. 如若等腰三角形ABC 的一个内角为30°，则另外两个角的度数为30°、120°或75°、75°.
2.等边
三角形 （1）性质
①边角关系：三边相等，三角都相等且都等于60°. 即AB ＝BC ＝AC ，∠BAC ＝∠B ＝∠C ＝60°； ②对称性：等边三角形是轴对称图形，三条高线(或角平分线或中线)所在的直线是对称轴. （2）判定
①定义：三边都相等的三角形是等边三角形；
②三个角都相等（均为60°）的三角形是等边三角形；
③任一内角为60°的等腰三角形是等边三角形.即若AB ＝AC ，且∠B ＝60°，则△ABC 是等边三角形. （1）等边三角形是特殊的等腰三角形，所以等边三角形也满足“三线合一”的性质.
（2）等边三角形有一个特殊的角
60°，所以当等边三角形出现高时，会结合直角三角形30°角的性质，即BD=1/2AB.
例：△ABC 中，∠B=60°，AB=AC ，BC=3，则△ABC 的周长为9.
知识点二 ：角平分线和垂直平分线
3.角平分线 （1）性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等．即若
∠1 ＝∠2，PA ⊥OA ，PB ⊥OB ，则PA ＝PB. （2）判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的角平
分线上．
例：如图，△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，AB 的垂直平分线交AC 于D ，交AB 于E ，CD=2，则AC=6.
4.垂直平分线图形 （1）性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段的两端点距离相等．即若OP 垂直且平分AB ，则PA ＝PB.
（2）判定：到一条线段两端点距离相等的点在这条线段的垂
直平分线上． 知识点三：直角三角形的判定与性质
5.直角三角形的性质
(1)两锐角互余.即∠A ＋∠B ＝90°； (2) 30°角所对的直角边等于斜边的一半.即若∠B ＝30°则AC ＝1
2
AB ；
(3)斜边上的中线长等于斜边长的一半．即若CD 是中线，则CD ＝12
AB. (4)勾股定理：两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方．即 a 2＋b 2＝c 2 .
（1）直角三角形的面积S=1/2ch=1/2ab(其中a,b 为直角边，c 为斜边，h 是斜边上的高)，可以利用这一公式借助面积这个中间量解决与高相关的求长度问题.
（2）已知两边，利用勾股定理求长度，若斜边不明确，应分类讨论.
（3）在折叠问题中，求长度，往往需要结合勾股定理来列方程解决.
6.直角三角形的判定 (1) 有一个角是直角的三角形是直角三角形.即若∠C ＝90°，则△ABC 是Rt △； (2) 如果三角形一条边的中线等于这条边的一半，那么这个三角
形是直角三角形．即若AD ＝BD ＝CD ，则△ABC 是Rt △
(3) 勾股定理的逆定理：若a 2＋b 2＝c 2
，则△ABC 是Rt △.
第17讲 相似三角形
十六、 知识清单梳理
知识点一：比例线段
关键点拨与对应举例
2
1P C
O
B
A
P
C O
B
A
D A
B
C
a b
c D
A
B
C
a b
c
1. 比例
线段 在四条线段a ，b ，c ，d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即
a c
b d
=，那么这四条线段a ，b ，c ，d 叫做成比例线段，简称比例线段．
列比例等式时，注意四条线段的大小
顺序，防止出现比例混乱.
2.比例
的基本性质
(1)基本性质：a c
b d
=⇔ ad ＝bc ；（b 、d ≠0）
(2)合比性质：a c b d =⇔
a b b ±＝c d
d ±；（b 、d ≠0） (3)等比性质：
a c
b d =＝…＝m
n
＝k (b ＋d ＋…＋n ≠0)⇔ ......a c m
b d n
++++++＝k .（b 、d 、···、n ≠0）
已知比例式的值，求相关字母代数式的值，常用引入参数法，将所有的量都统一用含同一个参数的式子表示，再求代数式的值，也可以用给出的字母中 的一个表示出其他的字母，再代入求解.如下题可设a=3k,b=5k ,再代入所求式子，也可以把原式变形得a=3/5b 代入求解. 例：若
35a b =，则a b b
+=85.
3.平行
线分线
段成比例定理
（1）两条直线被一组平行线所截，所得的对应线 段
成比例.即如图所示，若l 3∥l 4∥l 5，则AB DE
BC EF
=
. 利用平行线所截线段成比例求线段长或线段比时，注意根据图形列出比例等式，灵活运用比例基本性质求解. 例：如图，已知D ，E 分别是△ABC 的边BC 和AC 上的点，AE=2，CE=3，要
使DE ∥AB ，那么BC ：CD 应等于5
3
.
（2）平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长 线)，所得的对应线段成比例.
即如图所示，若AB ∥CD ，则OA OB
OD OC =
. （3）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似．
如图所示，若DE ∥BC ，则△ADE ∽△ABC.
4.黄金分割
点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果AC
AB
＝=
5－1
2≈0.618，那么线段AB 被点C 黄金分割．其中点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比．
例：把长为10cm 的线段进行黄金分割，那么较长线段长为5(5－1)cm ．
知识点二 ：相似三角形的性质与判定
5.相似
三角形的判定
(1) 两角对应相等的两个三角形相似(AAA).
如图，若∠A ＝∠D ，∠B ＝∠E ，则△ABC ∽△DEF.
判定三角形相似的思路：①条件中若有平行 线，可用平行线找出相等的角而判定；②条 件中若有一对等角，可再找一对等角或再找 夹这对等角的两组边对应成比例；③条件中 若有两边对应成比例可找夹角相等；④条件 中若有一对直角，可考虑再找一对等角或证 明直角边和斜边对应成比例；⑤条件中若有 等腰关系，可找顶角相等或找一对底角相等 或找底、腰对应成比例.
(2) 两边对应成比例，且夹角相等的两个三
角形相似． 如图，若∠A ＝∠D ，AC AB
DF DE
=
，则△ABC ∽△DEF.
(3) 三边对应成比例的两个三角形相似．如
图，若AB AC BC
DE DF EF
==
，则△ABC ∽△DEF. 6.相似
三角形的性质
(1)对应角相等，对应边成比例．
(2)周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方． (3)相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比等于相似比．
例：(1)已知△ABC∽△DEF，△ABC 的周长为3，△DEF 的周长为2，则△ABC 与△DEF 的面积之比为9：4.
(2) 如图，DE ∥BC ， AF ⊥BC,已知S △ADE:S △ABC=1:4，则AF:AG =1：2.
F E D C
B
A l 5
l 4
l 3l 2
l 1O
D
C
B
A
E
D C
B
A
F
E D
C B
A
F
E D
C B A
F
E D
C B A
7.相似三角形的基本模型
（1）熟悉利用利用相似求解问题的基本图
形，可以迅速找到解题思路，事半功倍.
（2）证明等积式或者比例式的一般方法：经
常把等积式化为比例式，把比例式的四条
线段分别看做两个三角形的对应边.然
后，通过证明这两个三角形相似，从而得
出结果.
第18讲解直角
三角形
知识点一：锐角三角函数的定义关键点拨与对应举例
1.锐角三角函数正弦: sin A＝
∠A的对边
斜边
＝
a
c
余弦: cos A＝
∠A的邻边
斜边
＝
b
c
正切: tan A＝
∠A的对边
∠A的邻边
＝
a
b
.
根据定义求三角函数值时，一定根据
题目图形来理解，严格按照三角函数
的定义求解，有时需要通过辅助线来
构造直角三角形.
2.特殊角的三角函数值
度数
三角函数30°45°60°sinA
1
2
2
2
3
2 cosA
3
2
2
2
1
2 tanA
3
3
1 3
知识点二：解直角三角形
3.解直角
三角形
的概念在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个
锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的
过程叫做解直角三角形．
科学选择解直角三角形的方法口诀：
已知斜边求直边，正弦、余弦很方便；
已知直边求直边，理所当然用正切；
已知两边求一边，勾股定理最方便；
已知两边求一角，函数关系要记牢；
已知锐角求锐角，互余关系不能少；
已知直边求斜边，用除还需正余弦.
例：在Rt△ABC中，已知
a=5,sinA=30°，则c=10,b=5.
4.解直角三角形的常用关系(1)三边之间的关系：a2＋b2＝c2；
(2)锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°；
(3)边角之间的关系：sin A＝=cosB=
a
c
，cos A＝sinB=
b
c
，tan A＝
a
b
.
知识点三：解直角三角形的应用
5.仰角、俯
角、坡
度、坡角
和方向(1)仰、俯角：视线在水平线上方的角叫做仰角.视线在水平线下
方的角叫做俯角．（如图①）
(2)坡度：坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度(或者叫做坡
比)，用字母i表示．坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，
用α表示，则有i＝tanα. （如图②）
解直角三角形中“双直角三角形”的
基本模型：
（1）叠合式（2）背靠式
角
(3)方向角：平面上，通过观察点Ο作一条水平线(向右为东向)和一条铅垂线(向上为北向)，则从点O 出发的视线与水平线或铅垂线所夹的角，叫做观测的方向角．（如图③）
解题方法：这两种模型种都有一条公共的直角边，解题时，往往通过这条边为中介在两个三角形中依次求边，或通过公共边相等，列方程求解.
6.解直角
三角形实际应用的一般步骤 (1)弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型； (2)将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题；
(3)选择合适的边角关系式，使运算简便、准确；
(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解．
第五单元 四边形
第19讲 多边形与平行四边形
知识点一：多边形
关键点拨与对应举例 1.多边形的相关概念 （1）定义：在平面内，由一些段线首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形．
（2）对角线：从n 边形的一个顶点可以引(n －3)条对角线，并且这些对角线
把多边形分成了(n －2)个三角形；n 边形对角线条数为()32n n -． 多边形中求度数时，灵活选择公式求度数，解决多边形内角和问题时，多数列方程求解. 例：
(1)若一个多边形的内角和为1440°，则这个多边形的边数为10．
(2)从多边形的一个顶点出发引对角线，可以把这个多边形分割成7个三角形，则该多边形为九边形．
2.多边形的内角和、外角和 ( 1 ) 内角和：n 边形内角和公式为(n －2)·180°
（2）外角和：任意多边形的外角和为360°.
3.正多边形
（1）定义：各边相等，各角也相等的多边形.
（2）正n 边形的每个内角为
()2180
n n -⋅，每一个外角为360°/n.
( 3 ) 正n 边形有n 条对称轴.
（4）对于正n 边形，当n 为奇数时，是轴对称图形；当n 为偶数时，既是轴对称图形，又是中心对称图形.
知识点二 ：平行四边形的性质
4.平行四边形的定义 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，平行四边形用“□”表示.
利用平行四边形的性
质解题时的一些常用到的结论和方法： （1）平行四边形相邻两边之和等于周长的一半. （2）平行四边形中有相等的边、角和平行关系，所以经常需结合三角形全等来解题. （3）过平行四边形对
5.平行四边形
的性质
（1） 边：两组对边分别平行且相等.
即AB ∥CD 且AB ＝CD ，BC ∥AD 且AD ＝BC.
（2）角：对角相等，邻角互补.
即∠BAD ＝∠BCD ，∠ABC ＝∠ADC ， ∠ABC ＋∠BCD ＝180°，∠BAD ＋∠ADC ＝180°.
（3）对角线：互相平分.即OA ＝OC ，OB ＝OD
（4）对称性：中心对称但不是轴对称.
O
D
C
B
A。