第2章整式加减-代数式的规律探究课件沪科版数学七年级上册
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可以把每个图形分成几部分，看每一部分的变化规律，最后综合得到总的规律。
例题精讲 图形、表格、数阵的规律
例.如图每个表格中的四个数都是按相同的规律填写的,根据此规律确定X的值为2_0_9__.
解析：
观察规律
每个图形中左下角的数比左上角大1
而右上角的数是左下角的2倍
右上角与左下角的乘积加左上角=右下角
第二步观察正、负号，奇数项为负，偶数项为正“前置”(-1)n； 奇数项为正，偶数项为负“前置”(-1)n+1。
第1个数：(-1)1×2×1 第2个数：(-1)2×2×2 第3个数：(-1)3×2×3
....... 第100个数：(-1)100×2×100=200
整式或等式中的规律
例如：已知一组数1，3，6，10，15，…，按此规律，第n个数是多少？
代数式的规律探究
整式或等式中的规律
整式或等式中的规律
1、认识： 这类规律题通常是给出有规律的一列数或式，通过观察分析找出某一项 或第n项的数或式。
（1）纯数字规律题 类型1：等差数列：已知一组数:1，4，7，10，13，…，按此规律,求出第n个数是多少？ 观察：很容易看出相邻两数差相同，第一个数为1，后面每一个数比前一个数增加3;
解： 13 12
∴根据以上规律可得第⑤个等式为:
13 23 1 22 32
13 23 33 43 53 （1 2 3 4 5）2 152
13 23 33 1 2 32 62
第n个等式为：13 23 33 ...... n3 1 2 3 ...... n2
例如，观察下列表格；
n 的个数
1 2 3 4 5
和S
S＝2＝1×2 S＝2＋4＝6＝2×3 S＝2＋4＋6＝12＝3×4 S＝2＋4＋6＋8＝20＝4×5
S＝2＋4＋6＋8＋10＝30＝5×6
通过分析表格中的数据，若n＝8，则S的值为多少？
图形、表格、数阵的规律
n 的个数
1 2 3 4 5
和S
S＝2＝1×2 S＝2＋4＝6＝2×3 S＝2＋4＋6＝12＝3×4 S＝2＋4＋6＋8＝20＝4×5
72-4×32=13， ③
又∵左边第二个数的底数与序号相同，
∴第四个等式：9-4×42=17， ∴两个括号中分别填的数字为4和17.
∴第n个式子中，左边第二个数为：4n2 又∵等号右边为5，9，13，.......，序号的4倍加1 ∴第n个式子中，右边为：4n+1
∴第n个等式为：(2n+1)2-4n2 =4n+1
图序 ① ② ③ ④
顶点数 4 8 6 10
边数 区域数
6
3
12
5
9
4
15
6
解： (1)根据图示分析即可解
例题精讲 图形、表格、数阵的规律
例.如图①～④都是平面图形.
①
②
③
④
(2).根据(1)中的结论，推断出一个平面图形的顶点数、边数、区域数之间有什么关系．
解析： 图序 ① ② ③ ④
顶点数 边数
第一个数：1 第二个数：1+1×3 第三个数：1+2×3 ....... 第n个数：1+(n-1)×3=3n-2
整式或等式中的规律
正、负交替：已知一组数-2，4，-6，8，-10，…，按此规律，则第100个数是多少？ 观察：第一步先舍弃正、负号，寻找数字规律;
第二步观察正、负号，奇数项为负，偶数项为正“前置”(-1)n； 奇数项为正，偶数项为负“前置”(-1)n+1。
由此规律知，第⑤个等式是______;第n个等式是______.
分析：
观察规律
左边分别为13 ，13 +23 ，13 +23 +33 ，13 +23 +33 +43 ，…
第n个等式的左边=13 +23 +33+......+n3
右边分别为12，(1+2)2，(1+2+3)2，(1+2+3+4)2，… 第n个等式的右边=(1+2+3+......+n)2
根据上述规律解决下列问题：（1）完成第四个等式：92-4×_4___2=_1_7__；
（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示）。
解： （1）观察规律
（2）观察规律
∵32-4×12=5， ①
∵左边第一个数的底数3，5，7，.......序号的2倍加1
52-4×22=9， ②
∴第n个式子中，左边第一个数为：2n 12
第1个数：(-1)1×2×1 第2个数：(-1)2×2×2 第3个数：(-1)3×2×3
....... 第100个数：(-1)100×2×100=200
整式或等式中的规律
正、负交替：已知一组数-2，4，-6，8，-10，…，按此规律，则第100个数是多少？ 观察：第一步先舍弃正、负号，寻找数字规律;
从而推出第n个图案中白色地砖的块数
例题精讲 图形、表格、数阵的规律
例.将黑、白两种颜色的正六边形地砖按如图所示的方式拼成若干个图案，
第n个图案中有白色地砖__4_n_+_2__块. 解：观察图形得：
∵每个图案都比其前一个图案多4块 白色地砖，
∴ 第1个图案白色地砖的块数=6；
…… 观察各式可以看出，乘号后的数等于序号减去1， 则第n个图形白色地砖的数量为:6+4(n-1)=4n+2
（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示）。
分析：
观察规律
每个等式左边第一个数的底数等于序号的2倍加1
左边第二个数的底数与序号相同
右边每个数等于序号的4倍加1，其他部分不变
第n个等式的左边=2n 124n2
第n个等式的右边= 4n+1
例题精讲 整式或等式中的规律
例.观察下列关于自然数的等式：32-4×12=5①，52-4×22=9②，72-4×32=13③，…
整式或等式中的规律 （2）解决此类问题的一般步骤：
①通过观察、分析题目给我们的一列有规律的数或式 ②分别寻找变化的量和不变的量，研究变化规律 ③归纳得出一般性的结论，并用字母表示第n项 ④用所给的数据检验结论的正确性
整式或等式中的规律 例.观察下列各式：-2x，4x2，-8x3，16x4，-32x5，…则第n个式子是__(_-2_)_n_xn__
13 23 33
43
(1 2 3 4)2
102
由高斯定理可得：13
23 33 ...... n3
1 n n 2
2
例题精讲 整式或等式中的规律
例.观察下列关于自然数的等式：32-4×12=5①，52-4×22=9②，72-4×32=13③，… 根据上述规律解决下列问题：（1）完成第四个等式：92-4×____2=____；
图形、表格、数阵的规律
通过观察图形的变化规律，让我们求出第n个图案中的正六边形的个数是多少？ 观察：第一个图，有4个正六边形，后面每一个图都比前一个图形多三个小正六边形。
第一个图：4 第二个图：4+1×3 第三个图：4+2×3 第四个图：4+3×3
....... 第n表格、数阵的规律 ②表格中的规律
第2个图案白色地砖的块数=6+4=6+4×1 ；
第3个图案白色地砖的块数=6+4+4=6+4×2 ；
第4个图案白色地砖的块数=6+4+4+4=6+4×3 ；
例题精讲 图形、表格、数阵的规律
例.如图①～④都是平面图形.
①
②
③
④
(1)每个图中各有多少个顶点？多少条边？这些边围出多少个区域？请将结果填入表格中．
……
（1）表中第8行的最后一个数是__6_4__ ，它是自然数__8___ 的平方，第8行共有__1_5__ 个数；
分析：
则S= n ......+3 21 n （n 1） (n 2) ......3 2 1 ②，
①+②得；
一共有n个 n 1
2S (n 1) (n 1) (n 1) ...... (n 1) (n 1) (n 1)
高斯定理
∴2S=n(n+1)
∴S= nn 1
2
即1+2+3+......+n =
2
整式或等式中的规律 （2）含有字母的规律题
例如：观察下面的一列单项式：-x、2x2、-4x3、8x4、-16x5、…根据其中的规律，得出的 第100个单项式是多少？
观察：如果只看数字部分不考虑正负号，首项为1，后面每一项都是前一项的2倍; 只观察正负号，奇数项为负，偶数项为正。除去系数，剩余部分为 x、x2、x3、… 第一项：(-1)1× x 第二项：(-1)2×21x2 第三项：(-1)3×22x3 ....... 第100项：(-1)100×299x100 = 299x100
1 n n
2
我们习惯记成： 首项 末项项数
2
整式或等式中的规律
练一练：求1+3+5+……+99=___2_5_0_0__.
解： 根 首项 末项项数
2 据 ∵首项=1，末项=99
又∵从1至100一共100项 ∴1、3、5、…、99所有奇数项加在一起共50项 ∴项数=50
∴1+3+5+…+99= 1 9950 2500
由于右上角为20 b=20÷2=10,a=10-1=9 X=20b+a=200+9=209
例题精讲 图形、表格、数阵的规律
例.将黑、白两种颜色的正六边形地砖按如图所示的方式拼成若干个图案，
第n个图案中白色地砖的块数为____. 分析：
观察规律
第一个图案有6块白色地砖
第二个图案比第一个图案多4 块
第三个图案比第二个图案多4 块
S＝2＋4＋6＋8＋10＝30＝5×6
通过分析表格中的数据，若n＝8，则S= 2＋4＋6＋......+16＝72＝8×9
图形、表格、数阵的规律 （2）解决此类问题的一般步骤：
①通过观察、分析题目给我们的图形或者表格 ②若是图形问题，通常先把图形问题转化成数字问题，再利用数字规律解决。 ③若是表格问题，先观察、分析表格中的数据，转化成数字规律，从而解决问题。 ④发现后一个图形是在前一个图形的基础上如何变化的，有些题图形规律稍微复杂点，
4
6
8
12
6
9
10
15
区域数 3 5 4 6
观察表格；
由(1)中的结论得：设顶点数为n
则边数=n+ n = 3n ；
22
区域数=
n 2
+1.
关系是：顶点数+区域数－边数=1.
例题精讲 图形、表格、数阵的规律
例.如图①～④都是平面图形.
①
②
③
④
(3)如果一个平面图形有20个顶点和11个区域，那么利用(2)中得出的关系可知这个平面图
整式或等式中的规律
例.已知下列等式：①13 =12 ；②13 +23 =32 ；③13 +23 +33 =62 ；④13 +23 +33 +43 =102 ；…
由此规律知，第⑤个等式是 1_3___2_3 __3_3___4_3___5_3__1_5_2 ;
第n个等式是_1_3___2_3___3_3___._.._.._.__n__3 _____1__2_n_ _n__2
解析：
观察系数
-2, 4, -8, 16, -32，…
奇数项为负，偶数项为正 去除符号，数字分别是2的乘方
观察字母及指数 x，x2，x3，x4，x5，… 第n个式子字母及指数是xn
正负交替 乘方关系
第n个式子数字部分是(-2)n 综上，所求第n个式子是：(-2)nxn
整式或等式中的规律 例.已知下列等式：①13 =12 ；②13 +23 =32 ；③13 +23 +33 =62 ；④13 +23 +33 +43 =102 ；…
图形、表格、数阵的规律
图形、表格、数阵的规律 （1）认识：这类规律题，一般是给出一列有规律的图形，或者列出一个表格，表格数据有一
定规律，通过观察分析图形的个数或者表格的数据，用代数式表示图形的变化规 律或者表格中数据的排列顺序。 ①图形中的规律 例. 如图所示；
通过观察图形的变化规律，求出第n个图案中的正六边形的个数是多少？
形有__3_0__条边
分析： 利用(2)的结果求解
解： 由(2)中的结论得： 顶点数+区域数－边数=1. 边数=顶点数+区域数－1=30(条)
例题精讲 图形、表格、数阵的规律
例.如下表是由从1开始的正整数组成，观察规律并完成下列各题.
第1行 第2行 第3行 第4行 第5行
1 234 56789 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
观察：根据数的规律发现，相邻两数分别相差2、3、4.......连续的自然数；
第一项：1
第二项：1+2
第三项：1+2+3
.......
第n项：1+2+3+4+ .......+n
1+2+3+4+ .......+n=?
整式或等式中的规律 如何求1+2+3+4+ .......+n的结果？
设S= 123......n 1 2 3 ......(n 2) （n 1） n ①
例题精讲 图形、表格、数阵的规律
例.如图每个表格中的四个数都是按相同的规律填写的,根据此规律确定X的值为2_0_9__.
解析：
观察规律
每个图形中左下角的数比左上角大1
而右上角的数是左下角的2倍
右上角与左下角的乘积加左上角=右下角
第二步观察正、负号，奇数项为负，偶数项为正“前置”(-1)n； 奇数项为正，偶数项为负“前置”(-1)n+1。
第1个数：(-1)1×2×1 第2个数：(-1)2×2×2 第3个数：(-1)3×2×3
....... 第100个数：(-1)100×2×100=200
整式或等式中的规律
例如：已知一组数1，3，6，10，15，…，按此规律，第n个数是多少？
代数式的规律探究
整式或等式中的规律
整式或等式中的规律
1、认识： 这类规律题通常是给出有规律的一列数或式，通过观察分析找出某一项 或第n项的数或式。
（1）纯数字规律题 类型1：等差数列：已知一组数:1，4，7，10，13，…，按此规律,求出第n个数是多少？ 观察：很容易看出相邻两数差相同，第一个数为1，后面每一个数比前一个数增加3;
解： 13 12
∴根据以上规律可得第⑤个等式为:
13 23 1 22 32
13 23 33 43 53 （1 2 3 4 5）2 152
13 23 33 1 2 32 62
第n个等式为：13 23 33 ...... n3 1 2 3 ...... n2
例如，观察下列表格；
n 的个数
1 2 3 4 5
和S
S＝2＝1×2 S＝2＋4＝6＝2×3 S＝2＋4＋6＝12＝3×4 S＝2＋4＋6＋8＝20＝4×5
S＝2＋4＋6＋8＋10＝30＝5×6
通过分析表格中的数据，若n＝8，则S的值为多少？
图形、表格、数阵的规律
n 的个数
1 2 3 4 5
和S
S＝2＝1×2 S＝2＋4＝6＝2×3 S＝2＋4＋6＝12＝3×4 S＝2＋4＋6＋8＝20＝4×5
72-4×32=13， ③
又∵左边第二个数的底数与序号相同，
∴第四个等式：9-4×42=17， ∴两个括号中分别填的数字为4和17.
∴第n个式子中，左边第二个数为：4n2 又∵等号右边为5，9，13，.......，序号的4倍加1 ∴第n个式子中，右边为：4n+1
∴第n个等式为：(2n+1)2-4n2 =4n+1
图序 ① ② ③ ④
顶点数 4 8 6 10
边数 区域数
6
3
12
5
9
4
15
6
解： (1)根据图示分析即可解
例题精讲 图形、表格、数阵的规律
例.如图①～④都是平面图形.
①
②
③
④
(2).根据(1)中的结论，推断出一个平面图形的顶点数、边数、区域数之间有什么关系．
解析： 图序 ① ② ③ ④
顶点数 边数
第一个数：1 第二个数：1+1×3 第三个数：1+2×3 ....... 第n个数：1+(n-1)×3=3n-2
整式或等式中的规律
正、负交替：已知一组数-2，4，-6，8，-10，…，按此规律，则第100个数是多少？ 观察：第一步先舍弃正、负号，寻找数字规律;
第二步观察正、负号，奇数项为负，偶数项为正“前置”(-1)n； 奇数项为正，偶数项为负“前置”(-1)n+1。
由此规律知，第⑤个等式是______;第n个等式是______.
分析：
观察规律
左边分别为13 ，13 +23 ，13 +23 +33 ，13 +23 +33 +43 ，…
第n个等式的左边=13 +23 +33+......+n3
右边分别为12，(1+2)2，(1+2+3)2，(1+2+3+4)2，… 第n个等式的右边=(1+2+3+......+n)2
根据上述规律解决下列问题：（1）完成第四个等式：92-4×_4___2=_1_7__；
（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示）。
解： （1）观察规律
（2）观察规律
∵32-4×12=5， ①
∵左边第一个数的底数3，5，7，.......序号的2倍加1
52-4×22=9， ②
∴第n个式子中，左边第一个数为：2n 12
第1个数：(-1)1×2×1 第2个数：(-1)2×2×2 第3个数：(-1)3×2×3
....... 第100个数：(-1)100×2×100=200
整式或等式中的规律
正、负交替：已知一组数-2，4，-6，8，-10，…，按此规律，则第100个数是多少？ 观察：第一步先舍弃正、负号，寻找数字规律;
从而推出第n个图案中白色地砖的块数
例题精讲 图形、表格、数阵的规律
例.将黑、白两种颜色的正六边形地砖按如图所示的方式拼成若干个图案，
第n个图案中有白色地砖__4_n_+_2__块. 解：观察图形得：
∵每个图案都比其前一个图案多4块 白色地砖，
∴ 第1个图案白色地砖的块数=6；
…… 观察各式可以看出，乘号后的数等于序号减去1， 则第n个图形白色地砖的数量为:6+4(n-1)=4n+2
（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示）。
分析：
观察规律
每个等式左边第一个数的底数等于序号的2倍加1
左边第二个数的底数与序号相同
右边每个数等于序号的4倍加1，其他部分不变
第n个等式的左边=2n 124n2
第n个等式的右边= 4n+1
例题精讲 整式或等式中的规律
例.观察下列关于自然数的等式：32-4×12=5①，52-4×22=9②，72-4×32=13③，…
整式或等式中的规律 （2）解决此类问题的一般步骤：
①通过观察、分析题目给我们的一列有规律的数或式 ②分别寻找变化的量和不变的量，研究变化规律 ③归纳得出一般性的结论，并用字母表示第n项 ④用所给的数据检验结论的正确性
整式或等式中的规律 例.观察下列各式：-2x，4x2，-8x3，16x4，-32x5，…则第n个式子是__(_-2_)_n_xn__
13 23 33
43
(1 2 3 4)2
102
由高斯定理可得：13
23 33 ...... n3
1 n n 2
2
例题精讲 整式或等式中的规律
例.观察下列关于自然数的等式：32-4×12=5①，52-4×22=9②，72-4×32=13③，… 根据上述规律解决下列问题：（1）完成第四个等式：92-4×____2=____；
图形、表格、数阵的规律
通过观察图形的变化规律，让我们求出第n个图案中的正六边形的个数是多少？ 观察：第一个图，有4个正六边形，后面每一个图都比前一个图形多三个小正六边形。
第一个图：4 第二个图：4+1×3 第三个图：4+2×3 第四个图：4+3×3
....... 第n表格、数阵的规律 ②表格中的规律
第2个图案白色地砖的块数=6+4=6+4×1 ；
第3个图案白色地砖的块数=6+4+4=6+4×2 ；
第4个图案白色地砖的块数=6+4+4+4=6+4×3 ；
例题精讲 图形、表格、数阵的规律
例.如图①～④都是平面图形.
①
②
③
④
(1)每个图中各有多少个顶点？多少条边？这些边围出多少个区域？请将结果填入表格中．
……
（1）表中第8行的最后一个数是__6_4__ ，它是自然数__8___ 的平方，第8行共有__1_5__ 个数；
分析：
则S= n ......+3 21 n （n 1） (n 2) ......3 2 1 ②，
①+②得；
一共有n个 n 1
2S (n 1) (n 1) (n 1) ...... (n 1) (n 1) (n 1)
高斯定理
∴2S=n(n+1)
∴S= nn 1
2
即1+2+3+......+n =
2
整式或等式中的规律 （2）含有字母的规律题
例如：观察下面的一列单项式：-x、2x2、-4x3、8x4、-16x5、…根据其中的规律，得出的 第100个单项式是多少？
观察：如果只看数字部分不考虑正负号，首项为1，后面每一项都是前一项的2倍; 只观察正负号，奇数项为负，偶数项为正。除去系数，剩余部分为 x、x2、x3、… 第一项：(-1)1× x 第二项：(-1)2×21x2 第三项：(-1)3×22x3 ....... 第100项：(-1)100×299x100 = 299x100
1 n n
2
我们习惯记成： 首项 末项项数
2
整式或等式中的规律
练一练：求1+3+5+……+99=___2_5_0_0__.
解： 根 首项 末项项数
2 据 ∵首项=1，末项=99
又∵从1至100一共100项 ∴1、3、5、…、99所有奇数项加在一起共50项 ∴项数=50
∴1+3+5+…+99= 1 9950 2500
由于右上角为20 b=20÷2=10,a=10-1=9 X=20b+a=200+9=209
例题精讲 图形、表格、数阵的规律
例.将黑、白两种颜色的正六边形地砖按如图所示的方式拼成若干个图案，
第n个图案中白色地砖的块数为____. 分析：
观察规律
第一个图案有6块白色地砖
第二个图案比第一个图案多4 块
第三个图案比第二个图案多4 块
S＝2＋4＋6＋8＋10＝30＝5×6
通过分析表格中的数据，若n＝8，则S= 2＋4＋6＋......+16＝72＝8×9
图形、表格、数阵的规律 （2）解决此类问题的一般步骤：
①通过观察、分析题目给我们的图形或者表格 ②若是图形问题，通常先把图形问题转化成数字问题，再利用数字规律解决。 ③若是表格问题，先观察、分析表格中的数据，转化成数字规律，从而解决问题。 ④发现后一个图形是在前一个图形的基础上如何变化的，有些题图形规律稍微复杂点，
4
6
8
12
6
9
10
15
区域数 3 5 4 6
观察表格；
由(1)中的结论得：设顶点数为n
则边数=n+ n = 3n ；
22
区域数=
n 2
+1.
关系是：顶点数+区域数－边数=1.
例题精讲 图形、表格、数阵的规律
例.如图①～④都是平面图形.
①
②
③
④
(3)如果一个平面图形有20个顶点和11个区域，那么利用(2)中得出的关系可知这个平面图
整式或等式中的规律
例.已知下列等式：①13 =12 ；②13 +23 =32 ；③13 +23 +33 =62 ；④13 +23 +33 +43 =102 ；…
由此规律知，第⑤个等式是 1_3___2_3 __3_3___4_3___5_3__1_5_2 ;
第n个等式是_1_3___2_3___3_3___._.._.._.__n__3 _____1__2_n_ _n__2
解析：
观察系数
-2, 4, -8, 16, -32，…
奇数项为负，偶数项为正 去除符号，数字分别是2的乘方
观察字母及指数 x，x2，x3，x4，x5，… 第n个式子字母及指数是xn
正负交替 乘方关系
第n个式子数字部分是(-2)n 综上，所求第n个式子是：(-2)nxn
整式或等式中的规律 例.已知下列等式：①13 =12 ；②13 +23 =32 ；③13 +23 +33 =62 ；④13 +23 +33 +43 =102 ；…
图形、表格、数阵的规律
图形、表格、数阵的规律 （1）认识：这类规律题，一般是给出一列有规律的图形，或者列出一个表格，表格数据有一
定规律，通过观察分析图形的个数或者表格的数据，用代数式表示图形的变化规 律或者表格中数据的排列顺序。 ①图形中的规律 例. 如图所示；
通过观察图形的变化规律，求出第n个图案中的正六边形的个数是多少？
形有__3_0__条边
分析： 利用(2)的结果求解
解： 由(2)中的结论得： 顶点数+区域数－边数=1. 边数=顶点数+区域数－1=30(条)
例题精讲 图形、表格、数阵的规律
例.如下表是由从1开始的正整数组成，观察规律并完成下列各题.
第1行 第2行 第3行 第4行 第5行
1 234 56789 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
观察：根据数的规律发现，相邻两数分别相差2、3、4.......连续的自然数；
第一项：1
第二项：1+2
第三项：1+2+3
.......
第n项：1+2+3+4+ .......+n
1+2+3+4+ .......+n=?
整式或等式中的规律 如何求1+2+3+4+ .......+n的结果？
设S= 123......n 1 2 3 ......(n 2) （n 1） n ①