人教A版高中数学必修5：数列求和习题课 课时练习

课时作业14 数列求和习题课
[基础巩固](25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．已知数列{a n }，a 1＝2，a n ＋1－2a n ＝0，b n ＝log 2a n ，则数列{b n }的前10项和等于( ) A ．130 B ．120 C ．55 D ．50
解析：在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1－2a n ＝0，即
a n ＋1
a n
＝2， 所以数列{a n }是以2为首项，2为公比的等比数列． 所以a n ＝2×2
n －1
＝2n
.
所以b n ＝log 22n
＝n .
则数列{b n }的前10项和为1＋2＋…＋10＝55. 答案：C
2．已知a n ＝(－1)n
，数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 9与S 10的值分别是( ) A ．1,1 B ．－1，－1 C ．1,0 D ．－1,0
解析：S 9＝－1＋1－1＋1－1＋1－1＋1－1＝－1，
S 10＝S 9＋a 10＝－1＋1＝0.
答案：D
3．数列{a n }的通项公式是a n ＝1
n ＋n ＋1
，若前n 项和为10，则项数为( )
A ．11
B ．99
C ．120
D ．121 解析：因为a n ＝
1
n ＋n ＋1
＝n ＋1－n ，
所以S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n
＝(2－1)＋(3－2)＋…＋(n ＋1－n ) ＝n ＋1－1，
令n ＋1－1＝10，得n ＝120. 答案：C
4．在等比数列{a n }中，对任意的n ∈N *
，a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n －1，则a 21＋a 22＋…＋a 2
n ＝( )
A.13(4n －1)
B.13(2n
－1) C ．(2n －1)2 D ．4n
－1
解析：令n ＝1，n ＝2，得a 1＝1， a 2＝2， ∴q ＝2，∴a n ＝2
n －1
.
∴{a 2
n }构成首项为1，公比为4的等比数列，∴a 2
1
＋a 22
＋…＋a 2
n ＝1－4n
1－4＝13(4n
－1)．
答案：A
5．已知数列{a n }满足a n ＋1－a n ＝2，a 1＝－5，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 6|＝( ) A ．9 B ．15 C ．18 D ．30
解析：由题意知{a n }是以2为公差的等差数列，又a 1＝－5，所以|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 6|＝|－5|＋|－3|＋|－1|＋1＋3＋5＝5＋3＋1＋1＋3＋5＝18.
答案：C
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．已知函数f (n )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
n 2
，n 为奇数，－n 2
，n 为偶数，
且a n ＝f (n )＋f (n ＋1)，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100
等于________．
解析：由题意，a 1＋a 2＋…＋a 100＝12
－22
－22
＋32
＋32
－42
－42
＋52
＋…＋992
－1002
－1002
＋1012
＝－(1＋2)＋(3＋2)－…－(99＋100)＋(101＋100)＝100.
答案：100
7．若数列{a n }的首项a 1＝2，且a n ＋1＝3a n ＋2(n ∈N *
)；令b n ＝log 3(a n ＋1)，则b 1＋b 2＋b 3
＋…＋b 100＝________.
解析：∵a n ＋1＝3a n ＋2(n ∈N *
)， 所以a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)，a 1＋1＝3，
所以{a n ＋1}是首项为3，公比为3的等比数列，所以a n ＋1＝3n
， 所以b n ＝log 3(a n ＋1)＝log 33n
＝n ，
所以b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 100＝1＋2＋3＋…＋100＝100×(100＋1)
2＝5 050.
答案：5 050
8．1＋11＋111＋...＋11 (1)
＝________.
解析：因为11…1＝1＋10＋102＋…＋10n －1＝19(10n －1)，
所以S n ＝19
(101－1＋102－1＋103－1＋ (10)
－1)
＝19[(101＋102＋ (10)
)－n ] ＝19⎣⎢
⎡⎦⎥⎤
10(1－10n
)－9－n ＝10
n ＋1
－9n －10
81
.
答案：
10n ＋1
－9n －10
81
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．已知数列{a n }的首项a 1＝1，且a n ＋1＝2a n ＋1(n ∈N *
)． (1)证明：数列{a n ＋1}是等比数列，并求数列{a n }的通项公式． (2)设b n ＝
n
a n ＋1
，求数列{b n }的前n 项和S n .
解析：(1)证明：因为a n ＋1＝2a n ＋1(n ∈N *
)， 所以a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，
所以数列{a n ＋1}是等比数列，首项为2，公比为2， 所以a n ＋1＝2n
，解得a n ＝2n
－1. (2)b n ＝
n a n ＋1＝n
2n
， 数列{b n }的前n 项和S n ＝12＋222＋323＋…＋n
2n ，
所以12S n ＝122＋223＋…＋n －12n ＋n
2n ＋1，
相减可得12S n ＝12＋122＋…＋12n －n 2n ＋1
＝121－12n 1－12－n 2n ＋1，
可得S n ＝2－2＋n
2
n .
10．若{a n }的前n 项和为S n ，点(n ，S n )均在函数y ＝32x 2－1
2x 的图象上．
(1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝3a n a n ＋1，T n 是数列{b n }的前n 项和，求使得T n <m
20
对所有n ∈N *
都成立的最小正整
数m .
解析：(1)由题意知，S n ＝32n 2－1
2
n ，
当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n －2，当n ＝1时，a 1＝1，适合上式． 所以a n ＝3n －2. (2)b n ＝
3
a n a n ＋1
＝
3(3n －2)(3n ＋1)＝13n －2－1
3n ＋1
，
T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝1－14＋14
－17
＋…＋
13n －2－13n ＋1＝1－13n ＋1
. 数列{T n }在n ∈N *
上是增函数，所以T n <1，则m
20≥1，m ≥20，
要使T n <m
20
对所有n ∈N *
都成立，最小正整数m 为20.
[能力提升](20分钟，40分)
11．在数列{a n }中，已知a 1＝1，a n ＋1＋(－1)n
a n ＝cos(n ＋1)π，记S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 2 017＝( )
A ．1 007
B ．1 008
C ．－1 007
D ．－1 008
解析：∵a n ＋1＋(－1)n
a n ＝cos(n ＋1)π＝(－1)n ＋1，∴当n ＝2k ，k ∈N *
时，a 2k ＋1＋a 2k ＝－1，
∴S 2 017＝a 1＋(a 2＋a 3)＋…＋(a 2 016＋a 2 017) ＝1＋(－1)×1 008＝－1 007. 答案：C
12．已知S n 为数列{a n }的前n 项和，a n ＝2·3
n －1
(n ∈N *
)，若b n ＝
a n ＋1
S n S n ＋1
，则b 1＋b 2＋…＋b n ＝________.
解析：因为a n ＋1a n ＝2·3n
2·3n －1
＝3，且a 1＝2，所以数列{a n }是以2为首项，3为公比的等比数
列，
所以S n ＝2(1－3n
)1－3＝3n
－1，
又b n ＝
a n ＋1S n S n ＋1＝S n ＋1－S n S n S n ＋1＝1S n －1
S n ＋1
，则 b 1＋b 2＋…＋b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1
S 1－1
S 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1
S 2－1
S 3＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1
S n －1
S n ＋1＝1
S 1－1
S n ＋1＝1
2－1
3n ＋1－1
. 答案：12－1
3n ＋1－1
13．在等比数列{a n }中，公比q ≠1，等差数列{b n }满足b 1＝a 1＝3，b 4＝a 2，b 13＝a 3. (1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；
(2)记c n ＝(－1)n
b n ＋a n ，求数列{
c n }的前2n 项和S 2n . 解析：(1)设等差数列{b n }的公差为
d .
则有⎩⎪⎨⎪⎧
3＋3d ＝3q ，3＋12d ＝3q 2
，
解得⎩⎪⎨
⎪⎧
q ＝3，
d ＝2
或⎩⎪⎨⎪⎧
q ＝1，
d ＝0
(舍去)，
所以a n ＝3n
，b n ＝2n ＋1.
(2)由(1)知c n ＝(－1)n
(2n ＋1)＋3n
，
则S 2n ＝(3＋32
＋33
＋ (32)
)＋{(－3)＋5＋(－7)＋9＋…＋[－(4n －1)]＋(4n ＋1)} ＝3(1－32n
)
1－3＋[(5－3)＋(9－7)＋…＋(4n ＋1－4n ＋1)]
＝3
2n ＋1
－3
2
＋2n . 14．已知数列{a n }满足a 1＝3，a n ＋1－3a n ＝3n
(n ∈N *
)，数列{b n }满足b n ＝a n
3n .
(1)证明数列{b n }是等差数列并求数列{b n }的通项公式； (2)求数列{a n }的前n 项和S n . 解析：(1)由b n ＝a n 3n ，得b n ＋1＝a n ＋1
3
n ＋1，
所以b n ＋1－b n ＝a n ＋13n ＋1－a n 3n ＝1
3
，
所以数列{b n }是等差数列，首项b 1＝1，公差为1
3.
所以b n ＝1＋13(n －1)＝n ＋2
3.
(2)a n ＝3n
b n ＝(n ＋2)×3
n －1
，
所以S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝3×1＋4×3＋…＋(n ＋2)×3
n －1
①
所以3S n ＝3×3＋4×32
＋…＋(n ＋2)×3n
② ①－②得
－2S n ＝3×1＋3＋32
＋…＋3n －1
－(n ＋2)×3n
＝2＋1＋3＋32
＋…＋3n －1
－(n ＋2)×3n
＝3n
＋32－(n ＋2)×3n
所以S n ＝－3n
＋34＋(n ＋2)3
n
2
＝(2n ＋3)3n
4－3
4.。