纯弯曲时梁横截面上的正应力

(2) a点的正应力
a点到中性轴的距离为
ya
560 2
21
259
mm
所以a点的正应力为
a
M max ya Iz
375103 259103 65600108
148.1 MPa
例3 图示梁由工字钢制成。许用弯曲正应力[]
＝152 MPa, F＝75 kN，试选择工字钢的型号 。
解: 求约束反力, 作弯矩图 F F F
5.2 纯弯曲时梁横截面上的正应力 E E y
M z
y dA M
A
E y2dA EIz M
A
Iz
y2dA 为横截面对中性轴z轴的惯性矩。
A
1M
EIz
是梁中性层的曲率表达式。
EIz称为梁的抗弯刚度。
5.2 纯弯曲时梁横截面上的正应力
E E y
1 M
EIz
My
最大正应力的分析*********
1 当中性轴为对称轴时
以 ymax表示最大应力点到中性 轴的距离, 则横截面上的最大
正应力为：
max
M max ymax Iz
矩形截面梁横截面上正应
力分布如图所示
cmax t max max
C
ymax
z
ymax
y
c max
M
t max
最大正应力的分析
max
MC y2 Iz
( F 2) 0.086 4 5493108
90 106
120
180 40 134 86
C
形心
z
20 y
20
F
q＝F/b
A
CB
D
b
b
b
Fb/4
F 115 kN Fb/2
B截面
t max
M B y2 Iz
( F 2) 0.086 2 5493108
30106
F 19.2 kN
Iz
该式为等直梁纯弯曲时横截面上任一点处正应 力的计算公式。
M ----- 横截面上的弯矩
Iz ----- 横截面对中性轴的惯性矩 y ----- 求应力的点到中性轴的距离
5.2 纯弯曲时梁横截面上的正应力
My
Iz
注意：
•应用公式时, 一般将M, y以绝对值代入。根据
梁变形的情况直接判断的正负号。以中性轴 为界, 梁变形后凸出边的应力为拉应力(为正 号)。凹入边的应力为压应力(为负号)。
F
A
B
5m
10 m
解: 分析梁的受力, 作弯矩图。
C截面为危险截面。最大 FA
F
FB
弯矩为
A
B
Mmax 375 kN m
查型钢表, 56a 工字钢
5m 10 m
Iz 65600 cm4
Wz 2340 cm3
(1) 梁的最大正应力
max
M max Wz
375 103 2340 106
160.3 MPa
料的拉、压许用应力分别为[t]＝30 MPa, [c]
＝90 MPa, 试根据截面最为合理的要求, 确定T
字形截面梁横截面的尺寸, 并校核梁的强度。
60 28
P＝80 kN
A
B
1m
2m
y1
y2
Oz y 220
c max
y2
60 28 0
y1
Oz y
O
z
t max
220
解：(1) 要使截面最合理, 必须使同一截面的
Nm
y2 210 mm
Iz 99.3 06 mm4
y2
60 28 0
M max 40000 N m
Oz
y1
c max
M max y2 Iz
y
40000 210103
220
99.3106
84.7 106 Pa=84.7 MPa [ c ] 90 MPa
梁满足强度要求。
例６ 一槽形截面铸铁梁如图所示。已知, b＝2 m, Iz＝
M max ymax Iz
令
Wz
Iz ymax
ymax C
z
ymax
得
max
M max Wz
y
W称为抗弯截面系数。是截面的几何性质之一,
其值与横截面的形状和尺寸有关, 单位是m3。
最大正应力的分析
b z
h y
d
z y
矩形截面的抗弯截面系数
Wz
Iz h/2
bh2 6
圆形截面的抗弯截面系数
Wz
Iz d /2
y2
C
z
作梁的弯矩图, 如下图。
y 20
最大正弯矩在截面C上
FA F1＝9 kN FB F2＝4 kN
MC＝2.5 kN·m
A
CB
D
1m
1m
1m
最大负弯矩在截面B上
2.5 kN•m
MB＝4 kN·m
M图
4 kN•m
120 20
[t]＝30MPa, [c]＝160MPa, Iz＝763 cm4, y1＝
RA = RB = 112.5 kN 梁的最大弯矩在中间 截面
M max 375 kN m
A
2.5 m
B
2.5 m 2.5 m 2.5 m 375kN•m 281kN•m
梁所必需的抗弯截面系数为
Wz
M max
[ ]
375 103 152 106
2460106
m3
由型钢表查得56b号工字钢的
Wz 2450 cm3
52 mm。
B截面
y2
y1
80
C
z
t max
M B y1 Iz
4000 0.052 763 108
27.2 MPa [ t]
FA F1＝9 kN
y 20
FB F2＝4 kN
y2 120 20 52 88 mm
A
CB
D
1m
1m
1m
cmax
M B y2 Iz
4000 0.088 763108
M max y1 Iz
[ t ]
Oz
y1
c max
M max y2 Iz
[ c ]
y
220
Iz
24 2203 12
24 220 (210 110)2
220 603 12
220 60 (280 210 60)2 99.3 06 mm4 2
M max
Fl 4
80 103 4
2
40000
梁的截面图如图所示, 中性 轴到上、下边缘的距离分别 为 y2 86 mm, y1 134 mm
C截面
cmax
M c y2 Iz
[c ]
t max
M c y1 Iz
[t ]
t max
MC y1 Iz
( F 2) 0.134 4 5493108
30 106
F 24.6 kN
cmax
示。铸铁的抗拉许用应力为[t]＝30MPa, 抗压 许用应力为[c]＝160 MPa。已知截面对形心轴
z的Iz＝763 cm4, y1＝52 mm。校核梁的强度。
80
20
F1＝9 kN F2＝4 kN
AC
B
D
1m 1m 1m
y1
C
z
120
y2
20
y
80
120 20
y1
解：求约束反力
FA＝2.5 kN, FB＝10.5 kN
5493104 mm4, 铸铁的许用拉应力[t]＝30MPa, 许用压
应力[c]＝90 MPa。试求梁的许可荷载[F]。
120
F
q＝F/b
C
形心
z
A
CB
D
b
b
b
180 40 134 86
20 y
20
解：弯矩图如图所示。
最大负弯矩在B截面上, 最 大正弯矩在C截面上。
Fb MB 2
MC
Fb 4
Fb/4 Fb/2
t max [ t ] 30 MPa 1 cmax [ c ] 90 MPa 3c max y260 28 0y1
Oz
y
220
t max
My1 Iz
cmax
My2 Iz
O
z
t max
t max y1 [ t ] 1 c max y2 [ c ] 3
60 28 0
y1 1 y2 3 y1 y2 280 mm
d3
32
最大正应力的分析
2 对于中性轴不是横截面对称轴的情况
yt max yc max
应分别以横截面上受拉
压边
和受压部分距中性轴最
远的距离yt max和yc max直 接代入公式
z
My
Iz
拉边
y
求得相应的最大正应力。
最大正应力的分析
t max
Myt max Iz
压边
yt max yc max
c max
M C y1 Iz
2500 0.052 763108
17.0 MPa [ c]
t max 28.8MPa [ t]
cmax 46.2 MPa [ c]
所以梁是安全的。
y 20
FA F1＝9 kN
FB F2＝4 kN
A
CB
D
1m
1m
1m
2.5 kN•m
M图
4 kN•m
例5 跨长l = 2m的铸铁梁受力如图所示。已知材
由上两式确定出
y y2 210 mm
y1
y2
Oz y 220
根据形心坐标公式得(以上边缘为参考边)
(280 60) ( 280 60) 60 220 (280 60)
y
2
2 210
(280 60) 60 220
24 mm
(2) 校核梁的强度
y2
60 28 0
t max
强度与抗压强度不同
[t ] [c ]
且梁横截面的中性轴一般也不是对称轴, 所以
梁的
t max cmax
且两者有时并不发生在同一横截面上, 要求分别 不超过材料的许用拉应力和 许用压应力。
tmax [t ], cmax [ c ]
例1 试计算图示简支矩形截面梁平放与竖放时的 最大正应力，并加以比较。
q 2kN m
200
100
4m
ql 2
M
8
l/2
横放
max
M max WZ
200
100
竖放
qL2
x
max
M max WZ
8 bh2
qL2
6
8 hb2
12MPa
6
6MPa
例2 简支梁由56a工字钢制成, 其横截面见图, F = 150 kN。求:
(1) 梁上的最大正应力max;
(2) 同一截面上翼缘与腹板交界处a点的正应力。
FFF
A
B
此值小于所必需的
Wz 2460106 m3
但不到1%, 采用此工字
2.5 m 2.5 m 2.5 m 2.5 m 375kN•m 281kN•m
钢时最大正应力
max M max 153.1 MPa [ ] 152MPa
Wz
没有超过5%, 故可选用56b号工字钢 。
例３ T形截面铸铁梁的载荷和截面尺寸如图所
2.5 kN•m
46.2 MPa [ c]
M图
4 kN•m
[t]＝30MPa, [c]＝160MPa, Iz＝763 cm4, y1＝52 mm。
80
y1
在截面C上, 有可能发生比截
面B 还要大的拉应力。
C
z
120 20
y2
t max
MC y2 Iz
2500 0.088 763108
28.8 MPa [ t]
A
cmax
M B y1 Iz
( F 2) 0.134 2 5493108
90 106
F 36.8 kN
取最小值F＝19.2 kN。
180 40
120
y2
C
形心
z
y1
20 y
F
20
q＝F/b
CB
D
b
b
b
Fb/4
Fb/2
5.3 横力弯曲时的正应力
当梁上有横向力作用时, 横截面上既又弯 矩又有剪力。梁在此种情况下的弯曲称 为横力弯曲 。
横力弯曲时, 梁的横截面上既有正应力, 又有切应力。
纯弯曲时所作的平面假设和各纵向线段间 互不挤压的假设都不成立 。
5.3 横力弯曲时的正应力
对于跨度与截面高度之比l/h大于5的 横力弯曲梁, 横截面上的最大正应力按纯 弯曲正应力公式计算, 误差不超过1%, 所 得结果略偏低。但完全满足工程上的精度 要求。梁的跨高比l/h越大, 误差就越小。
c max
Myc max Iz
z
拉边
y
c max t max
梁的弯曲正应力强度条件
等直梁的最大正应力通常发生在距中性轴 最远的各点处(梁的上下边缘处) 。
通常可将横截面上最大正应力所在各点处 的应力状态看作单轴应力状态 。 梁的正应力强度条件为：
max [ ]
梁的正应力强度条件
对于铸铁等脆性材料制成的梁, 由于材料的抗拉