广东省广州市第六十七中学高三数学理模拟试卷含解析

广东省广州市第六十七中学高三数学理模拟试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知f（x）=sin（ωx+）（ω＞0）的图象与y=﹣1的图象的相邻两交点间的距离为π，要得到y=f（x）的图象，只需把y=cos2x的图象（）
A．向左平移个单位B．向右平移个单位
C．向左平移个单位D．向右平移个单位
参考答案：
B
【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【专题】计算题；三角函数的图像与性质．
【分析】依题意可知f（x）=sin（ωx+）的周期为π，从而可求得ω，利用函数y=Asin
（ωx+φ）的图象变换即可求得答案．
【解答】解：∵f（x）=sin（ωx+）（ω＞0）的图象与y=﹣1的图象的相邻两交点间的距离为π，
∴f（x）=sin（ωx+）的周期T=π，又ω＞0，T==π，
∴ω=2；
∴f（x）=sin（2x+）．
令g（x）=cos2x=sin（2x+），
则g（x）=sin（2x+）g（x﹣）=sin[2（x﹣）+）]
=sin（2x+）=f（x），∴要想得到f（x）=sin（2x+）的图象，只需将y=g（x）=cos2x=sin（2x+）的图象右平移个单位即可．
故选B．
【点评】本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，求得ω的值是关键，考查平移知识与运算能力，属于中档题．
2. 已知的图像关于（）对称。

A.y轴
B. x轴
C. 原点
D.直线y=x
参考答案：
C
3. 设定点F1（0，﹣3）、F2（0，3），动点P满足条件|PF1|+|PF2|=a+（a＞0），则点P的轨迹是（）
A．椭圆B．线段C．不存在D．椭圆或线段
参考答案：
D
【考点】轨迹方程．
【分析】由基本不等式可得 a+≥6，当a+=6 时，点P满足|PF1|+|PF2|=|F1F2|，P的轨迹是线段F1F2；a+＞6时，点P满足|PF1|+|PF2|为常数，且大于线段|F1F2|的长，P的轨迹是椭圆．
【解答】解：∵a＞0，∴a+≥2=6．
当 a+=6=|F1F2|时，由点P满足条件|PF1|+|PF2|=a+=|F1F2|得，点P的轨迹是线段F1F2．
当 a+＞6=|F1F2|时，由点P满足条件|PF1|+|PF2|=a+＞|F1F2|得，点P的轨迹是以F1、F2为焦点的椭圆．
综上，点P的轨迹是线段F1F2 或椭圆，
故选 D．
【点评】本题考查椭圆的定义，基本不等式的应用，体现了分类讨论的数学思想，确定 a+的范围
是解题的关键．
4. 右上图所示为一个判断直线与圆的位置关系的程序框图的一部分，在？处应该填上
.
参考答案：
略
5. 如图所示，在平面四边形ABCD 中，为正三角形，则面积的最大值
为
A ．B
．C ．D．
参考答案：
D
在中，设，，由余弦定理得：，
∵为正三角形，∴，
，
在中，由正弦定理得：，∴
∴
∵β<∠BAC，∴β为锐角，
∴
，当时, .
6. 集合,,若,则的值为( )
A.0
B.1
C.2
D.4
参考答案：
D
7. 给出下列三个等式：，，
，下列函数中不满足其中任何一个等式的是（）
A．B． C． D．
参考答案：
D
8. 若为偶函数，且当时, ,
则不等式的解集为( )
A. B. C. D.
参考答案：
A
9. 已知数列，若利用如图所示的程序框图计算并输出该数列的第10项，则
判断框内的条件可以是 A.
B.
C.
D.
参考答案：
C 略
10. 《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则最下面那节的容积为
A.
升 B.
升 C.
升 D.
升
参考答案：
C
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 定义已知，，，则
．
（结果用，，表示）
参考答案： 略
12. 已知圆和两点，
若点P 在圆C 上且，则满足条件的P
点有 个.
参考答案：
2
考点：圆的
标准方程 13. 已知曲线
参考答案：
-6
14. 当
且时，函数
的图像恒过点
，若点在直线
上，则的最小值为
参考答案：
略
15. 已知集合M={(x ， y )|x ＋y =2}，N={(x ，y )|x －y =4}，那么集合M ∩N ＝ ．
参考答案：
略
16. 若函数f(x)＝ax－x－a(a＞0，且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是.
参考答案：
略
17. 为了了解企业职工对所谓“台湾公投”的态度，某记者分别从某大型企业5060岁，3040岁，1825岁，三个年龄段的800人，1200人，1000人中，采取分层抽样的方法进行调研，在5060岁这一年龄段中抽查了40人，那么这次调研一共抽查了____人。

参考答案：
150
略
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. (本小题满分14分)
已知，其中是自然常数，．
（1）讨论时, 的单调性、极值；
（2）求证：在（1）的条件下，；
（3）若的最小值是，求的值.
参考答案：
（1），∴当时，，此时单调递减，当时，，此时单调递增，∴的极小值为；
……4分
（2）的极小值为1，即在上的最小值为、∴，令，，当时，，在上单调递增，
∴、
∴在(1)的条件下，；………9分
（3）的最小值为，
① 当时，，所以在上单调递减，
；
解得（舍）；
②当时，在上单调递减，在上单调递增、
，，满足条件.
③ 当时，，所以在上单调递减，
,解得（舍）；
综上，，使得当时有最小值.………………14分
19. （12分）（2015秋?兴庆区校级月考）已知等比数列{a n}是递增数列，a2a5=32，a3+a4=12，数列{b n}满足b1=1，且b n+1=2b n+2a n（n∈N+）
（1）证明：数列是等差数列；
（2）若对任意n∈N+，不等式（n+2）b n+1≥λb n总成立，求实数λ的最大值．参考答案：
【考点】数列递推式；数列的函数特性．
【专题】等差数列与等比数列．
【分析】（1）由已知列式求出等比数列的首项和公比，求出其通项公式，再由b n+1=2b n+2a n即可得到
数列是等差数列；
（2）把数列{a n}，{b n}的通项公式代入（n+2）b n+1≥λb n，分离参数λ，然后利用基本不等式求得实数λ的最大值．
【解答】（1）证明：∵a2a5=a3a4=32，a3+a4=12，且{a n}是递增数列，
∴a3=4，a4=8，则q=2，a1=1，
∴，
又∵b n+1=2b n+2a n，∴，
∴数列是等差数列；
（2）解：由（1）可得，
则，
由（n+2）b n+1≥λb n总成立，得
最小总成立，
∵n∈N+，∴n=1或2时，最小值为12，
∴λ最大值为12．
【点评】本题考查数列递推式，考查了等差关系的确定，训练了利用基本不等式求最值，属中档题．20. （本小题满分10分）已知曲线C的极坐标方程是．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是为参数），设点．
（Ⅰ）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程,将直线l的参数方程化为普通方程；
（Ⅱ）设直线l与曲线C相交于M，N两点，求的值|PM|·|PN|的值．
参考答案：
（Ⅰ）曲线的直角坐标方程,
直线的普通方程；
（Ⅱ）.
21. 设函数f（x）=|x+2|﹣|x﹣2|
（I）解不等式f（x）≥2；
（Ⅱ）当x∈R，0＜y＜1时，证明：|x+2|﹣|x﹣2|≤．
参考答案：
【考点】绝对值不等式的解法．
【专题】计算题；证明题；不等式的解法及应用．
【分析】（Ⅰ）运用绝对值的定义，去掉绝对值，得到分段函数，再由各段求范围，最后求并集即可；
（II）由分段函数可得f（x）的最大值，再由基本不等式求得的最小值，即可得证．
【解答】（Ⅰ）解：由已知可得：，
由x≥2时，4＞2成立；﹣2＜x＜2时，2x≥2，即有x≥1，则为1≤x＜2．
所以，f（x）≥2的解集为{x|x≥1}；
（II）证明：由（Ⅰ）知，|x+2|﹣|x﹣2|≤4，
由于0＜y＜1，
则=（）[y+（1﹣y）]=2++≥2+2=4，
则有．
【点评】本题考查绝对值不等式的解法，考查不等式恒成立，注意转化为函数的最值，考查基本不等式的运用：求最值，考查运算能力，属于中档题．
22. 六安市某棚户区改造，四边形为拟定拆迁的棚户区，测得，，
千米，千米，工程规划用地近似为图中四边形的外接圆内部区域．
（1）求四边形的外接圆半径；
（2）求该棚户区即四边形的面积的最大值．
参考答案：
（1）由题得：在中，，，
由余弦定理得：，
由正弦定理得：，
所以．
（2）由（1）得，，
由余弦定理得：，即，
所以（当且仅当时等号成立），
而，故．
答：四边形的面积的最大值为．。